石家庄市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题含解析

2019-2020学年河北省石家庄市高一（下)期末数学试卷
一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分,在题目给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知直线l 经过()()1,1,2,3A B 两点,则l 的斜率为（） A.
2
B 。

2
3
C. 43
D 。

12
【答案】A 【解析】 【分析】
直接代入两点的斜率公式2121
y y k x x -=-，计算即可得出答案．
【详解】31
221
k -==- 故选A
【点睛】本题考查两点的斜率公式,属于基础题． 2。

不等式3
1x x ->-解集为（ ）
A 。

{x ｜﹣3＜x ＜1} B. {x |1＜x ＜3}
C. ｛x |x ＜1或x ＞3｝ D 。

{x |x ＜﹣3或x ＞1}
【答案】C 【解析】 【分析】
把不等式3
01x x ->-转化为3010x x ->⎧⎨->⎩或3010x x -<⎧⎨-<⎩，即可求解。

【详解】由题意，不等式3
01x x ->-等价于3010x x ->⎧⎨->⎩或3010x x -<⎧⎨-<⎩
，
解得3x >或1x <，即不等式3
01x x ->-的解集为{|3x x 或1}x <。

故选：C 。

【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解，其中解答中熟记分式不等式的解法是解答的关键，着重考查运算与求解能力，属于基础题。

3。

如果
x ＞0，y ＞0，且11
1x y +=，则
xy 有（ )
A. 最小值4
B. 最大值4 C 。

最大值1
4
D 。

最小值1
4
【答案】A 【解析】 【分析】
利用基本不等式即可求解.
【详解】x ＞0，y ＞0，且11
1x y +=，
又11x y
+≥1≤，114xy ≤，
即4xy ≥，当2x y ==时取等号， 则xy 有最小值4, 故选：A
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题。

4. 已知0a b <<，则下列不等式成立的是（ ） A 。

22a b <
B.
2a ab
< C 。

11
a b
> D 。

1b a
< 【答案】D 【解析】 【分析】
利用特殊值法和作差比较法比较即得正确选项
【详解】解：对于A 选项,取特殊值5,1a b =-= ,满足0a b <<,但2
2a
b <不满
足，故错误；
对于B 选项，因为0a b <<，所以0a b -<，所以()2
0a ab a a b -=->，故错误；
对于C 选项，因为0a b <<,所以0,0b a ab -><，所以1
1
0b a a b ab --=
<，即11
a b
<，故错误; 对于D 选项，因为0a b <<,所以0b a ->,所以
10b b a
a a --=<，即1
b a
<，故正确。

故选:D.
【点睛】（1)本题主要考查不等式的性质和实数比较大小，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力
(2)比较实数大小，常用包括比差和比商两种方法.比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等)→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形(配方、因式分解、通分等）→与1
比→下结论。

如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差。

5。

正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，异面直线AA 1与BC 1所成的角为 A. 60° B. 45° C 。

30° D. 90°
【答案】B 【解析】
【详解】由正方体性质可知,直线∥,
所以异面直线与所成的角即转化为直线与
所成的角,
那么在中，可知
与
所成的角为
，
所以即异面直线与
所成的角为
．
6. 已知数列｛a n ｝等比数列,若q ＝2，S 4＝1，则S 8＝（ ）
A 。

1
15
-
B. ﹣255 C 。

1
D 。

17
【答案】D
【解析】 【分析】
由等比数列的性质，先求得8
4S S -,然后可得8S ．
【详解】∵数列｛a n ｝为等比数列，q ＝2，S 4＝1，
∴4448
4567812344()1216S S a a a a a a a a q S q -=+++=+++==⨯=，
∴8
11617S
=+=．
故选：D ．
【点睛】本题考查等比数列的前n 项和，考查等比数列的性质．掌握等比数列的性质解题更加简便,本题利用性质可以避免求1
a ．
7.
已知点()1,3A ，动点(),P x y 的坐标满足02x y x x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
,则AP
的最大值为
（ ) A 。

B. C 。

D.
【答案】B 【解析】 【分析】
先由约束条件画出可行域，根据AP 表示平面区域内的点到()1,3A 的距离，结合图形,即可得出结果.
【详解】画出约束条件02x y x x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
表示的平面区域如下:
因为AP表示平面区域内的点到()1,3
A的距离,过点A作AM x⊥轴于点M，
则(1,0)
M，显然是(0,0)和(2,0)的中点，
因此当点(),
P x y为(0,0)或(2,0)时，AP最大，
且最大值为：22
AP=+=
1310
故选：B。

