有理数及其运算教案

体系搭建
一、知识框架
二、知识概念
1、有理数的定义及分类
（1）有理数：整数与分数统称为有理数。

有理数按照符号分类可以分为正有理数、0、负有理数；按照定义分类可以分为整数、分数。

2、数轴、相反数和绝对值
（1）数轴的概念：画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，这样的直线叫做数轴，如下图所示：
数轴三要素：原点、正方向、单位长度。

三者缺一不可。

任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。

（2）相反数的概念：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。

特别地，0的相反数为0。

两个数互为相反数，那么这两个数之和为0。

（3）绝对值的概念：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。

一个数的绝对值可以表示为下式，可以看出绝对值的一个重要性质就是非负性,对于任意实数a，有|a |≥0
3、倒数
倒数的概念：乘积为1的两个有理数，那么就称其中的一个数是另一个数的倒数，也称这两个有理数互为倒数。

0没有倒数。

4、有理数的运算法则（1）加、减法运算
加法运算：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

一个数同0相加，仍得这个数。

减法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数。

（2）乘、除法运算
乘法运算：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数与0相乘，积仍为0除法运算：除以一个等于乘这个数的倒数.
（3）乘方及混合运算
①一般的,任意多个相同的有理数相乘,我们通常记作：
读作：a 的n 次方（或a 的n 次幂）其中a 代表相乘的因数,n 代表相乘因数的个数，即：...n a
n
a a a a a
=⨯⨯⨯6444447444448个②有理数的混合运算：
混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。

注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算最重要的原则。

5、科学计数法
（1）一般地，一个大于10的数可以表示成10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。

注意以下几点:
①科学记数法的形式是由两个数的乘积组成的。

其中一个因数为a（110a ≤<），另一个因数为10n
，n 的值等于整数部分的位数减1；
②用科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式而已。

小于1的正数也可以用科学记数法表示。

例如：50.0000110-=；
典例分析
考点一：有理数、数轴、绝对值例1、下列说法正确的是（）
A．非负数包括零和整数B．正整数包括自然数和零C．零是最小的整数
D．整数和分数统称为有理数
【解析】根据有理数的分类，利用排除法求解。

非负数包括零和正数，A 错误；正整数指大于0的整数，B 错误；没有最小的整数，C 错误；整数和分数统称为有理数，这是概念，D 正确。

故选D
例2、在实数，0，，﹣1.414，有理数有（）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【解析】根据有理数是有限小数或无限循环小数，可得答案．，0，﹣1.414，是有理数，故选：C
例3、a、b 两数在一条隐去原点的数轴上的位置如图所示，下列4个式子：①a﹣b＜0；②a+b＜0；③ab＜0；④ab+a+b+1＜0中一定成立的是
．（只填序号，答案格式如：“①②③④”）．
【解析】首先能够根据数轴得到a，b 之间的关系的正确信息，然后结合数的运算法则进行分析．根据数轴得a＜﹣1＜b，|a|＞|b|．①中，a﹣b＜0，故①正确；②中，a+b＜0，故②正确；③中，由于b 的符号无法确定，所以ab ＜0不一定成立，故③错误；④中，ab+a+b+1=（b+1）（a+1）＜0，故④正确．所以一定成立的有①②④．故答案为：①②④
例4、一质点P 从距原点1个单位的A 点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA 的中点A 1处，第二次从A 1点跳动到
OA
1的中点A
2
处，第三次从A
2
点跳动到OA
2
的中点A
3
处，如此不断跳动下去，则第5次跳动后，该质点到原点O的距
离为．
【解析】根据题意，得第一次跳动到OA的中点A
1处，即在离原点的处，第二次从A
1
点跳动到A
2
处，即在离原点
的（）2处，则跳动n次后，即跳到了离原点的处，依此即可求解。

第一次跳动到OA的中点A
1
处，即在离原
点的处，第二次从A
1点跳动到A
2
处，即在离原点的（）2处，…则跳动n次后，即跳到了离原点的处，则第
5次跳动后，该质点到原点O的距离为。

