高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.8 共面与平行(含解析)1数学教案

3．8共面与平行
[读教材·填要点]
1．共面
(1)如果若干个图形在同一个平面内，就称这些图形共面． (2)A ，B ，C ，D 共面⇔直线AD 在平面ABC 内⇔AD ―→⊥n (其中n 为平面ABC 的法向量)．
2．直线与平面共面或平行的判定
一般地，设n 是平面α的一个法向量，v 是直线l 的方向向量，则v ⊥n ⇔l ∥α或l ⊂α.
如果v ⊥n 且l 上至少有一点A ∈α，则l ⊂α. 如果v ⊥n 且l 上至少有一点A ∉α，则l ∥α.
[小问题·大思维]
若直线l 的方向向量为u ＝(－3,4,2)，平面α的一个法向量为v ＝(2,2，－1)，那l 与α的位置关系是什么？
提示：∵u ·v ＝(－3,4,2)·(2,2，－1)＝－6＋8－2＝0， ∴u ⊥v .
∴l ∥α或l ⊂α.
四点共面问题
判断A (1,0,1)，B (4,4,6)，C (2,2,3)，D (10,14,17)四
点是否共面，并说明理由．
[自主解答] ∵A (1,0,1)，B (4,4,6)，C (2,2,3)， ∴AB ―→＝(3,4,5)，AC
―→＝(1,2,2)
设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则n ·AB ―→＝0，且n ·AC
―→＝0，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
3x ＋4y ＋5z ＝0，x ＋2y ＋2z ＝0，∴x ＋z ＝0.
令x ＝1，则z ＝－1，y ＝12
，
∴n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，1
2，－1.
又∵D (10,14,17)，∴AD
―→＝(9,14,16)，
∴AD ―→·n ＝(9,14,16)·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，12，－1
＝9×1＋14×1
2－16＝0，
∴n ⊥AD ―→.
又∵A ∈平面ABC ，
∴AD ⊂平面ABC ，∴A ，B ，C ，D 四点共面．
(1)A ，B ，C ，D 共面⇔直线AD 在平面ABC 内⇔AD ―→⊥n . (2)(共面向量定理)如果A ，B ，C 三点不共线，则点M 在平面ABC 内的充分必要条件是，存在一对实数x ，y ，使向量表达式AM ―→＝x AB ―→＋y AC
―→成立． 1．空间直角坐标系中，已知A (3,0,0)，B (0,4,0)，C (0,0,2)，
P (x ，y ，z )是平面ABC 内任意一点，试求x ，y ，z 满足的方程．
解：∵A (3,0,0)，B (0,4,0)，C (0,0,2)， ∴AB ―→＝(－3,4,0)，AC ―→＝(－3,0,2)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面ABC 的一个法向量， 则n ·AB ―→＝0，且n ·AC
―→＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
－3x 1＋4y 1＝0，－3x 1＋2z 1＝0，
令x 1＝4，则y 1＝3，z 1＝6，
即n ＝(4,3,6)．
又∵P (x ，y ，z )在平面ABC 内，
∴AP ―→·n ＝0，即(x －3，y ，z )·(4,3,6)＝0， ∴4x －12＋3y ＋6z ＝0， 即4x ＋3y ＋6z ＝12.
证明线面平行、面面平行
已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，
DD 1的中点，求证：
(1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .
[自主解答] 如图所示建立空间直角坐
标
系
D ­xyz ，
则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，E (2,2,1)，
C 1(0,2,2)，
F (0,0,1)，B 1(2,2,2)，
所以FC 1
―→＝(0,2,1)，DA ―→＝(2,0,0)，AE ―→＝(0,2,1)．
(1)设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量， 则n 1⊥DA ―→，n 1⊥AE ―→，
即⎩⎨
⎧
n 1·DA ―→＝2x 1＝0，n 1·AE ―→＝2y 1＋z 1
＝0，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＝0，
z 1＝－2y 1，
令z 1＝2，则y 1＝－1，
所以n 1＝(0，－1,2)．
因为FC 1―→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1―→⊥n 1. 又因为FC 1⊄平面ADE ， 所以FC 1∥平面ADE . (2)∵C 1B 1―→＝(2,0,0)，
设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量． 则n 2⊥FC 1―→，n 2⊥C 1B 1―→， 即⎩⎨
⎧
n 2·FC 1―→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1―
→＝2x 2＝0，
得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2＝0，
z 2＝－2y 2.
令z 2＝2得y 2＝－1，
所以n 2＝(0，－1,2)．因为n 1＝n 2， 所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .
(1)用向量法证明线面平行：一是证明直线的方向向量与平面
内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；二是证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量且直线不在平面内；三是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．
(2)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．
2.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，
AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．
求证：AM ∥平面BDE .
