浙教版数学八年级下册4.4 平行四边形的判定定理(一)

4．4 平行四边形的判定定理(一)

1．在四边形ABCD 中，从①AB ∥CD ；②AB ＝CD ；③BC ∥AD ；④BC ＝AD 中任选两个作为条件，其中能使四边形ABCD 为平行四边形的选法有(B )

A ．3种

B ．4种

C ．5种

D ．6种

2．如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，将△AOD 平移至△BEC 的位置，连结OE ，则图中平行四边形的个数为(D )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

(第2题) (第3题)

3．如图，在平面直角坐标系中，以O (0，0)，A (1，1)，B (3，0)为顶点构造平行四边形，下列各点中，不能作为平行四边形顶点坐标的是(A )

A. (－3，1)

B. (4，1)

C. (－2，1)

D. (2，－1)

4．在▱ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，如果点E ，F 分别是由下列情况得到的，那么四边形AECF 不一定是平行四边形的是(B )

A ．AE ，CF 分别平分∠DA

B ，∠BCD B ．∠BEA ＝∠CF A

C ．E ，F 分别是BC ，A

D 的中点 D ．B

E ＝35BC ，A

F ＝2

5

AD

5．如图，用9个全等的等边三角形拼成一个新的几何图案，则从图案中可以找出__15__个平行四边形．

(第5题) (第6题)

6．如图，在平面直角坐标系中，已知点A (3，0)，B (－1，0)，C (0，2)，则以A ，B ，C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标为(4，2)或(－4，2)或(2，－2)．

(第7题)

7．如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，连结BE ，AF 交于点G ，连结DF ，EC 交于点H .求证：四边形EGFH 是平行四边形．

【解】 ∵E ，F 分别是AD ，BC 的中点， ∴AE ＝DE ＝12AD ，BF ＝CF ＝1

2BC .

又∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴AD 平行且等于BC .∴AE 平行且等于FC ，DE 平行且等于BF ， ∴四边形AECF 和四边形BFDE 都是平行四边形， ∴AF ∥EC ，BE ∥DF ，即FG ∥EH ，EG ∥FH ， ∴四边形EGFH 是平行四边形．

8．如图，在▱ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上的两点，BE ＝DF ，点G ，H 分别在BA 和DC 的延长线上，且AG ＝CH ，连结GE ，EH ，HF ，FG .求证：四边形GEHF 是平行四边形.

(第8题)

【解】 ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD ， ∴∠GBE ＝∠HDF . 又∵AG ＝CH ， ∴BG ＝DH . 又∵BE ＝DF ，

∴△GBE ≌△HDF (SAS )． ∴GE ＝HF ，∠GEB ＝∠HFD . ∴∠GEF ＝∠HFE . ∴GE ∥HF .

∴四边形GEHF 是平行四边形．

9．在平面直角坐标系中，有四点A (0，0)，B (8，0)，C (10，6)，D (2，6)，一直线y ＝mx －3m ＋2将四边形ABCD 分成面积相等的两部分，求m 的值．

【解】∵点A(0，0)，B(8，0)，C(10，6)，D(2，6)，

∴AB∥CD，AB＝8－0＝8，CD＝10－2＝8，

∴AB＝CD，

∴四边形ABCD是平行四边形．

∵(0＋10)÷2＝5，(0＋6)÷2＝3，

∴平行四边形的中心坐标是(5，3)．

∵直线y＝mx－3m＋2将四边形ABCD分成面积相等的两部分，∴直线y＝mx－3m＋2过中心(5，3)，

∴5m－3m＋2＝3，解得m＝1 2.

10．已知四边形ABCD的四条边长分别为a，b，c，d，其中a，b为对边，且a2＋b2＋c2＋d2＝2ab＋2cd，则此四边形一定是(D)

A．任意四边形

B．对角线相等的四边形

C．对角线互相垂直且相等的四边形

D．平行四边形

【解】由题意可得(a－b)2＋(c－d)2＝0，

∴a＝b，c＝d，∴四边形ABCD为平行四边形．

11．已知四边形ABCD，有下列条件：①AB∥CD；②BC∥AD；③AB＝CD；④BC＝AD；⑤∠A ＝∠C；⑥∠B＝∠D. 任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有(B)

A. 4种

B. 9种

C. 13种

D. 15种

【解】利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的条件有①②；利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的条件有③④；利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的条件有①③，②④；利用“两组对角相等的四边形是平行四边形”(可利用四边形的内角和定理证明同旁内角互补，转化为两组对边分别平行)的条件有：⑤⑥，①⑤，①⑥，②⑤，②⑥.

12．如图，已知△ABC的面积为36，将△ABC沿BC方向平移到△A′B′C′的位置，使B′和C重合，连结AC′交A′C于点D，求△C′DC的面积．

(第12题)

【解】连结AA′.

由平移的性质知，

AC ∥A ′C ′，AC ＝A ′C ′，S △A ′CC ′＝S △ABC ， ∴四边形AA ′C ′C 是平行四边形， ∴A ′D ＝CD ，

∴S △C ′DC ＝12S △A ′CC ′＝1

2

S △ABC ＝18.

13．如图，已知△ABC 为正三角形，D ，F 分别是BC ，AB 上的点，且CD ＝BF .以AD 为边作正三角形ADE ，连结EF ，CF .

(1)求证：△ACD ≌△CBF .

(2)当点D 在线段BC 上的何处时，四边形CDEF 是平行四边形，且∠DEF ＝30°？并说明理由．

(第13题)

【解】 (1)∵△ABC 是正三角形， ∴AC ＝CB ，∠ACD ＝∠B ＝60°. 又∵CD ＝BF ，

∴△ACD ≌△CBF (SAS )．

(2)当D 是BC 的中点时，四边形CDEF 是平行四边形，且∠DEF ＝30°.理由如下： ∵D 是BC 的中点，且CD ＝BF ，AB ＝BC ， ∴AF ＝BF ，AD ⊥BC ， ∴∠DCF ＝1

2

∠ACB ＝30°.

∴∠BDE ＝∠ADB －∠ADE ＝90°－60°＝30°， ∴∠BDE ＝∠DCF ， ∴ED ∥CF .

∵△ACD ≌△CBF ， ∴AD ＝CF .

∵△ADE 为正三角形， ∴ED ＝AD ，∴ED ＝CF . ∴四边形CDEF 为平行四边形． ∴∠DEF ＝∠DCF ＝30°.

14．在五边形ABCDE 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝120°，AB ＝4，BC ＝4，CD ＝8，求五边形的周长和面积．