【数学】2014-2015年福建省莆田六中高三(上)期中数学试卷与答案(理科)

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福建省莆田第六中学高三数学上学期期中试题(B)理

福建省莆田第六中学2018届高三数学上学期期中试题（B ）理一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．复数2(1)1i z i+=-（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．已知全集U R =，集合2{|560}A x x x =--≤，集合2{|log (3)1}B x y x ==-≤，则()U A B ð=（）A ．[1,3](5,6]- B ．(5,6] C ．[1,3)(5,6]- D ． ∅ 3.等差数列{a }n 中， n S 为n a 的前n 项和， 820a =， 756S =，则12a =（）A. 32B. 28C. 36D. 404．设124a -=， ln2b =， 125c -=，则（）A. c b a >>B. a b c >>C. a c b >>D. b a c >>5．已知函数())1f x x =+，则1(lg 2)(lg )2f f +=（）A ．1B ． lg 2C ．2D ．06. 给出下列四个命题： ① “2x x <”是“11x≥”的充分不必要条件； ②“平面向量,a b 夹角为锐角，则a b ⋅＞0”的逆命题为真命题； ③命题“(,0)x ∀∈-∞，均有1x e x >+”的否定是“0(,0)x ∃∈-∞，使得0xe ≤01x +”；④命题p ：x R ∀∈，210x x ++>；q ：存在x R ∈，2cos 3sin 5x x -=，则()p q ∧⌝为真命题；其中正确的命题个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．47．在矩形ABCD 中，2,3AB AD ==,，点F 为CD 的中点，点E 在BC 边上，若4AF DE ⋅=-，则AE BF ⋅的值为（）A ．1B ．0C ．3D ．28.函数()cos()(0,0)f x A wx w ϕπϕ=+>-<<的部分图象如图所示，为了得到()sin g x A wx =的图象，只需将函数()y f x =的图象（）A ．向左平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度 9．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x <时,()(1)x f x e x =+,给出下列命题： ①当0x >时, ()(1)x f x e x -=-；②函数()f x 有2个零点；③()0f x <的解集为 (,1)(0,1)-∞-⋃；其中正确命题的个数是（）．A. 3B. 2C. 1D. 010.已知函数()sin cos f x x x =⋅，则下列说法正确的是（）A. ()f x 的图象关于直线2x π=对称 B. ()f x 的周期为πC. (,0)π是()f x 的一个对称中心D. ()f x 在区间3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 11．已知,A B 是单位圆上的两点，O 为圆心，且120,AOB MN ∠=︒是圆O 的一条直径，点C 在圆内，且满足()()1OC OA OB λλλ=+-∈R ，则CM CN ⋅的最小值为（）A ．12-B ．14-C ．34-D ．1- 12.已知直线1:l y x a =+分别与直线2:2(1)l y x =+及曲线:ln C y x x =+ 交于,A B 两点, 则,A B 两点间距离的最小值为( )B.3 D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知1sin()123πα-=，则17cos()12πα+=__________． 14. 已知a =(12,32),|b|=1,|a +2b |=2,则b 在a 方向上的投影=_______.15.已知ABC ∆的周长等于4(sin sin sin )A B C ++,BC =则ABC ∆的面积最大值为_______.16.已知函数()()x f x x a e -=-，曲线()y f x =上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，选作题10分，其它每题12分，共70分。

2014年高考福建理科数学试题及答案(word解析版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试〔福建卷〕数学〔理科〕第Ⅰ卷〔选择题共50分〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．〔1〕【2014年福建，理1，5分】复数(32i)i z =-的共轭复数z 等于〔〕〔A 〕23i -- 〔B 〕23i -+ 〔C 〕23i - 〔D 〕23i +【答案】C【解析】由复数()32i i 23i z =-=+，得复数z 的共轭复数23i z =-，故选C ．【点评】此题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．〔2〕【2014年福建，理2，5分】某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是〔〕〔A 〕圆柱〔B 〕圆锥〔C 〕四面体〔D 〕三棱柱【答案】A【解析】由空间几何体的三视图可知，圆柱的正视图、侧视图、俯视图都不可能是三角形，故选A ．【点评】此题考查简单几何体的三视图，考查逻辑推理能力和空间想象力，是基础题．〔3〕【2014年福建，理3，5分】等差数列{}n a 的前n 项和n S ，假设132,12a S ==，则6a =〔〕〔A 〕8〔B 〕10 〔C 〕12 〔D 〕14【答案】C 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式，得33232122S ⨯=⨯+=，解得2d =，则()616125212a a d =+-=+⨯=，故选C ．【点评】此题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．〔4〕【2014年福建，理4，5分】假设函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则以下函数图象正确的选项是〔〕〔A 〕〔B 〕〔C 〕〔D 〕【答案】B【解析】由函数log a y x =的图像过点()3,1，得3a =．选项A 中的函数为13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则其函数图像不正确；选项B 中的函数为3y x =，则其函数图像正确；选项C 中的函数为()3y x =-，则其函数图像不正确；选项D 中的函数为()3log y x =-，则其函数图像不正确，故选B ．【点评】此题考查对数函数的图象和性质，涉及幂函数的图象，属基础题．〔5〕【2014年福建，理5，5分】阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 得值等于〔〕〔A 〕18 〔B 〕20 〔C 〕21 〔D 〕40【答案】B【解析】输入0S =，1n =，第一次循环，0213S =++=，2n =；第二次循环，23229S =++=，3n =；第三次循环，392320S =++=，4n =，满足15S ≥，结束循环，20S =，故选B ．【点评】此题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．〔6〕【2014年福建，理6，5分】直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“ABC ∆的面积为12”的〔〕〔A 〕充分而不必要条件〔B 〕必要而不充分条件〔C 〕充分必要条件〔D 〕既不充分又不必要条件【答案】A【解析】由直线l 与圆O 相交，得圆心O 到直线l 的距离1d =<，解得0k ≠．当1k =时，d =，AB =OAB ∆的面积为1122=；当1k =-时，同理可得OAB ∆的面积为12，则“1k =”是“OAB ∆的面积为12”的充分不必要条件，故选A ．【点评】此题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决此题的关键．〔7〕【2014年福建，理7，5分】已知函数()21,0cos ,0x x f x x x ⎧+>=⎨≤⎩，则以下结论正确的选项是〔〕〔A 〕()f x 是偶函数〔B 〕()f x 是增函数〔C 〕()f x 是周期函数〔D 〕()f x 的值域为[)1,-+∞【答案】D【解析】由函数()f x 的解析式知，()12f =，()()1cos 1cos1f -=-=，()()11f f ≠-，则()f x 不是偶函数；当0x >时，令()21f x x =+，则()f x 在区间()0,+∞上是增函数，且函数值()1f x >；当0x ≤时，()cos f x x =，则()f x 在区间(),0-∞上不是单调函数，且函数值()[]1,1f x ∈-；∴函数()f x 不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[)1,-+∞，故选D ．【点评】此题考查分段函数的性质，涉及三角函数的性质，属基础题．〔8〕【2014年福建，理8，5分】在以下向量组中，可以把向量()3,2a =表示出来的是〔〕〔A 〕12(0,0),(1,2)e e ==〔B 〕12(1,2),(5,2)e e =-=-〔C 〕12(3,5),(6,10)e e ==〔D 〕12(2,3),(2,3)e e =-=-【答案】B【解析】由向量共线定理，选项A ，C ，D 中的向量组是共线向量，不能作为基底；而选项B 中的向量组不共线，可以作为基底，故选B ．【点评】此题主要考查了向量的坐标运算，根据12a e e λμ=+列出方程解方程是关键，属于基础题．〔9〕【2014年福建，理9，5分】设,P Q 分别为()2262x y +-=和椭圆22110x y +=上的点，则,P Q 两点间的最大距离是〔〕〔A 〕〔B 〔C 〕7 〔D 〕【答案】D【解析】设圆心为点C ，则圆()2262x y +-=的圆心为()0,6C ，半径r 设点()00,Q x y 是椭圆上任意一点，则2200110x y +=，即22001010x y =-，∴CQ ，当023y =-时，CQ 有最大值，则P ，Q 两点间的最大距离为r =D ．【点评】此题考查椭圆、圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．〔10〕【2014年福建，理10，5分】用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出假设干个球的所有取法可由()()11a b ++的展开式1a b ab +++表示出来，如：“1”表示一个球都不取．“a ”表示取出一个红球，而“ab ”则表示把红球和篮球都取出来．依此类推，以下各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球．5个无区别的蓝球5个有区别的黑球中取出假设干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是〔〕〔A 〕()()()523455111a a a a a b c +++++++ 〔B 〕()()()552345111a b b b b b c +++++++ 〔C 〕()()()523455111a b b b b b c +++++++ 〔D 〕()()()552345111a b c c c c c +++++++【答案】A【解析】从5个无区别的红球中取出假设干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为23451a a a a a +++++；从5个无区别的蓝球中取出假设干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为51b +；从5个有区别的黑球中取出假设干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为122334455555551C c C c C c C c C c +++++=()51c +，根据分步乘法计数原理得，适合要求的取法是()()()523455111a a a a a b c +++++++，故选A ．【点评】此题主要考查了分步计数原理和归纳推理，合理的利用题目中所给的实例，要遵循其规律，属于中档题．第Ⅱ卷〔非选择题共100分〕二、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．〔11〕【2014年福建，理11，4分】假设变量,x y 满足约束条件102800x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则3z x y =+的最小值为．