2017-2018年山东省菏泽市高二(下)期中数学试卷(理科)(b卷)和答案

2017-2018学年山东省菏泽市高二（下）期中数学试卷（理科）
（B卷）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）复数（1﹣i）2的虚部是（）
A．﹣2i B．2C．﹣2D．0
2．（5分）已知函数f（x）＝ax2+c，且f′（1）＝2，则a的值为（）
A．1B．C．﹣1D．0
3．（5分）有一段演绎推理是这样的：“指数函数都是增函数；已知y＝（）x
是指数函数；则y＝（）x是增函数”的结论显然是错误的，这是因为（）A．大前提错误B．小前提错误
C．推理形式错误D．非以上错误
4．（5分）在复平面内，复数所对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．（5分）定积分（﹣3）dx等于（）
A．﹣6B．6C．﹣3D．3
6．（5分）已知a，b∈R，复数，则a+b＝（）
A．2B．1C．0D．﹣2
7．（5分）已知函数y＝f（x），其导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则y＝f （x）（）
A．至少有两个零点B．在x＝3处取极小值
C．在（2，4）上为减函数D．在x＝1处切线斜率为0
8．（5分）设复数z满足（1+z）i＝1﹣i，则z＝（）
A．﹣2﹣i B．﹣1﹣i C．﹣2+i D．﹣1+i
9．（5分）用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）
A．假设至少有一个钝角
B．假设至少有两个钝角
C．假设没有一个钝角
D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角
10．（5分）用数学归纳法证明不等式“++…+＞（n＞2）”时的过程中，由n＝k到n＝k+1时，不等式的左边（）
A．增加了一项
B．增加了两项
C．增加了两项，又减少了一项
D．增加了一项，又减少了一项
11．（5分）函数f（x）＝lnx﹣x2的图象大致是（）
A．B．
C．D．
12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（2）＝0，当x＞0时，有＞0成立，则不等式xf（x）＞0的解集是（）
A．（﹣2，0）∪（2，+∞）B．（﹣2，0）∪（0，2）
C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪，（2，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）若复数z满足z+i＝，则复数z的模为．
14．（5分）如图，函数y＝f（x）的图象在点P（4，f（4））处的切线方程是y ＝﹣2x+9，则f（4）+f′（4）的值为．
15．（5分）由直线y＝x+2与曲线y＝x2围成的封闭图形的面积是．
16．（5分）在平面内，点P，A，B三点共线的充要条件是：对于平面内任一点
O，有且只有一对实数x，y，满足向量关系式＝x+y，且x+y＝1．类比以上结论，可得到在空间中，P，A，B，C四点共面的充要条件是：对于空间内任一点O，有且只有一对实数x，y，z满足向量关系式．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．）
17．已知函数f（x）＝﹣x3+3x2+9x﹣2，求：
（1）函数y＝f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）f（x）的单调递减区间．
18．（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，且a+b＞2，求证：和中至少有一个小于2．19．已知函数f（x）＝x2+ax﹣lnx．
（Ⅰ）若a＝1，求函数y＝f（x）的最小值；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．
20．已知数列{a n}满足a n•a n+1＝，（n∈N*），a1＝．
（Ⅰ）求a2，a3，a4值；
（Ⅱ）归纳猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．
21．已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件．今年拟下调销售单价以提高销量增加收益．据估算，若今年的实际销售单价为x元/件（1＜x＜2），则新增的年销量p＝（2﹣x）2（万件）．
（Ⅰ）写出今年商户甲的收益f（x）（单位：万元）与x的函数关系式；
（Ⅱ）商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略，是否能获得比往年更大的收益（即比往年收益更多）？请说明理由．
