2019-2020年高三数学总复习 直线与平面平行教案 理

2019-2020年高三数学总复习直线与平面平行教案理
教材分析
直线与平面平行是在研究了空间直线与直线平行的基础上进行的，它是直线与直线平行的拓广，也是为今后学习平面与平面平行作准备．在直线与平面的三种位置关系中，平行关系占有重要地位，是今后学习的必备知识．所以直线与平面平行的判定定理和性质定理是这节的重点，难点是如何解决好直线与直线平行、直线与平面平行相互联系的问题．突破难点的关键是直线与直线平行和直线与平面平行的相互转化．
教学目标
1. 了解空间直线和平面的位置关系，理解和掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，进一步熟悉反证法的实质及其证题步骤．
2. 通过探究线面平行的定义、判定、性质及其应用，进一步培养学生观察、发现问题的能力和空间想象能力．
3. 培养学生的逻辑思维和合情推理能力，进而使其养成实事求是的学习态度．
任务分析
这节的主要任务是直线与平面平行的判定定理、性质定理的发现与归纳，证明与应用．学习时，要引导学生观察实物模型，分析生活中的实例，进而发现、归纳出数学事实，并在此基础上分析和探索定理的论证过程，区分判定定理和性质定理的条件和结论，理解定理的实质和直线与平面平行的判定．在运用性质时，要引导学生完成对“过直线———作平面———得交线———直线与直线平行”这一过程的理解和掌握．
教学设计
一、问题情境
教室内吊在半空的日光灯管、斜靠在墙边的拖把把柄，都可以看作直线的一部分，这些直线与地平面有何位置关系？
二、建立模型
［问题一］
1. 空间中的直线与平面有几种位置关系？
学生讨论，得出结论：
直线与平面平行、直线与平面相交（学生可能说出直线与平面垂直的情况，教师可作解释）及直线在平面内．
2. 在上述三种位置中，直线与平面的公共点的个数各是多少？
学生讨论，得出相关定义：
若直线a与平面α没有公共点，则称直线与平面α平行，记作a∥α．若直线a与平面α有且只有一个公共点，则称直线a与平面α相交．当直线a与平面α平行或相交时均称直线a不在平面α内（或称直线a在平面α外）．若直线a与平面α有两个公共点，依据公理1，知直线a上所有点都在平面α内，此时称直线a在平面α内．
3. 如何对直线与平面的位置关系的进行分类？
学生讨论，得出结论：
方法1：按直线与平面公共点的个数分：
［探索］
直线与平面平行、相交的画法．
教师用直尺、纸板演示，引导学生说明画法．
1. 画直线在平面内时，要把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形内部，如图16-1．
2. 画直线与平面相交时要画出交点，如图16-2．
3. 画直线与平面平行时，一般要把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形外，并使它与平行四边形的一组对边或平面内的一条直平行，如图16-3．
［问题二］
1. 如何判定直线与平面平行？教师演示：（1）教师先将直尺放在黑板内，然后慢慢平移到平面外．
（2）观察教室的门，然后教师转动的门的一条门边给人平行于墙面的感觉．
学生讨论，归纳和总结，形成判定定理．
定理如果不在平面内的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
已知：ａα，ｂα，ａ∥ｂ．
求证：ａ∥α．
分析：要证明直线与平面平行，根据定义，只要证明直线与平面没有公共点，这时可考虑使用反证法．
证明：假设ａ不平行于α，由ａα，得ａ∩α＝A．若A∈ｂ，则与已知ａ∥ｂ矛盾；若Ab，则a与b是异面直线，与a∥b矛盾．所以假设不成立，故ａ∥α．
