弹性力学-06温度应力
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（1） 温度应力 当弹性体的温度改变时，由于受到约束作用，造成弹性体不能 自由膨胀与收缩，由此而产生的应力。 —— 称为温度应力或变温应力 温度应力产生的条件： 温度改变； 受到约束作用，物体不能自由变形。 （2） 热传导 热量从物体的一部分传递到另一部分，或从一个物体传入 与之相接触的另一物体。 —— 称为热传导 （3） 温度场及其描述 任一瞬时，物体内各点的温度随位置（坐标）的分布规律， 称为该瞬时的温度场。 稳定温度场： 若物体内各点的温度只随位置（坐标）而变化，而不随时间 而变化的温度场。
T W 2 a T t c
a —— 称为导温系数。
T 2 a T t t
a c
—— 混凝土硬化发热期热传导微分方程
§6-3
热传导微分方程：
温度场的边值条件
或
T 2 W T t c c
1. 初始条件
一般形式：
T W 2 a T t c
(t )
( C )
绝热温升率： t
—— 绝热温升 关于时间的变化率 混凝土硬化发热期热传导方程的简化： 由于混凝土试块不大，且处于绝热 情况下，所以可近似认为试块内的温度 分布是均匀的，即温度只随时间而变化， 而不随坐标而变化，即
2T 2T 2T 2T 2 2 2 0 x y z
用
dQ dt
表示。
热流密度或热通量： 通过等温面单位面积的热流速度，用 q 表 示热流密度的大小，则有
dQ q /S dt
热流密度的矢量表示：
dQ q n0 /S dt
n0 为温度梯度方向的单位矢量。
“－”表示热流密度的矢量表示q 的方向 总是与温度梯度的方向相反。即：热量 总是由高温面传到低温面。
（6-7）
（1） 第一类边界条件 已知物体表面上任一点在所有各瞬时的温度，即
Ts f ( x, y, z, t ) Ts C
( x, y, z, S边界)
（6-7）
式中：TS 为物体表面的温度。 在最简单的情况下有 （C —— 为常数） （6-8）
此类边界条件，需由人工来实现，如：将物体与周围介质进行特殊的 热交换过程。
第六章
要点:
温度应力的平面问题
（1）温度场的确定 —— 热传导微分方程、温度场边界条件
的确定。
（2）温度应力场问题的基本方程 （3）温度应力场问题的求解方法
主
要
内
容
§6-1 §6-2
关于温度场和热传导的一些概念 热传导微分方程
§6-3 §6-4
§6-5 §6-6 §6-7 §6-8
温度场的边值条件 按位移求解温度应力的平面问题
此时，热传导微分方程成为：
T W 2 a T （b） t c T 而此时的 就是绝热温升率 t t
。
T W （c） t c W 因此有 c t
T W 2 a T t c
T W t c
而此时的
（b）
（c）
T 就是绝热温升率 t t W c t
－1[温度] －1
热流密度的大小：
q 在 x 轴上的投影为 T T T cos(q, x) cos( n0 , x) qx q cos(q, x) n x n
热流密度矢量
T q n
同理，热流密度矢量
q
在 y 轴、 z 轴上的投影为
T q x , x
（2） 第二类边界条件 已知物体表面上任一点处法向热流密度，即
qn S f ( x, y, z, t )
（b） —— 热传导微分方程。
其中：
a c
2 （6-3） a —— 称为导温系数。 单位：米 /时。
混凝土的导温系数 a = 0.003 ~ 0.005。
T 2 W T t c c T W 2 a T t c
—— 热传导微分方程。
（a）
（b）
说明： 式中系数： , c, , a 均可近似地当作常数，但热源强度 W 一般不能 当作常量，而必须是