【答案】1 【解析】作出不等式组表示的平面区域(如下图)，把3z x y =+变形为3y x z =-+，则当直线3y x z =-+经过点()0,1时，z 最小，将点()0,1代入3z x y =+，得min 1z =，即3z x y =+的最小值为1．【点评】此题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．〔12〕【2014年福建，理12，4分】在ABC ∆中，60,4,23A AC BC =︒==，则ABC ∆的面积等于．【答案】23【解析】由sin sin BC AC A B =，得4sin 60sin 123B ︒==，∴90B =︒，()18030C A B =︒-+=︒，则11sin 423sin302322ABC S AC BC C ∆=⋅⋅⋅=⨯⨯︒=，即ABC ∆的面积等于23．【点评】此题着重考查了给出三角形的两边和其中一边的对角，求它的面积．正余弦定理、解直角三角形、三角形的面积公式等知识，属于基础题．〔13〕【2014年福建，理13，4分】要制作一个容器为43m ，高为1m 的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是〔单位：元〕．【答案】160【解析】设底面矩形的一边长为x ，由容器的容积为4m 3，高为1m 得，另一边长为4xm ．记容器的总造价为y 元，则4444202110802080202?160y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯++⨯⨯=++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(元)，当且仅当4x x =，即2x =时，等号成立．因此，当2x =时，y 取得最小值160元，即容器的最低总造价为160元．【点评】此题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题．〔14〕【2014年福建，理14，4分】如图，在边长为e 〔e 为自然对数的底数〕的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为．【答案】22e【解析】因为函数ln y x =的图像与函数x y e =的图像关于正方形的对角线所在直线y x =对称，则图中的两块阴影部分的面积为112ln d 2(ln )2[(ln )(ln11)]2ee S x x x x x e e e ==-=---=⎰，故根据几何概型的概率公式得，该粒黄豆落到阴影部分的概率22P e =．【点评】此题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到．〔15〕【2014年福建，理15，4分】假设集合{,,,}{1,2,3,4}a b c d =，且以下四个关系：①1a =；②1b ≠；③2c =；④4d ≠有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(,,,)a b c d 的个数是 __．【答案】6【解析】假设①正确，则②③④不正确，可得b ≠1不正确，即b ＝1，与a ＝1矛盾，故①不正确；假设②正确，则①③④不正确，由④不正确，得4d =；由1a ≠，1b ≠，2c ≠，得满足条件的有序数组为3a =，2b =，1c =，4d =或2a =，3b =，1c =，4d =．假设③正确，则①②④不正确，由④不正确，得4d =；由②不正确，得1b =，则满足条件的有序数组为3a =，1b =，2c =，4d =；假设④正确，则①②③不正确，由②不正确，得1b =，由1a ≠，2c ≠，4d ≠，得满足条件的有序数组为2a =，1b =，4c =，3d =或3a =，1b =，4c =，2d =或4a =，1b =，3c =，2d =；综上所述，满足条件的有序数组的个数为6．【点评】此题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．〔16〕【2014年福建，理16，13分】已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-．〔1〕假设02πα<<，且2sin 2α=，求()f α的值；〔2〕求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间．解：解法一：〔1〕因为02πα<<， 2sin 2α=，所以2cos 2α=．所以22211()()22222f α=+-=．〔2〕2111cos 21112()sin cos cos sin 2sin 2cos 2sin(2)22222224x f x x x x x x x x π+=+-=+-=+=+，22T ππ∴==．由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈．所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈．解法二：2111cos 21112()sin cos cos sin 2sin 2cos 2sin(2)22222224x f x x x x x x x x π+=+-=+-=+=+，〔1〕因为02πα<<，2sin 2α=，所以4πα=，从而2231()sin(2)sin 24242f ππαα=+==．〔2〕22T ππ==，由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈．所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈．【点评】此题主要考查了三角函数恒等变换的应用．考查了学生对基础知识的综合运用．〔17〕【2014年福建，理17，13分】在平行四边形ABCD 中，1AB BD CD ===，,AB BD CD BD ⊥⊥．将ABD∆沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图．〔1〕求证：AB CD ⊥；〔2〕假设M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．解：〔1〕因为ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面,BCD BD AB =⊂平面,ABD AB BD ⊥，所以AB ⊥平面.BCD 又CD ⊂平面BCD ，所以AB CD ⊥．〔2〕过点B 在平面BCD 内作BE BD ⊥，如图．由〔1〕知AB ⊥平面,BCD BE ⊂平面,BCD BD ⊂平面BCD ，所以,AB BE AB BD ⊥⊥．以B 为坐标原点,分别以,,BE BD BA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意,得11(0,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,,)22B C D A M ．则11(1,1,0),(0,,),(0,1,1)22BC BM AD ===-．设平面MBC 的法向量000(,,)n x y z =．则00n BC n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00000102x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩．取01z =，得平面MBC 的一个法向量(1,1,1)n =-．设直线AD 与平面MBC 所成角为θ，则6sin cos ,3n ADn AD n AD θ⋅=<>==，即直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值为63．【点评】此题综合考查了面面垂直的性质定理、线面角的计算公式sin cos ,n AD n AD n AD θ⋅==⋅，考查了推理能力和空间想象能力，属于中档题．〔18〕【2014年福建，理18，13分】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．〔1〕假设袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；〔2〕商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．解：〔1〕设顾客所获的奖励为X ．①依题意,得1113241(60)2C C P X C ===．即顾客所获得的奖励额为60元的概率为12． ②依题意,得X 的所有可能取值为20，60．232411(60),(20)22C P X P X C =====．即X 的分布列为X20 60 P0.5 0.5 所以顾客所获得的奖励额的期望为()200.5600.540E X =⨯+⨯=〔元〕．〔2〕根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元．所以先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以数学期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1．对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2．以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励为1X ，则1X 的分布列为：1X 20 60 100P16 23 161X 的期望为1121()206010060636E X =⨯+⨯+⨯=， 1X 的方差为22211211600()(2060)(6060)(10060)6363D X =-⨯+-⨯+-⨯=．对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励为2X ，则2X 的分布列为： 2X 40 60 80P16 23 162X 的期望为2121()40608060636E X =⨯+⨯+⨯=， 2X 的方差为2222121400()(4060)(6060)(8060)6363D X =-⨯+-⨯+-⨯=．由于两种方案的奖励额都符合要求，但方案2奖励的方差比方案1的小，所以应该选择方案2．【点评】此题主要考查了古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查了数据处理能力，运算求解能力，应用意识，考查了必然与或然思想与整合思想．〔19〕【2014年福建，理19，13分】已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的两条渐近线分别为12:2,:2l y x l y x ==-．〔1〕求双曲线E 的离心率；〔2〕如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线12,l l 于,A B 两点〔,A B 分别在第一，四象限〕，且OAB ∆的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？假设存在，求出双曲线E 的方程；假设不存在，说明理由．解：〔1〕因为双曲线E 的渐近线分别为和2,2y x y x ==-．所以222,2,5b c a c a a a -=∴=∴=, 从而双曲线E 的离心率5e =．〔2〕由〔1〕知，双曲线E 的方程为222214x y a a-=．设直线l 与x 轴相交于点C ．当l x ⊥轴时，假设直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点，则,4OC a AB a ==，又因为OAB ∆的面积为8，所以118,48,222OC AB a a a =∴⋅=∴=．此时双曲线E 的方程为221416x y -=．假设存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能为221416x y -=．以下证明:当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：221416x y -=也满足条件．设直线l 的方程为y kx m =+，依题意,得2k >或2k <-．则(,0)m C k-，记1122(,),(,)A x y B x y ．由2y x y kx m =⎧⎨=+⎩，得122m y k =-，同理得222m y k =+．由1212OAB S OC y y ∆=-得：1228222m m m k k k -⋅-=-+即222444(4)m k k =-=-．由221416y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得，222(4)2160k x kmx m ----=．因为240k -<，所以22222244(4)(16)16(416)k m k m k m ∆=+-+=---，又因为224(4)m k =-．所以0∆=，即l 与双曲线E 有且只有一个公共点．因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为221416x y -=．【点评】此题考查双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想．