山东省聊城市某重点高中2013届高三12月月考试题数学(文)试题

山东省聊城市某重点高中2013届高三12月份月考试题
数 学（文）试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.设}{}2,1{2a N M ==，，则”“1=a 是”
“M N ⊆的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
2.下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是（ ）
A.x
x f 1
)(= B.x x f -=)( C.x x x f 22)(-=- D.x x f tan )(-=
3．给出下面类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）： ①“若a,b b a b a R =⇒=-∈0,则”类比推出“若a,b b a b a C =⇒=-∈0,则”； ②“若a,b,c,d d b c a di c bi a R ==⇒+=+∈,,则复数”类比推出“若a,b,c,d ,Q ∈
则d b c a d c b a ==⇒+=+,22”； ③“若a,b b
a b a R >⇒>-∈0,则”
类
比
推
出
“
若
a,b b a b a C >⇒>-∈0,则”； 其中类比结论正确的个数是 （ ） A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为1
3n n S a +=+，N *n ∈，则实数a 的值是 A ．3- B ．3 C ．1- D ．1
5．已知非零向量a 、b ，满足a b ⊥，则函数2
()()f x ax b =+(R)x ∈是 A. 既是奇函数又是偶函数 B. 非奇非偶函数 C. 偶函数 D. 奇函数
4.已知各项为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a 的等比数列中项为22，则1172a a +的最小值
A.16
B.8
C. 22
D.4
5.在平面直角坐标系xOy 中，直线0543=-+y x 与圆422=+y x 相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于
A.33
B.32
C.3
D.1
6.已知命题x x x p 32),0,(:<-∞∈∃；命题6)(,23+-=∈∀x x x f R x q ：的极大值为6.则下面选项中真命题是
A.)()q p ⌝∧⌝（
B.)()q p ⌝∨⌝（
C.)(q p ⌝∨
D.p q ∧
7.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪
⎨⎧-≥≤+≥222x y x x y ，则y x z 3-=的最小值为
A.-2
B.-4
C.-6
D.-8
8.已知命题x x x p 32),0,(:<-∞∈∃；命题6)(,23+-=∈∀x x x f R x q ：的极大值为6.则下面选项中真命题是
A.)()q p ⌝∧⌝（
B.)()q p ⌝∨⌝（
C.)(q p ⌝∨
D.p q ∧
9.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪
⎨⎧-≥≤+≥222x y x x
y ，则y x z 3-=的最小值为
A.-2
B.-4
C.-6
D.-8
10．若函数a ax x f 213)(-+=在区间)1,1(-上存在一个零点，则a 的取值范围是 A ．51>
a B ．51>a 或1-<a C ．5
1
1<<-a D ．1a <- 11．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x x x 2
=2-，则()f 1= A ．-3 B. -1 Ｃ.１ Ｄ.３
12．已知函数
2
()cos()f n n n π=，且()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=
A ． 0
B ．100-
C ．100
D ．10200 第Ⅱ卷（非选择题 90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13.已知角α的终边上一点的坐标为)6
5cos ,65(sin π
π，则角α
的最小正值为 .
14.已知)1('2)(2xf x x f +=，则=)0('f . 15.已知函数)(x g y =的图象由x x f 2sin )(=的图象向右 平移)0(πϕϕ<<个单位得到，这两个函数的部分图象如图 所示，则ϕ= .
16.已知定义在R 的奇函数)(x f 满足)()4(x f x f -=-，且]2,0[∈x 时，
)1(log )(2+=x x f ，下面四种说法①1)3(=f ；②函数)(x f 在［-6，-2］上是增函
数；③函数)(x f 关于直线4=x 对称；④若)1,0(∈m ，则关于x 的方程0)(=-m x f 在［-8，8］上所有根之和为-8，其中正确的序号 .
三、解答题：本大题共6个小题.共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
在ABC ∆中，已知45A =，4
cos 5
B =. （1）求sin
C 的值；
（2）若10,BC D =为AB 的中点，求CD 的长. 18.（本小题满分12分）已知函数x x x f cos sin 1)(+=. （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期和单调递减区间； （Ⅱ）若2tan =x ，求)(x f 的值。

19．（本小题满分12分）
已知向量
22
(cos sin ,sin )a x x x ωωω=-，(3,2cos )b x ω=， 设函数()(R)f x a b x =⋅∈的图象关于直线2x π
=
对称，其中ω为常数，且(0,1)ω∈.
（Ⅰ）求函数()f x 的表达式；
（Ⅱ）若将()y f x =图象上各点的横坐标变为原来的16，再将所得图象向右平移3
π
个单位，纵坐标不变，得到()y h x =的图象， 若关于x 的方程()0h x k +=在区间
[0,]
2π
上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围.
20.（本小题满分12分）在ABC ∆内，c b a ,,分别为角C B A ,,所对的边，c b a ,,成等差数列，且c a 2=.
（Ⅰ）求A cos 的值；（Ⅱ）若4
15
3=∆ABC S ，求b 的值。

