暑假补习班资料高中数学北师大版必修1 第4章 阶段复习课

第四课函数应用
[核心速填]
1．函数的零点
(1)我们把函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零
点．
(2)方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)
有零点．
(3)对于连续函数y＝f(x)，若f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内至少有一个
零点．反之，不一定成立．
2．二分法
(1)二分法的概念
每次取区间的中点，将区间一分为二，再经过比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．
(2)用二分法求方程近似解的步骤：
给定精度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精度ε；
②求区间(a，b)的中点c；
③计算f(c)；
1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
2)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))．
3)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．
④判断是否达到精度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复
(2)～(4)．
3．解决函数应用题的步骤
函数建模经历审题、建模、解模、还原四个过程．
[体系构建]
[题型探究]
函数的零点及应用
(1)设函数y ＝x 2与y 1
2
x －2
的图像的交点为(x 0，y 0)，
则x 0所在的区间是(
)
【导学号：60712395】A ．(0,1)B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,4)(2)函数f (x )＝x 1
2－
的零点个数为(
)
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
[思路探究](1)将其转化为函数的零点所在区间的判断．(2)利用零点存在性定理及函数的单调性求解．
[解](1)＝x 2
－2
消去y 得x 2－2
令f (x )＝x 2－2
，则x 0是函数y ＝f (x )的零点．
又f (1)＝－1<0，f (2)＝3>0，
由零点存在性定理知，x 0∈(1,2)．故选B.
(2)因为f (0)＝－1<0，f (1)＝1
2>0，所以y ＝f (x )至少有一个零点．
又因为y ＝f (x )是增函数，所以，y ＝f (x )有唯一零点，故选B.[答案](1)B (2)B
[规律方法]
确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图像研究与x 轴的
交点个数或转化成两个函数图像的交点个数定性判断.
[跟踪训练]
1．已知函数f (x )
x ≥2，－1)3，x ＜2若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的
实根，则实数k 的取值范围是________．
(0,1)[在同一坐标系中作出f (x )
x ≥2，－1)3，x ＜2及y ＝k 的图像(如下图
)．
可知，当0＜k ＜1时，y ＝k 与y ＝f (x )的图像有两个交点，即方程f (x )＝k
有两个不同的实根．]
二分法的应用
求3
2的一个近似值．(精度为0.01)【导学号：60712396】
[思路探究]利用转化与化归思想求解．[解]
设x ＝3
2，∴x 3－2＝0，令f (x )＝x 3
－2，则f (x )的零点即为32的近似
值，下面用二分法求解．
由f (1)＝－1＜0，f (2)＝6＞0，可以把初始区间定为[1,2]，用二分法逐次计算，列表如下：
区间中点值中点函数近似值
[1,2] 1.5 1.375＞0[1,1.5] 1.25－0.0469＜0[1.25,1.5]
1.375
0.5996＞0
[1.25,1.375] 1.31250.2610＞0
[1.25,1.3125] 1.281250.1033＞0
[1.25,1.28125] 1.2656250.0273＞0
[1.25,1.265625] 1.2578125－0.01＜0
[1.2578125,1.265625]
由于1.265625－1.2578125＝0.0078125＜0.01，故区间[1.2578125,1.265
625]上的任一值皆可看做函数f(x)的零点的近似值，即3
2的一个近似值是1.265
625.
[规律方法] 1.看清题目的精度，它决定着二分的次数．
2．根据f(a0)·f(b0)＜0确定初始区间，高次方程要先确定有几个解，再确定初始区间．
3．初始区间的选定一般在两个整数间，不同初始区间结果是相同的，但二分的次数相差较大．
4．取区间中点c，计算中点函数值f(c)，确定新的零点区间，直到所取区间(a n，b n)中，a n与b n按精度要求取值相等，这个相等的近似值即为所求近似解．
[跟踪训练]
2．用二分法求5的近似值．(精度为0.1)
[解]设x＝5，则x2＝5，即x2－5＝0，
令f(x)＝x2－5.
