北京市门头沟区2023届高三综合练习(一)数学试题

一、单选题
1. 定义域为的函数
的导函数记作，满足，，则不等式
的解集为（ ）
A
．
B
．
C
．D
．
2.
若集合
，则
（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
3. 现有随机选出的20个数据，统计如下，则（ ）
7 24 39 54 61 66 73 82 82 8287 91 95 8 98 102 102 108 114 120
A ．该组数据的众数为102
B ．该组数据的极差为112
C ．该组数据的中位数为87
D ．该组数据的80%分位数为102
4. 已知集合
，则图中阴影部分所表示的集合为（
）．
A
．
B
．
C
．
D
．
5. 已知向量
，
，
，若
，则实数
（ ）
A ．－2
B ．2
C ．1
D ．－1
6. 设椭圆
，双曲线
，（其中
）的离心率分别为
，则（ )
A
．
B
．
C
．
D ．与1大小不确定
7. 为正项等比数列
的前项和，若
，
，则
（ ）
A
．
B
．
C
．D
．
8. 双曲线
的焦距是虚轴长的2倍，则
（ ）
A
．
B ．－3
C ．－5
D
．
9.
已知定义在上的偶函数
，对任意不相等的
，有
，当
时，有（ ）
A
．B
．C
．
D
．
10. 已知i 为虚数单位，复数z 满足：z (1-i)=4-3i ，则z =（ ）
A
．B
．C
．D
．
11.
设双曲线
的右焦点为
，圆
与双曲线
的两条渐近线相切于，
两点，
，其中
为坐标原点，延长
交双曲线的另一条渐近线于点
，过点作圆的另一条切线，设切点为，则
（ ）
A
．B
．
C
．
D
．
12. 如图，一艘船向正北航行，航行速度为每小时30海里，在A 处看灯塔S 在船的北偏东
的方向上．1小时后，船航行到B 处，在B 处看灯
塔S 在船的北偏东
的方向上，则船航行到B 处时与灯塔S 的距离为（ ）
北京市门头沟区2023届高三综合练习(一)数学试题
二、多选题
A ．
海里
B ．
海里
C ．
海里
D ．
海里
13.
化简的结果为（ ）
A
．
B
．
C
．D
．
14. 棱长为2的正方体
中，E ，F 分别是棱BC
，
的中点，下列命题中错误的是（ ）
A
．
B ．EF
∥平面C ．EF
⊥平面
D ．四面体
的体积等于
15. 已知随机变量
服从正态分布
，若
，则
（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
16.
已知
是单位向量，且
，若向量
，则与的夹角为（ ）
A
．
B
．C
．D
．
17. 已知，则（ ）
A
．B
．C
．D
．
18. 若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A ．a +c >b +c
B ．ac 2≥bc 2
C
．
D ．(a +b )(a -b )>0
19. 设
、
分别是双曲线
的左、右焦点，且
，则下列结论正确的有（ ）
A
．
B ．当时，
C 的离心率是2
C ．到渐近线的距离随着n 的增大而减小
D ．当时，C 的实轴长是虚轴长的两倍
20.
在平面直角坐标系
中，抛物线
的焦点为，准线为，为抛物线上一点，
，为垂足.若直线
的斜率，则
下列结论正确的是（
）
A
．准线方程为B
．焦点坐标C
．点
的坐标为
D
．
的长为3
21. 在平面直角坐标系
中，已知双曲线的离心率为，
分别是双曲线
的左，右顶点，点是双曲线
三、填空题
的右支上位于第一象限的动点，记，的斜率分别为
，则（ ）
A ．双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为1时，双曲线
的方程为B
．双曲线
的渐近线方程为C ．为定值
D ．存在点
，使得
22. 复数
，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A
．
B ．z
的共轭复数为
C ．z 的实部与虚部之和为2
D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限
23. 我校以大课程观为理论基础，以关键能力和核心素养的课程化为突破口，深入探索普通高中创新人才培养的校本化课程体系.本学期共开
设了八大类校本课程，具体为学课拓展（X ）、体艺特长（T ）、实践创新(S )、生涯找划(C )、国际视野(I )、公民素养（G ）、大学先修（D ）、PBL 项目课程（P ）八大类，假期里决定继续开设这八大类课程，每天开设一类且不重复，连续开设八天，则（ ）
A ．某学生从中选3类，共有56种选法
B ．课程“X ”、“T ”排在不相邻两天，共有种排法
C ．课程中“S ”、“C ”、“T ”排在相邻三天，且“C ”只能排在“S ”与“T ”的中间，共有720种排法
D ．课程“T ”不排在第一天，课程“G ”
不排在最后一天，共有种排法
24. 给出下面四个推断，其中正确的为（ ）.
A ．若
，则
B ．若
，则；C ．若
，
，则D ．若
，
，则
25.
数列
满足，且（且），若的前
项和为，则满足的最小正整数的值
为___________.
26.
设函数
，若任意两个不相等正数
，都有
恒成立，则的取值范围是_______.
27. 已知是球
的直径上一点, ,平面 ,为垂足,
截球所得截面的面积为 ,
则球的表面积为
_______.
28.
