材料力学总复习
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轴力垂直于横截面，所以其应力也仅仅是正应力。按 胡克定律：变形与力成正比。同一截面上各点变形相 同，其应力必然也相同。 FN A 式中： A横截面的面积；FN该截面的轴力。
FN l l 3.变形的计算 EA 注 1）构件的工作应 p（线弹性范围内）；
力 意2 ）轴力FN、横截面面积A为常量——等直杠两端 受轴向力；
M y1 t Iz
M y2 , c Iz
若y1 y2 ymax 则 t c max
max
M ymax Iz
M Iz Wz Wz 称为抗弯截面模量 Wz y max
Fs S 结论： I zb 1.矩形截面的切应力
3 Fs 3 Fs y max 2 bh 2 A
材料力学 知识架构
外力分析 内力分析 变形分析 刚度条件
应力分析
最大应力
强度条件
一. 轴向拉压
1.轴力是截面上内力沿轴线方向的合力，用FN表示。
1. 截面法的三个步骤
切: 代: F
F
F F
FN
FN
平:
Fx o
FN F
F FN
轴力的符号规定：拉伸为正值，压缩为负值。
2.应力的计算
FN ( x) l dx EA( x) l
1. 材料拉伸与压缩时的力学性能 d b
s b e p a
c e
FN A
l l
O
屈服阶段 强化阶段 局部变形阶段
弹性阶段
典型例题
矩形变截面杆A1=500㎜² ，A2=250㎜² ，L=1m，E=200GPa 求（1）横截面上拉应力和压应力（2）杆件总伸长量。
147 106 147MP a [ bs ]
结论：强度足够。
二、扭转 圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，用T表示。 扭矩大小可利用截面法来确定。 Me 1 Me
Me
A
1 1
B
T
x
A T
Байду номын сангаас1 1
T Me
Me
1
扭矩的符号规定 扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。
B 按右手螺旋法则确定:
应力：
T max T max Wp Ip
Wp Ip
T Ip
max
(抗扭截面模量 )
max
max
空心圆轴，外径Ｄ＝１００mm，内径ｄ＝８０mm， AB=L＝５００mm，M１＝4ｋＮ.m，M２＝6ｋＮ.m,Ｇ＝ ８０ＧＰａ，求(1)最大切应力（2） C截面对A、B 截面的相对扭转角。 解: (1)绘扭矩图
Wp
D3 (1 4 )
Ip
1.16 103 m3
(4)算相对扭角
CA BA CB
CA
l 0.5(2 4) 103 (TAB TBC ) GI P 80109 5.8 106
TABl AB TBClBC GI P GI P
（2）杆件总伸长量。
FN1l1 FN 2l2 l E A1 E A2
9
15103 1
6
20010 50010
10103 1 200109 250106
0.00035 m 0.35mm
例 如图所示冲床， Fmax=400kN ，冲头 [σ ] ＝ 400MPa ，冲剪钢板 τ u=360 MPa，设计冲头的最小直径值及钢板厚度最大值。
2
TAB M1 M 2
C
1
A
B
TAB 2kN.m
TBC m1 4kN.m
(2)计算IP， WP ：
2
T 4
D 4 (1 4 ) IP 32
x
I p 5.8 106 m4
-2
16 D2 (3)最大切应力 Tmax max 34.48MPa Wp
㈩
左上右下为正 或使该段梁顺 时针转动为正 Fs
㈩
FA
x
Fs
FB
Fs
㈠
弯矩M 的符号规定
㈠
上压下拉(上凹 下凸)为正
Fs
Fs
各种荷载下剪力图与弯矩图的形态：
向下的均布荷载
一段梁上的 外力情况
q<0
无荷载
集中力
集中力偶
F C
m
C
向右下倾斜的直线
剪力图的特征
上凸的二次抛 物线
水平直线
在C处有突变
FA
A
q 4m
F
C
4m 3
M D
4m
FB
F
E
3m
[例6-7]外伸梁 q=1kN/m, F=2kN M=10kN.m
解:(1)求支反力
B
FA 7kN FB 5kN
(2)剪力图
Fs 7
2
1 1
2
3
AC段 : 斜直线 Fs A FA 7kN F FA 4q 3kN Fs D FA 8q F1 3kN
由切应力强度条件：
4m
(+) (-)