总结：此定理有三个条件，（1）ａα，（2）ｂα，（3）ａ∥ｂ．三个条件缺少一个就不能推出ａ∥α这一结论．此定理可归纳为“若线线平行，则线面平行”．
2. 当直线与平面平行时，直线与平面内的直线有什么位置关系？是否平行？
教师演示：教师先让直尺平行于讲桌面，再将纸板经过直尺，慢慢绕直尺旋转使纸板与桌面相交．
学生讨论得出：直尺平行于纸板与桌面的交线．
师生共同归纳和总结，形成性质定理．
定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行．
已知：l∥a，lβ，α∩β＝ｍ．
求证：l∥m．
证明：因为l∥α，所以l∩α＝，又因为ｍα，所以l∩ｍ＝，由于l，ｍ都在β内，且没有公共点，所以l∥m．
总结：此定理的条件有三个：
（1）l∥α，即线面平行．
（2）lβ，即过线作面．
（3）β∩α＝ｍ，即面面相交．
三个条件缺一不可，此定理可简记为“若线面平行，则线与交线平行”．
三、解释应用
［例题］
1. 已知：如图16-5，空间四边形ABCD，E，F分别是AB，AD的中点．求证：EF∥平面BCD．
证明：连接BD，在△ABD中，
因为E，F分别是AB，AD的中点，
所以EF∥BD．
又因为BD是平面ABD与平面BCD的交线，EF∥平面BCD，所以EF∥平面BCD．
2. 求证：如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内．
已知：l∥α，点P∈α，Ｐ∈ｍ，ｍ∥l（如图16-6）．
求证；mα．
证明：设l与P确定的平面为β，且α∩β＝ｍ′，则ｌ∥ｍ′．又知ｌ∥ｍ，ｍ∩ｍ′＝Ｐ，由平行公理可知，ｍ与ｍ′重合．所以mα．
［练习］
1. 已知：如图16-7，长方体AC′．求证：B′D′∥平面ABCD．
2. 如图16-8，一个长方体木块ABCD－A1B1C1D1，如果要经过平面A1C1内一点P和棱BC将木块锯开，那么应该怎样画线？
四、拓展延伸
1. 教室内吊在半空中的日光灯管平行于地面，也平行于教室的一墙面，试探讨它和这个墙面与地面的交线之间有什么样的位置关系？
2. 已知：如图16-9，正方形ABCD和正方形ABEF不在同一平面内，点M，N分别是对角线AC，BF上的点．问：当M，N 满足什么条件时，MN∥平面BCE．
3. 如果三个平面两两相交于三条直线，那么这三条直线有怎样的位
置关系．
点评
这篇案例从学生身边的实例出发，引导学生抽象出直线与平面平行、
相交的定义，又通过演示，总结和归纳出直线与平面平行的判定及性质定理，整个过程都把学科理论和学生面临的实际生活结合起来，使学生能较好地理解和把握学科知识．同时，培养了学生的探索创新能力和实践能力，激发了学生的学习兴趣．
2019-2020年高三数学总复习直线方程的几种形式教案理
教材分析
这节内容介绍了直线方程的几种主要形式：点斜式、两点式和一般式，并简单介绍了斜截式和截距式．直线方程的点斜式是其他直线方程形式的基础，因此它是本节学习的重点．在推导直线方程的点斜式时，要使学生理解：（1）建立点斜式的主要依据是，经过直线上一个
定点与这条直线上任意一点的直线是唯一的，其斜率等于k．（2）在得出方程后，要把它变成方程y－y1＝k（x－x1）．因为前者表示的直线缺少一个点P1（x1，y1），而后者才是这条直线的方程．（3）当直线的斜率不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为x＝x1．在学习了点斜式的基础上，进一步介绍直线方程的其他几种形式：斜截式、两点式、截距式和一般式，并探索它们的适用范围和相互联系与区别．通过研究直线方程的几种形式，指出它们都是关于x，y的二元一次方程，然后从两个方面进一步研究直线和二元一次方程的关系，使学生明确一个重要事实：在平面直角坐标系中，任何一条直线的方程，都可以写成关于x，y的一次方程；反过来，任何一个关于x，y的一次方程都表示一条直线，为以后继续学习“曲线和方程”打下基础．因为这部分内容较为抽象，所以它是本节学习的难点．
