导数与函数的单调性练习题

导数与函数的单调性练习题
2.2.1 导数与函数的单调性
基础巩固题：
1.已知函数 $f(x)=\frac{ax+1}{x+2}$ 在区间 $(-
2,+\infty)$ 上为增函数，求实数 $a$ 的取值范围。

解析：由题意可得 $f(x)$ 在 $(-2,+\infty)$ 上单调递增，因此$a>-\frac{1}{2}$。

又因为$f(x)$ 的定义域为$(-2,+\infty)$，所以 $a$ 的取值范围为 $a\geq -\frac{1}{2}$ 或 $a\leq -2$，即$a\geq -\frac{1}{2}$ 或 $a\leq -2$。

2.已知函数 $f(x)=x^2+2x+a\ln x$ 在区间 $(0,1)$ 上单调，
求实数 $a$ 的取值范围。

解析：由题意可得 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调，因此
$f'(x)=2x+2+\frac{a}{x}$ 在 $(0,1)$ 上恒大于等于零或恒小于
等于零。

化简可得 $a\geq -(2x^2+2x)$ 或 $a\leq -(2x^2+2x)$ 在
$(0,1)$ 上恒成立。

记 $g(x)=-(2x^2+2x)$，则 $g(x)$ 在
$(0,1)$ 上单调递增，且 $-4<g(x)<0$。

因此，$a\geq -4$ 或
$a\leq -4$，即 $a\geq -4$ 或 $a\leq -4$。

3.已知函数$f(x)=\frac{x}{2x-9}$，求$f(x)$ 的单调区间。

解析：求导得 $f'(x)=\frac{9}{(2x-9)^2}$，$f'(x)>0$ 当且
仅当 $x\frac{9}{2}$。

因此，$f(x)$ 在 $(-\infty,\frac{9}{2})$ 上单调递减，在 $(\frac{9}{2},+\infty)$ 上单调递增。

所以
$f(x)$ 的单调区间为 $(-\infty,\frac{9}{2})$ 和
$(\frac{9}{2},+\infty)$。

4.已知函数 $y=x-\frac{x}{x+2}$，求 $y$ 的单调增区间和
单调减区间。

解析：将 $y$ 化简可得 $y=-\frac{2x}{x+2}$。

求导得
$y'=-\frac{4}{(x+2)^2}$，$y'>0$ 当且仅当 $x<-\sqrt{2}$，
$y'<0$ 当且仅当 $-\sqrt{2}<x<0$。

因此，$y$ 在 $(-\infty,-
\sqrt{2})$ 上单调递增，在 $(-\sqrt{2},0)$ 上单调递减，在$(0,+\infty)$ 上单调递增。

所以 $y$ 的单调增区间为 $(-\infty。

-\sqrt{2})$，单调减区间为 $(-\sqrt{2},0)$，单调增区间为$(0,+\infty)$。

5.确定下列函数的单调区间：(1) $y=x^3-9x^2+24x$；(2) $y=3x-x^3$。

1) 解：求导得 $y'=3x^2-18x+24=3(x-2)(x-4)$，$y'>0$ 当且仅当 $x4$，$y'<0$ 当且仅当 $2<x<4$。

因此，$y$ 在 $(-
\infty,2)$ 上单调递减，在 $(2,4)$ 上单调递增，在
$(4,+\infty)$ 上单调递增。

所以 $y$ 的单调区间为 $(-
\infty,2)$ 和 $(2,+\infty)$。

2) 解：求导得 $y'=3-3x^2=-3(x+1)(x-1)$，$y'>0$ 当且仅当$-11$。

因此，$y$ 在 $(-\infty,-1)$ 和 $(1,+\infty)$ 上单调递减，在$(-1,1)$ 上单调递增。

所以$y$ 的单调区间为$(-\infty,-1)$，$(1,+\infty)$ 和 $(-1,1)$。

6.函数y=ln(x^2-x-2)的单调递减区间为(-∞，-1)。

解析：
函数y=ln(x^2-x-2)的定义域为(2，+∞)∪(-∞，-1)，令f(x)=x^2-x-2，f'(x)=2x-1<0，得x<-1，因此函数y=ln(x^2-x-2)的单调减
区间为(-∞，-1)。

7.已知y=x^3+bx^2+(b+2)x+3在R上不是单调增函数，则
b的范围为b2.解析：若y'=x^2+2bx+b+2≥0恒成立，则
Δ=4b^2-4(b+2)≤0，因此-1≤b≤2.但由题意可知y不是单调增函数，因此b2.
8.已知x∈R，证明ex≥x+1.证明：设f(x)=ex-x-1，则
f'(x)=ex-1.当x=0时，f'(x)=0，f(x)=0.当x>0时，f'(x)>0，因此
f(x)在(0,+∞)上是增函数，因此f(x)>f(0)=0.当xf(0)=0.因此对于任意x∈R，都有ex≥x+1.
9.已知函数y=x^2/(x-1)，试讨论出此函数的单调区间。

解：y'=(x^2-2x)/(x-1)^2，令y'>0，解得x>1或x<0；令y'<0，解得
0<x<1.因此函数y=x^2/(x-1)的单调增区间是(1,+∞)，单调减区
间是(0,1)。

10.已知函数f(x)=x^3-3x^2-3x+2，图象过点P(0,2)，且在
点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0.(Ⅰ) 求函数y=f(x)的解析式；(Ⅱ) 求函数y=f(x)的单调区间。