由方程涉及的变量（t、x、y、z） 可知，其定解条件： 初始条件 、边界条件。
T t t f ( x, y , z )
0
（6-5） （6-6）
若初始为均匀分布，则：
T t t C
0
2. 边界条件
其中：C 为常数。
（1） 第一类边界条件 已知物体表面上任一点在所有各瞬时的温度，即
Ts f ( x, y, z, t ) ( x, y, z, S 边界)
同理，可得微元 体从其它两个方向净 传入的热量：
qx 2T dxdydzdt 2 dxdydzdt, x x q y 2T dxdydzdt 2 dxdydzdt, y y qz 2T dxdydzdt 2 dxdydzdt z z
在dt时间内，微元体 dxdxydz 净传入的总热量：
T T ( x, y, t ),
（4） 等温度面
T ( x, y, t ) 0, z T ( x, y, t ) 0 t
任一瞬时，连接场内温度相同的各点，得 到的曲面，称为该瞬时的等温面。
（4） 等温度面 任一瞬时，连接场内温度相同的各点，得 到的曲面，称为该瞬时的等温面。 图中虚线表示相差为ΔT 的一些等温面。
y
2T 2T 2T 2 2 2 dxdydzdt x y z
qx
y
dy
q x qx dx x
z x
2Tdxdydzdt
（4） 物体内热源产生的热量 z
O
x dx
dz
设热源强度为：W（单位时间、单位体积内供给的热量），则dt时间内，
T T q y , q z , y z
（6-2）
热平衡原理： 在任意一段时间内，物体的任一微小部分所积蓄的热量（亦即温度升高 所需的热量），等于传入该微小部分的热量加上内部热源所供给的热量。 热传导微分方程：
—— 热平衡原理
或
T 2 W T t c c
热源供给微元体 dxdxydz 热量：
Wdxdydzdt
（1）供热的热源—— 正热源，如金属通电发热、混凝土硬化 时发热、水份结冰时发热等； 热源： （2）吸热的热源—— 负热源；如水蒸发时吸热、冰粒溶解时 吸热等。
（5） 热传导微分方程
y
由热平衡原理，可知 （温度升高积蓄的热量）= （热流传入的热量）＋（热源供给的热量）
T T n0 n 温度梯度的物理意义： cos( n, x)
温度梯度代表该点的最大温度变化率的方向 和大小。 T T
x T 温度梯度的投影： y T z
n T cos( n, y ) n T cos( n, z ) n
（6） 热流速度与热流密度 热流速度： 单位时间内通过等温面面积S 的热量，
等温度面的性质： （a）沿等温面，温度不变；而沿其它面， 温度都为变化的。 （b）沿等温面的法线方向，温度的变化 率最大。
（5） 温度梯度 为表示温度 T 在某一点 P 处的变化率，在 P 点取一 矢量，称为温度梯度， 用ΔT 表示。 ΔT： 方向： 沿等温面的法线方向，即指温度增加的方向； 大小：
位移势函数的应用 用极坐标求解问题 圆环和圆筒的轴对称温度应力 楔形坝体中的温度应力
热应力:当弹性体（结构或构件）在非定常温度场中工作时， 弹性体各部分因膨胀或收缩改变其形状或尺寸。由于温度 场的不均匀变化，这种膨胀或收缩变形受到外部约束或内 部的变形协调要求而不能自由发生时，物体内部所产生的 附加应力，即所谓的变温应力，也称温度应力. 即使弹性体内各点温度变化是均匀的，若受到外部约束 的作用，也会在其内部产生热应力。 温度与变形耦合: 温度变化影响弹性体的变形,弹性体变形又影 响了温度场的分布. 温度与变形非耦合:物体在变形过程中其变形速率极为缓慢以致 变形对温度的影响可以略去不计, 这种情况下，温度与变形可 以独立地进行分析，温度场首先被独立地确定，然后再确定变 形场. 本章研究的是温度与变形的非耦合问题,即线性热弹性问题.
