电路__相量法

T0
I T 10TIm 2co2(swt)dt
w w T c2 ( o t s ) d t T 1 c2 ( o t s ) d t 1 tT 1 T
0
0
2
20 2
I
T1Im 2 T2

Im 2
0.7
0I7m
Im 2I
w w i( t) I m co t s) (2 I co t s)(
1.247j0.569 1.4 2 82.61
例2. 22 3 05 (17 j9()4 j6)? 2 0j5
解：上式
1.2 9 42.9 77.21 51.3 6
18.20j12.26
2.6 0 21.0 44
1.2 8 j1 0.2 6 6 .7 2 7.8 1 0 6
乘法：模相乘，角相加。
F F 1 2 ||F F 2 1|| θ θ 1 2 ||F F 2 1 ||e e j j θ θ 2 1 ||F F 1 2 ||e jθ ( 1 θ 2 ) ||F F 1 2 || θ 1 θ 2 除法：模相除，角相减。
例1. 5 4 7 1 0 2 5 ? 解: 5 4 1 7 0 2 ( 5 3 . 4 j 3 1 . 6 ) 5 ( 9 . 0 7 j 6 4 . 2 ) 3 2
F|F|ej|F|
两种表示法的关系： F=a+jb
F=|F|ej =|F|
Im
直角坐标表示 b |F|
F
极坐标表示

O

|F
|
a2 b2

θ arctg
b a
或
a | F | cos

b| F | sin
a Re
2. 复数运算 (1)加减运算——直角坐标


2 I ejwt
复常数
F(t)包含了三要素：I、 、w ，复常数包含了I , 。
称

I I
为正弦量 i(t) 对应的相量。
i(t)2Icowts () II
相量的模表示正弦量的有效值 正弦量的相量表示: 相量的幅角表示正弦量的初相位
加一个小圆点是用来和普通的复数相区别(强调它与正 弦量的联系)，同时也改用“相量”，而不用“向量”， 是因为它表示的不是一般意义的向量，而是表示一个正弦 量。 同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
若 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 则 F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2) 加减法可用图解法。
Im F2
F1+F2
F1
O
Re
F1-F2
(2) 乘除运算——极坐标
若 F1=|F1| 1 ，若F2=|F2| 2
则: F 1 F 2 F 1 e j1 F 2 e j2 F 1 F 2 e j (1 2 ) F 1 F 2 1 2
u (t)u 1(t) u 2(t)R2 eU 1 (ejw t) R2 eU 2 (ejw t) R2 eU 1 (ejw t2U 2ejw t)R2 e (U (1 U 2)ejw t)
可得其相量关系为： U U 1U 2
U
故同频的正弦量的加减运算就变成对应的相量的加减运算。
我们用旋转向量和一个正弦量对应看看它的几何意义：
ejw t 为一模为1、幅角为w t 的相量。随t的增加，模不变，
而幅角与t成正比，可视其为一旋转相量，当t从0~T时，
相量旋转一周回到初始位置， w t 从0~2。

2Iejwt 2Iejejwt 2Iej(wt)是 模2为 I, 初 始 角 度
于是想到复数，复数向量也包含一个模和一个幅角， 因此，我们可以把正弦量与复数对应起来，以复数计算来 代替正弦量的计算，使计算变得较简单。
1. 正弦量的相量表示 选一个复函数
w w F(t) 2Iej(ωt)2 Icot s) ( j2 Isitn ()
若对F(t)取实式交流电压、电流表读数均为有效值。
*注意 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
i , Im , I
8. 3 正弦量的相量表示
一、复数及运算
1. 复数A表示形式： F=a+jb
j 1
Im
Im
b
F
b
F
|F|

O
a Re
O
a Re
Fajb
F|F|
|F |ej |F |(co jsi)n a jb
U 2
U
U 1
41.9
60 30
Re
U
Im
U 2
首
U 1
60 尾 相
41.9 接
30
Re
2 . 正弦量的微分
w i2 I co t i s ) (I I i
二、正弦量的相量表示
两个正弦量 i12I1cowts(1) i22I2cowts (2)
u, i
角频率：
i1
w
i1
i2
w
有效值：
I1
i2 I2
i13+i2 i3
w
I3
初相位：
1O
2
wt 3
无论是波形图逐点相加，或用三角函数做都很繁。
因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只 要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。
i
O
u <0 i <0 wt
<0， i 领先(超前) u，或u 落后(滞后) i (i 先到达最大值)。
特殊相位关系：
u, i
u
=0， 同相：
i
O
wt
u, i
= (180o ) ，反相：
u
O
iw t
规定： | | (180°)。
u, i u i
O
wt
= /2：u 领先 i 于/2, 不说 u 落后 i于3/2；
7.19j6.469.6 44.1 9oV
u ( t ) u 1 ( t ) u 2 ( t ) 9 . 62 c 4 3 o t 1 4 s . 9 o ) ( 4 1 V
同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量 图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。
Im
u (t)2U co wts () U U
例1. 已知 i14.14cos3(1t430o)A
u311.1c1o4ts(630o)V
试用相量表示i, u .
解：

I

10030o
A

U 220 60o V
例2.