〔20〕【2014年福建，理20，14分】已知函数()x f x e ax =-〔a 为常数〕的图像与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为1-．〔1〕求a 的值及函数()f x 的极值；〔2〕证明：当0x >时，2x x e <；〔3〕证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当()0x x ∈+∞，，恒有2x x ce <．解：解法一：〔1〕由()x f x e ax =-，得'()x f x e a =-．又'(0)11f a =-=-,得2a =．所以()2,'()2x x f x e x f x e =-=-．令'()0f x =，得ln 2x =．当ln 2x <时, '()0,()f x f x <单调递减；当ln 2x >时，'()0,()f x f x >单调递增．所以当ln 2x =时，()f x 取得极小值,且极小值为ln 2(ln 2)2ln 22ln 4,()f e f x =-=-无极大值．〔2〕令2()x g x e x =-，则'()2x g x e x =-．由〔1〕得'()()(ln 2)0g x f x f =≥>，故()g x 在R 上单调递增，(0)10g =>，因此，当0x >时，()(0)0g x g >>，即2x x e <．〔3〕①假设1c ≥，则x x e ce ≤．又由〔2〕知，当0x >时，2x x e <．所以当0x >时，2x x ce <．取00x =，当0(,)x x ∈+∞时，恒有22x cx <．②假设01c <<，令11k c=>，要使不等式2x x ce <成立，只要2x e kx >成立．而要使2x e kx >成立，则只要 2ln()x kx >，只要2ln ln x x k >+成立．令()2ln ln h x x x k =--，则22'()1x h x x x-=-=．所以当2x > 时, '()0,()h x h x >在(2,)+∞内单调递增．取01616x k =>，所以()h x 在0(,)x +∞内单调递增．又0()162ln(16)ln 8(ln 2)3(ln )5h x k k k k k k k =--=-+-+．易知ln ,ln 2,50k k k k >>>．所以0()0h x >．即存在016x c=，当0(,)x x ∈+∞时，恒有2x x ce <．综上，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0(,)x x ∈+∞时，恒有2x x ce <．解法二：〔1〕同解法一．〔2〕同解法一．〔3〕对任意给定的正数c，取o x =，由〔2〕知，当0x >时，2x e x >，所以2222,()()22x x x x x e e e =>，当o x x >时，222241()()()222x x x x e x c c>>= 因此，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0(,)x x ∈+∞时，恒有2x x ce <．【点评】此题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、全称量词、存在量词等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、划归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想．属难题．此题设有三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答．总分值14分，如果多做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B 铅笔在答题卡上所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中．〔21〕【2014年福建，理21〔1〕，7分】〔选修4-2：矩阵与变换〕已知矩阵A 的逆矩阵12112-⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．〔1〕求矩阵A ；〔2〕求矩阵1-A 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．解：〔1〕因为矩阵A 是矩阵1-A 的逆矩阵,且1221130-=⨯-⨯=≠A ，所以232113 2121333⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ==⎪ ⎪- ⎪⎝⎭-⎪ ⎭⎝A ．〔2〕矩阵1-A 的特征多项式为221() 43(1)(3)12f λλλλλλλ--==-+=----，令()0f λ=，得矩阵1-A 的特征值为11λ=或23λ=，所以111ξ⎛⎫= ⎪-⎝⎭是矩阵1-A 的属于特征值11λ=的一个特征向量．211ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭是矩阵 1-A 的属于特征值23λ=的一个特征向量．【点评】此题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题．〔21〕【2014年福建，理21〔2〕，7分】〔选修4-4：坐标系与参数方程〕已知直线l 的参数方程为24x a t y t=-⎧⎨=-⎩，〔t 为参数〕，圆C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，〔θ为参数〕．〔1〕求直线l 和圆C 的普通方程；〔2〕假设直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．解：〔1〕直线l 的普通方程为220x y a --=．圆C 的普通方程为2216x y +=．〔2〕因为直线l 与圆有公共点，故圆C 的圆心到直线l的距离4d =≤，解得a -≤≤【点评】熟练掌握点到直线的距离公式和直线与圆有公共点的充要条件是解题的关键．〔21〕【2014年福建，理21〔3〕，7分】〔选修4-5：不等式选讲〕已知定义在R 上的函数()12f x x x =++-的最小值为a ．〔1〕求a 的值；〔2〕假设p q r ，，为正实数，且p q r a ++=，求证：2223p q r ++≥．解：〔1〕因为12(1)(2)3x x x x ++-≥+--=，当且仅当12x -≤≤时，等号成立，所以()f x 的最小值等于3，即3a =．〔2〕由〔1〕知3p q r ++=，又因为,,p q r 是正数，所以22222222()(111)(111)()9p q r p q r p q r ++++≥⨯+⨯+⨯=++=，即2223p q r ++≥．【点评】此题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．。

2014年福建省高考数学试卷及解析(理科)

2014年福建省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分、在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的、1、（5分）复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）A、﹣2﹣3iB、﹣2+3iC、2﹣3iD、2+3i2、（5分）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A、圆柱B、圆锥C、四面体D、三棱柱3、（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A、8B、10C、12D、144、（5分）若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）A、B、C、D、5、（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A、18B、20C、21D、406、（5分）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB 的面积为”的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分又不必要条件7、（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A、f（x）是偶函数B、f（x）是增函数C、f（x）是周期函数D、f（x）的值域为[﹣1，+∞）8、（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A、=（0，0），=（1，2）B、=（﹣1，2），=（5，﹣2）C、=（3，5），=（6，10）D、=（2，﹣3），=（﹣2，3）9、（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q 两点间的最大距离是（）A、5B、+C、7+D、610、（5分）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来、以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）A、（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5B、（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c）5C、（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5）D、（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分、把答案填在答题卡的相应位置11、（4分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为、12、（4分）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于、13、（4分）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（单位：元）14、（4分）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为、15、（4分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是、三、解答题：本大题共4小题，共80分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16、（13分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣、（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间、17、（13分）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD 沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图、（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值、18、（13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额、（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成、为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由、19、（13分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x、（1）求双曲线E的离心率；（2）如图，O点为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由、在21-23题中考生任选2题作答，满分21分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.