21．（本小题满分13分）
已知函数2
)
)(1()(x a x x x f ++=
为偶函数．（Ⅰ）求实数a 的值；
（Ⅱ）记集合{(),{1,1,2}}E y y f x x ==∈-，21
lg 2lg 2lg 5lg 54
λ=++-
，判断λ与E 的关系；
（Ⅲ）当x ∈]1
,1[n
m ()0,0>>n m 时，若函数()f x 的值域为]32,32[n m --，求n m ,的值.
22.（本小题满分14分）已知函数x a a x a x x f )()12(2
1
31)(223+++-=
. （Ⅰ）若)(x f 在1=x 处取得极大值，求实数a 的值；
（Ⅱ）若R m ∈∀，直线m kx y +=都不是曲线)(x f y =的切线，求k 的取值范围； （Ⅲ）若1->a ，求)(x f 在区间［0，1］上的最大值。

20.解：（Ⅰ）因为)]1()[()()12()('22+--=+++-=a x a x a a x a x x f ………………2分
令a x a x x f =+==21),1(,0)('得，所以)(),('x f x f 随x 的变化情况如下表：
………4分
所以1=a …………………………5分
（由0)1('=f 得出0=a ，或1=a ，在有单调性验证也可以（标准略）） （Ⅱ）因为4
1
)212()('2-+-
=a x x f ……………………6分 因为R m ∈∀，直线m kx y +=都不是曲线)(x f y =的切线， 所以k a x x f =-+-
=4
1
)212()('2无实数解 ……………………7分 只要)('x f 的最小值大于k
所以4
1
-<k ……………………8分
（Ⅲ）因为1->a ，所以01>+a ，
当1≥a 时，0)('≥x f 对]1,0[∈x 成立
所以当1=x 时，)(x f 取得最大值6
1
)1(2-=a f ……………………9分
当10<<a 时，在),0(a x ∈时，0)('>x f ，)(x f 单调递增 在)(,0)(',)1,(x f x f a x <∈时单调递减
所以当a x =时，)(x f 取得最大值232
1
31)(a a a f +=………………10分
当0=a 时，在)1,0(∈x 时，0)('<x f ，)(x f 单调递减
所以当0=x ，)(x f 取得最大值0)0(=f ……………………11分 当01<<-a 时，在)1,0(+∈a x 时，)(,0)('x f x f <单调递减 在)1,1(+∈a x 时，0)('>x f ，)(x f 单调递增 又6
1)1(,0)0(2-==a f f ， 当661<<-a 时，)(x f 在1=x 取得最大值6
1)1(2-=a f
答案
一、选择题
1.A
2.C
3.C
4.A
5.C
6.B
7.B
8.B
9.D 10.B 11.A 12.B
二、填空题：13.32π； 14.-4； 15.3
π
16.①④
三、解答题
17.（本小题满分12分）
解：（1） 三角形中,54cos =B ,所以B 锐角∴53
sin =B --------3分
所以10
2
7sin cos cos sin )sin(sin =
+=+=B A B A B A C --------6分 (2) 三角形ABC 中，由正弦定理得 A
BC
C AB sin sin =
, ∴14=AB ， --------9分 又D 为AB 中点，所以BD=7
在三角形BCD 中，由余弦定理得 37cos 2222=⋅⋅-+=B BD BC BD BC CD
∴37=CD --------12分
18.解：（Ⅰ）已知函数即ππ
==∴+=2
2,2sin 211)(T x x f ，……………………3分
令)(223222Z k k x k ∈+<<+ππππ，则)(4
34Z k k x k ∈+<<+ππππ， 即函数)(x f 的单调递减区间是)](4
3,4[Z k k k ∈++ππ
ππ； (6)
分
（2）由已知1
tan 1
tan tan cos sin cos cos sin sin 2
22222+++=+++=x x x x x x x x x y ，………………9分 ∴当2tan =x 时，57
1
212222=+++=y .……………………12分
由直线2x π=是()y f x =图象的一条对称轴，可得2sin()23π
πω+=±，
所以()32k k z πππωπ+=+∈，即1
()6
k k z ω=+∈．
又(0,1)ω∈，k z ∈，所以0k =，故16
ω=
.
21.解（Ⅰ）因为a,b,c 成等差数列，所以a+c=2b, ……………………2分
又c a 2=，可得c b 2
3
=， …………………………4分
所以41
2
324492cos 222
22
22-=⨯-+=-+=c c c c bc a c b A ，………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）4
1
cos -=A ，），（π0∈A ，所以415sin =A ， ……………………
8分 因为,sin 2
1
4153A bc S S ABC ABC ==
∆∆， 所以4
15
34152321sin 212=
⨯==∆c A bc S ABC ， ……………………10分 得42=c ，即3,2==b c . ……………………………12分 21（本小题满分12分）
解: （Ⅰ）)(x f 为偶函数 ()()f x f x ∴=- 2
2)
)(1())(1(x
a x x x a x x +-+-=++∴
,0)1(2=+∴x a ∈x R 且0≠x ,1-=∴a ………………………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：2
21
)(x x x f -= 当1x =±时，()0f x =；当2x =时，3()4f x =
304E ,⎧⎫
∴=⎨⎬⎩⎭
， ………………6分。