函数的周期性与对称性-重难点题型精讲(解析)

函数的周期性与对称性-重难点题型精讲
周期性
(1)周期函数：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x
+T)=f(x)，那么就称函数y=f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做
f(x)的最小正周期．
思考
1.已知函数f(x)满足下列条件，你能否得到函数f(x)的周期？
(1)f(x+a)=-f(x)(a≠0)．
(a≠0)．
(2)f(x+a)=1
f x
(3)f(x+a)=f(x+b)(a≠b)．
提示　(1)T=2|a|；(2)T=2|a|；(3)T=|a-b|.
2.若f(x)对于定义域中任意x，均有f(x)=f(2a-x)，或f(a+x)=f(a-x)，则函数f(x)关于直线x=
a对称．
【题型1函数的对称性】
【函数的对称性】
(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；
(2)利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象，确定函数在另一区间上的解析式，解决某
些求值或参数问题；
(3)由函数奇偶性延伸可得到一些对称性结论，如函数f(x+a)为偶函数(奇函数)，则y=f(x)的图象
关于直线x=a对称(关于点(a,0)对称)．
【例1】（2020秋•杨浦区校级期末）若函数f（x）=2x+3•2﹣x的图象关于直线x=m成轴对称图形，则m= ．
【解题思路】利用已知条件，将问题转化为函数图象关于y 轴对称，利用恒成立分析求解即可．
【解答过程】解：由题意可知k >0，
因为函数f （x ）=2x +3•2﹣x 的图象关于直线x =m 成轴对称图形，
则f （x +m ）为偶函数，图象关于y 轴对称，
故f （m ﹣x ）=f （m +x ）恒成立，
所以2m ﹣3•2﹣m =0，解得m =12 log 23．故答案为：12 log 2
3．【变式1-1】（2020秋•乐山月考）已知函数f （x ）=﹣x 3+bx 2﹣c 的图象关于点P （1，﹣1）成中心对称，则下列不等关系正确的是（ ）
A.f （﹣2）+f （5）>﹣2
B.f （﹣1）+f （2）<﹣2
C.f （ln2）+f （ln4）>﹣2
D.f （ln2）+f （ln3）>﹣2
【解题思路】根据函数的对称性求出b ，c 的值，利用函数的单调性进行判断即可．
【解答过程】解：由图象关于点P （1，﹣1）成中心对称，得f （2﹣x ）+f （x ）=﹣2，可知f （1）=﹣1，即b =c ，
由f （0）+f （2）=﹣2，得2b ﹣c =3，由此可解得b =c =3，
所以f （x ）=﹣x 3+3x 2﹣3，画出其图象，如图所示：
对于A ，因为f （﹣2）=﹣2﹣f （4），所以f （﹣2）+f （5）>﹣2即为f （4）<f （5），错误；
同理，对于B ，f （﹣1）+f （2）>﹣2，即为f （2）<f （3），错误；
对于C ，f （ln2）=﹣2﹣f （2﹣ln2），所以f （ln2）+f （ln4）>﹣2，即为f （2﹣ln2）<f （ln4），正确；对于D ，即为f （ln3）>f （2﹣ln2），因为ln3<2﹣ln2，故D 错误；综上选C ．
故选：C ．
【变式1-2】（2020春•兴庆区校级月考）已知函数f （x ）=2x 2x 2-4x +8
，则（ ）A.函数f （x ）的图象关于x =2对称
B.函数f （x ）的图象关于x =4对称
C.函数f （x ）的图象关于（2，2）对称
D.函数f （x ）的图象关于（4，4）对称
【解题思路】通过判断f （x +2）是否为偶函数，从而判断选项A 是否正确；通过判断f （x +4）是否为偶函数，从而判断选项B 是否正确；通过判断f （x +2）﹣2是否为奇函数，从而判断C 是否正确；通过判断f （x +4）﹣4是否为奇函数，从而判断选项D 是否正确．
【解答过程】解：f (x +2)=2(x +2)2x 2+4
不是偶函数，∴f （x +2）的图象不关于x =0对称，∴f （x ）的图象不关于x =2对称，即A 错误；
f (x +4)=2(x +4)2(x +2)2+4 不是偶函数，从而得出f （x ）的图象不关于x =4对称，即B 错误；f (x +2)-2=2(x +2)2x 2+4 -2=8x x 2+4
，∴f （x +2）﹣2是奇函数，图象关于（0，0）对称，∴f （x ）的图象关于（2，2）对称，即C 正确；
f (x +4)-4=2(x +4)2(x +2)2+4 -4=-2x 2(x +2)2+4