证明：建立如图所示的空间直角坐标系． 设AC ∩BD ＝N ，连接NE ，
则点N ，E 的坐标分别是⎝
⎛
⎭
⎪⎪
⎫22，22，0，(0,0,1)．
∴NE ―→＝⎝
⎛
⎭
⎪⎪
⎫－22，－22，1. 又点A ，M 的坐标分别是(2，
2，0)，⎝
⎛
⎭
⎪⎪
⎫22，22，1， ∴AM ―→＝⎝
⎛
⎭
⎪⎪
⎫－22，－22，1. ∴NE ―→＝AM ―→，且A ∉NE ，
∴NE ∥AM .
又∵NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ， ∴AM ∥平面BDE .
解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试
如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是C 1C ，
B 1
C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1B
D .
[证明] 法一：如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所
在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则可求得
M ⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，1，12，N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1，1，D (0,0,0)，
A 1(1,0,1)，
于是MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12
，0，12， DA
1
―→＝(1,0,1)．
得DA 1
―→＝2MN ―→， 又M ∉DA 1，∴DA 1∥MN . 而MN ⊄平面A 1BD ， ∴MN ∥平面A 1BD .
法二：如法一中的坐标系，B (1,1,0)． 设平面A 1BD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，
则n ·DA 1―→＝0，且n ·DB ―→＝0，得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋z ＝0，x ＋y ＝0.
取x ＝1，得y ＝－1，z ＝－1. ∴n ＝(1，－1，－1)．
又MN ―→·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12
，0，12·(1，－1，－1)＝0，
∴MN ―→⊥n .又MN ⊄平面A 1BD .
∴MN ∥平面A 1BD .
法三：∵MN ―→＝C 1N ―→－C 1M ―→＝12C 1B 1―→－12C 1C ―→
＝12(D 1A 1―→－D 1D ―→)＝12DA 1―→
， ∴MN ―→∥DA 1―→.而MN ⊄平面A 1BD ， ∴MN ∥平面A 1BD .
[点评] 证明线面平行的方法很多，要根据题目的条件选取适合的方法，具体地有两种思维，思路一是利用线面平行的判定定理(向量共线)；思路二是证明直线与平面的法向量垂直(向量垂直)．
1．设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b ，若a ·b ＝0，则( )
A ．l ∥α
B ．l ⊂α
C ．l ⊥α
D ．l ⊂α或l ∥α
解析：当a ·b ＝0时，
l ⊂α或l ∥α.
答案：D
2．已知直线l 的方向向量为a ，平面α内两共点向量OA ―→，OB
―→，下列关系中能表示l ∥α的是( )
A ．a ＝OA
―→ B ．a ＝k OB ―→
C ．a ＝p OA ―→＋λOB
―→ D ．以上均不能
解析：A 、B 、C 均能表示l ∥α或l ⊂α. 答案：D
3．已知线段AB 的两端点的坐标为A (9，－3,4)，B (9,2,1)，则线段AB 与坐标平面( )
A ．xOy 平行
B ．xOz 平行
C ．yOz 平行
D ．xOy 和yOz 都平行
解析：∵A ，B 两点横坐标相同，∴AB 与yOz 平面平行． 答案：C
4．已知直线l 的方向向量为ν＝(1，－1,2)，平面α的法向量为n ＝(2,4,1)，且l ⊄α，则l 与α的位置关系是________．
解析：因为ν·n ＝2－4＋2＝0，所以ν⊥n . 又l ⊄α，所以l ∥α. 答案：l ∥α
5．已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(2,1,4)，则m ＝________.
解析：∵l ∥α，
∴2×2＋m ×1＋1×4＝0. ∴m ＝－8. 答案：－8
6．已知在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，M ，N 分别是BC ，AE ，
CD 1的中点，AD ＝AA 1＝a ，AB ＝2a .
求证：MN ∥平面ADD 1A 1.
证明：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (a ，0,0)，B (a,2a,0)，C (0，2a,0)，D 1(0,0，a )，
E
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12a ，2a ，0. ∵M ，N 分别为AE ，CD 1的中点，
∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，a ，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，a ，a 2.
∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34
a ，0，a 2.
