数字信号处理复习资料(答案)

一、 填空题
1、 对模拟信号（一维信号，是时间的函数）进行采样后，就是 离散 信号，再进行幅度量化后就是 数字 信号。

2、若线性时不变系统是有因果性，则该系统的单位取样响应序列h(n)应满足的充分必要条件是 当n<0时，h(n)＝0 。

3、序列)(n x 的N 点DFT 是)(n x 的Z 变换在 单位圆 的N 点等间隔采样。

4、)()(5241n R x n R x ==，只有当循环卷积长度
L ≥8 时，二者的循环卷积等于
线性卷积。

5、已知系统的单位抽样响应为h(n)，则系统稳定的充要条件是
()n h n ∞
=-∞
<∞
∑
6、巴特沃思低通滤波器的幅频特性与阶次N 有关，当N 越大时，通带内越_平坦______，过渡带越_窄___。

7、用来计算N ＝16点DFT ，直接计算需要__（N 2）16*16＝256_ __次复乘法，采用基2FFT 算法，需要__(N/2 )×log 2N ＝8×4＝32_____ 次复乘法。

8、无限长单位冲激响应（IIR ）滤波器的基本结构有直接Ⅰ型，直接Ⅱ型，_级联型____和 _并联型__四种。

9、IIR 系统的系统函数为)(z H ，分别用直接型，级联型，并联型结构实现，其中
并联型 的运算速度最高。

10、数字信号处理的三种基本运算是： 延时、乘法、加法 11、两个有限长序列
和
长度分别是
和
，在做线性卷积后结果长度
是__N 1＋N 2－1_____。

12、N=2M 点基2FFT ，共有__ M 列蝶形，每列有__ N/2 个蝶形。

13、线性相位FIR 滤波器的零点分布特点是 互为倒数的共轭对
14、数字信号处理的三种基本运算是： 延时、乘法、加法
15、在利用窗函数法设计FIR 滤波器时，窗函数的窗谱性能指标中最重要的是___过渡带宽___与__阻带最小衰减__。

16、_脉冲响应不变法_设计IIR 滤波器不会产生畸变。

17、用窗口法设计FIR 滤波器时影响滤波器幅频特性质量的主要原因是主瓣使数字滤
波器存在过渡带，旁瓣使数字滤波器存在波动，减少阻带衰减。

18、单位脉冲响应分别为
和
的两线性系统相串联，其等效系统函数时域及
频域表达式分别是h(n)=h 1(n)*h 2(n),
=H 1(e j ω)×H 2(e j ω)。

19、稳定系统的系统函数H(z)的收敛域包括 单位圆 。

20、对于M 点的有限长序列x(n)，频域采样不失真的条件是 频域采样点数N 要大于时域采样点数M 。

二、 选择题
1、下列系统（其中y(n)为输出序列，x(n)为输入序列）中哪个属于线性系统？( D )
A. y(n)=x 3(n)
B. y(n)=x(n)x(n+2)
C. y(n)=x(n)+2
D. y(n)=x(n 2)
2、有限长序列h(n)(0≤n ≤N-1)关于τ=
2
1-N 偶对称的条件是( B )。

A. h(n)=h(N-n)
B. h(n)=h(N-n-1)
C. h(n)=h(-n)
D. h(n)=h(N+n-1) 3、下列关于窗函数设计法的说法中错误的是( D )。

A.窗函数的截取长度增加，则主瓣宽度减小，旁瓣宽度减小
B.窗函数的旁瓣相对幅度取决于窗函数的形状，与窗函数的截取长度无关
C.为减小旁瓣相对幅度而改变窗函数的形状，通常主瓣的宽度会增加
D.窗函数法不能用于设计FIR 高通滤波器
4、因果FIR 滤波器的系统函数H(z)的全部极点都在( A )处。

A.z = 0 B.z = 1 C.z = j D.z =∞
5、以下序列中周期为5序列是（ D ）。

A.)8
53cos(
)(π
+
=n n x B.)
8
5
3sin(
)(π
+
=n n x C )
8
5
2(
)(π
+
=n j e
n x D.)8
52()(π
π+=n j e
n x
6、已知某序列z 变换的收敛域为|z|<1，则该序列为( C )。

A ．有限长序列
B.右边序列
C.左边序列
D.双边序列
7、序列)1()(---=n u a n x n ，则)(Z X 的收敛域为（ A ）。

A.a Z <
B.a Z ≤
C.a Z >
D.a Z ≥
8、在对连续信号均匀采样时，要从离散采样值不失真恢复原信号，则采样周期T s 与信
号最高截止频率f h 应满足关系( D )。