若函数
的反函数的图象过点，则
______．
29. 已知数据
的方差为，数据的方差为，则
___________..
30. 品牌电商服务商是指专门为品牌方提供电子商务服务的商家，其中包括运营、IT 、营销、仓储物流、客户服务等内容．某品牌方准备与
甲、乙、丙3家服务商进行合作，为此对这3家服务商的运营、IT 、营销、仓储物流、客户服务进行考察，并根据考察结果对每项内容按照从优到劣分为
3个等级，则甲服务商的5项内容等级均高于乙和丙服务商的所有可能情况的种数为______．
四、解答题
五、解答题
31. 已知
，则曲线在点
处的切线方程为________.
32. 已知
，
，与的夹角为60°，则________.
33. 已知椭圆
，直线
过的左顶点与上顶点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为1．
(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点
，
（异于点）是椭圆上不同的两点，且，过作的垂线，垂足为，求到直线的距离的
最大值．
34. 已知角的顶点与原点O 重合，它的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点.
(1)
求的值；
(2)
求值：
.
35. 已知函数
，
，
.
（1）将函数化简成，（，
，
），
的形式；
（2）求函数
的值域.
36. 如图，平行六面体
的底面是菱形，且．试用尽可能多的方法解决以下两
问：
(1)若
，记面
为，面为，求二面角的平面角的余弦值；
(2)
当
的值为多少时，能使
平面
？
37. 已知函数
.
（1
）化简函数的表达式，并求函数的最小正周期；
（2）若点
是
图象的对称中心，且
，求点的坐标.
38. 某校高中“数学建模”实践小组欲测量某景区位于“观光湖”内两处景点，之间的距离，如图，
处为码头入口，处为码头，
为通往
码头的栈道，且，在B 处测得
，在处测得
（
均处于同一测
量的水平面内）
(1)求两处景点之间的距离；(2)
栈道
所在直线与
两处景点的连线是否垂直？请说明理由.
39. 某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在.
(1)求居民收入在的频率；
(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数、平均数及其众数；
(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则应月收入为
的人中抽取多少人？
40. 已知函数.
（1）在所给的坐标纸上作出函数的图像（不要求写出作图过程）；
（2）令，求函数的定义域及不等式的解集.
41. 已知函数；
（1）若，求的值，并作出的图象；
（2）当时，恒有，求的取值范围.
42. 某小型学院对所有入学新生进行了数学摸底考试，如果学生得分在35分以下，则不能进入正常数学班学习，必须进补习班补习，10名进入正常数学班的学生的摸底考试成绩和学期末考试成绩如下：
摸底成绩50354055806065359050
期末成绩53515668877146317968
并计算得：
（1）画出散点图；
六、解答题
（2）建立一个回归方程，用摸底考试成绩来预测期末考试成绩(精确到0.1)；
（3）如果期末考试60分是某课程结业的最低标准，预测摸底考试成绩低于多少分学生将不能获得某课程结业．
(附：)
43.
如图，在三棱柱
中，侧棱
底面
，
分别是线段的中点，是
线段
上异于端点的点．
(1)在平面
内，试作出过点与平面
平行的直线，说明理由，并证明直线
平面；
(2)设（1）中的直线
交
于点
，求三棱锥
的体积．
44. 2020年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人.2019年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿
服务活动累计超过150万小时，为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者，得到其平均每月的志愿服务时长（单位：小时）频数分布表如下：
500名志愿者平均每月的志愿服务时长频数分布表：
服务时长频数
10501001909040
20
（1）在答题卡上作出这500名志愿者平均每月的志愿服务时长的频率分布直方图；
（2）求这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）.
45.
记
为数列的前n 项和，已知，且．
(1)求证：数列
是等差数列，并求
的通项公式；
(2)从下列三个条件中选一个填在横线上，并完成下列问题．
若_________
，求数列
的前n 项和
．
①；②；③．
46. 如图，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）中，点是的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，，求证：．
47. 如图，已知平面平面，B为线段中点，，四边形为正方形，平面平面
，，，M为棱中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若，求多面体的体积.
48. 如图，直线和直线均垂直于平面，且，，为线段上一动点.
(1)求证平面；
(2)求面积的最小值.
49. 在四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，点、分别为、中点.
(1)求证：平面；
(2)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
七、解答题
50. 已知函数，其中为常数.
(1)若，求曲线
在点处的切线方程；(2)
若函数
的极大值点是
，且函数
的一个零点大于1
，求证：
.
