初升高-高中自主招生考试-理综试题及答案

综合素质测试卷
理科综合
说明：本试卷共8页，5大题。

全卷满分250分（数学150分，物理100分）
考试用时150分钟。

★ 祝考试顺利 ★
注意事项：
１．答卷前，考生务必将自己的姓名、报名号、准考证号填写在答题卡上。

２．选择题的作答：每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

非选择题用5毫米签字笔在答题卡上相应区域作答。

答在试题卷上无效。

一、选择题：（本大题共8小题，每小题6分，共48分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1．已知3
cos sin 802
A <<，则锐角A 的取值范围是（ ） A ．
8060<<A B ． 8030<<A C ． 6010<<A D ．
3010<<A 2．用半径为cm 6、圆心角为︒
120的扇形做成一个圆锥侧面, 则其底面半径为（ ） A ．2cm
B ．3cm
C ．4cm
D ．6cm
3．一个正方体的表面涂满了颜色，按如图所示将它切成27个大小相等的小立方块，设其中仅有i 个面（i=1，2，3）涂有颜色的小立方块的个数为x i 则x 1、x 2、x 3之间的关系为 （ ）
A ．1231x x x -+=
B ．123+1x x x -=
第5题图
C ．1232x x x -+= D.1232x x x +-=
4．一组互不相等的数据，它的中位数为80，小于中位数的数的平均数为70，大于中位数的数的平均数为96，设这组数据的平均数为x ，则x 满足 A ．82x = B ．83x = C ．8082x ≤≤ D ．8283x ≤≤ 5．如图，一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等,当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转,直至回到原出发位置时,则这个圆共转了 ( ) A ．4圈 B ．3圈 C ．5圈
D ．3.5圈
6．记()()()()()
24825612121212121x x =++++⋅⋅⋅++，则是( ) A ．一个奇数 B ．一个整数的平方 C ．一个质数
D ．一个整数的立方
7．代数式9)12(42
2
+-++x x 的最小值为（ ）
A ．12
B ．13
C ．14
D ．11 8．
11111+++++=132435461416
⨯⨯⨯⨯⨯（ ） A ．1516 B ．1532 C ．329480 D ．329240
二、填空题：（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．）
9．,,,a b c d 为实数,定义运算: ||a b c d ad bc =-，则
2(1)x -
4
185
=时，x =______.
10．下列四个图形中，每个小正方形都标上了颜色. 若要求一个正方体两个相对面上的颜
色都一样，则这一个正方体展开图可能是________(请将正确的编号都写上)
第10题图
11．已知点),(y x p 位于第二象限，并且62+≤x y ，x 、y 为整数，则点p 的个数
是 .
12．如图，AB ∥EF ∥CD ，已知AB=3，CD=4，EF=______.
13．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，BC ＝2AB ，A ，B
两点的坐标分别是（－1，0），（0，2），C ，D 两点在反比
例函数)0(<=
x x
k
y 的图象上，则k 的值等于 ． 14．数学与文学之间存在着许多奇妙的联系.诗中有回文诗，如：
“云边月影沙边雁，水外天光山外树”，倒过来读，便是“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境和韵味读来是一种享受！数学中也有回文数，如：88，454，7337，43534等都是回文数，无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“回文数”，读起来还真有趣！
二位的回文数有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个；
三位的回文数有101，111，121，131，…，969，979，989，999，共90个； 四位的回文数有1001，1111，1221，…，9669，9779，9889，9999，共90个； 由此推测：11位的回文数总共有 个．
三、解答题：（本大题共4小题，满分66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（本小题满分16分）从卫生纸的包装纸上得到以下资料：两层300格，每格
11.4cm×11cm ，如图甲。