教学目标
1. 在“直线与方程”和直线的斜率基础上，引导学生探索由一个点和斜率推导出直线方程，初步体会直线方程建立的方法．
2. 理解和掌握直线方程的点斜式，并在此基础上研究直线方程的其他几种形式，掌握它们之间的联系与区别，并能根据条件熟练地求出直线方程．
3. 理解直线和二元一次方程的关系，并能用直线方程解决和研究有关问题．
4. 通过直线方程几种形式的学习，初步体会知识发生、发展和运用的过程，培养学生多向思维的能力．
任务分析
这节内容是在学习了直线方程的概念与直线的斜率基础上，具体地研究直线方程的几种形式，而这几种形式的关键是推导点斜式方程．因此，在推导点斜式方程时，要使学生理解：已知直线的斜率和直线上的一个点，这条直线就确定了，进而直线方程也就确定了．求直线方程就是把直线上任一点用斜率和直线上已知点来表示，这样由两点的斜率公式即可推出直线的点斜式方程．在直线的点斜式方程基础上，由学生推出直线方程的其他几种形式，并使学生明确直线方程各种形式的使用范围，以及它们之间的联系与区别．对于直线和方程的一一对应关系是本节课的难点，在论证直线和方程的关系时，一方面分斜率存在与斜率不存在两类，另一方面又分B≠0与B＝0两类．这种“两分法”的分类，科学严密，可培养学生全面系统和周密地讨论问题的能力．
教学设计
一、问题情境
飞逝的流星形成了一条美丽的弧线，这条弧线可以看作满足某种条件的点的集合．在平面直角坐标系中，直线也可以看作满足某种条件的点的集合．为研究直线问题，须要建立直线的方程．直线可由两点唯一确定，也可由一个点和一个方向来确定．如果已知直线上一个点的坐标和斜率，那么如何建立这条直线的方程呢？
二、建立模型
1. 教师提出一个具体的问题若直线l经过点A（－1，3），斜率为－2，点P在直线l上运动，那么点P的坐标满足什么条件？
设点P的坐标为（x，y），那么当P在直线l上运动时（除点A外），点P与定点A确定的直线就是l，它的斜率恒为－2，所以＝－2，即2x＋y－1＝0．
显然，点A（－1，3）满足此方程，因此，当点P在直线l上运动时，其坐标（x，y）满足方程2x＋y－1＝0．
2. 教师明晰一般地，设直线l经过点P1（x1，y1），且斜率为k，对于直线l上任意一点P （x，y）（不同于点P1），当点P在直线l上运动时，PP1的斜率始终为k，则，即y－y1＝k（x－x1）．
可以验证：直线l上的每个点（包括点P1）的坐标都是这个方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，这个方程就是过点P1、斜率为k的方程，我们把这个方程叫作直线的点斜式方程．
当直线l与x轴垂直时，斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为直线l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x＝x1．
思考：（1）方程与方程y－y1＝k（x－x1）表示同一图形吗？
（2）每一条直线都可用点斜式方程表示吗？
［例题］
求满足下列条件的直线方程．
（1）直线l1：过点（2，5），k＝－1．
（2）直线l2：过点（0，1），k＝－.