qx
y
dy
T cdxdydz dt t 2Tdxdydzdt Wdxdydzdt
将上式两边同除以：cdxdydzdt,
q x qx dx x
z x
O
z x dx
dz
并移项整理得：
（a）
T 2 W T t c c
或简写为：
T W 2 a T t c
T T ( x, y, z, t )
稳定温度场： 若物体内各点的温度只随位置（坐标）而变化，而不随时间 而变化的温度场。 即：
不稳定温度场：
T ( x, y, z , t ) 0 t —— 稳定温度场也称定常温度场。
若物体内各点的温度不仅随位置（坐标）而变化，而且随时 间而变化的温度场。 —— 不稳定温度场也称非定常温度场。 平面稳定温度场：
qx
y
dy
qx dydzdt
在dt时间内，微元体 dxdxydz 的右 面传出的热量：
q x qx dx x
z x
O
z x dx
q x dx dydzdt qx x
由热流密度与温度梯度的关系，有
dz
在dt时间内，微元体 dxdxydz 净传入的热量：
q x dxdydzdt t t
—— 混凝土硬化发热期热传导微分方程
（6-4）
本章（6章）内容回顾：
基本概念： 温度应力，温度场及其描述，温度梯度，热流密度等。 热传导基本定律：
q T
T q x , x
—— 富里叶（Fourier）热传导定律
T T dt t
由于温度升高，微元体积蓄的热量为：
y dy
T cdxdydz dt t
式中，ρ 为材料的密度； c 为材料 的比热容，即单位质量的物体温度升高 1°所需的热量； z
O x dx
y dz z x
（3） 热流传入的热量
y
在dt时间内，微元体 dxdxydz 的左 面传入的热量：
T q y , y T q z , z
（6-2）
表明：热流密度矢量 q 在任一方向上的投影，等于导热系数乘 以温度在该方向上的递减率。
§6-2
1. 热传导微分方程
热传导微分方程
（1） 热平衡原理 在任意一段时间内，物体的任一微小部分所积蓄的热量（亦即温度升高 所需的热量），等于传入该微小部分的热量加上内部热源所供给的热量。 （2） 温度升高积蓄的热量 取如图微元体 dxdydz ，设微元体 在dt时间内，温度由 T 升高到： —— 热平衡原理
为了确定弹性体内的温度应力,须进行两方面的计算:
(1)按照热传导理论,根据弹性体的热学性质\内部热源\初始条 件和边界条件,计算弹性体内各点在各瞬时的温度,即决定温 度场,前后两个温度场之差就是弹性体的变温. (2)按照热弹性力学,由弹性体的变温来求出体内各点的温度应 力,即决定应力场.
§6-1 关于温度场和热传导的一些概念
W W (t )
（6） 混凝土硬化过程中的热传导微分方程 混凝土硬化期间（硬化发热期）—— 不稳定温度场（非定常温度场）
绝热温升（ ）：
把混凝土试块放在绝热的条件下，使混凝土硬化时发生的热量全部 用于提高混凝土试块本身的温度，这时，量得试块温度的升高值 。
(t )
绝热温升（ ）:
（7） 热传导基本定律 热流密度与温度梯度成正比，而方向相反。即
q T
式中，比例常数 称为导热系数，可表示为
（i）
—— 富里叶（Fourier）热传导定律
dQ T / S dt n 由此可见，导热系数 的物理意义为：
单位温度梯度下通过等温面单位面积的热流速度。
的量纲：[热量][长度]－1[时间]
T n
取等温面的法线方向单位矢量为 n0，沿温度增加方向。
（5） 温度梯度
为表示温度 T 在某一点 P 处的变化率，在 P 点取一 矢量，称为温度梯度， 用ΔT 表示。
ΔT： 方向： 沿等温面的法线方向，即指温度增加的方向；
大小：
T n
取等温面的法线方向单位矢量为 n0，沿温度增加方向。 则温度梯度可表示为：
T W 2 a T t c
a —— 称为导温系数。
T 2 a T t t
a c
—— 混凝土硬化发热期热传导微分方程
§6-3
热传导微分方程：
温度场的边值条件
或
T 2 W T t c c
1. 初始条件
一般形式：
T W 2 a T t c
(t )
( C )
绝热温升率： t
—— 绝热温升 关于时间的变化率 混凝土硬化发热期热传导方程的简化： 由于混凝土试块不大，且处于绝热 情况下，所以可近似认为试块内的温度 分布是均匀的，即温度只随时间而变化， 而不随坐标而变化，即
2T 2T 2T 2T 2 2 2 0 x y z
用
dQ dt
表示。
热流密度或热通量： 通过等温面单位面积的热流速度，用 q 表 示热流密度的大小，则有
dQ q /S dt
热流密度的矢量表示：
dQ q n0 /S dt
n0 为温度梯度方向的单位矢量。
“－”表示热流密度的矢量表示q 的方向 总是与温度梯度的方向相反。即：热量 总是由高温面传到低温面。
（6-7）
（1） 第一类边界条件 已知物体表面上任一点在所有各瞬时的温度，即
Ts f ( x, y, z, t ) Ts C
( x, y, z, S边界)
（6-7）
式中：TS 为物体表面的温度。 在最简单的情况下有 （C —— 为常数） （6-8）
此类边界条件，需由人工来实现，如：将物体与周围介质进行特殊的 热交换过程。
第六章
要点:
温度应力的平面问题
（1）温度场的确定 —— 热传导微分方程、温度场边界条件