，∴f （x +4）﹣4不是奇函数，∴f （x ）的图象不关于（4，4）对称，即D 错误．
故选：C ．
【变式1-3】（2020秋•崇川区校级期末）设函数y =f （x ）的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1+x 2=2a 时，恒有f （x 1）+f （x 2）=2b ，则称点（a ，b ）为函数y =f （x ）图象的对称中心．研究函数f （x ）=x +sinπx ﹣3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f (12018 )+f (22018 )+⋯+f (40342018 )+f (40352018
)的值为（ ）A.4035 B.﹣4035 C.8070 D.﹣8070
【解题思路】根据函数对称中心的定义求出函数f （x ）的一个对称中心，得到f （2﹣x ）+f （x ）=﹣4，利用倒序相加法进行求解即可．
【解答过程】解：∵f （2﹣x ）+f （x ）=2﹣x +sinπ（2﹣x ）﹣3+x +sinπx ﹣3=2﹣x ﹣sinπx ﹣3+x +sinπx ﹣3=﹣4，
∴函数f （x ）关于（1，﹣2）对称，设f (12018 )+f (22018 )+⋯+f (40342018 )+f (40352018 )=S ，则f （40352018 ）+f （40342018 ）+…+f （22018 ）+f （12018 ）=S ，两式相加得2S =4035[f （12018 ）+f （40352018
）]=4035×（﹣4），∴S =﹣2×4035=﹣8070，
故选：D ．
【题型2 函数的周期性】
【函数的周期性】
根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质及周期性与奇偶性，都具有将未知区间上
的问题转化到已知区间的功能，在解决具体问题时要注意结论，若T 是函数的周期，则kT （k ∈Z 且k ≠0）
也是函数的周期.
【例2】（2020秋•崇明区期末）已知函数y =f （x ），对任意x ∈R ，都有f （x +2）•f （x ）=k （k 为常数），且当x ∈[0，2]时，f （x ）=x 2+1，则f （2021）= ．
【解题思路】根据f （x +2）•f （x ）=k ，求出f （x ）是周期为4的周期函数，从而求出函数值即可．
【解答过程】解：因为对任意x ∈R ，都有f （x +2）•f （x ）=k 为常数，
所以f （x +4）•f （x +2）=k ，从而f （x +4）=f （x ），
即f （x ）的周期为4，
所以f （2021）=f （1）=2，
故答案为：2．
【变式2-1】（2020春•包河区校级月考）已知函数f （x ）对于x ∈R 都有f （4﹣x ）=f （x ），且周期为2，当x ∈[﹣3，﹣2]时，f （x ）=（x +2）2，则f (52
)= ．【解题思路】根据函数的周期性及对称性求出函数的值即可．
【解答过程】解：∵f （4﹣x ）=f （x ），
∴函数f （x ）关于直线x =2对称，且周期为2，
当x ∈[﹣3，﹣2]时，f （x ）=（x +2）2，
∴f （52 ）=f （32 ）=f （-12 ）=f （-52 ）=（-52 +2）2=14 ，故答案为：14
．【变式2-2】（2020秋•香坊区校级月考）已知f （x ）是定义在R 上的函数，且满足f (x +2)=-1f (x )
，当2≤x ≤3时，f （x ）=2x ，则f (log 12
3)=
【解题思路】通过关系式f (x +2)=-1f (x ) 可以算出函数的周期为4，再利用周期为4把log 12
3化成满足2≤x ≤3的定义域内，得到f (log 12 3)=f (log 12 3+4)=f (4-log 23)，
代入到解析式中求得相应的值．【解答过程】解：∵f (x +2)=-1f (x ) ，∴f (x +4)=-1f (x +2) =-1-1f (x )
=f (x )，∴f （x ）的周期为4，
∵log 12 3=-log 23，∴-log 23+4=log 2
163 ∈[2，3]，
∴f (log 12 3)=f (log 2163 )=2log 2163 =163 ，故答案为：163
．【变式2-3】（2020秋•哈尔滨期末）定义在R 上的函数f （x ）满足：f （x +6）=f （x ），当﹣3≤x <﹣
1时，f （x ）=﹣（x +2）2；当﹣1≤x <3时，f （x ）=x ，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2021）= ．
