高考数学复习点拨 一道无棱二面角的不同求法

一道无棱二面角的不同解法
如图所示，ABCD 是直角梯形，∠ABC=900，SA ⊥底面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=0.5，求面SCD 与面SBA 所成二面角的大小。

解法一：延长BA 与CD ，交于点P ，连接SP 。

过点A 作AE ⊥SP ，垂足为E ，连接DE 。

∵SA ⊥底面ABCD,AD ⊂面ABCD ∴SA ⊥AD
∵AD ⊥AB SA ∩AB=A ∴AD ⊥面SAB
∴AE 为ED 在底SAB 内的射影
∵AE ⊥SP ∴ED ⊥SP ∴∠AED 即为面SCD 与面SBA 所成二面角的平面角
在Rt △SAP 中，SA=AP=1∴AE=2
2 在Rt △EAD 中,tan ∠AED=2
2
21 =22 ∴∠AED=arctan 22 点评：对于无棱二面角的求解，关键在于如何寻找二面角的棱。

很明显，在这个题目中，已经知道了两个半平面的一个公共点，要是再能找到两个半平面的另一个公共点，那么连接两个公共点的直线即为二面角的棱。

在寻找二面角的平面角时，三垂线法是很重要的方法。

在添加辅助线时也可以过点D 作DE ⊥SP ，垂足为E ，连接AE ，是利用三垂线定理的逆定理。

问题的关键是如何在其中一个半平面内寻找到一个特殊点，向另一半平面引垂线。

方法二：∵SA ⊥底面ABCD,AD ⊂底面ABCD ∴SA ⊥AD
∵AD ⊥AB , AB ∩SA=A ∴AD ⊥面SAB
同理BC ⊥面SAB ∴△SDC 在面SAB 中的射影为△SAB
设面SCD 与面SBA 所成的二面角为θ，则cos θ=SDC
SAB S S ∆∆ 在Rt ΔSAD 中,SD=2
5 在Rt ΔSBC 中,SC=3 过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt ⊿DCE 中，DC=
25 在ΔSDC 中,cos ∠SDC=2
525234345⋅⋅-+=-51 ∴sin ∠SDC=5
62 S ΔSDC =21·25·25·562=4
6又S ΔSAB =21·1·1=21
∴cos θ=46
21 =36∴θ=arcos 3
6 点评：利用射影面积公式求二面角的关键是寻找或求作一条垂线，即从第一个半平面内的某一个点出发，垂直于另一个半平面的直线。

此题的特别之处是从一个半平面出发有两条垂直于另一个半平面的垂线。

方法三：以A 为坐标原点，以BA 、AB 、AS 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示
的空间直角坐标系，则 S(0,0,1) C(-1,1,0) D(0,21,0)∴SC =(-1,1,-1),SD =(0, 2
1,-1) 设平面SCD 的法向量为n =(x,y,z)∵n ⊥,n ⊥∴n •=0,n •=0解得x=z,y=2z
令z=1，则n =(1,2,1)
又∵平面SAB 的法向量为AD=(0, 2
1,0),
∴
216010⨯++=36 由题意知，二面角为锐角，所以二面角的大小等于两法向量的夹角.
∴所求二面角的大小为arccos 3
6 点评：将二面角转化为两个面的法向量所成的角或其补角，通过建立空间直角坐标系来解决。