用尺量出整卷卫生纸的半径（R ）与纸筒内芯的半径（r ），分别为5.8cm 和2.3cm ，如图乙。

（1）通过图乙，求卫生纸（不含纸筒内芯）的体积；
（2）请根据所给数据估计该两层卫生纸的厚度为多少cm ？（π取3.14，结果精确到
0.001cm ）
第13题图
16．（本小题满分16分）如下图所示，在矩形ABCD 中，已知AB ＝a ，BC ＝b (a >b )．在AB 、
AD 、CD 、CB 上分别截取AE 、AH 、CG 、CF 都等于x ，记四边形EFGH 的面积为y. （1）求y 关于x 的关系式；
（2）当x 为何值时，四边形EFGH 的面积最大？
并求出这个最大面积．
17．（本小题满分16分）请利用下列图形求三角函数值
（1）三角形ABC 中，C 90∠=,A 30∠=,AB=2，AD 为BAC ∠的角平分线，求sin15； （2）三角形ABC 中，C 36∠=,AC=BC ,AB=2，AD 为BAC ∠的角平分线，求sin18.
18．（本小题满分18分）设n 是整数，如果存在整数,,x y z 满足333
3n x y z xyz =++-，
第16题图
第17题（1）图 第17题（2）图
则称n具有性质P.
（1）试判断1，2，3是否具有性质P，并说明理由；
（2）在1，2，3，…，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质P的数有多少个？
四、作图和填空（20分）
19．（5分）如图所示，试将图中的电路元件用笔画线当做导线连成电路，使得检测小灯
泡（3V 0.6A ）电流的电流表在滑动变阻器触头移到最左端时，电流表的读数才恰好是零。

（连线不得交叉，在答题卡上相应区域作答。

)
第19题图
20．（10分）如图所示，平面镜M 1附近有一点光源S ，平面镜M 2附近有一点P 。

从点光
源S 发出的光线除了有一条可以直接到达P 点外，还有3条可以经过平面镜反射后到达P 点。

请将这3条光线的光路全部作出来。

不必写出作图步骤，但是必要的辅助线必须留下来！（在答题卡上相应区域作答）
第20题图
L
S P
M 1
M 2
P S
21．（5分）如图甲所示装置中，A 是边长为a 的均匀立方体木块，质量为m A ,另外两个
物体B 、C 质量分别为m B 、m C ，通过细绳与物体A 相连，不计轻小滑轮的摩擦，当两根细绳都在同一垂直平面内且拉物体A 的部分水平时，木块A 恰能在粗糙的水平桌面上静止。

若如图乙那样，将盛有密度为ρ的液体的容器缓慢上移，使物体B 完全浸没在液体中，则A 在粗糙的桌面上也能恰好静止。

物体A 对水平桌面的压强为P=_________________，密度为ρ的液体对B 的浮力大小F B =____________________，物体B 的体积是V B =______________。

（重力常数g 为已知量）（在答题卡上相应区域作答） 第21题图
五、计算题（本大题共4小题，共80分；必须有重要的说明、方程式及演算步骤）
22．（20分）实验表明:在弹性限度内，弹簧弹力的大小F与弹簧形变量Array（相对于原长的压缩量或伸长量）x成正比,即F＝kx，式中的比例
常量k称为弹簧的劲度系数，这就是胡克定律。

弹簧的劲度系数k
是由弹簧本身的性质决定的，与弹力F的大小和弹簧形变量x的大
小无关.
如图所示，两木块的质量分别为m1和m2，两轻质弹簧的劲度系数
分别为k1和k2，木块与弹簧均拴接。

最初整个系统处于静止状态.
现用力竖直向上缓慢提升弹簧k1，直到下面的木块m2刚能离开地面.
假设所有过程中弹簧均在弹性限度范围内，（重力常数g为已知量）
试求：第22题图（1）最初整个系统处于静止状态时，下面的轻质弹簧k2相对于原
长的压缩量x2=？
（2）下面的轻质弹簧k2相对于原长的最大伸长量x2ˊ=？
（3）在整个过程中,上面的轻质弹簧k1的上端(相对于地面)上移的距离L=？
23．（20分）如图所示的电路中，R1是由某金属氧化物制成的导体棒，实验证明通过它的电流I和它两端的电压U遵循I=KU3的规律（式中K=0.02A/V3），R2是标准电阻，遵循欧姆定律，电源电压为E=6V（内阻不计），电流表的示数为0.16A，求：
（1）电阻R1两端的电压。

（2）电阻R2的阻值。

（3）当电阻R2的阻值为多大时，R1、R2消耗的电功率相等。

第23题图
… R 1=30Ω R 2=60Ω
R 3=80Ω
R =100Ω
A
B C D P
E=30V ，r=0
24．（20分）如图所示，图甲为一个灯泡两端电压U 与通过它的电流I 的变化关系曲线．由
图可知，两者不成线性关系，这是由于焦耳热使灯丝的温度发生了变化的缘故，根据这条曲线回答下列问题(不计电流表内阻，线路提供电压不变)．
（1）若把3个这样的灯泡串联后，接到电压恒为12V 的电路上，求流过灯泡的电流
和每个灯泡的电阻；
（2）如图乙所示，将两个这样的灯泡并联后再与10Ω的标准电阻R 0串联，接在电
压恒为8V 的电路上，求:通过电流表的电流值以及每个灯泡的实际功率．
第24题图
25．（20分）如图所示,电源电压恒为E=30V （内阻不计，即r=0）。