【解题思路】利用f （x +6）=f （x ），得到函数的周期为6，求出周期内的6个函数值作为一个整体，然后再利用周期性进行分析求解，即可得到答案．
【解答过程】解：因为当﹣1≤x <3时，f （x ）=x ，所以f （0）=0，f （1）=1，f （2）=2，
又因为f （x +6）=f （x ），所以f （x ）=f （x ﹣6）且函数的周期为6，
所以f （3）=f （﹣3），f （4）=f （1），f （5）=f （2），f （6）=f （0）=0，
当﹣3≤x <﹣1时，f （x ）=﹣（x +2）2，所以f （3）=f （﹣3）=﹣1，f （4）=f （﹣2）=0，f （5）=f
（﹣1）=﹣1，
所以f （1）+f （2）+f （3）=f （4）+f （5）+f （6）=1，
故f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2021）=337﹣f （6）=337．
故答案为：337．
【题型3 函数的奇偶性与对称性结合】
【例3】（2021春•瑶海区月考）已知y =f （x +2）为奇函数，且f （3+x ）=f （3﹣x ），当x ∈[0，1]时，f
（x ）=2x +log 4（x +1）
﹣1，则f （2021）=（ ）A.32
B.2
C.3+log 43
D.9【解题思路】由已知结合函数的对称性与周期性关系可求出函数的周期T ，然后把所求函数值转化到已知区间上，代入已知函数解析式即可求解．
【解答过程】解：因为y =f （x +2）为奇函数，
所以y =f （x ）的图像关于（2，0）对称，即f （2+x ）=﹣f （2﹣x ），
因为f （3+x ）=f （3﹣x ），
所以函数的图像关于x =3对称，f （x +4）=f （﹣x +2），
f （2+x ）=﹣f （x ），即f （4+x ）=f （x ），
故函数的周期T =4，
因为当x ∈[0，1]时，f （x ）=2x +log 4（x +1）
﹣1，则f （2021）=f （1）=2+log 42﹣1=32
．故选：A ．
【变式3-1】（2020秋•云浮期末）已知函数y =f （x +1）﹣2是奇函数，g (x )=2x -1x -1
，且f （x ）与g （x ）的图象的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x 6，y 6），则x 1+x 2+…+x 6+y 1+y 2+…+y 6=（ ）
A.0
B.6
C.12
D.18
【解题思路】分别判断函数f （x ）与g （x ）的对称性，结合函数的对称性进行求解即可．
【解答过程】解：因为函数y =f （x +1）﹣2为奇函数，
所以函数f （x ）的图象关于点（1，2）对称，
g (x )=2x -1x -1 =1x -1
+2关于点（1，2）对称，所以两个函数图象的交点也关于点（1，2）对称，
则（x 1+x 2+…+x 6）+（y 1+y 2+…+y 6）=2×3+4×3=18，
故选：D ．
【变式3-2】（2020秋•1月份月考）函数y =f （x ）的图象关于点（a ，b ）成中心对称的充要条件是函数y =f （x +a ）﹣b 为奇函数．由此结论可求f (x )=x x +1 +x +1x +2 +⋅⋅⋅+x +2020x +2021 的对称中心为（ ）A.（1011，1011） B.（﹣1011，2021） C.(11011 ，2021) D.(-12022
，1011)【解题思路】根据函数对称的等价条件，利用奇函数的性质建立方程进行求解即可．
【解答过程】解：由题知，设f （x ）的对称中心为（a ，b ），
则y =f （x +a ）﹣b 为奇函数．
即[f （﹣x +a ）﹣b ]+[f （x +a ）﹣b ]=0，即f （x +a ）+f （﹣x +a ）﹣2b =0．
又f (x )=2021-(1x +1 +⋅⋅⋅+1x +2021 )，f (x +a )=2021-(1x +a +1 +⋅⋅⋅+1x +a +2021 )，f (-x +a )=2021-(1-x +a +1 +⋅⋅⋅+1-x +a +2021 )=2021-(1-x +a +2021 +⋅⋅⋅+1-x +a +1 )，则f （x +a ）+f （﹣x +a ）﹣2b =4042-(2a +2022(x +a +1)(-x +a +2021)
+⋅⋅⋅+
2a+2022
(-x+a+1)(x+a+2021)
)-2b=0恒成立，
则a=﹣1011，b=2021，
故选：B．