B
d
4 Fs max max [ ] 3 A
即
40kN -40kN
4 40103 6 100 10 3 d2 / 4
所以 d min 137 mm
得 d 261 . mm
积分求梁的挠曲线方程
d2w 梁的挠曲线近似微分方程: EI 2 M ( x) d x x dw EI M ( x)dx C o dx x x EIw [ M ( x)dx]dx Cx D
50 103 (0.15 2 0.017) 0.01 43.1 106 43.1MP a [ ]
d
b
a
2.铆钉的剪切强度
Fs 4F 2F 2 50103 6 110 10 110MPa [ ] 2 2 2 A 2πd πd π 0.017 3.板和铆钉的挤压强度 结论：强度足够。 Fbs F 50103 bs 147106 147MPa [ bs ] Abs 2d 2 0.017 0.01
sC
-3
CD段 : 斜直线FsC FA 4q F1 1kN
BD：水平直线 BE：水平直线
Fs B 3kN Fs B F2 2kN
FA
A
q
4m
F1
C
4m D
M 4m
FB
F2
3m
（3）作弯矩图
B
AC : 抛物线 E M 0 A M C 4 FA 4q 2 20kN
3
θB2
P Pa
f c f c1 f c 2
pa PaL fc a 3EI 3EI
例 求图所示等直杆AB上,下端的约束力，并求C截面 的位移。杆的拉压刚度为EA。
解: 1.平衡方程FA+FB-F=0 2.相容条件Δ 3.物理方程
BC+Δ AC=0
F a F a AC NAC A EA EA FNBCb FBb BC EA EA 4.补充方程为 FAa FBb EA EA
在C处无变化
C
一般斜直线
在C处有尖角
在C处有突变
弯矩图的特征
最大弯矩所在截 在F =0的截面 S 面的可能位置
在剪力突变的 截面
在紧靠C的某一 侧截面
m
或
或
弯曲梁内力计算小结：
m m
M
M
Fs
Fs
Fs
Fs
M l l
M .l .l
M
20.5
16
BE : 斜直线 ME F 0 0
弯曲正应力
1）沿y轴线性分布，同一坐标y处，正应力 相等。中性轴上正应力为零。
y My E 1.正应力 IZ
2）中性轴将截面分为受拉、受压两个区域。
3）最大正应力发生在距中性轴最远处。
2.横截面上的最大正应力 y
当中性轴是横截面的对称轴时：
解(1)按冲头的挤压强度计算d
A
d 2
4
3.4cm
FN
F
d
4P
(2)按钢板剪切强度计算t
Fs u A
A dt
F
u
F t 1.04cm d u
例题3-4 图示接头，受轴向力F 作用。已知F=50kN，b=150mm， δ=10mm，d=17mm，a=80mm，[σ]=160MPa，[τ]=120MPa， [σbs]=320MPa，铆钉和板的材料相同，试校核其强度。 解：1.板的拉伸强度 F F N A (b 2d )
0 0
弯矩不连续要分段积分 式中积分常数C、D由约束条件和连续条件确定 要求： （1）约束处满足位移约束条件；
（2）梁轴中间的点满足连续与光滑条件
用叠加法求图示梁Ｃ端的转角和挠度。
求外伸梁C点的位移。
A L B P
将梁各部分分别 引起的位移叠加
C
a
解： 1）BC部分引起的位移fc1、 θc1
P A 刚化 EI= B C P C
F 0 : F
x
N1
FN 2
FN 1
FN 3
FN 2
F y 0 : 2 FN 1 cos FN 3 F
A F
x
y
2）如图三杆铰结，画A节点位移图, 列出变形相容条件。要注意所设的 变形性质必须和受力分析所中设定 的力的性质一致。由对称性知 1 3 2
CD : 抛物线
Fs 7
3
1 1 3 -3
2
2M max 5FA q 5 5 / 2 F 1
20.5kNm
MD 8FA q 8 4 F 4 16kNm
-6 6 20
BD : 斜直线
MD FB 4 F 7 6kN.m MB F 3 6kN.m
5.求解方程组 FA bF , FB aF l l
FAa Fab 6. C截面的位移 ΔC EA lEA
结构如图，
1、2杆抗拉刚度为 E1 A1 ,3杆为E3 A3 , 在F力作用下， 求各杆内力。
解: 画A结点受力图，建立平衡方程
1
3
2
F
l
A
未知力2个，平衡方程1个，为一次超静定。 ①
0.216102 (rad) 0.1240