标准电阻R 2=60Ω，
R 3=80Ω，滑动变阻器的总电阻R=100Ω.求：
（1）若标准电阻R 1=30Ω，且消耗的电功率P 1最大，则滑动变阻器触头P 之上的CP
部分其电阻R CP 是多大？此时标准电阻R 1=30Ω消耗的电功率P 1是多大？ （2）若标准电阻R 1=60Ω，且要求AB 两点之间（R 2、R 3、滑动变阻器R ）消耗的
总电功率P AB 最大，则滑动变阻器触头P 之下的DP 部分其电阻R DP 是多大？此时AB 两点之间消耗的最大电功率P AB 是多大？
第25题图
理科综合参考答案
一、选择题
二、填空题
9. 3 10.①②④ 11. 16
12.
125
13. 12 14. 900000
三、解答题
15. (1) 体积v=π（5.82-2.32） ×11=979.209cm 3
…………… 8分
(2) 设该两层卫生纸的厚度为xcm ，则：
11×11.4×x ×300=π（5.82
-2.32
） ×11
x ≈0.026
故两层卫生纸的厚度约为0.026cm 。

……………16分 16.(1)由题意得S △AEH ＝S △CFG ＝12x 2，S △BEF ＝S △DHG ＝1
2
(a －x )·(b －x )．
∴y ＝ab －2⎣⎡⎦⎤12x 2＋1
2(a －x )(b －x )＝－2x 2＋(a ＋b )x ……………6分 x 的范围为0<x ≤b ， ……………8分 (2)因为a >b >0，所以0<b <a ＋b
2
.
若a ＋b 4≤b ，即a ≤3b ，x ＝a ＋b 4时y 取得最大值(a ＋b )28； ……………12分
若a ＋b 4
>b ，即a >3b ，x ＝b 时y 取得最大值ab －b 2.
综上，若a ≤3b ，当x ＝a ＋b 4时，四边形EFGH 的面积取得最大值(a ＋b )2
8；
若a >3b ，当x ＝b 时，四边形EFGH 的面积取得最大值ab －b 2. (16)
分 17.(1)过D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则有
3BDE=30,BE=23,233DE ∠-=，
()
2
2
333241236(31)AD =-+=-=；
23362
sin156(31)
--=
=
- …………… 9分
(2)由已知得CAD=DAB=C=36,AD=CD=AB=2∠∠∠∴， 设DB=x ，由CAB~ADB ∆∆，2
,5122x x x
=∴=+ ∴
51
2sin1824
x
==
； ……………18分
18.（1）取1x =，0y z ==，可得333
11003100=++-⨯⨯⨯，所以1具有性质P ； 取1x y ==，0z =，可得333
21103110=++-⨯⨯⨯，所以2具有性质
P ；…………………4分
若
3
具
有
性
质
P ，则存在整数,,x y z 使得
33()3()()x y z x y z xy yz zx =++-++++，从而可得33|()x y z ++，故3|()x y z ++，于是有39|()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++，即9|3，这是不可
能
的，所以3不具有性
质
P . ……………………8分
（2）记3
3
3
(,,)3f x y z x y z xyz =++-，则
33(,,)()3()3f x y z x y z xy x y xyz =++-+- 3()3()()3()x y z x y z x y z xy x y z =++-+++-++
＝3
()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++
2221
()()2x y z x y z xy yz zx =++++--- 2221
()[()()()]2
x y z x y y z z x =++-+-+-. 即(,,)f x y z 2221
()[()()()]2
x y z x y y z z x =++-+-+- ①
不妨设x y z ≥≥，
如果1,0,1x y y z x z -=-=-=，即1,x z y z =+=，则有(,,)31f x y z z =+； 如果0,1,1x y y z x z -=-=-=，即1x y z ==+，则有(,,)32f x y z z =+； 如果1,1,2x y y z x z -=-=-=，即2,1x z y z =+=+，则有(,,)9(1)f x y z z =+； 由此可知，形如31k +或32k +或9k （k 为整数）的数都具有性质P .
又若3
3|(,,)()3()()f x y z x y z x y z xy yz zx =++-++++，则3
3|()x y z ++，从而3|()x y z ++，进而可知3
9|(,,)()3()()f x y z x y z x y z xy yz zx =++-++++.
综合可知：当且仅当93n k =+或96n k =+（k 为整数）时，整数n 不具有性质P . 又2014＝9×223＋7，所以，在1，2，3，…，2013，2014这2014个连续整数中，不
具
有
性
质
P 的数共有224×2＝448
个. ……………………18分
19.作图
20. 本题10分。

