武大王波分析力学讲义

W Fi ri 0 (i 1.2......N )
ri W Fi q 0 (i 1.2......N 1.2....S) q
r 定义: Q Fi i (i 1.2....N) q
W Fi ri 0 (i 1.2......n)
求：广义力
z
r

Fr
r r
F
解：
Q ( r ,sin r , ) F
Q rF 取广义坐标分别为
Q r Fr 用虚功方法求
F
x

y
w Qr r Q Q
r sin
w Fr r rF r sin F
§2.虚功原理(Principle of Virtual Work) 表述: 完整的理想约束系统处 于平衡的充要条件是
W Fi ri 0 (i 1.2......n)
证明： 必要性
N i ri 0
Fi N i 0
Fi ri 0 (i 1.2......n)
W Qq 0
Q 0
保守系
广义力
虚功原理
q 0 !!!
( 1.2....S) ( 1.2....S)
ri r V Q Fi i V 0 (i 1.2....N) q ri q q
Attention:
求：广义力
z
r

Fr
r r
F
F
解：
用虚功方法求 取广义坐标分别为
(r , , ) w Qr r Q Q
x

y
r sin
w Fr r rF r sin F
自由质点在球坐标系中 已知： 受力为 Fr F F
第二章 分析力学
(Analytical Mechanics)
基本概念---约束.自由度.广义坐标.虚位移 平衡问题----虚功原理
拉格朗日方程 位形空间 哈密顿原理
动力学
运动积分
哈密顿正则方程 哈密顿原理 相空间 泊松括号 L判据. H判据.泊松括号判据 时空对称性.不可观测量和守恒定律
§1.基本概念(Basic Concepts)
( j 1,2,3....k )
(i=1 2 3…N)
f j (r1 , r2, ....ri ...rN , t ) 0
( j 1,2,3....k , i 1,2,...N )
dr i称为实位移
dt 0
特点:
唯一性 代表真实运动
唯一性 代表真实运动 既满足运动规律又满足约束方程 dt0, 需要时间
Example:
( x2 x1 ) ( y2 y1 ) l
2 2 2
y …(3)
X1,y1
X2,y2
m
z1 z 2 0
(x, y)
c
m
mx1 mx2 1 x m m 2 ( x1 x2 ) x my1 my2 1 y m m 2 ( y1 y2 ) 1 y 2 y y 2 y1 y tg x 1 x 2 x x2 x1
完整约束
f (r ) 0
f (r , t ) 0
可解约束与不可解约束
几何约束:
x
f (r , t) 0
2
x y
2
l
l
…(1) y
(X,y)
demonstration
2
微分约束:
,t) 0 f (r , r