22．已知函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+lnx．
（1）当a≥0时，求f（x）的单调区间．
（2）当a＞0时，求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值．
（3）在条件（2）下，当最小值为﹣2时，求a的取值范围．
2017-2018学年山东省菏泽市高二（下）期中数学试卷（理
科）（B卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）复数（1﹣i）2的虚部是（）
A．﹣2i B．2C．﹣2D．0
【解答】解：原式＝﹣2i，
∴虚部为﹣2．
故选：C．
2．（5分）已知函数f（x）＝ax2+c，且f′（1）＝2，则a的值为（）
A．1B．C．﹣1D．0
【解答】解：∵函数f（x）＝a x2+c，∴f′（x）＝2ax
又f′（1）＝2，
∴2a•1＝2，
∴a＝1
故选：A．
3．（5分）有一段演绎推理是这样的：“指数函数都是增函数；已知y＝（）x
是指数函数；则y＝（）x是增函数”的结论显然是错误的，这是因为（）A．大前提错误B．小前提错误
C．推理形式错误D．非以上错误
【解答】解：根据题意，指数函数y＝a x（a＞0且a≠1）是R上的增函数，
这个说法是错误的，要根据所给的底数的取值不同分类说出函数的不同的单调性，大前提是错误的，
∴得到的结论是错误的，
故选：A．
4．（5分）在复平面内，复数所对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：∵复数＝＝＝，
∴复数对应的点的坐标是（，）
∴复数在复平面内对应的点位于第一象限，
故选：A．
5．（5分）定积分（﹣3）dx等于（）
A．﹣6B．6C．﹣3D．3
【解答】解：（﹣3）dx＝﹣3x|＝﹣3（3﹣1）＝﹣3×2＝﹣6，
故选：A．
6．（5分）已知a，b∈R，复数，则a+b＝（）
A．2B．1C．0D．﹣2
【解答】解：复数，
∴a+bi＝＝i+1，
a＝b＝1，
则a+b＝2．
故选：A．
7．（5分）已知函数y＝f（x），其导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则y＝f （x）（）
A．至少有两个零点B．在x＝3处取极小值
C．在（2，4）上为减函数D．在x＝1处切线斜率为0
【解答】由题目给定的f'（x）图象可知，
当x＜﹣1或2＜x＜4时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当﹣1＜x＜2或x＞4时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
故由此我们可知，函数f（x）在x＝﹣1处取到极小值，在x＝2处取到极大值，在x＝4处有取到极小值，
但是并不能知道这些极值的大小．
选项B，D其实是把所给的图象当成函数f（x）的图象来理解的，故是错误的，而选项A的判断需要我们知道具体的极小值，
若两个极小值都大于零，则此函数没有零点，故A错误．
故A，B，D都是错误的，只有C正确，
故选：C．
8．（5分）设复数z满足（1+z）i＝1﹣i，则z＝（）
A．﹣2﹣i B．﹣1﹣i C．﹣2+i D．﹣1+i
【解答】解：由（1+z）i＝1﹣i，得i+iz＝1﹣i，
∴z＝．
故选：A．
9．（5分）用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）
A．假设至少有一个钝角
B．假设至少有两个钝角
C．假设没有一个钝角
D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角
【解答】解：用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，应先假设“至少有两个钝角”，
故选：B．
10．（5分）用数学归纳法证明不等式“++…+＞（n＞2）”时的过程中，由n＝k到n＝k+1时，不等式的左边（）
A．增加了一项
B．增加了两项
C．增加了两项，又减少了一项
D．增加了一项，又减少了一项
【解答】解：，
＝
故选：C．
11．（5分）函数f（x）＝lnx﹣x2的图象大致是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵（x＞0）
∴（x＞0）
则当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数；
当x＝1时，f（x）取最大值，f（1）＝；
故选：B．
12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（2）＝0，当x＞0时，有＞0成立，则不等式xf（x）＞0的解集是（）
A．（﹣2，0）∪（2，+∞）B．（﹣2，0）∪（0，2）