故答案为：
例5、已知+=0，则的值为．
【解析】先判断出a、b异号，再根据绝对值的性质解答即可．∵+=0，∴a、b异号，∴ab＜0，∴==﹣1．故答案为：﹣1
考点二：有理数的加减运算
例1、计算：
（1）﹣3+8﹣7﹣15（2）（﹣1）﹣（+6）﹣2.25+
（3）﹣+[﹣（﹣）]（4）（﹣1）﹣|（﹣4）﹣（﹣2）|
【解析】
（1）﹣3+8﹣7﹣15=﹣3﹣7﹣15+8=﹣25+8=﹣17；
（2）（﹣1）﹣（+6）﹣2.25+=﹣1﹣6﹣2.25+=﹣1﹣2.25﹣6+=﹣4﹣3=﹣7；
（3）﹣+[﹣（﹣）]=﹣+[﹣]=﹣+=﹣；
（4）（﹣1）﹣|（﹣4）﹣（﹣2）|=﹣1﹣=﹣41 12
例2、去年7月份小明到银行开户，存入1500元，以后每月根据收支情况存入一笔钱，下表为该人从8月份到12月份的存款情况：
则截止到去年12月份，存折上共有（）元钱．
A．9750B．8050C．1750D．9550
【解析】把实际问题转化成有理数的加减法，分别根据上一月的存钱和与上一月的差值求出下一个月的存钱数，然后相加即可．小明从8月份到12月份的存款情况：1500+（1500﹣100）+（1500﹣100﹣200）+（1500﹣100﹣200+500）+（1500﹣100﹣200+500+300）+（1500﹣100﹣200+500+300﹣250）=9550元．故选D
例3、“⊕”表示一种运算，已知2⊕3=2+3+4=9，7⊕2=7+8=15，3⊕5=3+4+5+6+7=25，按此规则，若n⊕100=50，则n的值为（）
A．﹣49B．﹣50C．49D．50
【解析】根据题目中给的例子可得第一个数表示从整数几开始，后面的数表示几个连续整数相加，故n⊕100=n+（n+1）+（n+2）+…+（n+99）=50，再解方程即可．根据题意可知：
∵n⊕100=n+（n+1）+（n+2）+…+（n+99）
=100n+1+2+3+4+5…+99
=100n+=100n+50×99，
又∵n⊕100=50，
∴100n+50×99=50，
∴2n+99=1
∴n=﹣49．
故答案选A．
考点三：有理数的乘除运算
例1、简便计算：
13148
6412
⎛⎫
-+-⨯
⎪
⎝⎭
155155
12
277227
⎛⎫⎛⎫
⨯--⨯+-⨯
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
【解析】分析：根据乘法分配律展开，然后根据有理数乘法的运算法则进行计算．
解：（1）
13148 6412
⎛⎫
-+-⨯ ⎪
⎝⎭
131=484848836424
6412⎛⎫⎛⎫
-⨯+⨯+-⨯=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（2）提取
5
7
，逆运用乘法分配律进行计算即可得解．解：155155
12277227
⎛⎫⎛⎫⨯
--⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1551551+2277227⎛⎫⨯
⨯+-⨯ ⎪⎝⎭=5115127222⎛⎫
⨯+- ⎪⎝⎭
53=72⨯
15=14例2、若“!”是一种数学运算符号，并且1!=1，2!=2×1=2，3!=3×2×1=6，4！=4×3×2×1=24，…，则5!=______=______，
的值=______．
【解析】根据运算的定义，可以把写成
的形式，然后即可求解．
解：5!=5×4×3×2×1=120，
=
=99×100=9900，
故答案为：5×4×3×2×1，120，9900．例3、计算：
1
（﹣16.8）÷（﹣3）②
11+5333⎛⎫⎛⎫
÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
③5445⎛⎫⎛⎫
-
÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
④()()5+1.250.58⎛⎫
÷-÷-
⎪⎝⎭
⑤﹣18÷（+3.25）÷124⎛⎫- ⎪
⎝
⎭
⑥311()(3)(1)3
524
-⨯-÷-÷【解析】分析：①②③根据有理数的除法运算法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；④⑤几个数相除，先把除法化为乘法，再按乘法法则进行计算．
解答：①原式=16.8÷3=16.8×1
3
=5.6；②原式=545525
==
454416
÷⨯；③原式=16101638
333105
-÷=⨯=-；
④原式=1.25÷0.5÷58=58
245
⨯⨯=4；
⑤原式=18÷3.25÷12
4=4418139⨯⨯=32
13⑥原式=－
35×（-72）×（-45)×13=-35×72×45×13=-14
25
例4、a 是不为1的有理数，我们把称为a 的差倒数．如：2的差倒数是
=﹣1，﹣1的差倒数是
=．已知a 1=，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，则
a 2011=．
【解析】根据定义求得a 1，a 2，a 3，a 4…的值，观察规律，即可猜想结果．
解：a 1=﹣
a 2=
=；
a 3==4；
a 4==﹣，
因而一下三个一次循环，故a 2011=﹣．故答案是：﹣考点四：有理数的乘方及其混合运算例1、若()0212
=-+-b a ，则()
2012
b a -的值是（）
A ．﹣1
B ．1
C ．0
D ．2012
【解析】B
例2、已知()()05322
2
=-+++-c b a ，求2
2c b a +-值．
【解析】平方和绝对值都有非负性，几个非负数之和为0，那么这几个非负数都为0。

