数系的扩充与复数的引入
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11:06
复数的分类
实数(b 0)
1、复数z=a+bi
虚数(b
0)
纯虚数(a 0，b 0) 非纯虚数(a 0，b
0)
2. 复数集、虚数集、实数集、 纯虚数集之间的关系
虚数集 复数集C 纯虚数集 实数集R
11:06
练习:
完成下列表格（分类一栏填实数、虚数或 纯虚数）
11:06
判 断
1、若a=0,则z=a+bi (a ∈ R、b ∈ R)为纯虚数. （假） 2、若z=a+bi (a ∈ R、b ∈ R)为纯虚数,则a=0. （真）
故a=0是z=a+bi (a ∈ R、b ∈ R)为纯虚数的
必要不充分 条件.
11:06
思考
复数集与实数集、虚数集、纯虚数集 之间有什么关系？
11:06
有趣的过去
人们在研究方程解得过程中，遇到了负数开根号的 问题。而且这种问题逐渐在很多问题中被碰到，而且 不管什么地方，在数学推理步骤中用到了负数开根号， 结果都被证明是正确的。特别是1799年，高斯 （Gauss,1777- 1855）关于“代数基本定理”的证明必须 依赖对它的承认，虽然负数开根号是没有意义的，但 通过这些记号，代数中极其有用的一部分便建立起来 的，人们逐渐认识到了它的正确性。
课堂小结
一、数系的扩充 二、复数有关的概念 1、复数的代数形式；2、复数的实部、虚部； 3、虚数、纯虚数；4、复数的相等.
课下作业
习题3.1 ： 1 ， 2， 3
11:06
例 1: 实数m取什么值时，复数 z m 1 (m 1)i 是
（1）实数？
（2）虚数？ （3）纯虚数？
解：（1）当 m 1 0 ，即m 1 时，复数z 是实数．
（2）当m 1 0，即m 1 时，复数z 是虚数．
（3）当m 1 0 ，且 m 1 0，m即m1 m1010时0，复
值为____2__。
3.复数4-3a-a2i与复数a2+4ai相等，则实数a的值
为_____4__。
归纳小结
虚数的引入
复数 z = a + bi (a,b∈R)
复数的分类
当b=0时z为实数; 当b0时z为虚数
(此时,当a =0时z为纯虚数).
11:06
复数的相等
a+bi=c+di
a=c
(a, b,c,dR) b=d
(a,b, c, d R)
a b
c d
两个虚数不能比较大小，只能由定义判断它们相
等或不相等。
11:06
思考
若a
bi
0(a、b R)
ba
0 0
11:06
说一说 1.若2-3i=a-3i,求实数a的值； 2.若8+5i=8+bi,求实数b的值；
3.若4+bi=a-2i，求实数a,b的值。
解：根据复数相等的定义，得方程组
x y 2x 5
x
2y
3x
y
得
x 3
y
2
11:06
当堂检测
1.以3i-2的虚部为实部，以3i2+3i的实部为虚部 的复数是 （B）
A -2+3i B 3-3i C -3+3i D 3+3i 2.若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数a的
2 i， 2i， (2 3)i， 2 3i， 2 3, 2 3
a bi
11:06
定义：把形如a+bi的数叫做复数 （a,b 是实数）
复 复数全体组成的集合叫复数集，
数
记作：C
的
z a bi (a R,b R)
概
实部
虚部
虚数
念
单位
11:06
数
系
的
虚数 ？复数
负数的引入，解决了在数集中不够减的矛盾.
数的发展史
被“推”出来的无理数
2500年古希腊的毕达哥拉斯学派认为, 世间任何数都 可以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条.有一 天,这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方 形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究, 终于证明出它不 能用整数或分数表示. 但这打破了毕达哥拉斯学派的信条, 引起了数学史上的第一次危机，进而建立了无理数，扩大 了数域，为数学的发展做出了贡献。由于希伯斯坚持真理， 他被扔进大海，为此献出了年轻的生命。
数 z 是纯虚数．
11:06
变式训练:当实数m为何值时，复数
是 （1）实数 （2）虚数
m 1或m 1 m 1且m 1
（3）纯虚数
m 2
11:06
例 2:
已知 (x y) x 2yi (2x 5) (3x y)i ，
其中 x, y R, 求 x与y.
数的发展史
自然数：数出来
远古的人类，为了统计捕获的野兽和采集的野果， 用划痕、 石子、结绳记个数，历经漫长的岁月，创造了 自然数1、2、3、4、5、…自然数是现实世界最基本的数 量，是全部数学的发源地．
古代印度人最早使用了“0”.
