2021届浙江省嘉兴市六校高三下学期5月联考数学试题解析

2021届浙江省嘉兴市六校高三下学期5月联考
数学试题
一、单选题
1．已知i 为虚数单位，且复数i
i
a a +-是纯虚数，则实数a =（ ）． A ．1或1- B ．1
C ．1-
D ．0
答案：A
利用复数的除法求出
i
i
a a +-，结合其为纯虚数可求a 的值. 解：()2
2
22i i 12i 11
a a a ai a a a ++-+==
-++， 因为复数i i a a +-是纯虚数，故2100
a a ⎧-=⎨≠⎩即1a =±，
故选：A.
2．二项式()6
2x -的展开式的第3，4，5项之和是（ ）． A ．460
B ．140
C ．43260160240x x x ++
D ．43260160240x x x -+
答案：D
根据二项式通项公式即可得到结果.
解：二项式()62x -的展开式的通项为()()66166212r r
r r r r r
r T C x C x --+=⋅⋅-=⋅-⋅⋅ ∴()2
24223612240,T C x x =⋅-⋅⋅=()3
3
3334612160,T C x x =⋅-⋅⋅=- ()4
4244561260,T C x x =⋅-⋅⋅=
∴第3，4，5项之和是43260160240x x x -+， 故选：D
3．设集合{}
ln ,S x x n n *
==∈N ，若,a b S ∈，则a b S ⊗∈，则运算符⊗可能是（ ）．
A ．＋
B ．－
C ．×
D ．÷
答案：A
根据对数的运算法则进行判断．
解：对任意.*m n N ∈，ln ,ln a m S b n S =∈=∈，ln ln ln()m n mn +=，显然*mn N ∈，拟
ln()mn S ∈，A 正确；
ln 2,ln 4S S ∈∈，1ln 2ln
4ln 2-=，而1*2N ∉，所以1
ln 2
S ∉，B 错误，
ln 4ln 4ln 22ln 2÷==，设ln 2k =，则2*k e N =∉，所以ln 4
ln 2
S ∉，D 错误，
又ln ,ln a m b n ==，但ln ln ab m n =⋅不能写成ln x 的形式，C 错误． 故选：A ．
【点睛】关键点点睛：本题考查对数的运算法则，解题关键是掌握对数的运算法则，对数的表示．解题方法是应用对数运算法则进行判断，
4．在平面直角坐标系中，下列不等式组表示的平面区域是一个锐角三角形的是（ ）．
A ．320
22010x y x y x y -+>⎧⎪
--<⎨⎪-+>⎩
B ．32022010x y x y x y -+>⎧⎪
--<⎨⎪+-<⎩
C ．320220210x y x y x y -+>⎧⎪
--<⎨⎪-->⎩
D ．320220310x y x y x y -+>⎧⎪
--<⎨⎪+-<⎩
答案：B
分别作出可行域一一判断即可． 解：A 中的区域不是三角形如图所示：
B 中的区域是锐角三角形如图所示：
C中的区域不是三角形如图所示：
D中的区域是钝角三角形如图所示：
由
320
220
x y
x y
-+=
⎧
⎨
--=
⎩
得
6
5
8
5
x
y
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
所以
68
,
55
A
⎛⎫
--
⎪
⎝⎭
由
320
310
x y
x y
-+=
⎧
⎨
+-=
⎩
得
1
6
3
2
x
y
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
所以
13
,
62
B
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
由
220
310
x y
x y
--=
⎧
⎨
+-=
⎩
得
4
7
5
7
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
所以
45
,
77
C
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
因为
3131623131313131
,,0 4214353521351435 CB CA
⨯⨯
⎛⎫⎛⎫
⋅=-⋅--=-< ⎪ ⎪⨯⨯
⎝⎭⎝⎭
所以C
∠为钝角．
故选：B
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）．
A ．
140
3
B ．
160
3
C ．64162+
D ．64322+
答案：D
复原后的几何体如图所示，利用公式可求其表面积.
解：
根据三视图可得如图所示的几何体， 该几何体的表面积为：
()()1111
4844842446432442482222
2⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯+⨯=+⨯⨯. 故答案为：64322+6．已知直线(12y kx a a =+<<与圆2
2
1x y +=相切，则2
a k ⎛⎫ ⎪⎝⎭
的取值范围是（ ）．
A ．()0,2
B ．()1.2
C ．()2,+∞
D ．()1,+∞
答案：C
由直线与圆的位置关系，得到2
2
1a k =+，变形22222
1111a a k a a ==+--后，计算2
2a k
的取值范围.