【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，考查求非线性目标函数的最值，属于基础题型.
8。

平面α与平面β平行的条件可以是（）
A. α内有无数条直线都与β平行
B. 直线a∥α,a∥β，且直线a不在α内，也不在β内
C. α内的任何直线都与β平行
D。

直线a在α内，直线b在β内，且a∥β，b∥α
【答案】C
【解析】
【分析】
根据面面平行的性质和判定定理进行判断即可
【详解】对A，若α内的无数条直线都平行，平面α与平面β不一
定平行，也可能相交，垂直，A 错
对B ，当直线平行于两平面交线时，符合命题叙述，但平面α与平面β相交,B 错
对C ，“α内的任何直线都与β平行”可等价转化为“α内的两条相交直线与β平行”，根据面面平行的判定定理，C 正确
对D ，当两平面相交,直线a ，直线b 都跟交线平行且符合命题叙述时，得不到平面α与平面β平行，D 错 故选C
【点睛】本题考查面面平行的判定：当两条相交直线与另一平面平行时，则过这两条交线的平面与另一平面平行
9. 直线y ＝4x ﹣5关于点P （2，1）对称的直线方程是（ ） A 。

y ＝4x +5 B. y ＝4x ﹣5 C. y ＝4x ﹣9 D. y ＝4x +9
【答案】C 【解析】 【分析】
设直线45y x =-上的点()00,P x y 关于点()2,1的对称点的坐标为(),x y ，求出
x ，0
y ,再代入直线45y x =-中即可得到对称直线的方程。

【详解】设直线45y x =-上的点()00,P x y 关于点()2,1的对称点的坐标为
(),x y ，
所以0 22=x x +，021=y y +，所以04x x =-，02y y =-，
将其代入直线45y x =-中，得到()2445y x -=--，化简得49y x =-， 故选：C ．
【点睛】本题主要考查的知识要点：直线的方程和中点坐标公式，
属于基础题.
10。

一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为53，则h 的值为（ ）
A 。

3
2
B 。

3
C 。

33
D 。

53
【答案】A 【解析】 【分析】
根据三视图还原原几何体，结合锥体的体积公式可求得h 的值. 【详解】根据三视图还原原几何体如下图所示：
该几何体是四棱锥，底面为矩形,
结合图中的数据可得体积1
5610533V h h =⨯⨯⨯==3
h =
故选:A 。

【点睛】本题考查利用三视图计算棱锥的高,考查锥体体积的应用，考查计算能力,属于基础题.
11. 已知A ，B ，C ,D 是同一球面上的四个点,其中ABC ∆是正三角形，
AD ⊥平面ABC ，212AD AB ==,则该球的表面积为(
）
A.
643π
B.
96π
C 。

192π
D 。

48π
【答案】C 【解析】 【分析】
画出几何体的图形，把A 、B 、C 、D 扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A 的距离为球的半径，求出半径即可求解球的表面积．
【详解】
由题意画出几何体的图形如图,
把A 、B 、C 、D 扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A 的距离 为球的半径，
212AD AB ==，ABC ∆是正三角形，所以2343AE AO ==，．
所求球的表面积为：2
443192π
π=（）．
故选C ．
【点睛】本题考查球的表面积的求法，球的内接体问题，考查空间想象能力以及计算能力．
12。

如果一个数列由有限个连续的正整数按从小到大的顺序组成（数列的项数大于2）,且所有项数之和为N ，那么称该数列为“N 型标准数列",例如,数列3,4,5,6,7为“25型标准数列”，则“5336型标准数列”的个数为( ） A 。

2 B. 3 C 。

4 D.
5
【答案】B 【解析】 【分析】
利用等差数列的前n 项和公式得出这个有限连续正整数数列的首项与项数的关系，然后分析其所有取值可能性.
【详解】设这连续的正整数有n 个，第一个数为1
a ，则由题意得:
()1153362
n n na -+=，整理得()41211067222329n a n +-==⨯⨯，
因为1
21n a n <+-，且n 与121a n +-一奇一偶，
所以n 与121a n +-的可能值为16与667，与23与464，29与368共三组， 所以“5336型标准数列”有3组。

故选:B 。

【点睛】本题考查数列新定义问题，考查等差数列的前n 项和公式及应用，难度一般,理解题目意思是关键。

二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 水平放置的△ABC 的直观图如图所示，已知A 'C ′＝4，B ’C ＝3
2，则原图中AB 边上中线的实际长度为_____。