【变式3-3】（2020秋•淄博期末）我们知道：y=f（x）的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是y=f（x）为奇函数，有同学发现可以将其推广为：y=f（x）的图象关于（a，b）成中心对称图形的充要条件是y=f（x+a）﹣b为奇函数．若f（x）=x3+3x2的对称中心为（m，n），则f（2019）+f（2017）+f（2015）+…+f（3）+f（1）+f（﹣3）+f（﹣5）+…+f（﹣2017）+f（﹣2019）+f（﹣2021）=（）
A.8080
B.4040
C.2020
D.1010
【解题思路】根据对称性的定义求出函数的对称中心，结合对称性进行转化求解即可．
【解答过程】解：设函数f（x）=x3+3x2图象的对称中心为（m，n），则y=f（x+m）﹣n为奇函数，即y=（x+m）3+3（x+m）2﹣n=x3+（3m+3）x2+（3m2+6m）x+m3+3m2﹣n为奇函数，必有3m+3=0且m3+3m2﹣n=0，解得m=﹣1，n=2，
则f（x）的对称中心为（﹣1，2），所以f（﹣2+x）+f（﹣x）=4，
设S=f（2019）+f（2017）+f（2015）+…+f（3）+f（1）
+f（﹣3）+f（﹣5）+…+f（﹣2017）+f（﹣2019）+f（﹣2021），
则S=f（﹣2021）+f（﹣2019）+f（﹣2017）+…+f（3）+f（5）+…+f（2017）+f（2019），
由﹣2021=2019﹣2（n﹣1），得n=2021，去掉f（﹣1）项，共2020项，
则两式相加得2S=[f（2019）+f（﹣2021）]+[f（2017）+f（﹣2019）]
+…+[f（﹣2021）+f（2019）]=4+4+…+4=4×2020，
所以S=2×2020=4040，
故选：B．
【题型4函数的奇偶性与周期性结合】
【例4】（2021•临川区校级模拟）已知奇函数f（x）定义域为R，f（1﹣x）=f（x），当x∈（0，1）时，f(x) =log2(x+12 )，则f(52 )= ．
【解题思路】根据函数的奇偶性和f（1﹣x）=f（x）可得函数的周期是2，利用周期性进行转化求解即可．
【解答过程】解：∵奇函数满足f（1﹣x）=f（x），
∴f（x）=f（1﹣x）=﹣f（x﹣1），
即f（x+1）=﹣f（x），
则f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），
所以f（x）是周期函数且最小正周期为T=2，
所以f(5
2
)=f(1
2
)=log
2
(12 +12 )=log21=0．
故答案为：0．
【变式4-1】（2021•丙卷模拟）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且当0≤x≤1时，f（x）=log3（x2+2），则f（﹣2021）=（）
A.1
B.lg9
C.lg3
D.0
【解题思路】由已知先求出函数的周期，然后结合偶函数定义进行转化即可求解．
【解答过程】解：由f（x）满足f（x+1）=﹣f（x）
得f （x +2）=f （x ），
所以函数f （x ）的最小正周期T =2，
且当0≤x ≤1时，f (x )=log 3(x 2+2)，f （x ）为偶函数，
所以f （﹣2021）=f （2021）=f （1）=1，
故选：A ．
【变式4-2】（2021•甲卷）设函数f （x ）的定义域为R ，f （x +1）为奇函数，f （x +2）为偶函数，当x ∈[1，2]时，f （x ）=ax 2+b ．若f （0）+f （3）=6，则f （92 ）=（ ）A.-94 B.-32 C.74 D.52
【解题思路】由f （x +1）为奇函数，f （x +2）为偶函数，可求得f （x ）的周期为4，由f （x +1）为奇函数，可得f （1）=0，结合f （0）+f （3）=6，可求得a ，b 的值，从而得到x ∈[1，2]时，f （x ）的解析式，再利用周期性可得f （92 ）=f （12 ）=﹣f （32 ），进一步求出f (92
)的值．【解答过程】解：∵f （x +1）为奇函数，∴f （1）=0，且f （x +1）=﹣f （﹣x +1），
∵f （x +2）偶函数，∴f （x +2）=f （﹣x +2），
∴f [（x +1）+1]=﹣f [﹣（x +1）+1]=﹣f （﹣x ），即f （x +2）=﹣f （﹣x ），
∴f （﹣x +2）=f （x +2）=﹣f （﹣x ）．
令t =﹣x ，则f （t +2）=﹣f （t ），
∴f （t +4）=﹣f （t +2）=f （t ），∴f （x +4）=f （x ）．
当x ∈[1，2]时，f （x ）=ax 2+b ．
f （0）=f （﹣1+1）=﹣f （2）=﹣4a ﹣b ，
f （3）=f （1+2）=f （﹣1+2）=f （1）=a +b ，