1=，即221a k =+，
22222
1111
a a k a a ==+--，()2
1,2a ∈，2111a ∴>-， 2
22a k
∴>. 故选：C
7．在ABC 中，“ABC 为钝角三角形”是“cos cos A B +>的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
答案：B
考虑两个条件之间的推出关系后可判断两者之间的条件关系.
解：取2,6
3A C B π
π==
=
，则121
cos cos 22
A B -+=<<
故“ABC 为钝角三角形”推不出“cos cos A B +>
若cos cos A B +>
若A 为钝角或直角，则cos cos B A >≥A 为锐角， 同理B 为锐角. 若2
A B π
+≥
，则02
2
B A π
π
<
-≤<
，故cos cos sin 2A B B π⎛⎫
≤-=
⎪⎝⎭
，
所以sin cos cos cos B B A B +≥+>4B π⎛⎫
+> ⎪⎝
⎭
. 故2
A B π
+<
即C 为钝角.
故“cos cos A B +>能推出“ABC 为钝角三角形”， 故选：B.
【点睛】方法点睛：条件关系的判断，可依据两者之间的推出关系或两者对应集合的包含关系，前者需要给出证明或反例，证明时注意根据问题的特征合理放缩.
8．已知()(),00P t t >，过抛物线2:4C y x =的焦点F 作直线交C 于A ，B 两点，若C 上存在点Q ，使得四边形PAQB 为平行四边形，则t （ ）． A ．是定值 B ．有最大值
C ．有最小值
D ．以上说法均不正确
答案：A
设直线:1AB x my =+，AB 的中点为M ，()()1122,,,A x y A x y ，联立直线方程和抛物线方程后可用m 表示Q ，从而可得2t =. 解：由抛物线方程可得：()1,0F
设直线:1AB x my =+，AB 的中点为M ，()()1122,,,A x y B x y
由241
y x x my ⎧=⎨=+⎩可得2440y my --=，故1
222y y m +=，所以212212x x
m +=+， 故()221,2M m m +，所以()
2
42,4Q m t m +-，
所以()
22
16442m m t =+-，2t =
故选：A.
9．数列{}n x 满足()112,n n n x x x n n +-=-≥∈N ，11x =，()2,0x a a a =∈≠R ，n T n x x +=，当T 取最小值时，该数列的前2021项的和是（ ）． A ．674 B ．673
C ．1348
D ．1347
答案：C
就1,2,3T =分类讨论，分析对应的周期数列是否存在，确认后利用周期性可求该数列的前2021项的和.
解：若1T =，则{}n x 为常数列，故211x x ==，此时310x x =≠，故1T =舍去. 若2T =，则311x x ==，故11a -=，故2a =或0a =（舍）. 故4121x =-=，但53110x x =-=≠，故2T =舍去.
若3T =，则31x a =-，4111x a a x =--==，5211x a x a =--==， 若1a ≥，则()11a a --=且()11a a --=， 整理得到2a a -=，解得1a =.
若01a <<，则()11a a --=且()11a a --=， 整理得到211a -=，无解.
又当1a =时，有211x x ==，30x =，41x =，51x =，60x =， 此时{}n x 确为周期为3的周期数列. 该数列的前2021项的和为2019
211=13483
⨯++， 故选：C.
【点睛】思路点睛：对于周期数列的问题，一般可以利用特值法结合给定的周期计算参数的值，根据所得的值再检验是否为周期数列.
10．如图，将矩形纸片ABCD 折起一角落()EAF △得到EA F '△，记二面角A EF D '--的大小为π04θθ⎛⎫
<<
⎪⎝
⎭
，直线A E '，A F '与平面BCD 所成角分别为α，β，则（ ）
．
A ．αβθ+>
B ．αβθ+<
C ．π2
αβ+> D ．2αβθ+>
答案：A
如图，过A '作A H '⊥平面BCD ，垂足为H ，过A '作A G EF '⊥，垂足为G ，可证
222sin sin sin αβθ+=，利用三角变换公式可证αβθ+>，从而可得正确的选项.