A. T s >2/f h
B. T s >1/f h
C. T s <1/f h
D. T s <1/(2f h )
9、)()(101n R n x =，)()(72n R n x =，用DFT 计算二者的线性卷积，为使计算量尽可能的少，应使DFT 的长度N 满足（ B ）。

A.16>N B.16=N C.16<N D.16≠N 10、线性相位FIR 滤波器有几种类型（ D ） 。

A 1 B 2 C 3 D 4
11、在IIR 数字滤波器的设计中，用哪种方法只适合于片断常数特性滤波器的设计。

（ B ）
A.脉冲响应不变法
B.双线性变换法
C.窗函数法
D.频率采样法 12、下列对IIR 滤波器特点的论述中错误的是( C )。

A ．系统的单位冲激响应h(n)是无限长的 B.结构必是递归型的
C.肯定是稳定的
D.系统函数H(z)在有限z 平面（0<|z|<∞）上有极点 13、有限长序列h(n)(0≤n ≤N-1)关于τ=
2
1-N 偶对称的条件是( B )。

A. h(n)=h(N-n)
B. h(n)=h(N-n-1)
C. h(n)=h(-n)
D. h(n)=h(N+n-1) 14、下列关于窗函数设计法的说法中错误的是( D )。

A.窗函数的截取长度增加，则主瓣宽度减小，旁瓣宽度减小
B.窗函数的旁瓣相对幅度取决于窗函数的形状，与窗函数的截取长度无关
C.为减小旁瓣相对幅度而改变窗函数的形状，通常主瓣的宽度会增加
D.窗函数法不能用于设计FIR 高通滤波器
15、对于傅立叶级数而言,其信号的特点是( A )。

A. 时域连续非周期，频域连续非周期 B. 时域离散周期，频域连续非周期
C. 时域连续周期，频域离散非周期
D. 时域离散非周期，频域连续周期
三、判断题
1．线性系统必是移不变的。

( F )
2．两序列的z 变换形式相同则这两序列也必相同。

( F )
3．只要找到一个有界的输入，产生有界输出，则表明系统稳定。

( F ) 4．按时间抽取的基-2FFT 算法的运算量等于按频率抽取的基-2FFT 算法。

( T ) 5．FFT 可用来计算IIR 滤波器，以减少运算量。

( F )
6．两序列的z 变换形式相同则这两序列也必相同。

( F ) 7．双线性变换法的频率座标变换是线性关系。

( F ) 8．计算N ×N 点二维DFT 可用N 个N 点FFT 去完成。

( F ) 9．脉冲响应不变法不能设计高通数字滤波器。

( T )
10．双线性变换法是非线性变换，所以用它设计IIR 滤波器不能克服频率响应混叠效应。

( F )
四、画图题
1、已知有限序列的长度为8，试画出基2 时域FFT 的蝶形图，输出为顺序。

x(0)
x(4)
x(2)
x(6)
x(1)
x(5)
x(7)
A(0)
A(0)
N
或
W W W W N 0 N 0 N 0 0 ---W W W N
0 N
2 N
0 2 ----W W W W N N N
1 2 3 . . . . .
x (0) x (4) x (2)
x (6) x (1)
x (5) x (3) X(0)
X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X(6)
2、已知有限序列的长度为4，试画出基2 时域FFT 的蝶形图，输出为顺序。

x (2) x (1)
x (0) x (3)
3、已知系统)
2(6
1)1(3
1)(61)2(5
1)1(15
14)(-+
-+
+
--
-=n x n x n x n y n y n y ，用直接Ⅱ型结
构实现。

解：2
1
2
1
2
1
212.09333.011667.03333.01667.0628305105)(--------+-++=
+-++=z
z
z
z
z
z z
z
z H
4、已知滤波器单位取样响应为⎩
⎨⎧≤≤=其它,05
0,2.0)(n n h n ,求其直接型结构流图。

1
-z
1
-z
1
-z
1
-z
1
-z
五、 计算证明题 1、
设某线性时不变离散系统的差分方程为 10(1)()(1)()3
y n y n
y n x n --
++=，试求
它的单位脉冲响应。

它是不是因果的？它是不是稳定的？
0.1667
解：
对上式两边取Z 变换，得：
极点：
当ROC ：|z|>3时，系统因果不稳定，
；
当ROC ：1/3<|z|<3时，系统非因果稳定，
；
当ROC ：|z|<1/3时，系统非因果不稳定，。

