2021版新高考数学：等差数列及其前n项和含答案

(对应学生用书第103页)
考点1等差数列基本量的运算
解决等差数列运算问题的思想方法
(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d、通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解、等差数列中包含a1、d、n、a n、S n五个量、可“知三求二”．
(2)整体思想：当所给条件只有一个时、可将已知和所求都用a1、d表示、寻求两者间的联系、整体代换即可求解．
(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．
又零七、借问长儿多少岁、各儿岁数要详推．在这个问题中、记这位公公的第n 个儿子的年龄为a n 、则a 1＝( )
A ．23
B ．32
C ．35
D ．38
C [由题意可知年龄构成的数列为等差数列、其公差为－3、则9a 1＋9×8
2×(－3)＝207、解得a 1＝35、故选C.]
确定等差数列的关键是求出两个
最基本的量、即首项a 1和公差d .
考点2 等差数列的判定与证明
等差数列的4个判定方法
(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数． (2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.
2．已知数列{a n}的前n项和为S n、a1＝1、a n≠0、a n a n＋1＝λS n－1、其中λ为常数．
(1)证明：a n＋2－a n＝λ；
(2)是否存在λ、使得{a n}为等差数列？并说明理由．
[解](1)证明：由题设知a n a n＋1＝λS n－1、a n＋1a n＋2＝λS n＋1－1、两式相减得a n
＋1(a n
＋2
－a n)＝λa n＋1、
由于a n
＋1
≠0、
所以a n
＋2
－a n＝λ.
(2)由题设知a1＝1、a1a2＝λS1－1、
可得a2＝λ－1.
由(1)知、a3＝λ＋1.
令2a2＝a1＋a3、
解得λ＝4.
故a n
＋2
－a n＝4、
由此可得{a2n
－1
}是首项为1、
公差为4的等差数列、a2n
－1
＝4n－3；
{a2n}是首项为3、公差为4的等差数列、a2n＝4n－1.
所以a n＝2n－1、a n＋1－a n＝2、
因此存在λ＝4、
使得数列{a n}为等差数列．
考点3等差数列的性质及应用
B [数列{a n }为等差数列、则a m －1＋a m ＋1＝2a m 、则a m －1＋a m ＋1－a 2m －1＝0可化为2a m －a 2m －1＝0、解得a m ＝1.又S 2m －1＝(2m －1)a m ＝39、
则m ＝20.故选B.]
2．设等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n 、若对任意的n ∈N *、都有Sn Tn ＝2n －34n －3、则a2b3＋b13＋a14b5＋b11
的值为( ) A ．2945 B ．1329 C ．919 D ．1930
C [由题意可知b 3＋b 13＝b 5＋b 11＝b 1＋b 15＝2b 8、
∴a2b3＋b13＋a14b5＋b11＝a2＋a142b8＝a8b8＝S15T15＝2×15－34×15－3＝2757＝919
.故选C.] 考点4 等差数列前n 项和的最值
问题
求等差数列前n 项和S n 最值的2
种方法
(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn 、通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
(2)邻项变号法：
①当a 1>0、d <0时、满足⎩⎨⎧am≥0，am ＋1≤0
的项数m 使得S n 取得最大值为S m ； ②当a 1<0、d >0时、满足⎩⎨⎧am≤0，am ＋1≥0
的项数m 使得S n 取得最小值为S m .。