解：(Ⅰ) 由f(x)的图象
经过P(0,2)，知d=2，因此f(x)=x^3-3x^2-3x+2，f'(x)=3x^2-6x-
3.由在M(-1,f(-1))处的切线方程是6x-y+7=0，知-6-f(-1)+7=0，
即f(-1)=1，f'(-1)=6.解方程组得b=-3，c=-3，因此所求的解析
式是f(x)=x^3-3x^2-3x+2.(Ⅱ) f'(x)=3x^2-6x-3，令3x^2-6x-3=0，解得x=1-√2或x=1+√2.因此函数y=f(x)的单调增区间是(-∞,1-
√2)和(1+√2.+∞)，单调减区间是(1-√2.1)和(1.1+√2)。

1.当x1+2时，f'(x)>0；当1-2<x<1+2时，f'(x)<0.因此，
f(x)在(-∞,1-2)内是增函数，在(1-2,1+2)内是减函数，在
(1+2,+∞)内是增函数。

2.已知函数f(x)=x^3+bx+c。

若f(x)在(-∞,+∞)上是增函数，则b的取值范围为b≥1/
3.解释：f'(x)=3x^2+b，因为f(x)在(-
∞,+∞)上是增函数，所以f'(x)≥0，即3x^2+b≥0，解得b≥-3x^2.
当x=0时，-3x^2取到最大值1/3，因此b≥1/3.
3.已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)，在(2,+∞)上是增函数。

求实
数a的取值范围。

解析式为f'(x)=3x^2-2(a+1)x+a，要使f(x)在(2,+∞)上是增函数，只需f'(x)在(2,+∞)上满足f'(x)≥0.因为f'(x)
的对称轴是x=(2a+1)/3，所以当x=2时，f'(x)取到最小值，即
3(2-a)-4(a+1)+a≥0，解得a≤8/3.因此，实数a的取值范围为
a≤8/3.
4.已知函数f(x)=4x^2+ax-3x在区间[-1,1]上是增函数。

求
实数a的取值范围。

因为f(x)在区间[-1,1]上是增函数，所以
f(x)≥f(-1)，即4-a-3≤0，解得a≤1.同理，f(x)≥f(1)，即4+a-3≤0，解得a≥-1.因此，实数a的取值范围为[-1,1]。

5.已知函数f(x)=x+b+ax^2+d，且过点P(0,2)，在点M(-
1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0.求函数y=f(x)的解析式和单
调区间。

解析式为f(x)=ax^2+b+d+2，因为过点P(0,2)，所以
d=2.在点M(-1,f(-1))处的切线方程为f'(-1)=2a-b=6，因此2a-b-
6=0.将d=2代入解析式中，得到f(x)=ax^2+b+2.因为f(x)是二
次函数，所以单调区间为(-∞,-1]和[1,+∞)。

24.若函数 $f(x)=x^3-ax^2+(a-1)x+1$ 在区间 $(1,4)$ 内为
减函数，在区间 $(6,+\infty)$ 上为增函数，试求实数 $a$ 的取
值范围。

解：对$f(x)$ 求导得$f'(x)=3x^2-2ax+a-1=(x-1)(3x-a+1)$，令 $f'(x)=0$ 得 $x=1$ 或 $x=\frac{a-1}{3}$。

当 $x\in(1,\frac{a-1}{3})$ 时，$f'(x)>0$，即 $f(x)$ 在$(1,\frac{a-1}{3})$ 上为增函数；当$x\in(\frac{a-1}{3},4)$ 时，$f'(x)6$ 时，$f'(x)>0$，即 $f(x)$ 在 $(6,+\infty)$ 上为增函数。

因此，为使 $f(x)$ 在 $(1,4)$ 内为减函数，在
$(6,+\infty)$ 上为增函数，需满足 $\frac{a-1}{3}>4$，即
$a>13$。

故φ′(x)＜0，即4x3+2(2－λ)x＜0
当x＞0时，4x3＞0，2(2－λ)x＞0，故不满足条件
当x＜0时，4x3＜0，2(2－λ)x＞0，故λ＞2
当x＝0时，φ′(0)=0，故λ＝2时满足条件
又因为φ(x)在(－1，0)上是增函数，故λ＝2是符合条件
的解
34.函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(2，＋∞)。

解析：对f(x)求导得到f′(x)＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2，故选D。

35.设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.
1) 当a＝1时，f(x)＝x(ex－1)－x2，对f(x)求导得到f′(x)
＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)。

当x∈(－∞，－1)时，
f′(x)>0；当x∈(－1,0)时，f′(x)0.故f(x)在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增，在[－1,0]上单调递减。

2) 将f(x)化简为f(x)＝x(ex－1－ax)，令g(x)＝ex－1－ax，则g′(x)＝ex－a。

当a≤1时，当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，
而g(0)＝0，从而当x≥0时g(x)≥0，即f(x)≥0.
当a>1时，当x∈(0，lna)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，而
g(0)＝0，从而当x∈(0，lna)时g(x)<0，即f(x)<0.
综合得a的取值范围为(－∞，1]。

36.设函数f(x)＝−1/x。

1) 对f(x)求导得到f′(x)＝1/x2，令f′(x)>0，解得x>0；令
f′(x)<0，解得x<0.故f(x)的单调增区间是[1,＋∞)，单调减区间
是(－∞,0)，(0,1]。

2) 将f(x)带入不等式得到(x－1)(kx－1)1时，解集是
{x|x1}。