高中数学第一章集合与函数的概念1函数及其表示复习学案1

1。

2 函数及其表示
自主复习
考点清单：
函数的概念与函数的定义域； 函数的表示； 分段函数及映射.
考点详情：
重点一：函数的概念 1．函数的概念
设B A ,是非空数集，如果按照某种对应关系f ，使集合A 中任意一个数x ，在集合B 中存在唯一确定 的数)(x f 与之对应，则称)(x f 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作A x x f y ∈=),(。

函数的定义域、值域:在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫自变量，x 的取值范围叫函数的定义域，与
x 的值对应的值y 叫函数值，函数值的集合}|)({A x x f ∈叫函数的值域,显
然值域是B 的子集。

2．函数的三要素：定义域、值域、对应法则 3．区间：
区间是数学中表示“连续”的数集的一种形式。

设a ，b 是两个实数，而且a ＜b 。

我们规定：
(1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为［a，b]；
（2)满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b）；
(3）满足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b)，（a，b］。

这里的实数a与b都叫做相应区间的端点．其中a叫做左端点,b 叫做右端点。

实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”。

我们可以把满足x≥a，x＞a，x≤b，x＜b的实数x的集合分别表示为［a，＋∞），(a，＋∞），(－∞，b］，（－∞，b)。

区间的几何表示如下表所示:
4．具体函数定义域的求法
函数的定义域是自变量x的取值范围，如果未加特殊说明,函数的定义域就是指使函数关系式有意义的x的取值范围，但在实际问题中，函数的定义域还要受到实际意义的制约。

(1）求具体函数定义域的原则和方法主要有:
①若f（x)为整式，则其定义域为实数集R。

②若f(x)是分式，则其定义域是使分母不等于0的实数的集合。

③若f（x)为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等
于0的实数的集合。

④若f（x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数的定义域是
使各部分都有意义的实数的集合，
即交集。

⑤实际问题中，定义域要受到实际意义的制约.
（2)求给出解析式的函数的定义域的步骤为：①列出使函数有意义的x所适合的式子（往往是一个不等式组)；②解这个不等式组;
③把不等式组的解表示成集合（或者区间）作为函数的定义域.
例题：
1。

下列函数中,与y=x相同的函数是()
A ．y ＝x
2
B ．y = lg10
x
C ．y ＝
x x
2 D ．(
))y x =-+211
【答案】B
【解析】对于A ，||()
y x x x R ==2∈,与函数y =x 的对应法则不同，不
是同一函数；
对于B ，y=lg10 x =x （x ∈R ），与函数y =x 的定义域相同,对应法则也相同，是同一函数； 对于C ，()
y==x x x x
≠2
0，与函数y =x 的定义域不同,不是同一函
数； 对于D,()（）
y x x x =-+=≥2111，与函数y =x 的定义域不同，不是
同一函数.
2．函数ln +x x y x
--=
22的定义域为（ ）
A ．（—2，1）
B ．[—2，1]
C ．（0，1)
D ．（0,1]
【答案】C
重点二：函数的表示
1．解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系,这种表示函数的方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式。

2．图象法：以自变量x的值为横坐标,与之对应的函数值y为纵坐标,在平面直角坐标系中描出各个点（x,f（x)），这些点组成的图形称为函数f（x)的图象，这种用图象表示两个变量之间对应关系的方法叫做图象法。

3．列表法：列一个两行多列的表格,第一行是自变量取的值，第二行是对应的函数值，这种用表格来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法。

4．函数的三种表示法的优缺点比较
5．函数图象的作法
（1）作函数图象的常用方法：
①描点法：
描点法是作函数图象的基本方法。

根据函数解析式，列出函数中x与y的一些对应值的表，然后分
别以它们为横、纵坐标，在坐标系中描出点，最后用平滑的曲线将这些点连起来，就是函数的图象,即“列表—描点-连线"。

②利用基本函数图象作出所求的图象，已学过的基本函数图象
有：常数函数的图象，例如f(x)＝1的
图象为平行于x轴的一条直线;一次函数的图象,例如f（x）＝－3x ＋1的图象是一条经过一、二、四象限的直线；二次函数的图象，例如f（x）＝2x2－x＋1的图象是一条抛物线；反比例函数的图象,f （k≠0，且k为常数）,当k＞0时，其图象是在一、三象限（x）＝k
x
内,以原点为对称中心的双曲线;当k＜0时，其图象是在二、四象限内，以原点为对称中心的双曲线。