解：
如图，过A '作A H '⊥平面BCD ，垂足为H ，过A '作A G EF '⊥，垂足为G ， 设,,A G d A H h A EG γ'''==∠=，
因为A H '⊥平面BCD ，EF ⊂平面BCD ，故A H EF '⊥， 而A G A H A '''⋂=，故EF ⊥平面A GH '，而GH ⊂平面A GH '， 所以EF GH ⊥，故A GH θ'∠=， 又A EH α'∠=，A FH β'∠=. 在直角三角形A GE '中，sin d A E γ'=
，同理cos d A F γ
'=， 故
sin sin sin sin sin h h
d d αγθγγ
=
==，同理sin sin cos βθγ=， 故222sin sin sin αβθ+=，故2cos 2cos 21sin 22
αβ
θ--=， 整理得到
2cos 2cos 2cos 22
αβ
θ+=， 故
()()2cos cos cos 22
αβαβαβαβθ+--⎡⎤++-⎣⎦+
=，
整理得到()()2
cos cos cos αβαβθ+-=即()()
cos cos cos cos αβθ
θαβ+=-，
若αβθ+≤，由04
π
θ<<
可得()cos cos αβθ+≥即
()
cos 1cos αβθ
+≥，
但αβαβθ-<+≤，故cos cos αβθ->，即
()
cos 1cos θ
αβ<-，矛盾， 故αβθ+>. 故A 正确，B 错误.
由222sin sin sin αβθ+=可得sin sin ,sin sin αθβθ<<， 而,,αβθ均为锐角，故,αθβθ<<，22
π
αβθ+<<，故CD 错误.
故选：A.
【点睛】思路点睛：空间中不同类型的角的关系，应利用点线面的位置关系构建关于角的等式关系，注意平面几何、三角变换、解三角形等计算中的应用. 二、填空题
11．早在宋代，我国著名学者沈括编著的《梦溪笔谈》中，就有对排列组合问题的研究：在一个34⨯的棋盘中，布局4颗相同的棋子，且每一行只有1颗棋子，则不同的棋局总数为______． 答案：81
利用分步计数原理，计算结果.
解：如图所示，下图是一个4行3列的棋盘，若每行只有一个棋子，每颗棋子放在一行，都有3种方法，则共有4381=种方法.
故答案为：81
12．若正实数a ，b 满足2232b a ab ≥+，则162b a
a a b
++的最小值是______． 答案：
315
由已知不等式可解得
3b a ≥，换元，设b t a =，则所求式变形为16222
t t ++-+，利用函数16(0)y x x x =+>的单调性可得1622
y t t =+++的最小值，从而得结论．
解：因为正实数a ，b 满足2232b a ab ≥+，所以2
230b b a a ⎛⎫-⨯-≥ ⎪⎝⎭
，解得1b a ≤-或3b a ≥，而,a b 均为正数，所以
3b a ≥，设3b
t a =≥， 则162b a
a a
b +
+16162222
t t t t =+=++-++， 0x >时，由不等式168x x +≥，当且仅当4x =时等号成立知16
22
y t t =+++在[2,)+∞上单调递
增，又3t ≥，所以3t =时，1622y t t =+++取得最小值1641
555
+
=， 所以
162b a
a a
b ++的最小值是4131255
-=． 故答案为：31
5
．
【点睛】关键点点睛：本题考查用不等式求最小值，解题关键有两点：一是由由不等式得
3b
a
≥，二是换元后利用函数的单调性求得最小值．判断时注意基本不等式的条件．利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
13．已知平面单位向量a ，b 满足()()31a b c λλλ+-=∈R ，a c b c ⋅=⋅，记θ为向量2a c -与
a 的夹角，则sin cos tan θθθ++的最小值是______．
答案：
43
20
设,OA a OB b ==，3,2OF
OA OE OA ==，OD
OA OB =+，由()31a b c λλ+-=可得C 点在直
线BF 上运动，由a c b c ⋅=⋅可得C 点在直线OD 上运动，即C 点是BF 与OD 的交点，然后过点
C 作//CM OB 交OA 于点M ，可得3
4
CM =
，然后向量2a c CE -=与a OA =的夹角θ为角OEC ∠，在CME △中，由正弦定理可得33
sin sin sin 55
MC MCE MCE ME θ=∠=∠≤，然后利用三角函数的单调性可求出答案.