【答案】5
2
【解析】
【分析】
由直观图得出原平面图形△ABC是直角三角形，由题意可求出AB 边上的中线长度．
【详解】由直观图得出原平面图形△ABC，如图所示;
,
则直观图中A′C′＝4，B′C′＝3
2
所以△ABC是直角三角形,且AC＝4，BC＝3，所以AB＝5，
．
可得AB边上的中线长度为5
2
．
故答案为：5
2
【点睛】本题考查斜二测画法画直观图的应用问题,掌握斜二测画法直观图与原图中的线段关系是解题的关键．
14. 不等式220
-+≥对于任意的实数x恒成立，则实数k的取值范围x kx k
是_____.
【答案】08
≤≤
k
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式恒成立，得到判别式小于等于0，进而可求出
结果.
【详解】因为不等式2
20x kx k -+≥对于任意的实数x 恒成立,
所以只需2
80k
k ∆=-≤，
解得：08k ≤≤. 故答案为：08k ≤≤.
【点睛】本题主要考查由一元二次不等式恒成立求参数的问题,属于基础题型.
15. 数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,若()11,1,31n n a a S n +=≥=则
n a =____________
．
【答案】21,1
34,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩
.
【解析】 【详解】()13,1n n a S n N n ++=∈∴=时，23,2a n =≥时，13n n a S -=，可得13n n n a a a +-=，
即1
4,n n a
a +=∴数列{}n a 从第二项起为等比数列，2n ≥时，=n a 234n -⋅，故答
案为21,134,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩
.
【方法点睛】本题主要考查数列通项与前n 项和之间的关系以及公式1(2)n
n n a
S S n -=-≥的应用，属于难题.已知n S 求n a 的一般步骤：（1）当1
n =时,由1
1a
S =求1a 的值；（2)当2n ≥时，由1n n n a S S -=-,求得n a 的表达式；（3）
检验1
a 的值是否满足（2）中的表达式,若不满足则分段表示n
a ;（4）写出n
a 的完整表达式.
16。

已知
a ＞1，
b ＞1，ab ＝8，则22210g 10g 10g (4)a b
a ⋅的最大值为_____。

【答案】7-【解析】
【分析】
由已知把b 用a 表示，然后用换元法，设2
log
2a t +=，（25t <<),化为关于
t 的函数式，用基本不等式求得最值．
【详解】由8ab =得2
2
2log ()log
log 3ab a b =+=，22log 3log b a =-，2(1log 3)a <<,
22222210g 10g log (3log )
10g (4)log 2
a a a
b a a ⋅-=+，设2log 2a t +=，则25t <<，
222210g 10g (2)(5)71010710g (4)t t t t y t b t a a t t ⋅---+-⎛⎫
====-++ ⎪⎝
⎭，
∵25t <<
，10t t +
≥=10t t =
，即t ,
∴10
t t +
的最小值是，∴1010y t t ⎛⎫
=-++ ⎪⎝
⎭
的最大值为7-
故答案为：7-
【点睛】本题考查对数的运算法则,解题方法是换元法，首先由已知条件消元,然后换元，把函数式变得更加简单易求解．还考查了用基本不等式求最值，属于中档．
三、解答题：（17—22题为必做题,23题为选做题,解答题应写岀必要文字说明、证明过程或演算步骤)
17。

已知直线l 1：x +y +2＝0;l 2：mx +2y +n ＝0。

（1）若l 1⊥l 2，求m 的值； (2)若l 1//l 2，且他们
m ,n 的值。

【答案】（1）2m =-;（2）2m =
，4n =±．
【解析】 【分析】
（1)由垂直得斜率互为负倒数，可求得m ； （2)由平行求得m ，再由距离求得n ．
【详解】（1）1l 的斜率为11k =-，∵l 1⊥l 2，∴直线2l 的斜率为212
m
k =-=，∴2m =-；
（2）∵12l l //，∴
2
11
m =，2m =（4n 时两直线平行），
2l 的方程化为02
n
x y ++=
，∴两平行间的距离为d ==
4n =±．
【点睛】本题考查两直线垂直与平行的条件，考查两平行线间的距离公式,属于基础题．
18. △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ，c ,且△ABC 的面积
1
tan 4
S ac B =
⋅。

（Ⅰ）求B ；
（Ⅱ）若a ,b ，c 成等差数列,△ABC
求b 。

【答案】（Ⅰ）=3
B π
;
（Ⅱ）b =
【解析】 【分析】
(Ⅰ)直接利用三角形的面积公式化简得到答案；
（Ⅱ）根据a ，b ,c 成等差数列和△ABC 的面积求出2ac =,再利用余弦定理化简求出答案。

