山西省实验中学2017-2018学年高一上学期10月月考数学试题(解析版)

山西省实验中学2017~2018学年度高一年级第一次月考题
数学试题
第Ⅰ卷（共36分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，等于（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由交集的定义可得.
本题选择D选项.
2.对于集合下列关系一定成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
当时，，选项A错误；
当时，，不满足真子集条件，选项C错误；
当时，，选项D错误；
本题选择B选项.
3.下列函数为偶函数的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
逐一考查所给函数的性质：
A.
，该函数为非奇非偶函数；
B.，该函数为奇函数；
C.，该函数为非奇非偶函数；
D.，该函数为偶函数.
本题选择D选项.
4.设全集，集合，则等于（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由题意可得：，
则等于.
本题选择B选项.
5.已知函数，则的值为（）
A. 6
B. 4
C. 2
D. 0
【答案】A
【解析】
由分段函数的解析式可得：，
据此可得：.
本题选择A选项.
6.若函数的定义域为，则函数的定义域是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：根据已知可得函数的定义域需满足：解得，即函数定义域为，故选择B
考点：求函数定义域
7.已知函数，，则函数的单调增区间是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由题意可得函数的解析式：，
该函数为二次函数，开口向下，对称轴为y轴，
据此可得：的单调增区间是.
本题选择A选项.
8.已知函数满足，求的值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由题意可得：，
据此可得函数的解析式为：.
本题选择B选项.
点睛：求函数解析式常用方法
(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(3)方程法：已知关于f(x)与或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
9.已知函数，若且，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
绘制函数在区间上的图像如图所示，
由可得，
结合函数图像可得的取值范围是.
本题选择C选项.
10.已知数集，，设函数是从到的函数，则函数的值域可能情况的个数为（）
A. 1
B. 3
C. 7
D. 8
【答案】C
【解析】
由题意结合函数的定义可知函数的值域可能情况的个数即集合B的非空真子集的个数，结合子集个数公式可知：函数的值域可能情况的个数为.
本题选择C选项.
11.若，则的解析式为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
令，则，
据此可得：，
综上可得：的解析式为.
本题选择A选项.
12.对，记，则函数的最小值是（）
A. 0
B. 1
C.
D. 2
【答案】C
【解析】
由题意结合新定义可得：，
即：，
结合函数的解析式，绘制函数图象，观察可得，函数的最小值为.
本题选择C选项.
点睛：对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．研究函数问题离不开函数图象，函数图象反映了函数的所有性质，在研究函数问题时要时时刻刻想到函数的图象，学会从函数图象上去分析问题、寻找解决问题的方法．
第Ⅱ卷（共64分）
二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）
13.函数的单调递增区间是__________.
【答案】
【解析】
函数有意义，则：，
求解关于实数的不等式可得函数的定义域为：，
二次函数开口向下，对称轴为，
结合复合函数的单调性可得函数的单调递增区间是.
点睛：复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)
在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．
14.已知函数f(x)＝
满足对任意x1≠x2，都有成立，则a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题函数是单调减函数；则，解得a的取值范围．
【详解】对任意x1≠x2，都有成立，说明函数y＝f(x)在R上是减函数，则，解得. 即答案为.
【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性是解答的关键．
15.函数的值域为__________.
【答案】
【解析】
令，则，
换元可得函数的解析式：，
二次函数开口向上，对称轴为，
结合二次函数的性质可得函数的最小值为：，
综上可得，函数的值域为.
16.已知函数，若对任意都有成立，则的取值范围是__________. 【答案】
【解析】
函数的解析式，分类讨论：
当m=1时,f(x)=1,对于任意a,b,c∈R,都有f(a)+f(b)>f(c)成立；
②当m>1时,∵，
，
∴对于任意a,b,c∈R,都有f(a)+f(b)>f(c)成立
即有只需：，即2⩾m，
∴1<m⩽2，
③当m<1时,，
∴，
∴对于任意a,b,c∈R,都有f(a)+f(b)>f(c)成立，即只需2m⩾1，
，
综上所述实数m的取值范围为：，
三、解答题（本大题共4小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知集合，，若，求实数的取值范围. 【答案】
【解析】
试题分析：
求解分式不等式可得，结合题意得到关于实数a的不等式或
，求解不等式可得实数的取值范围为.
试题解析：
∵
∴
∵
∴或
解得
故实数的取值范围为
18.已知函数.
（1）画出函数的图象，并写出其单调区间；
（2）求方程的解的个数.
【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.
【解析】
试题分析：
(1)将函数的解析式写成分段函数的形式：，据此绘制函数图象即可，结合函数的图象可得函数的单调增区间为：和
函数的单调减区间为：和；
(2)
结合函数的图象可得当时，方程无解，
当或时，方程有1个解，
当或或时，方程有2个解，
当时，方程有3个解.
试题解析：
（1）化简可得
函数的图象如下：
根据图象，可得：
函数的单调增区间为：和
函数的单调减区间为：和；
（2）当时，方程无解，
当或时，方程有1个解，
当或或时，方程有2个解，
当时，方程有3个解.
19.已知函数，.
（1）若函数是单调函数，求实数的取值范围；
（2）若函数的最大值是2，求实数的值.
【答案】(1)；(2)3或.
【解析】
试题分析：
(1)
二次函数开口向下，对称轴为，据此可得实数的取值范围是；
(2)
分类讨论，，三种情况可得实数的值3或.
试题解析：
(1)
二次函数开口向下，对称轴为，结合题意可得或，即实数的取值范围是
；
（2）分类讨论：
当时，函数在区间上单调递减，
函数的最大值：；
当时，函数在区间上单调递增，
函数的最大值：；
当时，函数在对称轴处取得最大值，
即：，解得：或，不合题意，舍去；
综上可得实数的值3或.
点睛：二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
20.已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求的解析式；
（2）判断并证明的单调性；
（3）求关于的不等式.
【答案】(1)，；(2)答案见解析；(3).
【解析】
试题分析：
(1)由题意得到关于实数a,b的方程组，求解方程组可得函数的解析式为，；
(2)
函数在上单调增，取，且，计算可得：，则，故在上单调增；
(3)由题意结合函数的奇偶性和函数的单调性脱去f符号得到关于m的不等式，求解不等式可得原不等式解集为.
试题解析：
（1）由题意可得：，即：，
求解方程组可得：，则该函数的解析式为：
，；
（2）在上单调增，证明如下：
，且，
又∵
∴，，，
∴
即
故在上单调增；
（3）∵
∴
又∵在上单调增
∴
解得
故原不等式解集为.
点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．。