“+”号表示面向C截面观察时，该截面相对于A（或B） 截面逆时针转动。
三、梁的剪力与弯矩
1-1面上的内力
Fb Fs FA 剪力 l 弯矩 M FA x Fbx M l
剪力Fs的符号规定
a
F
１
b
A
x
M
１
B
l
FA
FB
F M
Fs
* z
A*
z
h
2.圆截面
2 Fs 3.圆环截面 max A
4.标准工字钢梁：
4 Fs max 3 A
b
max
* Fs S Z max
IZ b
Fs * b( I Z / S Z max )
圆形截面梁受力如图所示。已知材料的许用应力［σ ］ =160MPa，［τ ］=100MPa，试求最小直径dmin
d
3.铆钉的剪切强度
Fs 4F 2F 2 2 A 2 πd πd 2 50103 2 π 0.017 110106 110MP a [ ]
b
a
4.板和铆钉的挤压强度 Fbs F 50103 bs Abs 2d 2 0.017 0.01
25kN 15 kN
A1
L
A2
L
10 kN
10 kN
解: •（1）最大拉应力
•最大压应力
FN1 15kN FN 2 10kN
﹢ ﹣
15 kN
t max 2
10103 25010
6
40MP a
FN1 15103 c max 1 30MP a 6 A1 50010
讨论： 1.轴力变化时 l l AB l BC
FNAB l1 FNBC l2 EA EA
F1
A
B
C
F3
F2 l1
B
l2
C
2.横截面变化时：
A
阶梯状杆
l l AB l BC 3.徐变截面杆及函数性变轴力FN(x)：
x
FN ( x)
dx
FN ( x)
dx
FN ( x) dl dx EA( x)
θc1
pa3 f c1 3EI pa2 c1 2 EI fc1
2）AB部分引起的位移fc2、 θ
θB2 A P
c2
B2
PaL 3 EI
B
C
fc2 刚化 EI=
fc2 B2 a PaL a 3EI
c c1 B 2
Pa2 PaL c 2 EI 3 EI
q 20kN / m
A
4m
40kN
(+)
(-)
B
d
-40kN
M
40kN.m
ql 2 40 kN m 解： Fs max 40kN, M max 8 M max [ ] 由正应力强度条件： max Wz 40103 即 3 160106 d / 32 q 20 kN / m 得 d 137 mm A
FN l l 3.变形的计算 EA 注 1）构件的工作应 p（线弹性范围内）；
力 意2 ）轴力FN、横截面面积A为常量——等直杠两端 受轴向力；
M y1 t Iz
M y2 , c Iz
若y1 y2 ymax 则 t c max
max
M ymax Iz
M Iz Wz Wz 称为抗弯截面模量 Wz y max
Fs S 结论： I zb 1.矩形截面的切应力
3 Fs 3 Fs y max 2 bh 2 A
材料力学 知识架构
外力分析 内力分析 变形分析 刚度条件
应力分析
最大应力
强度条件
一. 轴向拉压
1.轴力是截面上内力沿轴线方向的合力，用FN表示。
1. 截面法的三个步骤
切: 代: F
F
F F
FN
FN
平:
Fx o
FN F
F FN
轴力的符号规定：拉伸为正值，压缩为负值。
2.应力的计算
FN ( x) l dx EA( x) l
1. 材料拉伸与压缩时的力学性能 d b
s b e p a
c e
FN A
l l
O
屈服阶段 强化阶段 局部变形阶段
弹性阶段
典型例题
矩形变截面杆A1=500㎜² ，A2=250㎜² ，L=1m，E=200GPa 求（1）横截面上拉应力和压应力（2）杆件总伸长量。
147 106 147MP a [ bs ]
结论：强度足够。
二、扭转 圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，用T表示。 扭矩大小可利用截面法来确定。 Me 1 Me
Me
A
1 1
B
T
x
A T
Байду номын сангаас1 1
T Me
Me
1
扭矩的符号规定 扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。
B 按右手螺旋法则确定:
应力：
T max T max Wp Ip
Wp Ip
T Ip
max
(抗扭截面模量 )
max
max