解：如图所示，设,OA a OB b ==，3,2OF
OA OE OA ==，OD
OA OB =+
因为()31a b c λλ+-=，所以()1OF OB OC λλ+-=
所以C 点在直线BF 上运动，
又因为a c b c ⋅=⋅，所以C 点在直线OD 上运动， 故C 点是BF 与OD 的交点．
利用相似可知
33
14OC OF OC CD BD OD ==⇒=，过点 C 作//CM OB 交OA 于点M 所以34CM =，故点C 的轨迹是以M 为圆心，半径为3
4
的圆．
又因为向量2a c CE -=与a OA =的夹角θ为角OEC ∠，
在CME △中，35,44MC ME =
=，由正弦定理可得sin sin MC ME
MCE
θ=∠ 所以33
sin sin sin 55
MC MCE MCE ME θ=∠=∠≤ 因为sin cos θθ+与tan θ都单调递增，
所以当3sin 5θ=
时sin cos tan θθθ++最大，此时4cos 5θ=，3
tan 4
θ= 所以sin cos tan θθθ++的最大值为34343
55420
++=
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用向量的知识找出点C 的位置，然后利用正弦定理定理和三角函数的知识求解. 三、双空题
14．过点()1,2P 的直线l 在坐标轴上的截距相等，则l 的方程是______，原点到l 的距离是______．
答案：2y x =，3y x =- 0，
2
根据条件分直线过原点和直线不过原点两种情况，求直线方程，并直接求点到直线的距离. 解：当直线过原点时，y kx =过点()1,2P 时，2k =，即2y x =， 此时原点到直线l 的距离为0； 当直线不过原点时，设直线
1x y
a a +=，当直线过点()1,2P 时，121a a
+=，得3a =， 即直线方程是3x y +=，即3y x =-，
此时原点到直线的距离
2d =
=.
故答案为：2y x =，3y x =-；0
15．若函数()()π
sin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛
⎫
=+>><<
⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，
则A =______，()0f =______．
答案：
22
3
23
由周期确定ω，由零点确定ϕ，再由2f π⎛⎫
⎪⎝⎭
确定A ．然后计算． 解：由题意11722()12123T πππ=-=，所以23
23
π
ωπ==，又7312k πϕπ⨯+=，k Z ∈，而02
πϕ<<，所以4
π
ϕ=
，
32
()sin()2243f A πππ=+=-，223
A =．所以222(0)343f π==． 222
3． 【点睛】关键点点睛：本题考查由函数图象确定函数解析式，解题关键是掌握“五点法”，一般由五点法确定周期，求得ω，由五点法中的五点确定ϕ，由点的坐标或最值确定A ．
16．在1，2．3，…9这9个自然数中，任取3个数，其中恰有1个偶数的概率是______（用数字作答），记ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时ξ的值是2），则()21E ξ+=______． 答案：
1021
7
3
（1）由古典概型概率公式计算可得结果；
（2）由题意可得ξ的取值为0，1，2，结合变量对应的事件写出概率和分布列，算出期望，进而
得到结果．
解：（1）记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A ，则P （A ）12453
910
21
C C C ==． （2）随机变量ξ的取值为0，1，2，
2ξ=的情况：123、234、345、456、567、678、789，共7种可能，
1ξ=的情况：12(49)-，89(16)-，有6212⨯=种；
23(59)-，34(1,69)-，78(15)⋯-，有5630⨯=种；
总共42种，
0ξ=的情况：3974235C --=种，
故39355(0)12P C ξ==
=，39421(1)2P C ξ===，3971
(2)12
P C ξ===， 所以ξ的分布列为
所以ξ的数学期望为012122
123
E ξ=⨯
+⨯+⨯=． ∴()27
212133E ξ+=⨯
+= 故答案为：1021；7
3
．
【点睛】关键点点睛：本题第二问在处理0ξ=的情况时，采用了正难则反的策略，降低了运算量.