③变换作图法：
1°平移：y ＝f （x ）错误!y ＝f （x ＋a ） y ＝f(x ）错误!y ＝f(x －a) y ＝f （x ）错误!y ＝f(x ）＋b y ＝f （x ）错误!y ＝f(x)－b
2°对称：y ＝f(x)―—--—---—--―→关于x 轴对称y ＝－f(x ） y ＝f(x ）错误!y ＝f （－x) y ＝f(x)错误!y ＝－f （－x) y ＝f(x ）
错误!
y ＝|f （x ）｜；
y ＝f （x ）
错误!
y ＝f （|x|）．
例题：
1．可作为函数y=f （x ）的图象的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】由函数的定义可知：每当给出x 的一个值，则f （x ）有唯一确定的实数值与之对应,只有D 符合.
2．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足：()()x
f x
g x e +=，则
（ ）
A ．()2
x x
e e
f x -+=
B ．()2
x x
e e
f x --=
C ．()2
x x
e e g x --=
D ．()2
x x
e e g x --=
【答案】B
重点三：分段函数
1．分段函数定义：有些函数在其定义域中,对于自变量x 的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通
常称为分段函数．分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式，所以它的图象
也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段,有的也可以是一些孤立的点或几条线段. 2．理解分段函数时注意：
（1)分段函数是一个函数，切不可把它看成几个函数．分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式,并且必须指明各段函数自变量的取值范围；
(2)一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域是自变量x 的不同取值范围的并集，值域是每段的函 数值y 的取值范围的并集。

3．分段函数图象的作法
画分段函数y＝错误!(D1，D2，…，两两交集是空集）的图象步骤是：
①画函数y＝f1(x)的图象，再取其在区间D1上的图象，其他部分删去不要;
②画函数y＝f2（x）的图象,再取其在区间D2上的图象,其他部分删去不要；
③依次画下去；
④将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图象。

注意:在作每一段的图象时,先不管自变量的限制条件，作出其图象,再保留自变量限制条件内的一段
图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，若端点包含在内,则用实点表示;若端点不包含在内，则用虚点表示，要保证不重不漏。

4．映射的概念
一般地，设A，B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B 的一个映射。

5．函数与映射的关系：函数是定义域为数集的映射.
例题:已知函数3log (2),1
()1,1
x x a x f x e x ++⎧=⎨-<⎩≥，若[](ln 2)2f f a =，则()f a 等于（ )
A ．
12
B ．
43
C ．2
D ．4
【答案】C
名师导学：
1．函数的定义域 2。

分段函数
巩固练习
1．函数
256
()4||lg
3
x x f x x x -+=--的定义域为( ) A ．（2，3） B ．（2，4］ C ．（2，3)∪（3，
4］
D ．（－1，3)∪(3,6]
2。

下列函数中,与函数y x
=有相同定义域的是（ ）
A ．f(x ）=lnx
B ．1()f x x
=
C ．f(x ）=｜x|
D ．f
（x ）=e x
3．小明骑车上学,开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶,与以上事件吻合得最好的图象是（ )
A ．
B ．
C ．
D ．
4．设全集为R ，函数2
()1f x x =-M,则
M
R
为（ ）
A ．[－1，1］
B ．（－1,1)
C ．（－∞，－1］∪[1,+∞)
D ．（－∞，－1）∪（1,+∞）
5．设函数
2,0,
(),0.
x x f x x x -⎧=⎨>⎩≤若
f （a ）=4,则实数a=( )
A ．－4或－2
B ．－4或2
C ．－2或4
D ．－2或2
6．已知集合A ={x |－2≤x ≤2} ，B=｛x ｜－1≤x ≤1｝ ,对应f :x →y =ax .若在f 的作用下能够建立从A 到B 的映射f ：A →B ,求实数a 的取值范围。

参考答案与解析
1．【答案】C 2．【答案】A 3.【答案】C 4。

【答案】D 5.【答案】B
6．【答案】（1）当a≥0时 ，102a ≤≤.（2)当a 〈0时 ，11
22
a -≤≤.。