空心圆轴，外径Ｄ＝１００mm，内径ｄ＝８０mm， AB=L＝５００mm，M１＝4ｋＮ.m，M２＝6ｋＮ.m,Ｇ＝ ８０ＧＰａ，求(1)最大切应力（2） C截面对A、B 截面的相对扭转角。 解: (1)绘扭矩图
Wp
D3 (1 4 )
Ip
1.16 103 m3
(4)算相对扭角
CA BA CB
CA
l 0.5(2 4) 103 (TAB TBC ) GI P 80109 5.8 106
TABl AB TBClBC GI P GI P
（2）杆件总伸长量。
FN1l1 FN 2l2 l E A1 E A2
9
15103 1
6
20010 50010
10103 1 200109 250106
0.00035 m 0.35mm
例 如图所示冲床， Fmax=400kN ，冲头 [σ ] ＝ 400MPa ，冲剪钢板 τ u=360 MPa，设计冲头的最小直径值及钢板厚度最大值。
2
TAB M1 M 2
C
1
A
B
TAB 2kN.m
TBC m1 4kN.m
(2)计算IP， WP ：
2
T 4
D 4 (1 4 ) IP 32
x
I p 5.8 106 m4
-2
16 D2 (3)最大切应力 Tmax max 34.48MPa Wp
㈩
左上右下为正 或使该段梁顺 时针转动为正 Fs
㈩
FA
x
Fs
FB
Fs
㈠
弯矩M 的符号规定
㈠
上压下拉(上凹 下凸)为正
Fs
Fs
各种荷载下剪力图与弯矩图的形态：
向下的均布荷载
一段梁上的 外力情况
q<0
无荷载
集中力
集中力偶
F C
m
C
向右下倾斜的直线
剪力图的特征
上凸的二次抛 物线
水平直线
在C处有突变
FA
A
q 4m
F
C
4m 3
M D
4m
FB
F
E
3m
[例6-7]外伸梁 q=1kN/m, F=2kN M=10kN.m
解:(1)求支反力
B
FA 7kN FB 5kN
(2)剪力图
Fs 7
2
1 1
2
3
AC段 : 斜直线 Fs A FA 7kN F FA 4q 3kN Fs D FA 8q F1 3kN
由切应力强度条件：
4m
(+) (-)
B
d
4 Fs max max [ ] 3 A
即
40kN -40kN
4 40103 6 100 10 3 d2 / 4
所以 d min 137 mm
得 d 261 . mm
积分求梁的挠曲线方程
d2w 梁的挠曲线近似微分方程: EI 2 M ( x) d x x dw EI M ( x)dx C o dx x x EIw [ M ( x)dx]dx Cx D
50 103 (0.15 2 0.017) 0.01 43.1 106 43.1MP a [ ]
d
b
a
2.铆钉的剪切强度
Fs 4F 2F 2 50103 6 110 10 110MPa [ ] 2 2 2 A 2πd πd π 0.017 3.板和铆钉的挤压强度 结论：强度足够。 Fbs F 50103 bs 147106 147MPa [ bs ] Abs 2d 2 0.017 0.01
sC
-3
CD段 : 斜直线FsC FA 4q F1 1kN
BD：水平直线 BE：水平直线
Fs B 3kN Fs B F2 2kN
FA
A
q
4m
F1
C
4m D
M 4m
FB
F2
3m
（3）作弯矩图
B
AC : 抛物线 E M 0 A M C 4 FA 4q 2 20kN
3
θB2
P Pa
f c f c1 f c 2
pa PaL fc a 3EI 3EI
例 求图所示等直杆AB上,下端的约束力，并求C截面 的位移。杆的拉压刚度为EA。
解: 1.平衡方程FA+FB-F=0 2.相容条件Δ 3.物理方程
BC+Δ AC=0
F a F a AC NAC A EA EA FNBCb FBb BC EA EA 4.补充方程为 FAa FBb EA EA
在C处无变化
C
一般斜直线
在C处有尖角
在C处有突变
弯矩图的特征
最大弯矩所在截 在F =0的截面 S 面的可能位置
在剪力突变的 截面
在紧靠C的某一 侧截面
m
或
或
弯曲梁内力计算小结：
m m
M
M
Fs
Fs
Fs
Fs
M l l
M .l .l
M
20.5
16
BE : 斜直线 ME F 0 0
弯曲正应力
1）沿y轴线性分布，同一坐标y处，正应力 相等。中性轴上正应力为零。
y My E 1.正应力 IZ
2）中性轴将截面分为受拉、受压两个区域。
3）最大正应力发生在距中性轴最远处。
2.横截面上的最大正应力 y