c x
c a x
…(2)
demonstration
j 1 j 1
( Fi N i ) ri 0
n i 1

i 1
n
N i ri 0

i 1
n
Fi ri 0
系统必平衡
ri ri ( q , t )
ri ri q q ( 1 . 2 . 3 ..... S )
f j f j f j ( ri , t ) dri dt ... 0 (i 1.2.... N ) t ri
f j f j d ri dt 0 ri t (i 1 .2 .... N , j 1 .2 .... k )
Attention:
匀质棒斜靠在碗缘，在碗内长度为c,试用虚功 原理求棒全长。
可能位移 的特点
可能位移产 生的原因
共性
在约束面内各质点具 有不同可能速度同
ri
个性
虚位移
f j f j d ri dt 0 ri t
可能位移
( i 1 . 2 .... N , j 1 . 2 .... k )
ifj δ ri 0 ( j 1.2...k i 1.2....N )
实位移特点
不考虑运动规律限制,只考虑 约束限制条件下发生的位移 t时刻:
可能位移
f j (ri , t) 0 (j 1.2.....k, i 1,2,...N)
t=t+dt 时刻:
f j ( ri dri , t dt ) 0 (i 1.2.... N )
f j ( ri d ri , t dt ) 0
不考虑运动规律限制 时间被冻结 约束被“凝固” 满足约束条件 不唯一
t = 0 !!!
f j 0 t
虚位移特点
虚位移不唯一
五.理想约束 实例
w f12 r1 f 21 r2 r1 r2 f12 ( r1 r2 ) r1 r r2 f12 ( r1 r2 ) r f f f12 r 12 r 2 1 1 r f r f r 0 r 2 r
四.实位移 可能位移 虚位移(Real displacement, Possible displacement ,Virtual displacement)
实位移
设系统有N个质点,受k个几何约束
m r i Fi N i
f j (r1 , r2, ....ri ...rN , t ) 0
Fi ri 0
系统处于平衡时
( Fi N i ) ri 0
充分性： 反证法 系统不平衡 假设 Fi δ ri 0 F j N j 0 ( j 1 2 3...k n) k k ( Fj N j ) 0 ( Fj N j ) rj 0
x …(4)
( x2 x1 )dy1 ( x2 x1 )dy2 ( y2 y1 )dx1 ( y2 y1 )dx2 0
…..(4)
任一微分约束均可表示为
ai dxi at dt 0 (i 1,2,3......N)
a a ( x ,t ) a a ( x ,t )
是否可积?
几何约束和 完整约束: 可积分的微分约束
非完整约束: 不可积分的微分约束
可解约束与不可解约束: 用不等号表示约束 用等号表示约束 可解约束 不可解约束
二.自由度和描述度
系统有N个质点,受k个完整约束和m个非完整约束
定义自由度:
f =3N-(k+m)
描述度:描述一个力学系统所需独立坐标数目:S 完整约系 非完整约系
虚功原理解题步骤 分析约束,确定自由度 选好广义坐标 写出主动力作用点的坐标并对其变分 代入虚功原理公式中求解 静系中的平衡 只有广义坐标方可独立变化 只有正确写出 r r (q t ) 虚功原理中不出现约束力
Attention:
q 0
例题1 半径为a的光滑半球形碗固定在水平面上。一
变换方程
Attention:
广义坐标数目由自由度确定 “广义”二字的含义 对给定力学系统,广义坐标选取不唯一 全部直角坐标能用 广义坐标表示则对 广义坐标正确与否的判断 如果全部直角坐标不能 用广义坐标表示则错 广义坐标克服了牛顿力学中坐标不不独立的困难
位形空间
由S个广义坐标张开成S维抽象空间
qj qi
y2 y1
wT ( y1 y2)
0
五.理想约束 虚功:
力在虚位移下所做的功
w F r
若作用在力学系统上所有 的约束力在任意虚位移下 所做的虚功之和为零
理想约束:
W N i ri 0
( i 1 . 2 ..... n )
广义力的计算
r Q Fi i q
(i 1.2... N )
W Qq ( )q1 ... ( )qs
广义力的数目由自由度决定 广义力既可是力又可以是力矩，决定 于广义坐标,还可是其它物理量 不要将广义力和力混淆
自由质点在球坐标系中 已知： 受力为 Fr F F
对虚位移
w N r 0
0 f f f (r t) r t 0 r t
在虚位移下的虚功=0
wT 1 y 1 T 2 y2
T1 T2 T
y 2 l a y1
y1
T1 m 1 T 2 y2 m2
不考虑运动规律限制 考虑约束限制条件
f j f j d ri dt 0 ri t (i 1 .2 .... N , j 1 .2 .... k )
f j 约束变动引起 t f j f j ri 0 ri t
dt0
可能位移不唯一
可能位移产 生的原因
共性
在约束面内各质点具 有不同可能速度同
ri
个性
Attention:
不考虑运动规律限制 f j f j d ri dt 0 考虑约束限制条件 ri t 可能位移不唯一
0N , j 1 .2 .... k ) (i d 1t .2 ....
f j 约束变动引起 t f j f j ri 0 ri t
t t i i i i
爱因斯坦求 和约定
如果: a a j ai at i x j x i t xi
则微分方程可积
( x2 x1 )dy1 ( x2 x1 )dy2 ( y2 y1 )dx1 ( y2 y1 )dx2 0
c a x
f=S f<S
三.广义坐标(Generalized coordinates) 位形空间(Configurational Space)
完整约束系统的自由度为S(f),则 可选S个独立参量来描述此系统 广义坐标
又可用q 描述系统既)
ri ri ( q , t )
牛顿力学两大困难
约束力未知 一.约束
?
坐标不独立
定义: 物体运动过程中受到限制 约束方程:
f ( r .r .t ) 0
几何约束: 微分约束:
f (r , t) 0
,t) 0 f (r , r
完整约束与非完整约束: 约束分类: 几何约束 可积分的微分约束 稳定约束与非稳定约束:
m1 f 12
r
f21 m 2
非稳定约束
f (r t) 0
f f 对可能位移 df ( r t ) d r dt 0 r t f f d r dt 0 r t
N f
约束力
对可能位移 f f dw d r dt 0 所做元功0 r t