九年级同步第12讲：解直角三角形(教案教学设计导学案)

解直角三角形是九年级上学期第二章第二节的内容，通过本节的学习，需要掌握直角三角形中，除直角外其余五个元素之间的关系，并熟练运用锐角三角比的意义解直角三角形．难点在于，若一个三角形不是直角三角形，要有意识把它化归为解直角三角形的问题．
1、解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．
在中，如果，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系：
（1）三边之间的关系：
（2）锐角之间的关系：
（3）边角之间的关系：
，
，
【例1】在中，已知，，c = 8，求这个直角三角形的其他边和角（，，，）．
【难度】★
【答案】
【解析】
【例2】在中，，，b = 9，解这个直角三角形（，，，）．
【难度】★
【答案】
【解析】
【例3】在中，已知，c = 8，a = 6，求这个直角三角形的其他边和角（利用计算器计算）．
【难度】★
【答案】
【解析】
【例4】在中，已知，a = 7，b = 9，解这个直角三角形（利用计算器计算）．
【难度】★
【答案】
【解析】
【例5】中，，AB = 4，AC = ，BC = ______，= ______．
【难度】★
【答案】
【解析】
【例6】在中，，则= ______．
【难度】★
【答案】
【解析】
【例7】中，，，AC + BC = 2，则AB的长是______．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例8】在直角三角形中，，，a–b =2，a、b、c是、、所对的边，解这个直角三角形．【难度】★★
【答案】
【解析】
【例9】如图，中，，BC = 3，AC = 4，以B为圆心，4为半径作圆弧交AC边于点F，交AB于点E，连接CE，求的正切值．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例10】如图，在中，，D是BC中点，DEAB，垂足为E，tan B = ，AE =7，求DE 的长．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例11】在中，，a、b、c分别是、、的对边，解下列直角三角形：
（1），；
（2），．
【难度】★
【答案】
【解析】
【例12】如图，在菱形ABCD中，AEBC于点E，EC = 1，cos B =，则这个菱形的面积是______．
【难度】★
【答案】
【解析】
【例13】如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D 落在CB的延长线上的处，则等于（）
A．1 B．C．D．
【难度】★
【答案】
【解析】
【例14】已知，在中，，AD是BC边上的中线．
（1）求证：；
（2）若，，求AD的长．
【难度】★
【答案】
【解析】
【例15】中，，，角平分线，解这个直角三角形．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例16】如图，四边形ABCD中，，，，，AB = 2a，求BC的长．【难度】★★
【答案】
【解析】
【例17】如图，在中，，AC = 2，AB = 4，，求．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例18】如图，在中，AB = AC，BDAC，D为垂足，且，求的值．【难度】★★
【答案】
【解析】
【例19】在中，已知D为AB中点，，ACCD，求sin A的值．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例20】在中，，AC = BC，AD是BC上的中线，求与的值．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例21】若等腰三角形两腰上的高的和等于底边上的高，求底角的余切值．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例22】在中，BC = 6，，，求AB的长．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例23】在四边形ABCD中，AB = 8，BC = 1，，，四边形ABCD的面积为，求AD的长．【难度】★★
【答案】
【解析】
【例24】如图，在四边形ABCD中，，，AD = 2，，求CD的长度．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【例25】如图，在等腰中底边BC的中点是点D，底角的正切值是，将该等腰三角形绕其腰AC上的中点M旋转，使旋转后的点D与点A重合，得到，如果旋转后的底边与BC交于点N，求的正切值．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【例26】在中，，D是AC边上的一点，且，AD = 2CD．
求证：∽．（提示：）
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【例27】在中，，，三角形一边上的高是3，求BC的长．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【例28】在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且，求的值．【难度】★★★
【答案】
【解析】
【例29】如图，在中，D、E分别是AC、AB上的点，AC = 7，，AE = BC，，求．【难度】★★★
【答案】
【解析】
【例30】如图，在中，，sin B = ，点D在BC边上，且，DC = 6，求的正切值．【难度】★★★
【答案】
【解析】
【习题1】在中，，下列条件中不能解直角三角形的是（）
A．已知c和b B．已知a和
C．已知和D．已知a和b
【难度】★
【答案】
【解析】
【习题2】等腰三角形底边长为10厘米，周长为36厘米，则底角的余弦等于（）A．B．C．D．
【难度】★
【答案】
【解析】
【习题3】如图，在中，高CH是边AB的一半，且，求的度数（）．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【习题4】等腰三角形ABC的周长为，AB = AC，，求三角形的三边长．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【习题5】如图，，，AC = 6，点G是的重心，GF // BC，求GF的长．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【习题6】如图，在中，，，，求AC、BC的长．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【习题7】如图，在中，，tan A =，DE是AB的垂直平分线，BC = 2，求：（1）的值；
（2）CE的长．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【习题8】在中，BC = 15，AB : AC=7 : 8，，求BC边上的高．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【习题9】在等腰梯形ABCD中，AD // BC，．翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点F、E．若AD = 2，BC = 8，求：
（1）BE的长；
（2）的正切值．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【习题10】如图，在中，AB = AC，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E且AC = DC．
（1）求的度数；
（2）求证：点D是BC的黄金分割点；
（3）利用这个图求cos 36°的值．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【作业1】已知等边三角形一边上的中线长为a，则此三角形的边长为______．【难度】★
【答案】
【解析】
【作业2】在中，，a、b、c分别是、、的对边，解下列直角三角形：
（1），；
（2）a = 5，；
（3）斜边上中线，AC = 6．
【难度】★
【答案】
【解析】
【作业3】在中，AB = AC，BC边上的高为8，三角形的周长为32，则sin C的值是______．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【作业4】在中，，，若BC = a，求AB的长．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【作业5】已知在梯形ABCD中，AD // BC，AB = 15，CD = 13，AD = 8，是锐角，，求BC的长．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【作业6】已知在中，AB =，AC = 2，BC边上的高为，求BC的长．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【作业7】如图，在中，ADBC，垂足为D，AD = DC = 4，tan B =．求：（1）的面积；
（2）的值．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【作业8】如图，在四边形ABCD中，，，，，CD = 6，求AD．
【难度】★★
【答案】
【解析】
【作业9】在等腰中，AB= AC，如果一条腰长为5，一条中线为3，求底角的正弦值．
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【作业10】在边长为3的正方形ABCD中，点E在射线BC上，且BE = 2CE，联结AE交射线DC于点F，若沿直线AE翻折，点B落在点B1处，求的值．
【难度】★★★
【答案】
【解析】。