当中性轴是横截面的对称轴时：
解(1)按冲头的挤压强度计算d
A
d 2
4
3.4cm
FN
F
d
4P
(2)按钢板剪切强度计算t
Fs u A
A dt
F
u
F t 1.04cm d u
例题3-4 图示接头，受轴向力F 作用。已知F=50kN，b=150mm， δ=10mm，d=17mm，a=80mm，[σ]=160MPa，[τ]=120MPa， [σbs]=320MPa，铆钉和板的材料相同，试校核其强度。 解：1.板的拉伸强度 F F N A (b 2d )
0 0
弯矩不连续要分段积分 式中积分常数C、D由约束条件和连续条件确定 要求： （1）约束处满足位移约束条件；
（2）梁轴中间的点满足连续与光滑条件
用叠加法求图示梁Ｃ端的转角和挠度。
求外伸梁C点的位移。
A L B P
将梁各部分分别 引起的位移叠加
C
a
解： 1）BC部分引起的位移fc1、 θc1
P A 刚化 EI= B C P C
F 0 : F
x
N1
FN 2
FN 1
FN 3
FN 2
F y 0 : 2 FN 1 cos FN 3 F
A F
x
y
2）如图三杆铰结，画A节点位移图, 列出变形相容条件。要注意所设的 变形性质必须和受力分析所中设定 的力的性质一致。由对称性知 1 3 2
CD : 抛物线
Fs 7
3
1 1 3 -3
2
2M max 5FA q 5 5 / 2 F 1
20.5kNm
MD 8FA q 8 4 F 4 16kNm
-6 6 20
BD : 斜直线
MD FB 4 F 7 6kN.m MB F 3 6kN.m
5.求解方程组 FA bF , FB aF l l
FAa Fab 6. C截面的位移 ΔC EA lEA
结构如图，
1、2杆抗拉刚度为 E1 A1 ,3杆为E3 A3 , 在F力作用下， 求各杆内力。
解: 画A结点受力图，建立平衡方程
1
3
2
F
l
A
未知力2个，平衡方程1个，为一次超静定。 ①
0.216102 (rad) 0.1240
“+”号表示面向C截面观察时，该截面相对于A（或B） 截面逆时针转动。
三、梁的剪力与弯矩
1-1面上的内力
Fb Fs FA 剪力 l 弯矩 M FA x Fbx M l
剪力Fs的符号规定
a
F
１
b
A
x
M
１
B
l
FA
FB
F M
Fs
* z
A*
z
h
2.圆截面
2 Fs 3.圆环截面 max A
4.标准工字钢梁：
4 Fs max 3 A
b
max
* Fs S Z max
IZ b
Fs * b( I Z / S Z max )
圆形截面梁受力如图所示。已知材料的许用应力［σ ］ =160MPa，［τ ］=100MPa，试求最小直径dmin
d
3.铆钉的剪切强度
Fs 4F 2F 2 2 A 2 πd πd 2 50103 2 π 0.017 110106 110MP a [ ]
b
a
4.板和铆钉的挤压强度 Fbs F 50103 bs Abs 2d 2 0.017 0.01
25kN 15 kN
A1
L
A2
L
10 kN
10 kN
解: •（1）最大拉应力
•最大压应力
FN1 15kN FN 2 10kN
﹢ ﹣
15 kN
t max 2
10103 25010
6
40MP a
FN1 15103 c max 1 30MP a 6 A1 50010
讨论： 1.轴力变化时 l l AB l BC
FNAB l1 FNBC l2 EA EA
F1
A
B
C
F3
F2 l1
B
l2
C
2.横截面变化时：
A
阶梯状杆
l l AB l BC 3.徐变截面杆及函数性变轴力FN(x)：
x
FN ( x)
dx
FN ( x)
dx
FN ( x) dl dx EA( x)
θc1
pa3 f c1 3EI pa2 c1 2 EI fc1
2）AB部分引起的位移fc2、 θ
θB2 A P
c2
B2
PaL 3 EI
B
C
fc2 刚化 EI=
fc2 B2 a PaL a 3EI
c c1 B 2
Pa2 PaL c 2 EI 3 EI
q 20kN / m
A
4m
40kN
(+)
(-)
B
d
-40kN
M
40kN.m
ql 2 40 kN m 解： Fs max 40kN, M max 8 M max [ ] 由正应力强度条件： max Wz 40103 即 3 160106 d / 32 q 20 kN / m 得 d 137 mm A