因为f(2.2)＝－0.16＜0.f(2.4)＝0.76＞0，
所以f(2.2)·f(2.4)＜0，
说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，
取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，则f(2.3)＝0.29.
因为f(2.2)·f(2.3)＜0，∴x0∈(2.2,2.3)，
再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，
f(2.25)＝0.0625.
因为f(2.2)·f(2.25)＜0，所以x0∈(2.2,2.25)．由于|2.25－2.2|＝0.05＜0.1，所以5的近似值可取为2.25.
实际问题的函数建
模
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)
【导学号：60712397】[思路探究]
理解
题意―→
列出函数
关系式―→
求出
最值
[解](1)由题意知：
当0≤x≤20时，v(x)＝60；
当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，
a＋b＝0，
a＋b＝60，
＝－1
3，
＝200
3
.
故函数v(x)的表达式为v(x)
，0≤x<20，
200－x)，20≤x≤200.
(2)依题意并由(1)可得
f(x)
x，0≤x<20，
(200－x)，20≤x≤200.
当0≤x≤20时，f(x)为增函数，
故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；
当20≤x≤200时，
f(x)＝1
3
x(200－x)＝－1
3
(x－100)2＋10000
3
.
所以，当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值10000 3
.
又1200＜10000
3，所以当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值
10000
3≈3333，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
[规律方法] 1.解函数应用题可归纳为四步：
(1)读题；(2)建模；(3)求解；(4)还原．
其中“建模”是最关键的一步．建模就是将实际问题数学化，准确建模的前提是了解常见的函数模型．
2．函数是重要的数学模型，对于函数模型的应用，一方面是利用已知的函数模型解决问题；另一方面是根据实际问题建立恰当的函数模型，并利用所得的函数模型解释有关现象，或对发展趋势进行预测．
[跟踪训练]
3．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：
cm)满足关系：C(x)＝k
3x＋5
(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
[解](1)由题设，每年能源消耗费用C(x)＝k
3x＋5，
再由C(0)＝8，得k＝40，
因此C(x)＝40
3x＋5
.
而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝800
3x ＋5
＋6x (0≤x ≤10)．(2)在f (x )＝
800
3x ＋5
＋6x 中，令3x ＋5＝t ，则3x ＝t －5，
∴g (t )＝800
t
＋2t －10＝
10，
∵0≤x ≤10，∴t ∈[5,35]，由函数的单调性知，g (t )在t ∈(0,20]上是减函数，在[20,35]上是增函数，∴g (t )在t ＝20时有最小值．
∴当3x ＋5＝20，即x ＝5时，f (x )min ＝
70.
∴当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值70万元
.
化归与转化思想的应
用
设a ∈R ，试讨论关于x 的方程lg(x －1)＋lg(3－x )＝lg(a －x )的实根的
个数.【导学号：60712398】
[思路探究]
先将对数方程转化为二次方程，再将参数a 与未知数x 分离，
进一步转化为两函数图像交点的个数问题．
[解]
原方程可化为－1>0，－x >0，
x －1)(3－x )＝a －x ，
x <3，＝－x 2＋5x －3
画出函数y ＝－x 2
＋5x －3，(1<x <3)，的图像，如下：
所以，当a <1，或a >13
4时，无解；
当a ＝
13
4
，或1≤a <3时，一解；
当3≤a <13
4时，两解．
[规律方法]
转化是将数学命题由一种形式转向另一种形式的转换过程；化
归是将待解决的问题通过某种转化的过程，归结为一类已解决或比较容易解决的问题.在解决函数问题时，常进行数与形或数与数的转化，从而达到解决问题的目的.
[跟踪训练]
4．已知函数f (x )＝mx 2－x －1在区间(0,1)内有零点，求实数m 的取值范围．[解]令f (x )＝0，得mx 2－x －1＝0.又x ∈(0,1)，
则m ＋1
x
，
令t ＝1
x ，则t ∈(1，＋∞)，
∴m ＝t 2＋t －14
，
∴m >2.。