选修4-2：矩阵与变换20、（14分）已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1、（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜e x；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜ce x、21、（7分）已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=（）、（1）求矩阵A；（2）求矩阵A﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量、五、选修4-4：极坐标与参数方程22、（7分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为常数）、（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围、六、选修4-5：不等式选讲23、已知定义域在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a、（1）求a的值；（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3、参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分、在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的、1、（5分）复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）A、﹣2﹣3iB、﹣2+3iC、2﹣3iD、2+3i分析：直接由复数代数形式的乘法运算化简z，则其共轭可求、解答：解：∵z=（3﹣2i）i=2+3i，∴、故选：C、点评：本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题、2、（5分）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A、圆柱B、圆锥C、四面体D、三棱柱分析：直接从几何体的三视图：正视图和侧视图或俯视图判断几何体的形状，即可、解答：解：圆柱的正视图为矩形，故选：A、点评：本题考查简单几何体的三视图，考查逻辑推理能力和空间想象力，是基础题、3、（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A、8B、10C、12D、14分析：由等差数列的性质和已知可得a2，进而可得公差，可得a6解答：解：由题意可得S3=a1+a2+a3=3a2=12，解得a2=4，∴公差d=a2﹣a1=4﹣2=2，∴a6=a1+5d=2+5×2=12，故选：C、点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题、4、（5分）若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）A、B、C、D、分析：由题意可得a=3，由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可、解答：解：由题意可知图象过（3，1），故有1=log a3，解得a=3，选项A，y=a﹣x=3﹣x=（）x单调递减，故错误；选项B，y=x3，由幂函数的知识可知正确；选项C，y=（﹣x）3=﹣x3，其图象应与B关于x轴对称，故错误；选项D，y=log a（﹣x）=log3（﹣x），当x=﹣3时，y=1，但图象明显当x=﹣3时，y=﹣1，故错误、故选：B、点评：本题考查对数函数的图象和性质，涉及幂函数的图象，属基础题、5、（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A、18B、20C、21D、40分析：算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值，计算满足条件的S值，可得答案、解答：解：由程序框图知：算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值，∵S=21+22+1+2=2+4+1+2=9＜15，S=21+22+23+1+2+3=2+4+8+1+2+3=20≥15、∴输出S=20、故选：B、点评：本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键、6、（5分）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB 的面积为”的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分又不必要条件分析：根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论、解答：解：若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则圆心到直线距离d=，|AB|=2，若k=1，则|AB|=，d=，则△OAB的面积为×=成立，即充分性成立、若△OAB的面积为，则S==×2×==，即k2+1=2|k|，即k2﹣2|k|+1=0，则（|k|﹣1）2=0，即|k|=1，解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立、故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件、故选：A、点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键、7、（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A、f（x）是偶函数B、f（x）是增函数C、f（x）是周期函数D、f（x）的值域为[﹣1，+∞）分析：由三角函数和二次函数的性质，分别对各个选项判断即可、解答：解：由解析式可知当x≤0时，f（x）=cosx为周期函数，当x＞0时，f（x）=x2+1，为二次函数的一部分，故f（x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、C，对于D，当x≤0时，函数的值域为[﹣1，1]，当x＞0时，函数的值域为（1，+∞），故函数f（x）的值域为[﹣1，+∞），故正确、故选：D、点评：本题考查分段函数的性质，涉及三角函数的性质，属基础题、8、（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A、=（0，0），=（1，2）B、=（﹣1，2），=（5，﹣2）C、=（3，5），=（6，10）D、=（2，﹣3），=（﹣2，3）分析：根据向量的坐标运算，，计算判别即可、解答：解：根据，选项A：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），则3=μ，2=2μ，无解，故选项A不能；选项B：（3，2）=λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3=﹣λ+5μ，2=2λ﹣2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B能、选项C：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C不能、选项D：（3，2）=λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能、故选：B、点评：本题主要考查了向量的坐标运算，根据列出方程解方程是关键，属于基础题、9、（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q 两点间的最大距离是（）A、5B、+C、7+D、6分析：求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离、解答：解：设椭圆上的点为（x，y），则∵圆x2+（y﹣6）2=2的圆心为（0，6），半径为，∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为==≤5，∴P，Q两点间的最大距离是5+=6、故选：D、点评：本题考查椭圆、圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题、10、（5分）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来、以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）A、（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5B、（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c）5C、（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5）D、（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）分析：根据“1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来”，分别取红球蓝球黑球，根据分步计数原理，分三步，每一步取一种球，问题得以解决、解答：解：从5个无区别的红球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1+a+a2+a3+a4+a5；从5个无区别的蓝球中取出若干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为1+b5；从5个有区别的黑球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1+c+c2+c3+c4+c5=（1+c）5，根据分步乘法计数原理得，适合要求的所有取法是（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5、故选：A、点评：本题主要考查了分步计数原理和归纳推理，合理的利用题目中所给的实例，要遵循其规律，属于中档题、二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分、把答案填在答题卡的相应位置11、（4分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为1、分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值、解答：解：作出不等式对应的平面区域如图，由z=3x+y，得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A（0，1）时，直线y=﹣3x+z的截距最小，此时z最小、此时z的最小值为z=0×3+1=1，故答案为：1点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法、12、（4分）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于2、分析：利用三角形中的正弦定理求出角B，再利用三角形的面积公式求出△ABC 的面积、解答：解：∵△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，由正弦定理得：，∴，解得sinB=1，∴B=90°，C=30°，∴△ABC的面积=、故答案为：、点评：本题着重考查了给出三角形的两边和其中一边的对角，求它的面积、正余弦定理、解直角三角形、三角形的面积公式等知识，属于基础题、13、（4分）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是160（单位：元）分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，设池底长和宽分别为a，b，成本为y，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求、解答：解：设池底长和宽分别为a，b，成本为y，则∵长方形容器的容器为4m3，高为1m，故底面面积S=ab=4，y=20S+10[2（a+b）]=20（a+b）+80，∵a+b≥2=4，故当a=b=2时，y取最小值160，即该容器的最低总造价是160元，故答案为：160点评：本题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题、14、（4分）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为、分析：利用定积分计算阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式求出概率、解答：解：由题意，y=lnx与y=e x关于y=x对称，∴阴影部分的面积为2（e﹣e x）dx=2（ex﹣e x）=2，∵边长为e（e为自然对数的底数）的正方形的面积为e2，∴落到阴影部分的概率为、故答案为：、点评：本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到、15、（4分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6、分析：利用集合的相等关系，结合①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，即可得出结论、解答：解：由题意，a=2时，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；a=3时，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；a=4时，b=1，c=3，d=2；∴符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6个、点评：本题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键、三、解答题：本大题共4小题，共80分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16、（13分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣、（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间、分析：（1）根据题意，利用sinα求出cosα的值，再计算f（α）的值；（2）化简函数f（x），求出f（x）的最小正周期与单调增区间即可、解答：解：（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣=×（+）﹣=；（2）∵函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+﹣=（sin2x+cos2x）=sin（2x+），∴f（x）的最小正周期为T==π；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z、点评：本题考查了三角函数的化简以及图象与性质的应用问题，是基础题目、17、（13分）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD 沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图、（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值、分析：（1）利用面面垂直的性质定理即可得出；（2）建立如图所示的空间直角坐标系、设直线AD与平面MBC所成角为θ，利用线面角的计算公式sinθ=|cos|=即可得出、解答：（1）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD、（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系、∵AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，∴B（0，0，0），C（1，1，0），A（0，0，1），D（0，1，0），M、∴=（0，1，﹣1），=（1，1，0），=、设平面BCM的法向量=（x，y，z），则，令y=﹣1，则x=1，z=1、∴=（1，﹣1，1）、设直线AD与平面MBC所成角为θ、则sinθ=|cos|===、点评：本题综合考查了面面垂直的性质定理、线面角的计算公式sinθ=|cos|=，考查了推理能力和空间想象能力，属于中档题、18、（13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额、（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成、为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由、分析：（1）根据古典概型的概率计算公式计算顾客所获的奖励额为60元的概率，依题意得X得所有可能取值为20，60，分别求出P（X=60），P（X=20），画出顾客所获的奖励额的分布列求出数学期望；（2）先讨论，寻找期望为60元的方案，找到（10，10，50，50），（20，20，40，40）两种方案，分别求出数学期望和方差，然后做比较，问题得以解决、解答：解：（1）设顾客所获取的奖励额为X，①依题意，得P（X=60）=，即顾客所获得奖励额为60元的概率为，②依题意得X得所有可能取值为20，60，P（X=60）=，P（X=20）=，即X的分布列为X6020P所以这位顾客所获的奖励额的数学期望为E（X）=20×+60×=40（2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，所以先寻找期望为60元的可能方案、对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择（10，10，10，50）的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以数学期望不可能为60元，如果选择（50，50，50，10）的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以数学期望也不可能为60元，因此可能的方案是（10，10，50，50）记为方案1，对于面值由20元和40元的组成的情况，同理可排除（20，20，20，40）和（40，40，40，20）的方案，所以可能的方案是（20，20，40，40），记为方案2，以下是对这两个方案的分析：对于方案1，即方案（10，10，50，50）设顾客所获取的奖励额为X1，则X1的分布列为X16020100PX1的数学期望为E（X1）=、X1的方差D（X1）==，对于方案2，即方案（20，20，40，40）设顾客所获取的奖励额为X2，则X2的分布列为X2406080PX2的数学期望为E（X2）==60，X2的方差D（X2）=差D（X1）=、由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1小，所以应该选择方案2、点评：本题主要考查了古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查了数据处理能力，运算求解能力，应用意识，考查了必然与或然思想与整合思想、19、（13分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x、（1）求双曲线E的离心率；（2）如图，O点为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由、分析：（1）依题意，可知=2，易知c=a，从而可求双曲线E的离心率；（2）由（1）知，双曲线E的方程为﹣=1，设直线l与x轴相交于点C，分l⊥x轴与直线l不与x轴垂直讨论，当l⊥x轴时，易求双曲线E的方程为﹣=1、当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y=kx+m，与双曲线E的方=|OC|•|y1﹣y2|=8可证得：双曲线E的方程为﹣=1，程联立，利用由S△OAB从而可得答案、解答：解：（1）因为双曲线E的渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x，所以=2、所以=2、故c=a，从而双曲线E的离心率e==、（2）由（1）知，双曲线E的方程为﹣=1、设直线l与x轴相交于点C，当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|=a，|AB|=4a，所以|OC|•|AB|=8，因此a•4a=8，解得a=2，此时双曲线E的方程为﹣=1、以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E的方程为﹣=1也满足条件、设直线l的方程为y=kx+m，依题意，得k＞2或k＜﹣2；则C（﹣，0），记A（x1，y1），B（x2，y2），由得y1=，同理得y2=，=|OC|•|y1﹣y2|得：由S△OAB|﹣|•|﹣|=8，即m2=4|4﹣k2|=4（k2﹣4）、由得：（4﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣16=0，因为4﹣k2＜0，所以△=4k2m2+4（4﹣k2）（m2+16）=﹣16（4k2﹣m2﹣16），又因为m2=4（k2﹣4），所以△=0，即直线l与双曲线E有且只有一个公共点、因此，存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为﹣=1、点评：本题考查双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想、在21-23题中考生任选2题作答，满分21分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.选修4-2：矩阵与变换20、（14分）已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1、（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜e x；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜ce x、分析：（1）利用导数的几何意义求得a，再利用导数的符号变化可求得函数的极值；（2）构造函数g（x）=e x﹣x2，求出导数，利用（1）问结论可得到函数的符号，从而判断g（x）的单调性，即可得出结论；（3）首先可将要证明的不等式变形为x2＜e x，进而发现当x＞时，x2＜x3，因此问题转化为证明当x∈（0，+∞）时，恒有x3＜e x、解答：解：（1）由f（x）=e x﹣ax，得f′（x）=e x﹣a、又f′（0）=1﹣a=﹣1，解得a=2，∴f（x）=e x﹣2x，f′（x）=e x﹣2、由f′（x）=0，得x=ln2，当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4、f（x）无极大值、（2）令g（x）=e x﹣x2，则g′（x）=e x﹣2x，由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g′（x）＞0，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜e x；（3）首先证明当x∈（0，+∞）时，恒有x3＜e x、证明如下：令h（x）=x3﹣e x，则h′（x）=x2﹣e x、由（2）知，当x＞0时，x2＜e x，从而h′（x）＜0，h（x）在（0，+∞）单调递减，所以h（x）＜h（0）=﹣1＜0，即x3＜e x，取x0=，当x＞x0时，有x2＜x3＜e x、因此，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜ce x、点评：该题主要考查导数的几何意义、导数的运算及导数的应用等基础知识，考查学生的运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、化归与转化思想、属难题、21、（7分）已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=（）、（1）求矩阵A；（2）求矩阵A﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量、分析：（1）利用AA﹣1=E，建立方程组，即可求矩阵A；（2）先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量、解答：解：（1）设A=，则由AA﹣1=E得=，解得a=，b=﹣，c=﹣，d=，所以A=；（2）矩阵A﹣1的特征多项式为f（λ）==（λ﹣2）2﹣1，令f（λ）=（λ﹣2）2﹣1=0，可求得特征值为λ1=1，λ2=3，设λ1=1对应的一个特征向量为α=，则由λ1α=Mα，得x+y=0得x=﹣y，可令x=1，则y=﹣1，所以矩阵M的一个特征值λ1=1对应的一个特征向量为，同理可得矩阵M的一个特征值λ2=3对应的一个特征向量为、点评：本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题、五、选修4-4：极坐标与参数方程22、（7分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为常数）、（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围、分析：（1）消去参数，把直线与圆的参数方程化为普通方程；（2）求出圆心到直线的距离d，再根据直线l与圆C有公共点⇔d≤r即可求出、解答：解：（1）直线l的参数方程为，消去t可得2x﹣y﹣2a=0；圆C的参数方程为，两式平方相加可得x2+y2=16；（2）圆心C（0，0），半径r=4、由点到直线的距离公式可得圆心C（0，0）到直线L的距离d=、∵直线L与圆C有公共点，∴d≤4，即≤4，解得﹣2≤a≤2、点评：熟练掌握点到直线的距离公式和直线与圆有公共点的充要条件是解题的关键、六、选修4-5：不等式选讲23、已知定义域在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a、（1）求a的值；（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3、分析：（1）由绝对值不等式|a|+|b|≥|a﹣b|，当且仅当ab≤0，取等号；（2）由柯西不等式：（a2+b2+c2）（d2+e2+f2）≥（ad+be+cf）2，即可证得、解答：（1）解：∵|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，当且仅当﹣1≤x≤2时，等号成立，∴f（x）的最小值为3，即a=3；（2）证明：由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r为正实数，∴由柯西不等式得，（p2+q2+r2）（12+12+12）≥（p×1+q×1+r×1）2=（p+q+r）2=32=9，即p2+q2+r2≥3、点评：本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、。