51. 中学阶段，数学中的“对称性”不仅体现在平面几何、立体几何、解析几何和函数图象中，还体现在概率问题中．例如，甲乙两人进行比
赛，若甲每场比赛获胜概率均为，且每场比赛结果相互独立，则由对称性可知，在5场比赛后，甲获胜次数不低于3
场的概率为．现甲乙两人分别进行独立重复试验，每人抛掷一枚质地均匀的硬币．
(1)若两人各抛掷3次，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率；(2)若甲抛掷
次，乙抛掷n 次，
，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率．
52. 某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是
，
样本数据分组为
，
．
（Ⅰ）求直方图中的值；（Ⅱ
）如果年上缴税收不少于
万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业
个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；
（Ⅲ）从企业中任选个，这
个企业年上缴税收少于万元的个数记为
，求的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）
53. 在篮球比赛中，如果球员在分线内将球投进篮筐得
分，若在投篮过程中，遭到对方球员犯规，则将获得罚球机会，若球投中则获得次
罚球机会，若球未投中则获得次罚球机会，每次罚中
球得分，未罚中不得分；如果运动员在
分线外将球投进篮筐得分，且在投篮过程
中，若遭到对方球员犯规，也将获得罚球机会，若球投中则获得次罚球机会，若球未投中则获得次罚球机会.已知球员甲在不被犯规的条
件下分命中率为
，分命中率为
；在被犯规的条件下，各命中率减半.
每次投篮被犯规的概率始终为
，且罚球命中率为
，每次罚
球相互独立.
(1)若在某场比赛的最后时刻，球员甲所在的球队落后
分，还剩最后一次投篮机会，教练决定让甲投分球，求球队获胜的概率；(2)在一次进攻回合中，甲决定投分球，求这轮进攻甲得分的分布列及得分的数学期望.
54. 随着计算机时代的迅速发展，人工智能也渗透到生活的方方面面，如：线上缴费、指纹识别、动态导航等，给人们的生活带来极大的方
便，提升了生活质量，为了了解市场需求，某品牌“扫地机器人”公司随机调查了1000人，记录其年龄与是否使用“扫地机器人”得到如下统计图表：（分区间
，
，……
统计）
(1)
根据所给的数据，完成下面的列联表，并根据表中数据，判断是否有
的把握认为使用“扫地机器人”与年龄有关？
是否使用扫地机器人
年龄
是
否
八、解答题
(2)若以图表一中的频率视为概率，现从年龄在
的人中随机抽取3人做深度采访，求这3人中年龄在人数X 的分布列与数学期
望．附：
．
0.0500.0100.0
013.841
6.635
10.828
55. 2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十
年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，除此之外，卡塔尔世界杯还是首次在北半球冬季举行、第二次世界大战后首次由从未进过世界杯的国家举办的世界杯足球赛.小胡、小陈两位同学参加学校组织的世界杯知识答题拿积分比赛游戏，规则如下：小胡同学先答2道题，至少答对一道题后，小陈同学才存机会答题，同样也是两次答题机会，每答对一道题获得5积分，答错不得分.小胡同学每道题答对的概率均为，小陈同学每道题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响.
(1)求小陈同学有机会答题的概率；
(2)记为小胡和小陈同学一共拿到的积分，求的分布列和数学期望.
56. 为丰富学生在校的课余生活，某校高三年级倡导学生积极参加踢毽子、投篮、射门等体育活动．各班拟推选“运动健将”组建班级代表队
参与年级组织的体育比赛，年级依据各班团体和个人项目成绩的总积分排名给予表彰．
(1)踢毽子是团体项目之一．班级人均一分钟踢毽子数不低于37个就认定为优秀．A 班利用体育课进行一分钟踢毽子练习，体育委员统计出同
学们的成绩（全介于10到70之间）并作出频率分布直方图如图所示（原始成绩单丢失）．已知该频率分布直方图后四组“柱高”依次成等比数列，假若以这次练习的成绩做评价，该班是否能达到优秀标准？请你说明你的判断理由．
(2)年级组织的竞技比赛中设有定点投篮和射门两个个人项目，竞赛规则如下：参赛选手从甲、乙两种方式中任选一种进行比赛，若投中或
射中就称之为成功．
甲方式：从投篮、射门两项中通过抽签选择其中一个项目连续测试两次；
乙方式：从投篮、射门两项中通过抽签选择其中一个项目进行测试，若该项目成功则换另一个项目接着进行测试，否则重复测试该项目，此方式也只测试两次．
积分规则：无论选甲、乙哪种方式，若某项目首次测试成功就记5分，失败则记0分；再次测试该项目时，成功只记4分，失败仍记0分．
A 班推选a 同学代表班级从甲、乙两方式中选择一种参加个人项目比赛．已知a
同学投篮和射门的命中率分别为，，且前后两项测试不会
相互影响．以参加比赛的得分期望为标准，请问a 同学该选择哪种方式？
等可能地等可能地57. 已知函数
.
（1）求函数的最小正周期;
（2）求函数
的最大值及相应自变量的值.
58. 已知
中，
，且边上的中线交于点
.
(1)求的长;
(2)求的值.
59. 已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且+
，过、、三点的圆的半径为，过定点的直线与椭圆交于、两点（在之间）.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线的斜率为，在轴上是否存在点，使得以、为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出的取值范围；
如果不存在，请说明理由.
60. 如图1，已知为等边三角形，四边形为平行四边形，，把沿向上折起，使点E到达
点P位置，如图2所示；且平面平面．
(1)证明：；
(2)在（1）的条件下求二面角的余弦值．
61. 已知数列中，，令．
(1)计算的值，并求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
62. 在中，，，______，从①，②，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
(1)求的值；
(2)求和的面积.
（注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分）。