数的发展史
被“分”出来的分数
随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示整数 是远远不行的. 如果分配猎获物时，2个人分1件东西，每个人应该得多少呢？ 于是分数就产生了.
无理数的引入解决了开方开不尽的矛盾.
数 在有理数集中方程 x2 2 0 有解吗?
系 的
x3 2
扩
无理数 实数
充
分数 有理数
负整数 整数
自然数
11:06
减 加
实数
除 乘
解方程 x2 1, x ？
我们发现此方程在实数范围类无解，说明现有的数集不能满 足我们的需求，那么我们必须把数集进一步扩充。
问题解决:
为了解决负数开平方问题，数学家大胆引入一个 新数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定：
(1) i 21 ；
(2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运算时, 原有的加法与乘法的运算律 (包括交换律、结合律和分配律)仍然成立.
11:06
动动手
下列这些数与虚数单位i经过了哪些运算？
扩
无理数 实数
充
分数 有理数
负整数
整数
自然数
11:06
讨论
观察复数的代数形式 复数的分类？
z a bi(a R,b R)
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位。
当a=__0_且b=__0__时，则z=0 当b=__0_时，则z为实数 当b_≠_0_时，则z为虚数 当a=__0_且b_≠_0_ 时，则z为纯虚数
分数的引入,解决了在整数集中不能整除的矛盾.
数的发展史
被“欠”出来的负数
为了表示种具有相反意义的量以及满足记数法的需要， 人类引进各了负数． 负数概念最早产生于我国， 东汉初 期的“九章算术”中就有负数的说法．公元3世纪，刘徽 在注解“九章算术”时，明确定义了正负数：“两算得 失相反，要令正负以名之”．不仅如此，刘徽还给出了 正负数的加减法运算法则． 千年之后， 负数概念才经由 阿拉伯传人欧洲。
2 3i
0
1 4i 23
6i
实部 2 0 虚部 -3 0
1 0
2
4 3
6
分类
虚数 实数
虚数
纯虚 数
i2
-1 0
实数
11:06
想一想
如果两个复数相等，那么它们应满 足什么条件呢？
11:06
复数相等
知新
▲ 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那
么我们就说这两个复数相等.即
a bi c di
复数的分类
实数(b 0)
1、复数z=a+bi
虚数(b
0)
纯虚数(a 0，b 0) 非纯虚数(a 0，b
0)
2. 复数集、虚数集、实数集、 纯虚数集之间的关系
虚数集 复数集C 纯虚数集 实数集R
11:06
练习:
完成下列表格（分类一栏填实数、虚数或 纯虚数）
11:06
判 断
1、若a=0,则z=a+bi (a ∈ R、b ∈ R)为纯虚数. （假） 2、若z=a+bi (a ∈ R、b ∈ R)为纯虚数,则a=0. （真）
故a=0是z=a+bi (a ∈ R、b ∈ R)为纯虚数的
必要不充分 条件.
11:06
思考
复数集与实数集、虚数集、纯虚数集 之间有什么关系？
11:06
有趣的过去
人们在研究方程解得过程中，遇到了负数开根号的 问题。而且这种问题逐渐在很多问题中被碰到，而且 不管什么地方，在数学推理步骤中用到了负数开根号， 结果都被证明是正确的。特别是1799年，高斯 （Gauss,1777- 1855）关于“代数基本定理”的证明必须 依赖对它的承认，虽然负数开根号是没有意义的，但 通过这些记号，代数中极其有用的一部分便建立起来 的，人们逐渐认识到了它的正确性。
课堂小结
一、数系的扩充 二、复数有关的概念 1、复数的代数形式；2、复数的实部、虚部； 3、虚数、纯虚数；4、复数的相等.
课下作业
习题3.1 ： 1 ， 2， 3
11:06
例 1: 实数m取什么值时，复数 z m 1 (m 1)i 是
（1）实数？
（2）虚数？ （3）纯虚数？
解：（1）当 m 1 0 ，即m 1 时，复数z 是实数．
（2）当m 1 0，即m 1 时，复数z 是虚数．
（3）当m 1 0 ，且 m 1 0，m即m1 m1010时0，复
值为____2__。
3.复数4-3a-a2i与复数a2+4ai相等，则实数a的值
为_____4__。
归纳小结
虚数的引入
复数 z = a + bi (a,b∈R)
复数的分类
当b=0时z为实数; 当b0时z为虚数
(此时,当a =0时z为纯虚数).