福建省莆田二十四中2015届高三上学期期中考试数学(理) Word版含答案(精校版)

福建莆田二十四中2014-2015上学期期中考高三数学（理科）试卷一、选择题：本大题共10小题。

每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=( ) A. ｛1｝B. ｛2｝C. ｛0，1｝D. ｛1，2｝2．已知两条不同的直线m 、n ，两个不同的平面α、β，则下列命题中的真命题是( )A ．若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥n,B ．若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥n.C ．若m ⊥α，n ∥β，α⊥β，则m ⊥n.D ．若m ∥α，n ⊥β，α⊥β，则m ∥n3.下列命题中的真命题是( )(A)∃x ∈R,sin x+cos x=1.5 . (B)∀x ∈(0,+∞),e x>x+1,(C)∃x ∈(-∞,0),2x <3x. . .(D)∀x ∈(0,π),sin x>cos x.4. 已知函数||5)(x x f =，)()(2R a x ax x g ∈-=，若1)]1([=g f ，则=a （） A 1 B. 2 C. 3 D. -15．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若AB ＝2，AA 1＝1，则点A 到平面A 1BC 的距离为( )A.34 , B.32 . C.334, D.3, 6.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是 A. 902cm , B. 1292cm , C. 1322cm , D. 1382cm .7.若120()2(),f x x f x dx =+⎰则1()f x dx =⎰（）A.1- ,B.13-. C.13 , D.1 ,8.在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不．成立．．的是( ) A ．BC ∥平面PDF . B ．DF ⊥平面P AE.C ．平面PDF ⊥平面ABC ,D ．平面P AE ⊥平面ABC.9.如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面A 1ABB 1⊥BC ，且A 1C 与底面成45°角，AB ＝BC ＝2，则该棱柱体积的最小值为( )A ．43 .B ．3 3 .C ．4 ,D ．3.10.如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（）3131255y x x =- （B ）3241255y x x =-（C ）33125y x x =- （D ）3311255y x x =-+ 二，填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11.若()()ax e x f x++=1ln 3是偶函数，则=a ____________.12．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为____________．13. 函数f (x )＝22x －2的值域是____________14．△ABC 的顶点分别为A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 等于________．（请用向量完成）15．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量AB →、AD →、AA 1→两两的夹角均为60°，且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→|等于___________．三．解答题75分16.如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 、E 分别为AC 、AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图2.(1)求证：DE ∥平面A 1CB ； (2)求证：A 1F ⊥BE ；(3)线段A 1B 上是否存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ ？说明理由17．若函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M .当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x 的最值及相应的x 的值．18.设函数f(x)=aln x-bx 2(x>0), (1)若函数f(x)在x=1处与直线y=-相切, ①求实数a,b 的值; ②求函数f(x)在上的最大值.(2)当b=0时,若不等式f(x)≥m+x 对所有的a ∈,x ∈(1,e 2]都成立,求实数m 的取值范围.19. (本小题满分12分)设函数1(0ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ；（Ⅱ）证明：()1f x >.20.如图所示的七面体是由三棱台ABC －A 1B 1C 1和四棱锥D －AA 1C 1C 对接而成，四边形ABCD 是边长为2的正方形，BB 1⊥平面ABCD ，BB 1＝2A 1B 1＝2.(1)求证：平面AA 1C 1C ⊥平面BB 1D ； (2)求二面角A －A 1D －C 1的余弦值．答案.138.93*3.186*3.363*4*3.935*34*6363*4*3D S S S S S S S S S S S 。

2014-2015学年福建省福州三中高三(上)期中数学试卷和答案(理科)

2014-2015学年福建省福州三中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本太题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给潞的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设函数f（x）=的定义域为M，函数g（x）=1n（1+x）的定义域为N，则（）A．M∩N=（﹣1，1]B．C R N=（﹣∞，﹣1）C．M∩N=R D．∁R M=[1，+∞）2．（5分）复数z满足（z﹣3）（2+i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A．2+i B．2﹣i C．5+i D．5﹣i3．（5分）正项等比数列{a n}中，若log2（a1a9）=4，则a3a7等于（）A．16 B．﹣16 C．10 D．2564．（5分）设f（x）=，则函数f（x）的单调递增区间是（）A．（﹣∞2）B．（2，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，l）和（1，2）5．（5分）若函数f（x）=3﹣|x﹣2|﹣c的图象与x轴有交点，则实数c的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，1]C．（0，1]D．[1，+∞）6．（5分）若α为锐角，且sinα：sin=8：5，则cosα的值为（）A．B．C．D．7．（5分）若|+|=|﹣|=2||，则向量+与的夹角为（）A．B．C． D．8．（5分）设向量，t是实数，|﹣t|的最小值为（）A．B．C．1 D．9．（5分）已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A．（1，2014）B．（1，2015）C．（2，2015）D．[2，2015]10．（5分）若在数列{a n}中，对任意正整数n，都有（常数），则称数列{a n}为“等方和数列”，称p为“公方和”，若数列{a n}为“等方和数列”，其前n 项和为S n，且“公方和”为1，首项a1=1，则S2014的最大值与最小值之和为（）A．2014 B．1007 C．﹣1 D．2二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．11．（4分）已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x﹣y=0上，则=．12．（4分）已知f（x）=x+sinx，则满足不等式f（2m）+f（2﹣m）＞0的实数m 的取值范围是．13．（4分）已知数列{a n}的通项a n=，若数列{a n}的最大项为a M则M=．14．（4分）已知a=sinxdx则二项式（1﹣）5的展开式中x﹣3的系数为．15．（4分）若存在实常数k和b，使得函数f（x）和g（x）对其定义域上的任意实数x分别满足：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y=kx+b为f（x）和g（x）的“隔离直线”．已知函数f（x）=x2﹣1和函数g（x）=2lnx，那么函数f （x）和函数g（x）的隔离直线方程为．三、解答题：本大题共5小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．’16．（13分）已知等差数列{a n}的公差d不为零，其前n项和为S n，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，求证：T n＜（n∈N*）．17．（13分）已知函数f（x）=sin（ωx）﹣cos（ωx）+m（ω＞0，x∈R，m是实数常数）的图象上的一个最高点（，1），且与点（，1）最近的一个最低点是（﹣，﹣3）．（1）求函数f（x）的解析式及其单调递增区间；（2）在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且•=ac，求函数f（A）的值域．18．（13分）某中学有4位学生申请A，B，C三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．（1）求恰有2人申请A大学的概率；（2）求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E（X）．19．（13分）如图，港口A在港口O的正东120海里处，小岛B在港口O的北偏东60°的方向，且在港口A北偏西30°的方向上．一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东30°的OD方向以20海里/小时的速度驶离港口O．一艘给养快艇从港口A以60海里/小时的速度驶向小岛B，在B岛转运补给物资后以相同的航速送往科考船．已知两船同时出发，补给装船时间为1小时．（1）求给养快艇从港口A到小岛B的航行时间；（2）给养快艇驶离港口A后，最少经过多少时间能和科考船相遇？20．（14分）已知函数f（x）=e x﹣1﹣ax，（a∈R）．（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）试探究函数F（x）=f（x）﹣xlnx在定义域内是否存在零点，若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）若g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx，且f（g（x））＜f（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．三.本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分7分．如果多做，则按所做的前两殛计分．[选修4-2：矩阵与变换]21．（7分）已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=，求矩阵A的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（7分）已知曲线C的参数方程为（α为参数），在极坐标系中（极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴），直线l的极坐标方程为p（3cosθ﹣2sinθ）=6（I）求直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上动点P到直线l距离的最大值和最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]．（Ⅰ）求m的值；，且++=m，求a+2b+3c的最小值．（Ⅱ）若a，b，c∈R+2014-2015学年福建省福州三中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本太题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给潞的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设函数f（x）=的定义域为M，函数g（x）=1n（1+x）的定义域为N，则（）A．M∩N=（﹣1，1]B．C R N=（﹣∞，﹣1）C．M∩N=R D．∁R M=[1，+∞）【解答】解：由1﹣x＞0得x＜1，即M=（﹣∞，1），由1+x＞0，得x＞﹣1，即N=（﹣1，+∞），则∁R M=[1，+∞），故选：D．