C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪，（2，+∞）【解答】解：令g（x）＝（x＞0），可得g′（x）＝＞0（x ＞0），
∴g（x）在（0，+∞）上为增函数，
又函数f（x）是定义在R上的奇函数，
可得g（x）在R上为偶函数，
由f（2）＝0，可得g（2）＝0．
作出g（x）＝图象的大致形状如图：
则不等式xf（x）＞0⇔或．
由图可知，当x∈（﹣∞，﹣2）时，x＜0，f（x）＞0，
当x∈（﹣2，0）时，x＜0，f（x）＜0，
当x∈（0，2）时，x＞0，f（x）＞0，
当x∈（2，+∞）时，x＞0，f（x）＜0．
∴满足或的x的范围为（﹣2，0）∪（0，2）．
即不等式xf（x）＞0的解集是（﹣2，0）∪（0，2）．
故选：B．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）若复数z满足z+i＝，则复数z的模为．
【解答】解：∵z+i＝，
∴z＝﹣i＝﹣i＝
∴|z|＝
故答案为：
14．（5分）如图，函数y＝f（x）的图象在点P（4，f（4））处的切线方程是y ＝﹣2x+9，则f（4）+f′（4）的值为﹣1．
【解答】解：由图可知，f′（4）＝﹣2，
且f（4）＝﹣2×4+9＝1，
∴f（4）+f′（4）＝1﹣2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
15．（5分）由直线y＝x+2与曲线y＝x2围成的封闭图形的面积是．
【解答】解：作出两条曲线对应的封闭区域如图：
由得x2＝x+2，即x2﹣x﹣2＝0，
解得x＝﹣1或x＝2，
则根据积分的几何意义可知所求的几何面积
S＝（x+2﹣x2）dx＝（﹣x3+x2+2x）|＝，
故答案为：
16．（5分）在平面内，点P，A，B三点共线的充要条件是：对于平面内任一点
O，有且只有一对实数x，y，满足向量关系式＝x+y，且x+y＝1．类比以上结论，可得到在空间中，P，A，B，C四点共面的充要条件是：对于空
间内任一点O，有且只有一对实数x，y，z满足向量关系式且x+y+z＝1．．
【解答】解：根据类比推理可知：O为平面ABC外一点，则点P在平面ABC内的充要条件是：
存在实数x，y，z满足且x+y+z＝1．
故答案为：且x+y+z＝1．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．）
17．已知函数f（x）＝﹣x3+3x2+9x﹣2，求：
（1）函数y＝f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）f（x）的单调递减区间．
【解答】解：（1）∵f（x）＝﹣x3+3x2+9x﹣2，
∴f′（x）＝﹣3x2+6x+9，
f′（0）＝9，f（0）＝﹣2，
∴函数y＝f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为：
y+2＝9x，即9x﹣y﹣2＝0．
（2）∵f（x）＝﹣x3+3x2+9x﹣2，
∴f′（x）＝﹣3x2+6x+9，
由f′（x）＝﹣3x2+6x+9＜0，
解得x＜﹣1或x＞3．
∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．
18．（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，且a+b＞2，求证：和中至少有一个小于2．
【解答】证明：（Ⅰ）要证+＞2+，
只需证（+）2＞（2+）2；
即证13+2＞13+2，
即证42＞40
而上式显然成立，故原不等式成立．
（Ⅱ）：假设≥2，≥2，
∵a＞0，b＞0，
∴1+b≥2a，1+a≥2b，
∴1+b+1+a≥2（a+b）
即a+b≤2
这与已知a+b＞2矛盾，故假设不成立，从而原结论成立
19．已知函数f（x）＝x2+ax﹣lnx．
（Ⅰ）若a＝1，求函数y＝f（x）的最小值；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝x2+ax﹣lnx，a∈R，
∴当a＝1时，f（x）＝x2+x﹣lnx，（x＞0）
∴f′（x）＝2x+1﹣＝，
令f′（x）＞0，解得x＞，
令f′（x）＞0，解得0＜x＜，
∴f（x）的单调递增区间为（，+∞），单调递减区间为（0，），∴f（x）min＝f（）＝+ln2；
（Ⅱ）∵f（x）＝x2+ax﹣lnx，（x＞0）
∴f′（x）＝2x+a﹣＝，
∵函数f（x）在[1，2]上是减函数，
∴f′（x）≤0在[1，2]上恒成立，
即≤0在[1，2]上恒成立，
∵x＞0，
∴2x2+ax﹣1≤0在[1，2]上恒成立，
令h（x）＝2x2+ax﹣1，
∴，即，
∴a≤﹣，
∴实数a的取值范围为a≤﹣．
20．已知数列{a n}满足a n•a n+1＝，（n∈N*），a1＝．
（Ⅰ）求a2，a3，a4值；
（Ⅱ）归纳猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．