17．已知0a ≠，函数()01,0
x f x x x ⎧>⎪=⎨
+≤⎪⎩，则()()f f x 的零点个数是______，若实数a 满足()()f f a a ≥，则a 的取值范围是______．
答案：当0a >时，1个零点，当0a <时，0个零点 [)
[)2,01,-+∞
根据()f x 的解析式讨论()()0,0f x f x >≤分类求解即可，然后分0a >、0a <两种情况解不等式()()f
f a a ≥即可．
解：令()()0f
f x =，当()0f x >时，有0=，因为0a ≠，则x 无解；
当()0f x ≤时，有()10f x +=，得()1f x =-，若0,0x a >>
，则1=-，x 无解； 若0,0x a ><
，则1=-，21
x a
=
一个解；若0x ≤时，则11x +=-，x 无解； 当0a >时，(
)0f a =>，所以()(
)f
f a a =≥，解得1a ≥，
当0a <时，()10f a a =+≥，若()10f a a =+>，则()(
)f f a a =，解得20
a -≤<且1a ≠-；
若1a =-，()10f a a =+=，则()()()011f f a f a ==≥=-成立；
所以a 的取值范围是[)
[)2,01,-+∞
故答案为：当0a >时，1个零点，当0a <时，0个零点；[)
[)2,01,-+∞．
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于要分类讨论()()0,0f x f x >≤与0a >、0a <求解． 四、解答题
18．已知函数()2
2ππsin sin 124f x x x ⎛
⎫⎛⎫=+
-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
． （1）求()f x 的极值点； （2）若θ∈R ，()1
3
f θ=
，求sin 2θ． 答案：（1）()f x 的极大值点为()5π
π12x k k =-
+∈Z ，极小值点为()ππ12
x k k =+∈Z ；（2
）. （1）利用二倍角公式，两角和与差的余弦、正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后求导数，得出极值点．
（2）由同角间的三角函数关系，两角差的正弦公式求值． 解：解：（1）()2
2ππsin sin 124f x x x ⎛
⎫⎛⎫=+
-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭ ππ1cos 21cos 26222
x x ⎛⎫⎛
⎫-+-+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭=-
1π1π1cos 2cos 2sin 2222264x x x x ⎛⎫⎛
⎫=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
1πsin 223x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
∴()1
ππcos 22cos 22
33f x x x ⎛⎫⎛⎫'=-⨯+
⨯=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 令()πcos 203f x x ⎛
⎫'=-+= ⎪⎝
⎭，∴ππ2π32
x k +=+， 即()ππ
122
k x k =
+∈Z ， 因为()f x 在()5πππ,π1212k k k ⎛⎫
-
++∈ ⎪⎝⎭
Z 上单调递减，
()f x 在()π7ππ,π1212k k k ⎛⎫
++∈ ⎪⎝⎭
Z 上单调递增，
故()f x 的极大值点为()5π
π12x k k =-
+∈Z ，极小值点为()ππ12
x k k =+∈Z ． （2）∵()1π1sin 2233f
θθ⎛⎫=-
+= ⎪⎝⎭，∴π2sin 233θ⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭， ∵θ∈R ，∴π5
cos 233
θ⎛⎫+
=± ⎪
⎝
⎭， ∴ππ1π3π215sin 2sin 2sin 2cos 233233θθθθ⎡⎤-±⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+
-=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎣⎦． 【点睛】关键点点睛：本题考查求函数的极值点，考查两角差的正弦公式求值．解三角函数问题，一般要把化为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质可求解．
19．等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，AD CD CB ==，矩形ACFE 满足：平面ACFE ⊥平面
ABCD ，1
2
AE AD AB ==
，如图所示．
（1）求证：BC ⊥平面ACFE ：
（2）求二面角B EF D --的余弦值． 答案：（1）证明见解析；（2
）
10
10
. （1）在等腰梯形ABCD 中易证BC AC ⊥，结合面面垂直性质可得线面垂直；
（2）以CA ，CB ，CF 分别为x ，y ，z 轴建立直角坐标系，求出两个半平面的法向量，代入公式可得结果.