按对称性作出S 经过平面镜M 1所成的像为S 1，S 1经过平面镜M 2
所成的像为S 2，S 经过平面镜M 1和M 2所成的像为S 3。

光路正确，反射光线的反向延长线过S 1、S 2的光路图各3分（共6分）， 经过M 1和M 2共2次反射后到达P 点的光路，4分。

反射光线或入射光线缺箭头倒扣1分。

虚、实线等辅助线错误，倒扣1分。

本题最低得零分。

按其他做法做出的，参照以上标准给分。

21. 2m g
a A (1分) 2(m B -m C ) g(2分) 2(m B -m C ) g/ρ(2分)
22.（20分）
（1）最初，k 1的弹力为零,由平衡条件知: k 2 x 2=m 1g (3分)
L
S
P
S 1
S 2 S 3
M 1
M 2
下面的轻质弹簧k 2相对于原长的压缩量x 2=
12
m g
k (2分) （2）下面的轻质弹簧k 2相对于原长达到伸长量时,m 2刚刚被提起
由平衡条件知: k 2 x 2ˊ=m 1g (3分)
轻质弹簧k 2相对于原长的最大伸长量x 2ˊ=
22
m g
k (2分) （3）在整个过程中,上面的轻质弹簧k 1相对于原长伸长的距离x 满足
k 2 x=m 1g + m 2g (4分)
故122
m +m g
x=
k （） (2分)
轻质弹簧k 1的上端上移的距离L= x 2 +x 2ˊ+ x (2分) 即L=
121212m +m g m +m g +k k （）（）=
12
1212
k +k m +m g k k （） (2分) 23.（20分）
解：（1
）3
1I kU U ==
由得 (3分) 12U V =
(2分) （2）1
2E U R I
-=
(3分) 225R =Ω
(2分)
（3）由于
P=UI ，而串联电路中的电流相等，故当
212132
6
2P ，P V V E U U ====
=时 (3分) 330.0230.54,I kU V V ==⨯=
(5分) 2350 5.560.549
U R I =
=Ω=Ω≈Ω (2分)
24.（20分）
(1)由于3个灯炮完全相同，所以每个灯泡两端的电压为：U L ＝12
3
V ＝4V (2分)
结合图象可得当U L ＝4V 时，I L ＝0.4A (2分)
R 2=60Ω
R 3=80Ω
R =1
A
C P …
R 1=30Ω
R 2=60Ω R 3=80Ω
R =100
A
C D
P E=30V ，r=0
故每个灯泡的电阻为：R ＝U L I L ＝4
0.4Ω＝10Ω (2分)
(2)设此时灯泡两端的电压为U ，流过每个灯泡的电流为I ，由欧姆定律得
8＝U ＋2IR 0 代入数据得U ＝8－20I, (5分) 可得到该直线与曲线的交点(2V ,0.3A) (5
分)
即流过灯泡的电流为0.3A ，则电流表的电流为I A ＝2I ＝0.6A (2分) 每个灯泡的实际功率为：P ＝UI ＝2×0.3W ＝0.6W (2分)
25.（20分）
解:(1) 标准电阻R 1=30Ω消耗的最大电功率P 1=I 2R 1,当AB 间的电阻R AB
最小时,干路中的电流I 最强,电功率P 1最大. (2分) 但R AB =
23DP 23DP ()(R R )R R CP CP R R R R +++++=23CP 23()(R R )
R R
CP R R R R ++-++
=(60)(180)
240
CP CP R R +-
(2分) 当=CP R 0时，R AB 最小，且R AB =45Ω
(4分)
此时标准电阻R 1=6Ω消耗的最大电功率 P 1=211(
)AB E R R R +=24
5
Ω=4.8W (2分)
(2) 若标准电阻R 1=60Ω,则AB 两点之间消耗的电功率
P= I(30-I R 1)=I(30-60I)=
-2
30I 60I (2分) 则AB 两点之间消耗的最大电功率P AB 在I=301
2(60)4
A A -
=⨯-时取得 (2分)
且最大电功率P AB 2
3015
3.754(60)4
W W -=
==⨯-
(2分)
若I=
11
4
AB E A R R =+，则160AB R R ==Ω
(2分)
令R AB =
23DP 23DP ()(R R )R R CP CP R R R R +++++=(160-)(80)
240
DP DP R R +=60Ω
得=DP R 40Ω时，P AB 最大 (2分)。