又f （0）+f （3）=6，∴﹣3a =6，解得a =﹣2，
∵f （1）=a +b =0，∴b =﹣a =2，
∴当x ∈[1，2]时，f （x ）=﹣2x 2+2，∴f （92 ）=f （12 ）=﹣f （32 ）=﹣（﹣2×94 +2）=52
．故选：D ．
【变式4-3】（2021•太和县校级二模）已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，∀x ∈R ，恒有f （x ）+f （x +
2）=0，且当x ∈（0，1]时，f （x ）=2x +1，则f （0）+f （1）+f （2）+…+f （2021）=（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
【解题思路】令x =x +2代入f （x +2）=﹣f （x ）即可得出f （x +4）=f （x ）；根据周期可得f （0）+f
（1）+f （2）+…+f （2021）=f （1）．
【解答过程】解：∵f （x +2）=﹣f （x ），
∴f （x ﹣2+2）=﹣f （x ﹣2），即f （x ）=﹣f （x ﹣2），
又f （x ）=﹣f （x +2），
∴f （x +2）=f （x ﹣2），
∴f （x ）=f （x +4）．
∴f （x ）的最小正周期是4．
∵f （0）=0，f （1）=3，f （2）=0，f （3）=﹣f （1）=﹣3．
又f （x ）是周期为4的周期函数，
∴f （0）+f （1）+f （2）+f （3）=f （4）+f （5）+f （6）+f （7）
=…=f （2 012）+f （2 013）+f （2 014）+f （2 015）=0．
∴f （0）+f （1）+f （2）+…+f （2 021）
=f （2 021）
=f （1）=21+1=3．
故选：C ．
【题型5 函数的奇偶性与周期性结合】
【例5】（2020秋•市中区校级期中）对于定义在R 上的函数f （x ），下列说法正确的是（ ）
A.若f （x ）是奇函数，则f （x ﹣1）的图象关于点（1，0）对称
B.若对x ∈R ，有f （x +1）=f （x ﹣1），则f （x ）的图象关于直线x =1对称
C.若函数f （x +1）的图象关于直线x =﹣1对称，则f （x ）为偶函数
D.若f （1+x ）+f （1﹣x ）=2，则f （x ）的图象关于点（1，1）对称
【解题思路】根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案．
【解答过程】解：根据题意，依次分析选项：
对于A ，将f （x ）的图象向右平移1个单位得到函数f （x ﹣1）的图象，f （x ）为奇函数，则其图象关于点（0，0）对称，则函数f （x ﹣1）的图象关于点（1，0）对称，A 正确；
对于B ，若对x ∈R ，有f （x +1）=f （x ﹣1），即f （x ﹣2）=f （x ），函数f （x ）是周期为2的周期函数，其图象不一定关于直线x =1对称，B 错误，
对于C ，将f （x +1）的图象向右平移1个单位得到函数f （x ）的图象，若函数f （x +1）的图象关于直线x =﹣1对称，则f （x ）的图象关于直线x =0对称，即f （x ）为偶函数，C 正确，
对于D ，若f （1+x ）+f （1﹣x ）=2，即f （1+x ）﹣1=﹣[f （1﹣x ）﹣1]，则f （x ）的图象关于点（1，
1）对称，D 正确，
故选：ACD ．
【变式5-1】（2020秋•菏泽期末）已知函数f （x ）对任意的x ∈R 都有f （x +6）﹣f （x ）=3f （3），若y =f （x +1）的图象关于直线x =﹣1对称，且f （1）=3，则f （2021）= ．
【解题思路】函数y =f （x +1）的图象关于直线x =﹣1对称⇒函数y =f （x ）的图象关于y 轴对称⇒y =f （x ）为R 上的偶函数，从而可求得f （3）=0，进而得函数y =f （x ）是以6为周期的函数，从而可得f （2021）的值．
【解答过程】解：∵函数y =f （x +1）的图象关于直线x =﹣1对称，
∴函数y =f （x ）的图象关于直线x =0，即y 轴对称，
∴y =f （x ）为R 上的偶函数，又对任意x ∈R ，均有f （x +6）﹣f （x ）=3f （3），
令x =﹣3，得f （6﹣3）﹣f （﹣3）=3f （3），即f （3）﹣f （3）=3f （3），
∴f （3）=0，
∴f （x +6）=f （x ），
∴函数y =f （x ）是以6为周期的函数，
∴f （2021）=f （337×6﹣1）=f （﹣1）=f （1）=3．