2、设)]([)(n x DFT k X =,)(n x 是长为N 的有限长序列。

证明： 如果00(),1()(=---=）则X n N x n x
证明：
)()()
1()()()()0(1
2
1
2
m
n 1N 1
2
1
20
1
01
∑∑∑∑∑∑-=-==-=
-=-=-==-=
−−−−→−---==
=
N m N
n N N n N
n N n N
N n m x n x n N
x n x n x W
n x X －－令
3、已知模拟滤波器传输函数为2
35)(2
++=
s s s H a ，设s T 5.0=，用脉冲响应不变法和双
线性变换法将)(s H a 转换为数字滤波器系统函数)(z H 。

解：
用脉冲响应不变法（令)()(nT Th n h a =）将)(s H a 转换为数字滤波器系统函数)(z H 。

1
1
1
31
22231.015.13679.015.11313)(--------
-=
--
-=
z
z
z
e
T z
e
T z H T
T。

用双线性变换法将)(s H a 转换为数字滤波器系统函数)(z H 。

2
1
2
1
2
1
211142.09333.011667.03333.01667.0628305105)()(1
1--------+-=+-++=
+-++=
=--z
z
z
z
z
z z
z
s H z H z
z s a 。

4、一个具有广义线性相位的FIR 滤波器具有如下性质： （1） h （n ）是实的，且n ＜0和n ＞5时h （n ）=0。

（2） 5
(1)()0n n h n =-=∑。

（3） 在j π/40.7e z =处()H z 等于零。

（4） j (e )d 4H π
ωπ
ωπ-=⎰。

试求该滤波器的()H z 。

(P224 6.4题)
解：由（1）可知，系统函数
5
()()n
n H z h n z
-==
∑
由（2）可知，当z ＝－1时，5
5
()()(1)
()(1)
n
n
n n H z h n h n -===
-=
-∑∑
所以，系统函数有零点z 1＝-1
根据线性相位滤波器零点分布特点，由（3）可得零点
/4
/4
/4
/4
2345110.7, 0.7, , 0.7
0.7
j j j j z e
z e
z e
z e
ππππ--===
=
因此，滤波器的系统函数H （z ）可表示为：
/4
1/4
1
/4
1
/4
11
11()(10.7)(10.7)(1)(1)(1)0.7
0.7
j j j j H z A e
z e
z e
z e
z z ππππ-------=---
-
+
其中，Ａ为多项式的零阶系数，A ＝h （0）
由（4）可得，(0)2h =，即A ＝2
所以
/4
1/4
1
/4
1
/4
11
1
2
1
2
1
11()2(10.7)(10.7)(1)(1)(1)
0.7
0.7
2 (10.49)(1)(1)
0.49
j j j j H z e z e
z e
z e
z z z
z z ππππ------------=---
-
+=
-+-++
5、用矩形窗口设计法设计一个FIR 线性相位低通数字滤波器，已知ωc=0.5π，
N=21。

解：写出理想的频响，求得理想冲激响应为
计算得
加矩形窗
所以
4、根据下列技术指标，设计一个FIR 低通滤波器。

通带截止频率ωp=0.2π，通带允许波动A p=0.25dB ； 阻带截止频率ωs=0.3π，阻带衰减A s=50dB 。

解：查表可知，海明窗和布拉克曼窗均可提供大于50dB 的衰减。

但海明窗具有较小的过渡带从而具有较小的长度N 。

据题意，所设计的滤波器的过渡带为
0.30.20.1
s p ωωωπππ∆=-=-
=
利用海明窗设计的滤波器的过渡带宽8/N ωπ∆=，所以
8880
0.1N ππω
π
=
==∆
理想低通滤波器的截止频率为
0.25
2s p
c ωωωπ+=
=
理想低通滤波器的单位脉冲响应为
s i n [()]1()
()2c d n N h n n ωα
απα--=
=-
海明窗为
2()[0.54
0.46c o s ()]()
1
N
n
n R n N πω=--
则所设计的滤波器的单位脉冲响应为
sin[()]
2() [0.540.46cos(
)](n) N 80
()
1
c N n n h n R n N ωαππα-=
-=--
所设计的滤波器的频率响应为
1
0()() N j j n
n H e
h n e
ω
ω--==
∑
5、一个数字低通滤波器的截止频率为ωc=0.2π，令采样频率f s =1 kHz 。

（1）如果用脉冲响应不变法来设计，问相应的模拟低通滤波器的截止频率f c 为多少？ （2）如果用双线性变换法来设计，问相应的模拟低通滤波器的截止频率f c 为多少？
解：
（1）相应的模拟低通滤波器的截止频率
/0.21000
200c c s
r a d /s
T ωππΩ==⨯= 而
1002c c H z f π
Ω=
=
（2）相应的模拟低通滤波器的截止频率
2649.84c
c t a n
r a d /s
2
s
T ωΩ== 而 10.42c c H z
f π
Ω==。