2．（5分）复数z满足（z﹣3）（2+i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A．2+i B．2﹣i C．5+i D．5﹣i【解答】解：∵（z﹣3）（2+i）=5，∴z===2﹣i+3=5﹣i，∴z的共轭复数=5+i．故选：C．3．（5分）正项等比数列{a n}中，若log2（a1a9）=4，则a3a7等于（）A．16 B．﹣16 C．10 D．256【解答】解：∵正项等比数列{a n}中，log2（a1a9）=4，∴a1a9=24=16，∴a3a7=a1a9=16．故选：A．4．（5分）设f（x）=，则函数f（x）的单调递增区间是（）A．（﹣∞2）B．（2，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，l）和（1，2）【解答】解：函数的定义域为{x|x≠1}，函数的导数f′（x）==，由f′（x）＞0，解得x＞2，故函数的单调递减区间为（2，+∞），故选：B．5．（5分）若函数f（x）=3﹣|x﹣2|﹣c的图象与x轴有交点，则实数c的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，1]C．（0，1]D．[1，+∞）【解答】解：∵f（x）=3﹣|x﹣2|﹣c的图象与x轴有交点，∴函数c=3﹣|x﹣2|的图象与x轴有交点，∴即求函数c=3﹣|x﹣2|的值域问题．∴m=3﹣|x﹣1|，画出函数的图象如图所示，由图象可知c的取值范围是（0，1]故选：C．6．（5分）若α为锐角，且sinα：sin=8：5，则cosα的值为（）【解答】解：∵sinα：sin=8：5，∴可得：5sinα=8sin，两边平方可得：25﹣25cos2α=64×，∴可得：25cos2α﹣32cosα+7=0，α为锐角，∴可得：cosα=1（舍去）或，故选：D．7．（5分）若|+|=|﹣|=2||，则向量+与的夹角为（）A．B．C． D．【解答】解：作，，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则=．∵|+|=|﹣|=2||，∴四边形OACB为矩形，∴==，∴向量+与的夹角为．故选：A．8．（5分）设向量，t是实数，|﹣t|的最小值为（）【解答】解：因为=1，，所以=t2+2t（cos55°cos25°+sin55°sin25°）+1=t2+2tcos30°+1=所以当时，|﹣t|的最小值为故选：B．9．（5分）已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A．（1，2014）B．（1，2015）C．（2，2015）D．[2，2015]【解答】解：作出函数的图象如图，直线y=m交函数图象于如图，不妨设a＜b＜c，由正弦曲线的对称性，可得（a，m）与（b，m）关于直线x=对称，因此a+b=1，当直线y=m=1时，由log2014x=1，解得x=2014，即x=2014，∴若满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），由a＜b＜c可得1＜c＜2014，因此可得2＜a+b+c＜2015，即a+b+c∈（2，2015）．故选：C．10．（5分）若在数列{a n}中，对任意正整数n，都有（常数），则称数列{a n}为“等方和数列”，称p为“公方和”，若数列{a n}为“等方和数列”，其前n 项和为S n，且“公方和”为1，首项a1=1，则S2014的最大值与最小值之和为（）A．2014 B．1007 C．﹣1 D．2【解答】解：由题意，=1，首项a1=1，∴a2=0，a3=±1，a4，=0，a5=±1，…∴从第2项起，数列的奇数项为1或﹣1，偶数项为0，∴S2014的最大值为1007，最小值为﹣1005，∴S2014的最大值与最小值之和为2．故选：D．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．11．（4分）已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x﹣y=0上，则=．【解答】解：∵角θ的顶点坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x ﹣y=0上，∴可得tanθ=3．∴则====．故答案为：．12．（4分）已知f（x）=x+sinx，则满足不等式f（2m）+f（2﹣m）＞0的实数m 的取值范围是（﹣2，+∞）．【解答】解：∵f（x）=x+sinx，∴f（﹣x）=﹣x﹣sinx=﹣f（x），则函数f（x）是奇函数．函数的导数f′（x）=1+cosx≥0，则函数f（x）单调递增，为增函数．则不等式f（2m）+f（2﹣m）＞0等价为f（2m）＞﹣f（2﹣m）=f（m﹣2），则2m＞m﹣2，解得m＞﹣2，故答案为：（﹣2，+∞）13．（4分）已知数列{a n}的通项a n=，若数列{a n}的最大项为a M则M=7．【解答】解：，当n≤6时，∵，∴a n＜1；当n≥7时，数列{a n}单调递减，且a7＞1．综上可得：当n=7时，a7最大．故答案为：7．14．（4分）已知a=sinxdx则二项式（1﹣）5的展开式中x﹣3的系数为﹣80．【解答】解：a=sinxdx=﹣cosx=﹣（cosπ﹣cos0）=2．二项式（1﹣）5的展开式中x﹣3的系数为：，故答案为：﹣80．15．（4分）若存在实常数k和b，使得函数f（x）和g（x）对其定义域上的任意实数x分别满足：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y=kx+b为f（x）和g（x）的“隔离直线”．已知函数f（x）=x2﹣1和函数g（x）=2lnx，那么函数f （x）和函数g（x）的隔离直线方程为y=2x﹣2．【解答】解：作出函数f（x）=x2﹣1和函数g（x）=2lnx的图象，由图象可知，两个函数的交点坐标为（1，0），要使f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则y=kx+b，必须是两个函数在（1，0）处的公共切线，即k+b=0，解得b=﹣k，函数f′（x）=2x，即k=f′（1）=2，∴b=﹣2，即隔离直线方程为y=2x﹣2，故答案为：y=2x﹣2三、解答题：本大题共5小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．’16．（13分）已知等差数列{a n}的公差d不为零，其前n项和为S n，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，求证：T n＜（n∈N*）．【解答】（1）解：∵等差数列{a n}的公差d不为零，其前n项和为S n，S5=70，且a2，a7，a22成等比数列，∴，由d≠0，解得a1=6，d=4，∴a n=4n+2，n∈N*．（2）证明：∵a1=6，d=4，∴S n=6n+=2n2+4n，∴==，∴T n=（1﹣+）=﹣（），∵，∴T n＜．17．（13分）已知函数f（x）=sin（ωx）﹣cos（ωx）+m（ω＞0，x∈R，m是实数常数）的图象上的一个最高点（，1），且与点（，1）最近的一个最低点是（﹣，﹣3）．（1）求函数f（x）的解析式及其单调递增区间；（2）在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且•=ac，求函数f（A）的值域．【解答】解：（1）∵f（x）=sinωx﹣cosωx+m，∴f（x）=2sin（ωx﹣）+m，∵（，1），点（﹣，﹣3）分别是函数f（x）图象上相邻的最高点和最低点，∴，且m=，∴T=π，又ω＞0，于是，∴f（x）=2sin（2x﹣）﹣1，∴由2k≤2x﹣≤2kπ，k∈Z，可解得﹣+kπ≤x≤kπ，k∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间是：[﹣+kπ，kπ]，k∈Z．（2）∵在△ABC中，，∴accos（π﹣B）=﹣ac，∴cosB=，又0＜B＜π，∴B=，于是A+C=，∵0，0，∴，于是，∴，又f（A）=2sin（2A﹣）﹣1，∴0＜f（A）≤1，∴f（A）的值域为（0，1]．18．（13分）某中学有4位学生申请A，B，C三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．（1）求恰有2人申请A大学的概率；（2）求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E（X）．（1）所有可能的方式有34种，恰有2人申请A大学的申请方式有【解答】解：种，从而恰有2人申请A大学的概率为．（II）X=1，2，3，则P（X=1）==；P（X=2）==；P（X=3）==，申请大学数量X的概率分布：：EX=1×+2×+3×=．19．（13分）如图，港口A在港口O的正东120海里处，小岛B在港口O的北偏东60°的方向，且在港口A北偏西30°的方向上．一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东30°的OD方向以20海里/小时的速度驶离港口O．一艘给养快艇从港口A以60海里/小时的速度驶向小岛B，在B岛转运补给物资后以相同的航速送往科考船．已知两船同时出发，补给装船时间为1小时．（1）求给养快艇从港口A到小岛B的航行时间；（2）给养快艇驶离港口A后，最少经过多少时间能和科考船相遇？【解答】解：（1）由题意知，在△OAB中，OA=120，∠AOB=30°，∠OAB=60°．于是AB=60，而快艇的速度为60海里/小时，所以快艇从港口A到小岛B的航行时间为1小时．…（5分）（2）由（1）知，给养快艇从港口A驶离2小时后，从小岛B出发与科考船汇合．为使航行的时间最少，快艇从小岛B驶离后必须按直线方向航行，设t小时后恰与科考船在C处相遇．…（7分）在△OAB中，OA=120，∠AOB=30°，∠OAB=60°，所以，而在△OCB中，BC=60t，OC=20（2+t），∠BOC=30°，…（9分）由余弦定理，得BC2=OB2+OC2﹣2OB•OC•cos∠BOC，即，亦即8t2+5t﹣13=0，解得t=1或（舍去）．…（12分）故t+2=3．即给养快艇驶离港口A后，最少经过3小时能和科考船相遇．…（14分）20．（14分）已知函数f（x）=e x﹣1﹣ax，（a∈R）．（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）试探究函数F（x）=f（x）﹣xlnx在定义域内是否存在零点，若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）若g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx，且f（g（x））＜f（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=e x﹣1﹣ax，（x∈R，a∈R），∴f′（x）=e x﹣a，①当a≤0时，则∀x∈R有f′（x）＞0，∴函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）单调递增；②当a＞0时，f′（x）＞0⇒x＞lna，f′（x）＜0⇒x＜lna∴函数f（x）的单调增区间为（lna，+∞），单调减区间为（﹣∞，lna）．综合①②的当a≤0时，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞）；当a＞0时，函数f（x）的单调增区间为（lna，+∞），单调减区间为（﹣∞，lna）．（Ⅱ）函数F（x）=f（x）﹣xlnx定义域为（0，+∞），又，令h（x）=，则h′（x）=，∴h′（x）＞0⇒x＞1，h′（x）＜0⇒0＜x＜1，∴函数h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．∴h（x）≥h（1）=e﹣1由（1）知当a=1时，对∀x＞0，有f（x）＞f（lna）=0，即∴当x＞0且x趋向0时，h（x）趋向+∞随着x＞0的增长，y=e x﹣1的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=x2的增长速度，而y=lnx的增长速度则会越来越慢．故当x＞0且x趋向+∞时，h（x）趋向+∞．得到函数h（x）的草图如图所示故①当a＞e﹣1时，函数F（x）有两个不同的零点；②当a=e﹣1时，函数F（x）有且仅有一个零点；③当a＜e﹣1时，函数F（x）无零点；（Ⅲ）由（2）知当x＞0时，e x﹣1＞x，故对∀x＞0，g（x）＞0，先分析法证明：∀x＞0，g（x）＜x要证∀x＞0，g（x）＜x只需证即证∀x＞0，xe x﹣e x+1＞0构造函数H（x）=xe x﹣e x+1，（x＞0）∴H′（x）=xe x＞0，∀x＞0故函数H（x）=xe x﹣e x+1在（0，+∞）单调递增，∴H（x）＞H（0）=0，则∀x＞0，xe x﹣e x+1＞0成立．①当a≤1时，由（1）知，函数f（x）在（0，+∞）单调递增，则f（g（x））＜f（x）在x∈（0，+∞）上恒成立．②当a＞1时，由（1）知，函数f（x）在（lna，+∞）单调递增，在（0，lna）单调递减，故当0＜x＜lna时，0＜g（x）＜x＜lna，∴f（g（x））＞f（x），则不满足题意．综合①②得，满足题意的实数a的取值范围（﹣∞，1]．三.