故答案为：3．
【变式5-2】（2021•江西三模）已知函数f （x ）的图象关于原点对称，且满足f （x +4）+f （﹣x ）=0，
且当x ∈（2，4）时，f (x )=-log 12
(x -1)+m ，若f (2021)-12 =f (-1)，则m =（ ）
A.43
B.34
C.-43
D.-34
【解题思路】根据已知可得f （x ）为奇函数且是周期为4的周期函数，从而可得f （2021）=f （1），f （﹣
1）=﹣f （1），由f (2021)-12
=f (-1)，即可求得f （1），再由函数在（2，4）上的解析式，可得关于m 的方程，从而可得结论．
【解答过程】解：因为函数f （x ）的图象关于原点对称，
所以f （x ）为奇函数，所以f （﹣x ）=﹣f （x ），
因为f （x +4）+f （﹣x ）=0，
所以f （x +4）=﹣f （﹣x ）=f （x ），
所以f （x ）是周期为4的周期函数，
故f （2021）=f （4×505+1）=f （1），又f （﹣1）=﹣f （1），
所以由f (2021)-12 =f (-1)，可得f (1)=13 ，而f (1)=-f (3)=log 12
(3-1)-m =13 ，解得m =-43 ．故选：C ．
【变式5-3】（2021•金凤区校级一模）已知函数f （x ）是R 上的满足f （1+x ）=f （﹣1﹣x ），且f （x ）的图象关于点（1，0）对称，当x ∈[0，1]时，f （x ）=2﹣2x ，则f （0）+f （1）+f （2）+⋅⋅⋅+f （2021）的值为（ ）
A.﹣2
B.﹣1
C.0
D.1
【解题思路】根据题意，分析可得f （x ）为周期为4的函数，结合函数的周期性和对称性求出f （0）、f
（1）、f （2）、f （3）的值，结合周期性可得f （0）+f （1）+f （2）+…+f （2020）+f （2021）=f （0）+[f （1）+f （2）+f （3）+f （4）]×505+f （2021），计算可得答案．
【解答过程】解：根据f （1+x ）=f （﹣1﹣x ），可得对称轴x =0，即函数f （x ）是R 上的偶函数，且f （x ）的图象关于点（1，0）对称，
则有f （﹣x ）=f （x ）且f （2﹣x ）=﹣f （x ），
变形可得f （x +2）=﹣f （x ），
则有f （x +4）=﹣f （x +2）=f （x ），即f （x ）为周期为4的函数，
当x ∈[0，1]时，f （x ）=2﹣2x ，则f （0）=2﹣1=1，f （1）=2﹣2=0，又由f （x ）的图象关于点（1，0）对称，则f （2）=﹣f （0）=﹣1，f （3）=f （﹣1）=f （1）=0，f （4）=f （0）=1，
f （0）+f （1）+f （2）+…+f （2020）+f （2021）=f （0）+[f （1）+f （2）+f （3）+f （4）]×505+f （2021）=f （0））+f （1）=1；
故选：D ．
【题型6 抽象函数性质的综合应用】
【例6】（2020秋•贵阳月考）已知定义在R 上的函数f （x ）满足已知定义：
①函数y =f （x +1）的图象关于（﹣1，0）对称；
②对任意的x ∈R ，都有f （1+x ）=f （1﹣x ）成立；
③当x ∈[3，4]时，f （x ）=log 2
（﹣3x +13），则f （2021）= ．【解题思路】由①可得f （x ）为奇函数，由②可得f （x ）的周期为4，从而f （2021）=﹣f （3），由③可求得f （3），从而可得结论．
【解答过程】解：由①得f （x ）的图象关于点（0，0）对称，为奇函数，
由②得f（x）的图象关于x=1对称，且有f[1+（x+1）]=f[1﹣（x+1）]=f（﹣x）=﹣f（x），
可得f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），所以f（x）的周期为4，
则f（2021）=f（4×505+1）=f（1）=f（﹣3）=﹣f（3），
由③得f（3）=log2（﹣3×3+13）=2，
因此f（2021）=﹣2．
故答案为：﹣2．
【变式6-1】（2021春•宝山区校级期中）已知函数f（x）是R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于x= 1对称，当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，计算f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（2021）= ．