【解答】解：（Ⅰ）a n•a n+1＝，（n∈N*），a1＝．
计算得a2＝．
a3＝．
a4＝．
（Ⅱ）猜想a n＝，
证明如下：①当n＝1时，猜想显然成立；
②假设当n＝k（k∈N*）时猜想成立，即a k＝，成立，
则当n＝k+1时，a k+1＝•＝＝，
即n＝k+1时猜想成立
由①②得对任意n∈N*，有a n＝．
21．已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件．今年拟下调销售单价以提高销量增加收益．据估算，若今年的实际销售单价为x元/件（1＜x＜2），则新增的年销量p＝（2﹣x）2（万件）．
（Ⅰ）写出今年商户甲的收益f（x）（单位：万元）与x的函数关系式；
（Ⅱ）商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略，是否能获得比往年更大的收益（即比往年收益更多）？请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知，今年的年销售量为1+（4x﹣2）2（万件）．
因为每销售一件，商户甲可获利x﹣1元，
所以今年商户甲的收益：
f（x）＝[1+（4x﹣2）2]（x﹣1）＝4x3﹣20x2+33x﹣17（1＜x＜2）．
（Ⅱ）由f（x）＝4x3﹣20x2+33x﹣17（1＜x＜2）．
得f′（x）＝12x2﹣40x+33＝（2x﹣3）（6x﹣11）（1＜x＜2）．
令f′（x）＝0，解得x＝或x＝，
当x∈（1，）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；
当x∈（，）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；
当x∈（，2）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；
∴x＝为极大值点，极大值为f（）＝1．
∵f（2）＝1，∴当x＝或2时，f（x）在区间[1，2]上的最大值为1（万元），而往年的收益为（2﹣1）×1＝1（万元），
所以商户甲采取降低单价提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益．22．已知函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+lnx．
（1）当a≥0时，求f（x）的单调区间．
（2）当a＞0时，求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值．
（3）在条件（2）下，当最小值为﹣2时，求a的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）＝2ax﹣（a+2）+＝＝，
①a＝0时，f′（x）＝﹣，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，
令f′（x）＜0，解得：x＞，
故f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减；
②a＞0时，f′（x）＝2ax﹣（a+2）+＝＝（x
＞0）
令f'（x）＝0，即f′（x）＝＝0，
所以x＝或x＝，
当≤，即a≥2时，f（x）在（0，）递增，在（，）递减，在（，+∞）上单调递增，
当0＜＜时，即0＜a＜2时，f（x）在（0，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增，
（2）函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+lnx的定义域是（0，+∞），
当a＞0时，f′（x）＝2ax﹣（a+2）+＝＝（x ＞0）
令f'（x）＝0，即f′（x）＝＝0，
所以x＝或x＝，
①当0＜≤1，即a≥1时，f（x）在[1，e]上单调递增，
f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）＝﹣2；
②当1＜＜e时，即＜a＜1时，f（x）在[1，）递减，在（，e]递增，f（x）在[1，e]上的最小值是f（）＜f（1）＝﹣2；
③当≥e时，即0＜a≤时，f（x）在[1，e]上单调递减，
f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）＜f（1）＝﹣2；
（3）由（2）a≥1时，f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）＝﹣2，符合题意；
＜a＜1时，f（x）在[1，e]上的最小值是f（）＜f（1）＝﹣2，不合题意；0＜a≤时，f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）＜f（1）＝﹣2，不合题意．
综上可知，a的取值范围为[1，+∞）．。