【详解】（Ⅰ）∵11
tan =sin 42
S ac B ac B =⋅⋅， ∴1
cos =
2
B ， 又∵0B π<<, ∴=3B π
；
（Ⅱ）∵a ，b ，c 成等差数列 ∴2a c b +=
∵11
=sin =22
S ac B ac ⋅, ∴2ac =，
∵()()2
2
2
22222241cos =2442
a c ac b
b b a
c b B ac +----+-===，
∴b =
b =。

【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，其中涉及到三角形的面积公式和等差数列，考查运算求解能力，属于常见的基础题型。

19。

已知数列｛a n }为等差数列,公差d ＞0，且a 1a 4＝4，S 4＝10. (1）求数列｛a n }的通项公式; （2)令
b n ＝1
1n n a a +⋅，求数列｛b n }的前n 项和T n 。

【答案】（1）n
a n =；(2）1
n n
T n =
+。

【解析】 【分析】
(1）直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；
（2）利用（1）的结论,进一步利用裂项相消法求出数列的和. 【详解】（1)数列{}n
a 为等差数列,公差0d >,且14
4a a
=,410S =，
整理得()1113=4
43
4=102a a d a d ⎧+⎪
⎨⨯+⎪⎩
，解得11a =,1d =， 所以n
a
n =。

（2）由(1）得()111=111=
=1
n n n b a a n n n n +-++⋅,
所以11111=1=11=231211
n n T n n n n -+-+⋯+--+++。

【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，属于基础性题．
20. 已知AB 是底部B 不可到达的建筑物，A 是建筑物的最高点，为测量建筑物AB 的高度,先把高度为1.5米的测角仪放置在CD 位置，测得A 的仰角为45°，再把测角仪放置在EF 位置，测得A 的仰角为75°，已知DF ＝4米，D ,F ，B 在同一水平线上，求建筑物
AB 的高度。

【答案】约为16。

43米． 【解析】 【分析】
利用正切值求得AG 后可得．
【详解】设AG h =，∵45,75ACG AEG ∠=︒∠=︒，
3
1tan 45tan 303tan 75tan(4530)231tan 45tan 303
11+
︒+︒︒=︒+︒===+-︒︒-⨯
则CG AG h ==,(23)tan 7523
AG EG h =
==︒+，
∴(23)4CG EG h h -=-=，4(23)23
h =
=-,
∴ 1.54(23) 1.516.43AB h =+=++≈．
∴AB 的高度约为16.43米．
【点睛】本题考查解三角形的应用，解题时要善于从图形中发现规律，确定利用什么公式求解，本题只要应用直角三角形中的正切函数定义即可求解．
21. 如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝
BC ＝1,AB //DC ，AB ＝2CD ，∠BCD ＝90°.
（Ⅰ）求证：PB ⊥AD ；
（Ⅱ）求点C 到平面PAB 的距离。

【答案】(1)见证明；（2）2
2
【解析】 【分析】
（1）取AB 中点为M ，通过勾股定理证明AD BD ⊥，再得到AD ⊥平面PDB ，从而证明AD PB ⊥.
(2）根据三棱锥C PAB -等体积转化,以
ABC 为底，PD 为高,求出三棱锥
C PAB
-的体积，再求出PAB △的面积，以PAB △为底，C 到平面PAB 的距
离为高,从而得到C 到平面PAB 的距离.
【详解】如图，取AB 中点为M ，连接,,PM DM BD
因为2,,1,//,90AB CD AM MB DC BC CD AB BCD ︒
====∠=
所以四边形BCDM 为正方形. 所以1DM BC AM MB ==== 所以2,2,2AD BD AB ===。

所以2
22AB
BD AD =+
所以AD BD ⊥
因为PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PD AD ⊥. 又因为BD
PD D =
所以AD ⊥平面PDB , 而PB ⊂平面PDB ,所以AD PB ⊥
（2）连接AC ,设点C 到平面PAB 的距离为h ，
则11121132
63
1
C PAB P ABC V V AB BC P
D --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= 因为,,AB PD AB DM ⊥⊥且PD DM D ⋂= 所以AB ⊥平面PDM ，所以AB PM ⊥。

在Rt
PDM
中2
222,PM
PD DM =+=即2PM =
所以11
22222
PAB
S AB PM ⨯⨯==
⨯. 所以12
3C PAB
PAB V
S h -=⨯⨯=。