a=2，b=-3，c=5
原式=2-2×（-3）+5×5=33
例3、计算：（1）3
211⎪
⎭
⎫
⎝⎛（2）()
3
3131-⨯--（3）()3
4255414-÷-⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
÷（4）()()()
3
3
2
20132-⨯+-÷---【解析】（1）
8
27
（2）2
（3）－59（4）－1
例4、计算：（1）()()()
3428102
-⨯---÷+-（2）()()⎪⎭
⎫
⎝⎛-
÷-+-⨯+-91632492
【解析】（1）-20；（2）23
实战演练
课堂狙击
1、下列说法中，正确的是（）
A．正整数、负整数统称为整数B．正分数和负分数统称为分数
C．0既是正整数又是负整数D．正数和负数统称为有理数
【解析】按照有理数的分类做出判断。

A．整数包括正整数、负整数和零，故此选项错误；B．分数包括正分数和负分数，故此选项正确；C.0是整数，但既不是正的，也不是负的，故此选项错误；D．有理数包括正有理数、负有理
数和零，故此选项错误；故选B
2、若|y+3|的相反数是|2x﹣4|，则x﹣y=．
【解析】根据绝对值的相反数是绝对值，可得两个绝对值都等于0，再根据绝对值可得x，y，可得答案，∵|y+3|的相反数是|2x﹣4|，∴y+3=0，2x﹣4=0，∴y=﹣3，x=2，x﹣y=2﹣（﹣3）=5，故答案为：5．
3、若有理数x，y满足|x|=7，|y|=4，且|x+y|=x+y，则x﹣y=．
【解析】∵|x|=7，|y|=4，
∴x=±7，y=±4，
而|x+y|=x+y，
∴x=7，y=4或x=7，y=﹣4，
∴x﹣y=7﹣4=3或x﹣y=7﹣（﹣4）=11故答案为3或11
4、有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|b﹣a|﹣b的结果为（）
A．a﹣2b B．﹣a C．﹣2b﹣a D．2b﹣a
【解析】先根据数轴确定出a、b的正负情况，然后求出b﹣a＞0，根据绝对值的性质去掉绝对值号，再合并同类项即可得解．由数a、b在数轴上的位置可以得到a＜0，b＞0，∣a∣＜∣b∣，b﹣a＞0，
所以∣b-a∣﹣b=b﹣a﹣b=﹣a，故选择B．
5、已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，x绝对值为2，求﹣2mn+a b
m n
+
-
﹣x的值．
【解析】解：∵a、b互为相反数，∴a+b=0；
∵m、n互为倒数，∴mn=1；∵x的绝对值为2，∴x=±2．1当x=2时，原式=﹣2+0﹣2=﹣4；
②当x=﹣2时，原式=﹣2+0+2=0．
6、计算（1）（﹣7）+5+（﹣3）+4（2）
（3）（﹣5.5）﹣（﹣3.2）﹣（﹣2.5）﹣（﹣4.8）
【解析】（1）原式=[（﹣7）+（﹣3）]+（5+4）=﹣10+9=﹣1；
（2）原式=（﹣4﹣）+[（2）+（﹣2）]=﹣4；（3）原式=﹣5.5+3.2+2.5+4.8=﹣3+8=5．7、计算：（1）()()()
3428102
-⨯---÷+-（2）()()⎪⎭
⎫
⎝⎛-
÷-+-⨯+-91632492
（3）(
)
2
2
2323
-⨯--⨯（4）()()
2
2
3
31852532--÷-⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯---【解析】（1）-20；（2）23（3）0（4）-54
8、计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：16进制0123456789A B C D E F 10进制
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1213
14
15
例如，用十六进制表示5+A=F ，3+F=12，E+D=1B ，那么A+C=（
）A ．16
B ．1C
C ．1A
D ．22
【解析】首先把A+C 利用十进制表示，然后化成16进制即可。