解：解：（1）在等腰梯形ABCD 中，
不妨设1AD CD CB ===，可知BC AC
⊥，
平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ⋂平面ABCD AC =， 所以BC ⊥平面ACFE ．
（2）以CA ，CB ，CF 分别为x ，y ，z 轴建立直角坐标系如图，
()0,0,0C ，()0,1,0B ，()0,0,1F ，31,02
2D ⎛⎫
-
⎪⎝⎭，)
3,0,1E ，
所以()
3,0,0EF =-，()0,1,1BF =-，31,12DF ⎛⎫
=-
⎪ ⎪⎝⎭
分别设平面BEF 与平面DEF 的法向量为()1111,,n x y z =，()2222,,n x y z =，
所以()111111111
3010,1,101
x n EF y n n BF y z z =⎧⎧⋅=-=⎪⎪
⇒=⇒=⎨
⎨⋅=-+=⎪⎩⎪=⎩，
2222222222030
110,1,320122x n EF y n y n DF x z z ⎧
⎪=⎧⋅=-=⎪⎪⎛⎫⇒=⇒=-⎨⎨ ⎪⎝⎭⋅=-++=⎪⎪⎩⎪=-
⎩
， 设二面角为θ，且为锐角，所以121210
cos 10
n n n n θ⋅=
=⋅．
【点睛】方法点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
20．已知数列{}n a ，{}n b 满足：11a =，121n n a a n ++=+，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，
123
2n S n bb b b =．
（Ⅰ）求n a 与n b ；
（Ⅱ）求证：3
12123
4n
n
S S S S b b b b +
+++
<． 答案：（Ⅰ）n a n =，2n
n b =；（Ⅱ）证明见解析.
（Ⅰ）由已知凑配出数列{}n a n -是常数列，从而易得其通项公式，求出n a 后可得n S ，利用相除的求得n b ； （Ⅱ）求出
n n
S b ，用错位相减法求得和3
12123n
n
S S S S b b b b +
+++
，需两次运用错位相减法求和，再结合不等式的性质可证明．
解：（Ⅰ）解：由11a =，121n n a a n ++=+
()()()()111110n
n n a n a n a +⇒-+=--=--=得n a n =，
所以()
12
n n n S +=， 又123
2n S n bb b b =，所以1122S b ==，
当2n ≥时，11231231
22n n S S n n
n n b b b b b b b b b ---=
==，
上式对1n =也成立，所以2n
n b =．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得()1
12k k k k k S b ++=， 所以()
3
122341
123
11223342222
n n n n n n S S S S T b b b b ++⨯⨯⨯=
++++
=++++
， ()()3451
2
1111223342222
22n n n n n n n T ++-+⨯⨯⨯=++++
+，
错位相减得()23
211
123222222
n n n n n n T ++=++++- （） 记231232222n n n C =
++++，则234111*********n n n n n
C +-=+++++， 错位相减得23111111111122222222
n n n n n n n
C ++=++++-=--<，
所以2n C <代入（）得
()()2322
111123
222222
222
n n n n n n n n n T ++++=++++
-<-<， 所以4n T <，即
3
12123
4n
n
S S S S b b b b ++++
<． 【点睛】关键点点睛：本题考查数列通项公式的求法，考查错位相减法求和．
数列求和的常用方法：公式法，错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法，倒序相加法等．
21．如图，已知直线AB 为椭圆221:12
x C y +=与抛物线()2
2:20C y px p =>的公切线，其中点
A ，
B 分别在1
C ，2C 上，线段OB 交1C 于点P ．
（Ⅰ）求OP 的取值范围；
（Ⅱ）记ABP △的面积为S ，求S 的最小值．
答案：（Ⅰ
）(；（Ⅱ）min 4
3
S =
. （Ⅰ）设()00,P x y
，(0x ∈
，易得(OP ==； （Ⅱ）设():0AB y kx b k =+≠，与椭圆联立由10∆=可得点A 的横坐标12k
x b
-=；与抛物线联立由20∆=可得点B 的横坐标2b x k
=
，由弦长公式求得b AB k =+.由点B 的横坐标2b
x k
=
可得点B 的纵坐标22y b =，进而可得OB 的方程，联立直线OB 与椭圆方程可得()00,P x y ，再由点到直线距离公式求得P 到AB 的距离d ，最后可把△ABP 的面积S 表示为k 的
函数，结合均值不等式可求得S 的最小值.
解：（Ⅰ）解：设()00,P x y ，22
00
12
x y +=
，(0x ∈，
(OP ===.