所以12
33h =，所以22
h =。

所以点C 到平面PAB 的距离为
2
2
. 【点睛】本题考查通过证明线面垂直证明异面直线互相垂直,通过三
棱锥等体积转化，求出点到面的距离，属于中档题. 22. 已知2()2
221x
x f x a a =⋅-⋅+-，x ∈R ,a R ∈。

(1）解关于x 的方程()(1)4x f x a =-⋅； （2)设()2()x
h x f x -=，12
a ≥
时，对任意1x ,2[1,1]x ∈-总有12
1
()()2a h x h x +-≤成立，求a 的取值范围.
【答案】（1)见解析；（2）15
24
a ≤≤. 【解析】 【分析】
(1）利用换元法得到含参数a 的一元二次方程，再对a 分类讨论，分析方程解的情况；
(2)题中任意1x ，
2[1,1]x ∈-总有121
()()2
a h x h x +-≤可以看作区间内函数最大值与函数最小值的差值问题,然后对参数进行分类讨论，确定函数在区间上的单调性，从而确定函数在区间上的最值，再根据不等式求出参数的取值范围。

【详解】(1）由题知()(1)4x f x a =-⋅， 代入()f x 有22221(1)4x x
x a a a ⋅-⋅+-=-⋅，
整理得22
2210x
x a -⋅+-=，
令2x
t =，()0,t ∈+∞, 即2
210t
t a -+-=,()4414a a ∆=--=，
当0a <时，方程无解，
当0a =时,方程有一个解，解得10t x =⇒=， 当01a <<时，方程有两个解，
(
111log 1t x =
==+，
(
2221log 12
t x =
==，
当1a ≥时,方程仅有一个根，
(2
1log 12
t x +=
==; (2)()2()x h x f x -=,代入()f x ， 有()
()22
2()2222211x
x x x x h x a a a a --⋅-⋅+-=⋅-+-=,
令2x
t =，1,22t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，设()2(1)a at g t t --+=， ①当1a ≥时,易知函数()g t 在区间1
,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
单调递增， 又因为1
2
1
2
max min 1
()()()()2
a h x h x g t g t g
g +-=-≤-≤
， 即()max min 13123222a g g g g a +⎛⎫
-=-=-≤ ⎪
⎝⎭
， 解得4
5a ≤,舍去，
②当112a ≤<时，函数()g t 在t =
当451a ≤<12≤，
即函数()g t 在区间1,22⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
单调递增, 又因为1212max min 1
()()()()2
a h x h x g t g t g g +-=-≤-≤
， 即()max min 13123222a g
g g g a +⎛⎫
-=-=-≤ ⎪
⎝⎭
， 解得4
5a ≤
， 所以45a =，
当14
25≤<a 时，1
12
<≤，
即函数()h x 在区间12⎡⎢⎣单调递减，
在区间2⎤
⎥⎦
单调递增，
又因为()()1312302222g g a g g ⎛⎫⎛⎫-=-≥⇒≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
即
()()max min 32122g g g g a -=-=--， 因为当14
25≤<a 时，()311222a a +--≤恒成立， 所以1425
≤<a ，
综上14
25a ≤≤.
【点睛】本题主要考查了含有参数的一元二次方程解的问题，对勾函数的性质,函数在区间上的最值，考查较为综合，属于难题。

23。

已知点()5,0P 和圆2
2:4430C x
y x y +--+=。

(Ⅰ）写出圆C 的标准方程，并指出圆心C 的坐标和半径； （Ⅱ）设Q 为C 上的点，求PQ 的取值范围。

【答案】（Ⅰ）()
()2
2
225
x y -+-=；圆心()2,2C ,半径为r =
；（Ⅱ）。

【解析】 【分析】
（Ⅰ）将圆的普通方程配方整理，即可得出标准方程；进而可得出圆心坐标和半径；
（Ⅱ）先求出圆心到定点的距离,进而可得出范围。

【详解】（Ⅰ）由2
24430x
y x y +--+=得()()2
2
225x y -+-=，
因此其圆心坐标：()2,2C ,半径为
r =
（Ⅱ）因为点()5,0P ,所以
PC =
>,
学必求其心得，业必贵于专精
即点()5,0
P在圆()()
22
-+-=外,
x y
225
又Q为C上的点，
所以PC r PQ PC r
-≤≤+,
PQ≤
即
PQ的取值范围是。

【点睛】本题主要考查圆的标准方程，以及圆上的点到定点距离的范围，属于常考题型。