【解题思路】根据函数的对称性和函数的奇偶性即可得到f（x）是周期函数，结合函数的解析式分析可得f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=0，据此可得f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2021）=505×0+f（2020）+f（2021），计算可得答案．
【解答过程】解：根据题意，f（x）的图象关于x=1对称，则有f（2﹣x）=f（x），
又由函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，则f（x）=f[﹣（x﹣2）]=﹣f（x﹣2），
则f（x+2）=﹣f（x），即f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），
故函数f（x）是周期为4的周期函数，
则f（0）=0，f（1）=2﹣1=1，f（2）=f（0）=0，f（3）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，f（4）=f（0）=0，f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=0，
即f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2021）=505×0+f（2020）+f（2021）=f（0）+f（1）=1；
故答案为：1．
【变式6-2】（2021春•黑龙江月考）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）为偶函数，且f（﹣1）=﹣1，则f（2020）+f（2021）= ．
【解题思路】根据题意，由f（x）的奇偶性和对称性分析可得f（x+4）=f（x），即可得f（x）是周期为4的周期函数，由此可得f（2020）与f（2021）的值，相加即可得答案．
【解答过程】解：根据题意，奇函数f（x）定义域为R，则f（﹣x）=﹣f（x），且f（0）=0
又由f（x+1）为偶函数，即f（x）的图像关于直线x=1对称，则有f（﹣x）=f（2+x），
综合可得f（2+x）=f（﹣x）=﹣f（x），则有f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），
故函数f（x）是周期为4的周期函数，
故f（2020）=f（0+505×4）=f（0）=0，
f（2021）=f（1+505×4）=f（1）=﹣f（1）=1，
故f（2020）+f（2021）=0+1=1，
故答案为：1．
【变式6-3】（2021•菏泽一模）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（0）=1，g（x）=f（x﹣1）是奇
4n-1
f(i)= ．
函数，则f（2021）= ，
i=1
【解题思路】对于第一空：根据题意，分析可得f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，结合f（x）为偶函数可得f（x）=﹣f（x﹣2），变形可得f（x﹣4）=﹣f（x﹣2）=f（x），即f（x）是周期为4的周期函数，由此可得第一空答案，
对于第二空：由f（x）=﹣f（x﹣2），利用特殊值法可得f（1）+f（3）=0，f（2）+f（4）=0，即可得[f
4n-1
f(i)=n×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]﹣f（4n），结（1）+f（2）+f（3）+f（4）]=0，据此可得
i=1
合函数的周期性分析可得答案．
【解答过程】解：根据题意，g（x）=f（x﹣1）是奇函数，则f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，则有f（﹣x）=﹣f（﹣2+x），且f（1）=0，
又由f（x）是定义在R上的偶函数，即f（﹣x）=f（x），则有f（x）=﹣f（x﹣2），
变形可得f（x﹣4）=﹣f（x﹣2）=f（x），即f（x）是周期为4的周期函数，
f（2021）=f（1+4×505）=f（1）=0，
又由f（x）=﹣f（x﹣2），即f（x）+f（x﹣2）=0，则有f（1）+f（3）=0，f（2）+f（4）=0，故[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]=0，
4n-1
f(i)=n×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]﹣f（4n）=0﹣f（0）=﹣1，
则
i=1
故答案为：0，﹣1．。