空间向量的正交分解及其坐标表示 课件

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
对于空间任意一个向量 p 一定可以把它平移，使它的 __起__点___与原点 O 重合，得到向量O→P＝p，由空间向量基本定理 可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝__xe_1_＋__y_e_2_＋__ze_3_.
我们把__x_、__y_、__z__称作向量 p 在单位正交基底 e1，e2，e3 下的坐标，记作 p＝_(_x_，__y_，__z)__．
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新知导学 1．空间向量基本定理 (1)如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p， 存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝_x_a_＋__yb_＋__z_c___. (2)如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成 的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看 作是由向量a，b，c生成的，我们把{a_，__b_，__c____}叫做空间的 一 个 基 底 ， a ， b ， c 都基叫向做量________ ， 空 间 任不何共面三 个 ________的向量都可构成空间的一个基底，同一(相等)向量在 不 同 基 不底同下 的 坐 标 _______ ， 在 同相同一 基 底 下 的 坐 标 ________．
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空间向量的正交分解及其坐标表示
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空间向量的正交分解 温故知新 回顾复习平面向量基本定理及其正交分解． 思维导航 1．我们已知平面内任一向量都可以用两个不共线向量线 性表示且这种表示方法是唯一的． 类似的空间中任一向量可用几个满足什么条件的向量来表 示呢？这种表示方法唯一吗？怎样选取基向量运算更方便？
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牛刀小试 4．若a＝3e1＋2e2－e3，{e1，e2，e3}为空间的一个单位 正交基底，则a的坐标为__________． [答案] (3,2，－1)
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5．设命题p：{a，b，c}为空间的一个基底，命题q：a、b、 c是三个非零向量，则命题p是q的__________条件．
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3．空间向量基本定理的证明 设 a、b、c 不共面，过点 O 作O→A ＝a，O→B＝b，O→C＝c，O→P＝p；过点 P 作直线 PP′平行于 OC，交平面 OAB 于点 P′；在平面 OAB 内，过点 P′作直线 P′A′∥OB，P′B′∥OA，分别与直线 OA，OB 相交于点 A′，B′.于是存在三个实数 x，y，z，使O→A′＝xO→A ＝__x_a___，O→B′＝yO→B＝__yb__，P′ →P＝zO→C＝__z_c____，O→P＝ O_→_A_′__＋__O_→B_′___＋__P_→′__P__＝xO→A＋yO→B＋zO→C.∴p＝xa＋yb＋zc.
A．若b与c不共线，则a、b、c、d共面 B．若b与c共线，则a、b、c、d共面 C．当且仅当c＝0时，a、b、c、d共面 D．若b与c不共线，则a、b、c、d不共面 [答案] A
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3．以下四个命题中正确的是( ) A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示 B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则 a，b，c 全不 是零向量 C．△ABC 为直角三角形的充要条件是A→B·A→C＝0 D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底 [答案] B [解析] 由空间基底的概念知，构成基底的三个基向量一 定不共面，因此必定不共线，都是非零向量，∴A错，D错，B 正确；△ABC为直角三角形时不一定角A为直角，故C错．
牛刀小试
1．如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，
则( )
A．a与b共线
B．a与b同向
C．a与b反向
D．a与b共面
Hale Waihona Puke [答案] A[解析] 由空间向量基底的概念知，A正确．
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2．如果a、b、c共面，b、c、d也共面，则下列说法正确 的是( )
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4．空间向量的正交分解及其坐标表示 设e1，e2，e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量 (我们称它们为单位正交基底)． 以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以_e1_，__e_2，__e_3 __的 方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O－xyz.
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2．由于0可看作是与任意一个非零向量共线，与任意两个 非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含它们都不是 ___0___.
要明确：一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中 的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
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空间向量的正交分解与坐标表示
温故知新 2．复习平面向量的正交分解与坐标表示． 思维导航 2．类比平面向量的正交分解，空间向量也可以正交分解， 请思考此时的基底应满足什么条件？ 如何选取基底才能实现将空间向量用坐标表示，且计算方 便？
[答案] 充分不必要 [解析] {a，b，c}为空间的一个基底，则a、b、c一定不 共面，则它们三者中无零向量，反之，若a、b、c是三个非零 向量，它们可能共面，此时{a，b，c}不可能成为空间的一个 基底．
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6．已知 A，B，C 三点不共线，平面 ABC 外的一点 M 满 足O→M＝13O→A＋13O→B＋13O→C.