已知 I5 015A,f 50H . z
为的 旋 转,其 相旋 量转 一 周 在 投实 影轴 即上 为的 正 电 流 i 2Icowst()。
+1
i
w
φ +j 2I
O
O
t
2. 相量运算
(1) 同频率正弦量相加减
u1(t) 2U 1cowts(1)Re2U (1ejwt) u2(t) 2U2cowts(2)Re2U (2ejwt)
i(t) R
I R
W1
Ti2(t)Rdt
0
W2=I 2RT
I2RT Ti2(t)Rdt 0
I 1 Ti2(t)dt T0
同样，可定义电压有效值：
def
U
1 Tu2(t)dt
T0
2. 正弦电流、电压的有效值
设 i(t)=Imcos(w t+ )
def
I
1 Ti2(t)dt
1
T i2(t)dt
T0
瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根。
有效值也称均方根值(root-meen-square，简记为 rms。)
物理意义：周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期T 内吸收的 电能，等于一直流电流I 流过R , 在时间T 内吸 收的电能，则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值。
RF e (t)[ ] 2Ico ω s t()
是一个正弦量，有物理意义。
对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对 应的复指数函数：
w i 2 I co t ) s ( R F ( t) e ]2 [ Ij( w t e )
F(t)还可以写成
F(t) 2Iejejwt
试写出电流的瞬时值表达式。
解： i502co3s1 t(4 15 ) A
相量图(相量和复数一样可以在平面上用向量表示)：

U


I

i( t) 2 I cω o t s ) ( I I
w u ( t) 2 U co t θ ) s U ( U θ
第八章 相量法
重点： 正弦量的三要素、相位差 正弦量的相量表示 电路定律的相量表示形式 相量图
8. 1 正弦量的基本概念
一、 正弦量：按正弦规律变化的电压或电流。
i +u 波形：
_
瞬时值表达式： i(t)=Imcos(w t+ )
iT
Im
O

wt
二、正弦量的三要素：
(1) 幅值 (amplitude) (振幅、 最大值)Im 反映正弦量变化幅度的大小。
wT2
w2f 2T 单位： rad/s，弧度 / 秒
iT
i(t)=Imcos(w t+ )
O

wt
(3) 初相位(initial phase angle)
(w t+ ) 大小决定该时刻正弦量的值。当t=0时，相位 角(wt+ )= ，故称 为初相位角，简称初相位。
反映了正弦量的计时起点。
1.2 8 j1 0.2 2 6 .2 3 j6 .3 829
1.8 5j2 1.3 52.2 5 3 56
(3) 旋转因子：
复数 ej =cos +jsin =1∠
F• ej 相当于F逆时针旋转一个角度 ，而模不变。故
把 ej 称为旋转因子。
几种不同 值时的旋转因子：
i1 i2 = i3
I1I2I3
例．u1(t)6 2co3s(1t430) V
U1 630o V
u2(t)4 2co3s(1t460o)V
U2 460oV
U U 1 U 2 6 3 0 4 6 5 0 .1 9j32j3.46
iT
i(t)=Imcos(w t+ )
O

wt
(2) 角频率(angular frequency)w
w t+ 称为正弦量的相位或相角。
wd(wt i)
dt
w ：正弦量的相位随时间变化的角速度。
反映正弦量变化的快慢。
周期T ：重复变化一次所需的时间。 单位：s，秒
频率f ：每秒重复变化的次数。 单位：Hz，赫(兹)
Im
jI
I
, ej2co sjsinj
2
22
,
j

I
e2 co ) s( jsi n) ( j
2
2
2
0
Re
jI
,e j c o ) s js( in ) 1 (
ej/2 =j , e-j/2 = -j, ej= –1 故 +j, –j, -1 都可以 看成旋转因子。
同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。
i =/2 =-/2
一般规定：| | 。
O
t
=0 =
对于一个正弦量来说，初相可以任意指定，但对 于一个电路中有许多相关的正弦量，它们只能相对于一 个共同的计时起点来确定每个正弦量的初相。
三、同频率正弦量的相位差 (phase difference)
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
U12Um 或 Um 2U
若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；
U=380V，
Um537V。
工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌 额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是 最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值 考虑。
i 落后 u于/2, 不说 i 领先 u于3/2。
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
8. 2 周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其大小 工程上采用有效值来表示。
1. 周期电流、电压有效值(effective value)定义 电流有效值定义为：
def
I
设 u(t)=Umcos(w t+ u), i(t)=Imcos(w t+ i)
则 相位差 即相位角之差：
= (w t+ u)- (w t+ i)= u- i
恰好等于初相位之差
>0， u 领先(超前) i ，或 i 落后(滞后) u (u 先到达最大值)；
u, i i u u