（3）直线l3：过点（2，1）和点（3，4）．
（4）直线l4：过点（2，3）平行于y轴．
（5）直线l5：过点（2，3）平行于x轴．
参考答案：（1）x＋y－7＝0．（2）y＝－x＋1．（3）3x－y－5＝0．（4）x＝2．（5）y ＝3．
［练习］
求下列直线方程．
（1）已知直线l的斜率为k，与y轴的交点P（0，b）．
（如果直线l的方程为y＝kx＋b，则称b是直线l在y轴上的截距，这个方程叫直线的斜截式方程）
（2）已知直线l经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）．
（如果直线l的方程为y－y1＝（x－x1），（x1≠x2），则这个方程叫直线的两点式方程）
（3）已知直线l经过两点A（ａ，0），B（0，b），其中ab≠0．
（如果直线l的方程为，（ab≠0），则a，b分别称为直线l在x轴、y轴上的截距，这个方程叫直线的截距式方程）
进一步思考讨论：前面所学的直线方程的几种形式都是关于x，y的二元一次方程，那么任何一条直线的方程是否为关于x，y的二元一次方程？反过来，关于x，y的二元一次方程都表示一条直线吗？
通过学生讨论后，师生共同明晰：
在平面直角坐标系中，每一条直线的方程都是关于x，y的二元一次方程．
事实上，当直线斜率存在时，它的方程可写成y＝kx＋b，它可变形为kx－y＋b＝0，若设A ＝k，B＝－1，C＝b，它的方程可化为Ax＋By＋C＝0；当直线斜率不存在时，它的方程可写成x＝x1，即x－x1＝0，设A＝1，B＝0，C＝－x1，它的方程可化为Ax＋By＋C＝0．即任何一条直线的方程都可以表示为Ax＋By＋C＝0；反过来，关于x，y的二元一次方程Ax＋By ＋C＝0，（A，B不全为0）的图像是一条直线．
事实上，对于方程Ax＋By＋C＝0，（A，B不全为0），当B≠0时，方程可化为y＝－x－，它表示斜率为－，在y轴上截距为－的直线；当B＝0时，A≠0，方程可化为x＝－，它表示一条与ｙ轴平行或重合的直线．
综上可知：在平面直角坐标系中，直线与关于x，y的二元一次方程是一一对应的．我们把方程Ax＋By＋C＝0，（A，B不全为0）叫作直线的一般式方程．
三、解释应用
［例题］
1. 已知直线l通过点（－2，5），且斜率为－．
（1）求直线的一般式方程．
（2）求直线在x轴、y轴上的截距．
（3）试画出直线l．解答过程由学生讨论回答，教师适时点拨．
2. 求直线l：2x－3y＋6＝0的斜率及在x轴与y轴上的截距．
解：已知直线方程可化为y＝x＋2，所以直线l的斜率为，在y轴上的截距为2．在方程2x －3y＋6＝0中，令y＝0，得x＝－3，即直线在x轴上的截距为－3．
［练习］
1. 求满足下列条件的直线方程，并画出图形．
（1）过原点，斜率为－2．
（2）过点（0，3），（2，1）．
（3）过点（－2，1），平行于x轴．
（4）斜率为－1，在y轴上的截距为5．
（5）在x轴、y轴上的截距分别为3，－5．
2. 求过点（3，－4），且在两条坐标轴上的截距相等的直线方程．
3. 设直线l的方程为（m2－2m－3）x＋（2m2＋m－1）y＝2m－6，根据下列条件确定m的值．
（1）直线l在x轴上的截距为－3．
（2）直线l的斜率为1．
（3）直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为10．
四、拓展延伸
1. 在直线方程y－1＝k（x－1）中，k取所有实数，可得到无数条直线，这无数条直线具有什么共同特点？
2. 在直线方程Ax＋By＋C＝0中，当A，B，C分别满足什么条件时，直线有如下性质：
（1）过坐标原点．（2）与两坐标轴都相交．
（3）只与x轴相交．（4）只与y轴相交．
（5）与x轴重合．（6）与y轴重合．
3. 直线方程的一般式与几种特殊形式有什么区别与联系？你能说明它们的适用范围以及相互转化的条件吗？
参考答案：
1. 直线过点（1，1），它不包括直线x＝1．
2. （1）C＝0．A，B不全为0；（2）A，B都不为0．
（3）A≠0，B＝0，C≠0．（4）A＝0，B≠0，C≠0．
（5）A＝0，B≠0，C＝0．（6）A≠0，B＝0，C＝0．
3. 略．
点评
这篇案例在直线与方程和直线的斜率基础上，通过实例探索出过一点且斜率已知的直线的方程，然后按照由特殊到一般的方程建立了直线的点斜式方程，在点斜式方程的基础上由学生自主的探究出直线方程的其他形式，并研究了几种直线方程的联系与区别以及它们的适用范围．在案例的设计上注意了知识的发生、发展和适用的过程．在例题与练习的设计上，注意了层次性和知识的完整性的结合，在培养学生的能力上，注意了数学的本质是数学思维过程的教学，体现了数形结合、化归、转化、抽象、概括以及函数与方程的思想．在培养学生创新意识、探索研究、分析解决问题的能力等方面，做了一些尝试，体现了新课程的教学理念，能够较好地完成本节的教育教学任务．。