的确定。
（2）温度应力场问题的基本方程 （3）温度应力场问题的求解方法
主
要
内
容
§6-1 §6-2
关于温度场和热传导的一些概念 热传导微分方程
§6-3 §6-4
§6-5 §6-6 §6-7 §6-8
温度场的边值条件 按位移求解温度应力的平面问题
此时，热传导微分方程成为：
T W 2 a T （b） t c T 而此时的 就是绝热温升率 t t
。
T W （c） t c W 因此有 c t
T W 2 a T t c
T W t c
而此时的
（b）
（c）
T 就是绝热温升率 t t W c t
－1[温度] －1
热流密度的大小：
q 在 x 轴上的投影为 T T T cos(q, x) cos( n0 , x) qx q cos(q, x) n x n
热流密度矢量
T q n
同理，热流密度矢量
q
在 y 轴、 z 轴上的投影为
T q x , x
（2） 第二类边界条件 已知物体表面上任一点处法向热流密度，即
qn S f ( x, y, z, t )
（b） —— 热传导微分方程。
其中：
a c
2 （6-3） a —— 称为导温系数。 单位：米 /时。
混凝土的导温系数 a = 0.003 ~ 0.005。
T 2 W T t c c T W 2 a T t c
—— 热传导微分方程。
（a）
（b）
说明： 式中系数： , c, , a 均可近似地当作常数，但热源强度 W 一般不能 当作常量，而必须是
由方程涉及的变量（t、x、y、z） 可知，其定解条件： 初始条件 、边界条件。
T t t f ( x, y , z )
0
（6-5） （6-6）
若初始为均匀分布，则：
T t t C
0
2. 边界条件
其中：C 为常数。
（1） 第一类边界条件 已知物体表面上任一点在所有各瞬时的温度，即
Ts f ( x, y, z, t ) ( x, y, z, S 边界)
同理，可得微元 体从其它两个方向净 传入的热量：
qx 2T dxdydzdt 2 dxdydzdt, x x q y 2T dxdydzdt 2 dxdydzdt, y y qz 2T dxdydzdt 2 dxdydzdt z z
在dt时间内，微元体 dxdxydz 净传入的总热量：
T T ( x, y, t ),
（4） 等温度面
T ( x, y, t ) 0, z T ( x, y, t ) 0 t
任一瞬时，连接场内温度相同的各点，得 到的曲面，称为该瞬时的等温面。
（4） 等温度面 任一瞬时，连接场内温度相同的各点，得 到的曲面，称为该瞬时的等温面。 图中虚线表示相差为ΔT 的一些等温面。
y
2T 2T 2T 2 2 2 dxdydzdt x y z
qx
y
dy
q x qx dx x
z x
2Tdxdydzdt
（4） 物体内热源产生的热量 z
O
x dx
dz
设热源强度为：W（单位时间、单位体积内供给的热量），则dt时间内，
T T q y , q z , y z
（6-2）
热平衡原理： 在任意一段时间内，物体的任一微小部分所积蓄的热量（亦即温度升高 所需的热量），等于传入该微小部分的热量加上内部热源所供给的热量。 热传导微分方程：
—— 热平衡原理
或
T 2 W T t c c
热源供给微元体 dxdxydz 热量：
Wdxdydzdt
（1）供热的热源—— 正热源，如金属通电发热、混凝土硬化 时发热、水份结冰时发热等； 热源： （2）吸热的热源—— 负热源；如水蒸发时吸热、冰粒溶解时 吸热等。
（5） 热传导微分方程
y
由热平衡原理，可知 （温度升高积蓄的热量）= （热流传入的热量）＋（热源供给的热量）
T T n0 n 温度梯度的物理意义： cos( n, x)
温度梯度代表该点的最大温度变化率的方向 和大小。 T T
x T 温度梯度的投影： y T z
n T cos( n, y ) n T cos( n, z ) n
（6） 热流速度与热流密度 热流速度： 单位时间内通过等温面面积S 的热量，
等温度面的性质： （a）沿等温面，温度不变；而沿其它面， 温度都为变化的。 （b）沿等温面的法线方向，温度的变化 率最大。
（5） 温度梯度 为表示温度 T 在某一点 P 处的变化率，在 P 点取一 矢量，称为温度梯度， 用ΔT 表示。 ΔT： 方向： 沿等温面的法线方向，即指温度增加的方向； 大小：
位移势函数的应用 用极坐标求解问题 圆环和圆筒的轴对称温度应力 楔形坝体中的温度应力
热应力:当弹性体（结构或构件）在非定常温度场中工作时， 弹性体各部分因膨胀或收缩改变其形状或尺寸。由于温度 场的不均匀变化，这种膨胀或收缩变形受到外部约束或内 部的变形协调要求而不能自由发生时，物体内部所产生的 附加应力，即所谓的变温应力，也称温度应力. 即使弹性体内各点温度变化是均匀的，若受到外部约束 的作用，也会在其内部产生热应力。 温度与变形耦合: 温度变化影响弹性体的变形,弹性体变形又影 响了温度场的分布. 温度与变形非耦合:物体在变形过程中其变形速率极为缓慢以致 变形对温度的影响可以略去不计, 这种情况下，温度与变形可 以独立地进行分析，温度场首先被独立地确定，然后再确定变 形场. 本章研究的是温度与变形的非耦合问题,即线性热弹性问题.