A+C=10+12=22=16+6，则用16进制表示是16。

故选A ．
9、我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧130000000kg 的煤所产生的能量．把130000000kg 用科学记数法可表示为（
）
A 、13×107kg
B 、0.13×108kg
C 、1.3×107kg
D 、1.3×108kg
【解析】D
10、水葫芦是一种水生飘浮植物，有着惊人的繁殖能力．据报道，现已造成某些流域河道堵塞，水质污染等严重后果、据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用．若在适宜条件下，1
株水葫芦每5天就能新繁殖1株
（不考虑植株死亡、被打捞等其它因素）．
（1）假设江面上现有1株水葫芦，填写下表：
第几天
51015…50…5n
总株数24……（2）假定某流域内水葫芦维持在约33万株以内对净化水质有益．若现有10株水葫芦，请你尝试利用计算器进行估算探究，照上述生长速度，多少天时水葫芦约有33万株？此后就必须开始定期打捞处理水葫芦．（要求写出必要的尝试、估算过程！）
【解析】（1）8,1024，n
2（2）当n=15时，()万3321016≈⨯，故5n=75（天）
课后反击
1、计算：()=⨯--⨯-223
232（）A.0
B.-54
C.-72
D.-18
【解析】A 2、如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的4等分点处分别标上数字0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示数﹣1的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上．则数轴上表示数﹣2009的点与圆周上表示数字（）的点重合．
A．0B．1C．2D．3
【解析】由于圆的周长为4个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以4，如果余数分别是0，1，2，3，则分别与圆周上表示数字0，3，2，1的点重合．
解：∵﹣1﹣（﹣2009）=2008，
2008÷4=502，
∴数轴上表示数﹣2009的点与圆周上起点处表示的数字重合，即与0重合．故选A．
3、计算：（1）
()()3322222+-+--（2）()⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-÷----721322246
（3）()()22
331852532--÷-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯---【解析】（1）2；（2）－73；（3）-54
4、若2+b 与()2
1-a 互为相反数，求b a -的值．【解析】3
5、若()0232=++-n m ，则n m 2+的值为（）
A ．﹣4
B ．﹣1
C ．0
D ．4【解析】B 6、下列等式成立的是（
）A.()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯÷=-⨯÷
771100771100 B.()()77100771100-⨯⨯=-⨯÷C.()771100771100⨯⨯=-⨯÷
D.()7710077
1100⨯⨯=-⨯÷【解析】B 7、(某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律，5小时后细胞存活的个数是（
）A ．31
B ．33
C ．35
D ．37
【解析】B
8、2011年8月12日，第26届世界大学生夏季运动会将在深圳开幕．本届大运会的开幕式举办场地和主要分会场深圳湾体育中心总建筑面积达256520m 2．数据256520m 2用科学记数法（保留三个有效数字）表示为（
）A 、2.565×105m 2
B 、0.257×106m 2
C 、2.57×105m 2
D 、25.7×104m 2【解析】C 直击中考
1、如果实数a ，b 满足()0132=+++b a ，那么a b 等于（）
A ．1
B ．﹣1
C ．﹣3
D ．3【解析】B 2、计算7的正整数次幂：71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，77=823543，78=5764801…归纳各计算结果中的个位数字规律，可得20097
的个位数字为．
【解析】73、观察下列等式：31﹣1=2，32﹣1=8，33﹣1=26，34﹣1=80，35﹣1=242，…．通过观察，用你所发现的规律确定32008﹣1的个位数字是
．
【解析】04、定义一种新的运算a ﹠b=a b ，如2﹠3=23=8，那么请试求（3﹠2）﹠2=
．【解析】8。