11:06
复数的相等
a+bi=c+di
a=c
(a, b,c,dR) b=d
(a,b, c, d R)
a b
c d
两个虚数不能比较大小，只能由定义判断它们相
等或不相等。
11:06
思考
若a
bi
0(a、b R)
ba
0 0
11:06
说一说 1.若2-3i=a-3i,求实数a的值； 2.若8+5i=8+bi,求实数b的值；
3.若4+bi=a-2i，求实数a,b的值。
解：根据复数相等的定义，得方程组
x y 2x 5
x
2y
3x
y
得
x 3
y
2
11:06
当堂检测
1.以3i-2的虚部为实部，以3i2+3i的实部为虚部 的复数是 （B）
A -2+3i B 3-3i C -3+3i D 3+3i 2.若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数a的
2 i， 2i， (2 3)i， 2 3i， 2 3, 2 3
a bi
11:06
定义：把形如a+bi的数叫做复数 （a,b 是实数）
复 复数全体组成的集合叫复数集，
数
记作：C
的
z a bi (a R,b R)
概
实部
虚部
虚数
念
单位
11:06
数
系
的
虚数 ？复数
负数的引入，解决了在数集中不够减的矛盾.
数的发展史
被“推”出来的无理数
2500年古希腊的毕达哥拉斯学派认为, 世间任何数都 可以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条.有一 天,这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方 形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究, 终于证明出它不 能用整数或分数表示. 但这打破了毕达哥拉斯学派的信条, 引起了数学史上的第一次危机，进而建立了无理数，扩大 了数域，为数学的发展做出了贡献。由于希伯斯坚持真理， 他被扔进大海，为此献出了年轻的生命。
数 z 是纯虚数．
11:06
变式训练:当实数m为何值时，复数
是 （1）实数 （2）虚数
m 1或m 1 m 1且m 1
（3）纯虚数
m 2
11:06
例 2:
已知 (x y) x 2yi (2x 5) (3x y)i ，
其中 x, y R, 求 x与y.
数的发展史
自然数：数出来
远古的人类，为了统计捕获的野兽和采集的野果， 用划痕、 石子、结绳记个数，历经漫长的岁月，创造了 自然数1、2、3、4、5、…自然数是现实世界最基本的数 量，是全部数学的发源地．
古代印度人最早使用了“0”.
数的发展史
被“分”出来的分数
随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示整数 是远远不行的. 如果分配猎获物时，2个人分1件东西，每个人应该得多少呢？ 于是分数就产生了.
无理数的引入解决了开方开不尽的矛盾.
数 在有理数集中方程 x2 2 0 有解吗?
系 的
x3 2
扩
无理数 实数
充
分数 有理数
负整数 整数
自然数
11:06
减 加
实数
除 乘
解方程 x2 1, x ？
我们发现此方程在实数范围类无解，说明现有的数集不能满 足我们的需求，那么我们必须把数集进一步扩充。
问题解决:
为了解决负数开平方问题，数学家大胆引入一个 新数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定：
(1) i 21 ；
(2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运算时, 原有的加法与乘法的运算律 (包括交换律、结合律和分配律)仍然成立.
11:06
动动手
下列这些数与虚数单位i经过了哪些运算？
扩
无理数 实数
充
分数 有理数
负整数
整数
自然数
11:06
讨论
观察复数的代数形式 复数的分类？
z a bi(a R,b R)
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位。
当a=__0_且b=__0__时，则z=0 当b=__0_时，则z为实数 当b_≠_0_时，则z为虚数 当a=__0_且b_≠_0_ 时，则z为纯虚数
分数的引入,解决了在整数集中不能整除的矛盾.
数的发展史
被“欠”出来的负数
为了表示种具有相反意义的量以及满足记数法的需要， 人类引进各了负数． 负数概念最早产生于我国， 东汉初 期的“九章算术”中就有负数的说法．公元3世纪，刘徽 在注解“九章算术”时，明确定义了正负数：“两算得 失相反，要令正负以名之”．不仅如此，刘徽还给出了 正负数的加减法运算法则． 千年之后， 负数概念才经由 阿拉伯传人欧洲。
2 3i
0
1 4i 23
6i
实部 2 0 虚部 -3 0
1 0
2
4 3
6
分类
虚数 实数
虚数
纯虚 数
i2
-1 0
实数
11:06
想一想
如果两个复数相等，那么它们应满 足什么条件呢？
11:06
复数相等
知新
▲ 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那
么我们就说这两个复数相等.即
a bi c di