qx
y
dy
T cdxdydz dt t 2Tdxdydzdt Wdxdydzdt
将上式两边同除以：cdxdydzdt,
q x qx dx x
z x
O
z x dx
dz
并移项整理得：
（a）
T 2 W T t c c
或简写为：
T W 2 a T t c
T T ( x, y, z, t )
稳定温度场： 若物体内各点的温度只随位置（坐标）而变化，而不随时间 而变化的温度场。 即：
不稳定温度场：
T ( x, y, z , t ) 0 t —— 稳定温度场也称定常温度场。
若物体内各点的温度不仅随位置（坐标）而变化，而且随时 间而变化的温度场。 —— 不稳定温度场也称非定常温度场。 平面稳定温度场：
qx
y
dy
qx dydzdt
在dt时间内，微元体 dxdxydz 的右 面传出的热量：
q x qx dx x
z x
O
z x dx
q x dx dydzdt qx x
由热流密度与温度梯度的关系，有
dz
在dt时间内，微元体 dxdxydz 净传入的热量：
q x dxdydzdt t t
—— 混凝土硬化发热期热传导微分方程
（6-4）
本章（6章）内容回顾：
基本概念： 温度应力，温度场及其描述，温度梯度，热流密度等。 热传导基本定律：
q T
T q x , x
—— 富里叶（Fourier）热传导定律
T T dt t
由于温度升高，微元体积蓄的热量为：
y dy
T cdxdydz dt t
式中，ρ 为材料的密度； c 为材料 的比热容，即单位质量的物体温度升高 1°所需的热量； z
O x dx
y dz z x
（3） 热流传入的热量
y
在dt时间内，微元体 dxdxydz 的左 面传入的热量：
T q y , y T q z , z
（6-2）
表明：热流密度矢量 q 在任一方向上的投影，等于导热系数乘 以温度在该方向上的递减率。
§6-2
1. 热传导微分方程
热传导微分方程
（1） 热平衡原理 在任意一段时间内，物体的任一微小部分所积蓄的热量（亦即温度升高 所需的热量），等于传入该微小部分的热量加上内部热源所供给的热量。 （2） 温度升高积蓄的热量 取如图微元体 dxdydz ，设微元体 在dt时间内，温度由 T 升高到： —— 热平衡原理
为了确定弹性体内的温度应力,须进行两方面的计算:
(1)按照热传导理论,根据弹性体的热学性质\内部热源\初始条 件和边界条件,计算弹性体内各点在各瞬时的温度,即决定温 度场,前后两个温度场之差就是弹性体的变温. (2)按照热弹性力学,由弹性体的变温来求出体内各点的温度应 力,即决定应力场.
§6-1 关于温度场和热传导的一些概念
W W (t )
（6） 混凝土硬化过程中的热传导微分方程 混凝土硬化期间（硬化发热期）—— 不稳定温度场（非定常温度场）
绝热温升（ ）：
把混凝土试块放在绝热的条件下，使混凝土硬化时发生的热量全部 用于提高混凝土试块本身的温度，这时，量得试块温度的升高值 。
(t )
绝热温升（ ）:
（7） 热传导基本定律 热流密度与温度梯度成正比，而方向相反。即
q T
式中，比例常数 称为导热系数，可表示为
（i）
—— 富里叶（Fourier）热传导定律
dQ T / S dt n 由此可见，导热系数 的物理意义为：
单位温度梯度下通过等温面单位面积的热流速度。
的量纲：[热量][长度]－1[时间]
T n
取等温面的法线方向单位矢量为 n0，沿温度增加方向。
（5） 温度梯度
为表示温度 T 在某一点 P 处的变化率，在 P 点取一 矢量，称为温度梯度， 用ΔT 表示。
ΔT： 方向： 沿等温面的法线方向，即指温度增加的方向；
大小：
T n
取等温面的法线方向单位矢量为 n0，沿温度增加方向。 则温度梯度可表示为：