单纯形方法（SimplexMethod）Matlab仿真详解

单纯形方法（SimplexMethod）Matlab仿真详解
最近在上最优理论这门课，刚开始是线性规划部分，主要的方法就是单纯形方法，学完之后做了一下大M 算法和分段法的仿真，拿出来与大家分享一下。

单纯形方法是求解线性规划问题的一种基本方法。

单纯形方法基本步骤如下：1）将所给的线性规划问题化为标准形式：min ()..0
T
f x c x s t Ax b
x ==≥
s.t.是英文subject to 的简写，意思是受约束，也就是说第一个方程（目标函数）受到后面两个方程的约束。

对于求最大值问题可以将目标函数加负号转换为最小值问题。

max ()min ()T T f x c x f x c x =?=-
其他的问题就是将实际问题中的不等式约束改为等式约束，主要方法是引进松弛变量和剩余变量，以及将自有变量转换为非负变量。

①对于不等式
1
b ,1,2,n
ij j
i j a x
i m =≤=∑ ，
引入松弛变量将其变为等式形式如下：
1
b ,1,2,0,
1,2,n
ij j
n i i j n i a x
x i m
x i m
+=++==≥=∑
②对于不等式
1
b ,1,2,n
ij j
i j a x
i m =≥=∑ ，
引入剩余变量将其变为等式形式如下：
1
b ,1,2,0,
1,2,n
ij j
n i i j n i a x
x i m
x i m
+=+-==≥=∑
③若变量为自有变量（可取正、负或零，符号无限制），则引入两个非负变量将其表示如下：
j j j j j x x x x x '''?=-?
'≥??''
≥? 2）找出一个初始可行基B ，作出单纯形表，这里假设输入的线性规划问题已经有初始可行基。

0T c S A b ??=
3）测试所有的检验数（目标函数的系数C ），记录检验数中的正数，若全部小于等于0，则
已经找到最优解，计算终止。

否则转至4）。

4）测试所有为正的检验数，若在单纯性表中，其所在的列中其他元素全部小于等于0，则此问题无最优解，计算终止，否则转至5）。

5）找出检验数中的最大值，此最大值元素所在列为A(i,:)，令约束条
件中约束向量b 与A(i,:)的比值为向量r ，向量r 中为正的最小值为h ，计算过程如下图。

S 单纯形表 X1 X2 X3 X4 X5 f （检验数） 5 10（最大值） 0
0 0 0 X3 1/14 1/7 1 0 0 1 X4 1/7 1/12 0 1 0 1 X5
1
1
1
8
表格中黄色部分组成的向量点除（对应元素相除）红色部分，得到向量（7,12,8），那么7就是我们要找的那个元素，此时记录元素大小h 和坐标(i,j)，注意是在S 表中行号和列号，此处是2和2（如果有多个相等的最小值则任取一个即可）。

这个元素1/7就是所谓的转轴元（或称基本元），找到他之后要围绕他进行一系列的行变换，称之为换基。

步骤如下：
①使转轴元变为1，方法很简单，就是让本行所有元素同时除以转轴元1/7。

②把转轴元所在列的其他元素都变为0，做法是通过一个循环，遍历每一个行（自身所在行除外），每行中与转轴元同列的元素为a ，令每行减去转轴元所在行的第a 倍即可。

转至3）。

理论部分到此为止，大家有不懂的再去百度或者查书吧。

matlab 仿真程序编写: 此程序假设输入的问题已经有了基本可行解！%Simplex Method
function [x,y]=Simplex(f,A,b)
%输入f 是检验数的数组，1*n 维 %输入A 是约束矩阵， m*n 维 %输入b 是约束向量， 1*m 维 %输出x 是解向量 %输出y 是最优解%判断输入维数是否相符
%做初始单纯形表
format rat %将结果以分数表示
S=[f 0;A b'];
[n,m]=size(S);
%判断检验数r<=0
r=find(f>0);
len=length(r);
%有大于0的检验数则进入循环
while(len)
%检查非负检验数所对列向量元素是否都小于等于0 for k=1:length(r)
d=find(S(:,r(k))>0);
if(length(d)+1==2)
error('无最优解')
%break;
end
end
%找到检验数中最大值
[Rk,j]=max(S(1,1:m-1));
%b与最大值所在列的比值
rb=S(2:n,m)./S(2:n,j);
%把比值中的负数都变无穷，便于寻找最小正值
for p=1:length(rb)
if(rb(p)<0)
rb(p)=Inf;
end
end
[h,i]=min(rb);%列向量比值最小值
% i+1为转轴元行号(在S中)，j为转轴元列号
i=i+1;
%进行换基,转轴元置1
S(i,:)=S(i,:)./S(i,j);
%转轴元所在列其他元素都置0
for k=1:n
if(k~=i)
S(k,:)=S(k,:)-S(i,:)*S(k,j);
end
end
%判断检验数r<=0
r=find(S(1,1:m-1)>0);
len=length(r);
end
%检验数全部非正，找到最优解
%初始化解向量，非基变量置0
x=zeros(1,m-1);
for i=1:m-1
%找到基变量，每列中只有一个1，其他全为0，则1为基变量j=find(S(:,i)==1);%每列中1的个数
k=find(S(:,i)==0);%每列中0的个数
if((length(j)+1==2)&&(length(k)+1==n))
%i为基变量列号，j是行号
x(i)=S(j,m);%基变量的值为S表基变量所在行最右端的值end end
y=S(1,m);%最优解为检验数所在行最右端的数
S
end。