取n ＝(0,1,0)，显然n ⊥平面ADD 1A 1，且MN ―→·n ＝0，
∴MN ―→⊥n . 又MN ⊄平面ADD 1A 1， ∴MN ∥平面ADD 1A 1. 一、选择题
1．下面关于空间向量的说法正确的是( ) A ．若向量a ，b 平行，则a ，b 所在直线平行
B ．若向量a ，b 所在直线是异面直线，则a ，b 不共面
C ．若A ，B ，C ，
D 四点不共面，则AB ―→，CD ―→不共面 D ．若A ，B ，C ，D 四点不共面，则AB ―→，AC ―→，AD ―→不共面 解析：通过平移将空间任意两个向量平移到一个平面内，因此
空间任意两个向量都是共面的，故B 、C 都不正确．注意向量平行与直线平行的区别，可知A 不正确，可用反证法证明D 是正确的．
答案：D
2．已知直线l 的一个方向向量为a ＝(－2,0,1)，平面α的一个法向量为b ＝(2，－1,4)，则直线l 与平面α的位置关系是( )
A ．l ∥α
B ．l ⊂α
C ．l 与α相交
D ．l ∥α或l ⊂α
解析：∵a ·b ＝(－2,0,1)·(2，－1,4)＝－4＋0＋4＝0， ∴a ⊥b ，
∴l ∥α或l ⊂α. 答案：D
3．若平面α，β的法向量分别为a ＝(－1,2,4)，b ＝(x ，－1，－2)，并且α∥β，则x 的值为( )
A ．10
B ．－10 C.1
2
D ．－12
解析：∵α∥β，∴a ∥b ， ∴x
－1＝－12＝－24，∴x ＝1
2. 答案：C
4.如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，
M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2
3a ，则MN 与平面BB 1C 1C
的位置关系是( )
A ．相交
B ．平行
C ．垂直
D ．不能确定
解析：在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，|A 1B |＝|AC |＝2a ， 所以A 1M ―→＝13A 1B ―→，AN ―→＝13AC ―→， 所以MN ―→＝M A 1―→＋A 1A ―→＋AN ―→
＝－13A 1B ―→＋A 1A ―→＋13
AC ―→
＝－13A 1A ―→－13AB ―→＋A 1A ―→＋13AD ―→＋13AB ―→
＝23A 1A ―→＋13AD ―→＝23B 1B ―→＋13B 1C 1―→， 所以MN ―→， B 1B ―→，B 1C 1―→共面， 因为MN ⊄平面BB 1C 1C ， 所以MN ∥平面BB 1C 1C . 答案：B 二、填空题
5．直线l 不在平面ABC 内，且l 上两点C ，D 满足CD ―→＝λ1AB ―→＋λ2AC
―→，则直线l 与平面ABC 的位置关系是________．
答案：平行
6．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，ν＝(2,3,8)，则平面α，β的位置关系是________(填“平行”、“垂直”或“相交但不垂直”)．
解析：∵u·ν＝(1,2，－1)·(2,3,8)＝1×2＋2×3－1×8＝0，
∴u⊥ν，∴α⊥β.
答案：垂直
7．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为a＝(1,3，z)，向量b＝(3，－2,1)与平面α平行，则z＝________.
解析：∵l⊥α，b∥α，∴a⊥b，
∴a·b＝(1,3，z)·(3，－2,1)＝0，
即3－6＋z＝0，则z＝3.
答案：3
8．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体六个面的中心．则平面EFG与平面HMN的位置关
系为________．
解析：如图所示建立空间直角坐标系，不妨设
正方体的棱长为2，则E(1,1,0)，F(1,0,1)，G(2，
1,1)，H(1,1,2)，M(1,2,1)，N(0,1,1)．
―→＝(0，－1,1)，
∴EF
―→＝(1,0,1)，
EG
HM ―→＝(0,1，－1)， HN
―→＝(－1,0，－1)． 设m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)分别是平面EFG 和HMN 的法向量．
由⎩⎨
⎧ m ·EF ―→＝0，m ·EG ―
→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －y 1＋z 1＝0，
x 1＋z 1＝0，
令x 1＝1，得m ＝(1，－1，－1)； 由⎩⎨
⎧
n ·HM
―→＝0，n ·HN ―
→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
y 2－z 2＝0，
－x 2－z 2＝0，
令x 2＝1，得n ＝(1，－1，－1)． ∵m ＝n .即m ∥n . ∴平面EFG ∥平面HMN . 答案：平行 三、解答题
9．在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面
ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点．证明：PA ∥平面EDB .
证明：建立如图所示的空间直角坐标系，连接AC 交BD 于G ，连接EG .
设DC ＝a ，依题意得A (a,0,0)，
P (0,0，a )，E ⎝
⎛⎭⎪⎫
0，a 2，a 2.
∵底面ABCD 是正方形，
∴G 是此正方形的中心， 故点G
的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a 2，a 2，0.
∴PA ―→＝(a,0，－a )，EG ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2
，0，－a 2.
故PA ―→＝2EG ―→，这表明PA ∥EG .
而EG ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB ， ∴PA ∥平面EDB .
10.如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1B Q ∥平面PAO?
解：建立如图所示的坐标系，设正方体棱长为2，则O (1,1,0)，
A (2,0,0)，P (0,0,1)，
B (2,2,0)，D 1(0,0,2)．再设Q(0,2，c )
∴OA ―→＝(1，－1,0)， OP
―→＝(－1，－1，1)， B Q ―→＝(－2,0，c )， BD
1
―→＝(－2，－2,2)． 设平面PAO 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨
⎧
n 1·OA
―→＝0，n 1·OP ―
→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ＝0，
－x －y ＋z ＝0.
令x＝1，则y＝1，z＝2，
∴平面PAO的一个法向量为n1＝(1,1,2)．
若平面D1B Q∥平面PAO，那么n1也是平面D1B Q的一个法向量．
―→＝0，即－2＋2c＝0.
∴n1·B Q
∴c＝1，
―→＝－2－2＋4＝0，
这时n1·BD1
故当Q为CC1的中点时，平面D1B Q∥平面PAO.。