两个重要的极限1

两个重要的极限

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：掌握两个重要极限，并能熟练应用。

：掌握两个重要极限，牢记结论；掌握证明的基本思路和方法，并能灵活运用。

：两个重要极限的证明及运用。

：两个重要极限的证明及运用。

：讲授定理的证明，举例说明应用，练习。

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１）性质１－性质４常用于说明函数极限的一些性质。

nn例１．设，，证明：. fx()0,lim()fxA,lim()fxA,,xx,xx00

0例２．设Ux()，. （1）若在某内有，问是否有？

fxgx()(),lim()fxA,lim()gxB,AB,0xx,xx,00

0为什么？（2）证明：若Ux()，则在某内有. fxgx()(),AB,0

２）性质５－性质６（迫敛性、四则运算）常用于计算。

222x,1x,12,2Ｐlim1,lim,lim2(sincos)2xxx,,,,１: （１）；（２）；（３）；：51 2201,x,x,21xx,,213xx,,2x,2

70207020(36)(85)38xx，,,1234，,x（６）lim,；（８）.

lim,9090x,，,x,4(51)5x,3x,2

xxsin２: . lim0,2x,，,x,4

sinx . lim1,x,0x

(Heine)

１．定理的内容:

２．定理的意义:

３．定理的用途:

1１）说明极限不存在，如的极限不存在； limsinx,0x

２）利用数列极限的性质证明函数极限的性质。

例１．证明函数极限的唯一性。

例２．证明函数极限四则运算。

例３．证明单调有界定理。

３）利用函数极限求数列极限。

1例４． limsinn. n,,n

11例５． lim(1)，,. 2n,,nn

４．归结原则有不同的叙述（在不同的极限形式下），要注意灵活应用。１．内容。

Cauchy

２．意义。１．内容

２．意义

３．用途：

１）证明存在； lim()fxx,,

1２）证明不存在。如。 limsinlim()fxx,，,x,，,x

证明中用到归结原则，数列极限的Cauchy准则。

?

sinx lim1,x,0x

sinx lim1,x,0x

sinx例１．求. limx,,,,x

1cos,x例２．求. lim2x,0x

1sinsinx1n：利用归结原则，可求数列极限。如求，直接利用是不严格的；lim1,limlimsinn,x,0nn,,,,1xn

n

sinx,但已知xn,,,0(，故取，则，从而由归结原则lim,xn,,,(1,2,nnx,0xn

1sinn. lim()lim0fx,,n,,,,nn1

n

tgx例３．求. limx,0x

x11,,,lim1，,e. lim1，,,e，，,,,,x,,0x,,

1x例１．求. lim12，x，，x,0

1例２．求x. lim1,x，，x,0

11n例３．求lim(1)，,. 2,,nnn

1,,n练习：Ｐ３９４ (1)为递增数列。，,,1n，,,

1,,n，1(1)，为为递减数列。 ,,n,,

Ｐ５５２设Ｐ３９９为定义在上的增（减）函数，证明：存在在上

f[,)a，,f[,)a，,lim()fx,x,，,

有上（下）界。