（Ⅱ）解：由题可知，AB 斜率存在，且不为0， 设():0AB y kx b k =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，
联立()
222
2
2
21422012
y kx b k x kbx x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， ()()()2
22221442122021kb k b b k ∆=-+-=⇒=+，122221kb k
x k b
--=
=+，
联立()222
2
202y kx b k x kb p x b y px
=+⎧⇒+-+=⎨
=⎩， ()2
2224402kb p k b p bk ∆=--=⇒=，222p kb b
x k k
-=
=，22y b =，2OB k k =，
12b b
AB x k k
=-==+，
联立222201141222x y k x x y kx ⎧+=⎪⎛⎫⇒+=⇒=⎨ ⎪⎝⎭⎪=⎩
，0y =，
因此，P到AB
的距离
d=
，
∴
12
2
k
S b
b
=++=，
因此
11
4
2
S k
k
=+-，
∵
1
44
k
k
+≥
22
2
1
2143
23
24
k k
k
+++
≤=+，
∴
144
4
233
S
⎛⎫
≥-=
⎪
⎝⎭
，
当
1
2
k=，
min
4
3
S=．
【点睛】思路点睛：
与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：
（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；
（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；
（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围；
（4）利用代数基本不等式：代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；
（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性.：直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式. 因此，它们的应用价值在于：①通过参数简明地表示曲线上点的坐标；②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题；
（6）构造一个二次方程，利用判别式求解.。

22．定义：函数()
m x，()
n x的定义域的交集为D，A D
⊆，若对任意的
x A
∈，都存在
12
,x x D
∈，
使得1x ，0x ，2x 成等比数列，()1m x ，()0n x ，()2m x 成等差数列，那么我们称()m x ，()n x 为
一对“K 函数”，已知函数()ln 4a x f x a =
，()g x ax =，0a >． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）求证：()(44a f x ≥； （Ⅲ）若[)1,A =+∞，对任意的a S ∈，()f x ，()g x 为一对“K 函数”，求证：)
41,S e ⎡⊆⎣．（e 为自然对数的底数）
答案：（Ⅰ）在20,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在2,4a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上递增；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）证明见解析. （Ⅰ）求出()f x '，讨论其符号后可得函数()f x 的单调区间.
（Ⅱ）根据（Ⅰln
24
a ≥，构建新函数后利用导数可证后者成立.
（Ⅲ）因为对任意[)01,x ∈+∞，存在()12,0,x x ∈+∞，使得2120x x x =且 ()()()1202f x f x g x +=，化简后利用（Ⅱ）中的不等式结合特值法可得22ln 2a a a ≥+，利用
导数可估计该不等式的解对应的区间的长度，从而可证明)
41,S e ⎡⊆⎣.
解：解：（Ⅰ）()
44a a f x x x
'=-=， 当204x a <<时，()0f x '<；当24
x a >时，()0f x '>， ∴()f x 在20,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在2,4a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上递增． （Ⅱ）由（Ⅰ）得()2
ln 4
244a a a a f x f ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭，
要证()(444a f x a ≥-=-ln 24a ≥，
设函数()ln h x x =，()11h x
x
x '==， 当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>，
故()h x 在()0,1为减函数，在()1,+∞上为增函数，
故()()min 12h x h ==，即ln 2x ≥恒成立，
ln 2ln 244
a a =≥，
综上，()(44a f x ≥． （Ⅲ）由题设，对任意[)01,x ∈+∞，存在()12,0,x x ∈+∞，
使得2120x x x =，且()()()1202f x f x g x +=，
而()()012122ln ln 42x x x a a f x f x a a +=
=，
00ln 22x a ax a
=.
法一：由（Ⅱ）得1ln 2ln 12
x x ≥⇒
+， ∴000120122ln ln 2ln ln 222x x a a ax x x x a a
≥+-=+-． 令01x =，则22ln 2
a a a ≥+， 令()2ln 22a l a a a =--，()113ln 2ln 222a l a a -'=--=， ∴()l a 在()30,e 上递增，在()3,e +∞上递减，
又()10l =，()44422220l e e e =--=-<，()333331222022
l e e e e =--=->， 由零点存在性定理得存在3x （34
3e x e <<），使得()30l x =， 故不等式22ln 2
a a a ≥+的解为()34331a x e x e ≤≤<<． 故(
41,S e ⎤⊆⎦，证毕．
≥=
故002ln 2x a ax a
≥， 令01x =，则22ln 2
a a a ≥+， 同法一，有不等式22ln 2
a a a ≥+的解为()34331a x e x e ≤≤<<． 故(
41,S e ⎤⊆⎦，证毕． 【点睛】思路点睛：函数不等式的证明，一般是构建新函数，通过导数讨论新函数的最值从而不等
式得到证明，而对于多变量的等式，要求某一个参数的取值范围，则需通过放缩法、特殊值法等手段构建关于参数的不等式，再结合导数讨论对应函数的性质，从而得到所需的范围.。