本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分7分．如果多做，则按所做的前两殛计分．[选修4-2：矩阵与变换]21．（7分）已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=，求矩阵A的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．【解答】解：∵A=（A﹣1）﹣1，且A﹣1=，∴，．设矩阵A的特征值为λ，对应的特征向量为（x，y）．则矩阵A的特征多项式为f（λ）==λ2﹣3λ﹣4，故特征方程为λ2﹣3λ﹣4=0，解得λ1=﹣1，λ2=4．当λ1=﹣1时，有，即x+y=0，取x=1，则y=﹣1；当λ2=4时，有，即2x﹣3y=0，取x=3，则y=2．因此特征值为﹣1的一个特征向量为，特征值为4的一个特征向量为．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（7分）已知曲线C的参数方程为（α为参数），在极坐标系中（极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴），直线l的极坐标方程为p（3cosθ﹣2sinθ）=6（I）求直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上动点P到直线l距离的最大值和最小值．【解答】解：（I）由直线l的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣2sinθ）=6，可得直角坐标方程：3x﹣2y﹣6=0．（II）可设P（2cosα，3sinα），∴曲线C上动点P到直线l距离d==，∵，∴d max=，d min=0．∴曲线C上动点P到直线l距离的最大值和最小值分别为；0．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b，c∈R，且++=m，求a+2b+3c的最小值．+【解答】解：（Ⅰ）由题意可得f（x+2）=m﹣|x|，故由f（x+2）≥0，可得|x|≤m，解得﹣m≤x≤m．再根据f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]，可得m=1．（Ⅱ）若a，b，c∈R，且++=1，+∴由柯西不等式可得a+2b+3c=（a+2b+3c）•（++）≥=9，故a+2b+3c的最小值为：9．。

2015年福建省莆田市仙游一中高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)

2014-2015学年福建省莆田市仙游一中高三（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设，为向量，则|•|=||||是“∥”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）已知角α的终边上一点的坐标为（），角α的最小正值为（）A． B． C． D．3．（5分）下列命题中是假命题的是（）A．∃m∈R，使f（x）=（m﹣1）•是幂函数，且在（0，+∞）上递减B．∀a＞0，函数f（x）=ln2x+lnx﹣a有零点C．∃α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+sinβD．∀φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函数4．（5分）将函数y=f′（x）sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=1﹣2sin2x 的图象，则f（x）是（）A．2sinx B．cosx C．sinx D．2cosx5．（5分）（文）若sin（α﹣β）sinβ﹣cos（α﹣β）cosβ=，且α是第二象限的角，则=（）A．7 B．﹣7 C．D．6．（5分）若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f（x）=sin x，g（x）=cos x；②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；③f（x）=x，g（x）=x2，其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（）A．0 B．1 C．2 D．37．（5分）函数的值域为（）A．[1，]B．[1，]C．[1，]D．[1，2]8．（5分）函数y+1=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．89．（5分）已知向量，，满足||=4，||=2，与的夹角为，（﹣）•（﹣）=﹣1，则|﹣|的最大值为（）A．+B．+1 C．D．+110．（5分）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2﹣4||；当x＞1时，f（x）=af（x﹣1），a∈R，a为常数．下列有关函数f（x）的描述：①当a=2时，；②当|a|＜1，函数f（x）的值域为[﹣2，2]；③当a＞0时，不等式在区间[0，+∞）上恒成立；④当﹣1＜a＜0时，函数f（x）的图象与直线y=2a n﹣1（n∈N*）在[0，n]内的交点个数为n﹣．其中描述正确的个数有（）A．4 B．3 C．2 D．1二．填空题（本大题有5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）定义在R上的奇函数f（x），当x＜0时，f（x）=xe﹣x，则当x＞0时，f（x）=．12．（4分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）13．（4分）过函数f（x）=x3﹣3x上的点M（﹣2，﹣2）的切线方程是．14．（4分）在△ABC所在平面上有三点P、Q、R，满足，，，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为．15．（4分）已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c取值范围为．三．解答题（本大题有5小题，共80分）16．（13分）已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，集合B为函数y=x2﹣2x+a的值域，集合C={x|x2﹣ax﹣4≤0}，命题p：A∩B≠∅；命题q：A⊆C．（1）若命题p为假命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p∧q为真命题，求实数a的取值范围．17．（13分）叙述并证明余弦定理．18．（13分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+b+1（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）=．（1）求a、b的值；（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，求实数k的取值范围．19．（13分）已知向量=（cosωx﹣sinωx，sinωx），=（﹣cosωx﹣sinωx，2cosωx），设函数f（x）=•+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若y=f（x）的图象经过点（，0）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．20．（14分）一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD（如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上），设∠BOC=θ，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．（1）求V关于θ的函数表达式；（2）求θ的值，使体积V最大；（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．21．（4分）已知函数f（x）=x+，h（x）=．（Ⅰ）设函数F（x）=f（x）﹣h（x），求F（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）设a∈R，解关于x的方程log4[f（x﹣1）﹣]=log2h（a﹣x）﹣log2h（4﹣x）；（Ⅲ）试比较f（100）h（100）﹣与的大小．四、自主招生题：（10分，供学有余力的同学选做，可按实际得分加入本科目考试总分）22．（10分）求函数f（x）=+++++的最大值．2014-2015学年福建省莆田市仙游一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设，为向量，则|•|=||||是“∥”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵•=，若a，b为零向量，显然成立；若⇒cosθ=±1则与的夹角为零角或平角，即，故充分性成立．而，则与的夹角为为零角或平角，有．因此是的充分必要条件．故选：C．2．（5分）已知角α的终边上一点的坐标为（），角α的最小正值为（）A． B． C． D．【解答】解：=∴角α的终边在第四象限∵到原点的距离为1∴∴α的最小正值为故选：D．3．（5分）下列命题中是假命题的是（）A．∃m∈R，使f（x）=（m﹣1）•是幂函数，且在（0，+∞）上递减B．∀a＞0，函数f（x）=ln2x+lnx﹣a有零点C．∃α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+sinβD．∀φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函数【解答】解：A中由幂函数的定义m﹣1=1，所以f（x）=x﹣1，在（0，+∞）上递减正确；B中函数f（x）=ln2x+lnx﹣a有零点⇔方程ln2x+lnx=a有解，而y=ln2x+lnx∈故a∈，所以结论正确；C中取时成立，故正确；D中φ=时，函数f（x）=sin（2x+φ）=cos（2x），是偶函数，故错误故选：D．4．（5分）将函数y=f′（x）sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=1﹣2sin2x 的图象，则f（x）是（）A．2sinx B．cosx C．sinx D．2cosx【解答】解：y=1﹣2sin2x=cos2x，向右平移个单位得y=cos2（x﹣）=cos（2x ﹣）=sin2x=2cosx•sinx的图象，就是函数y=f′（x）sinx的图象，故f′（x）=2cosx，∴f（x）=2sinx，故选：A．5．（5分）（文）若sin（α﹣β）sinβ﹣cos（α﹣β）cosβ=，且α是第二象限的角，则=（）A．7 B．﹣7 C．D．【解答】解：依题意，由得，又α是第二象限角，所以，，故选：C．6．（5分）若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f（x）=sin x，g（x）=cos x；②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；③f（x）=x，g（x）=x2，其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：对于①：[sin x•cos x]dx=（sinx）dx=﹣cosx=0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于②：（x+1）（x﹣1）dx=（x2﹣1）dx=（）≠0，∴f（x），g（x）不是区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于③：x3dx=（）=0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，∴正交函数有2组，故选：C．7．（5分）函数的值域为（）A．[1，]B．[1，]C．[1，]D．[1，2]【解答】解：对于f（x），有3≤x≤4，则0≤x﹣3≤1，令，则=∵，∴．函数的值域为[1，2]故选：D．8．（5分）函数y+1=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：函数y+1=可以化为y=，函数y1=与y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，当1＜x≤4时，y1≥，而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在（2，）上是单调增且为正数函数，y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在（，3）上是单调减且为正数，∴函数y2在x=处取最大值为2≥，而函数y2在（1，2）、（3，4）上为负数与y1的图象没有交点，所以两个函数图象在（1，4）上有两个交点（图中C、D），根据它们有公共的对称中心（1，0），可得在区间（﹣2，1）上也有两个交点（图中A、B），并且：x A+x D=x B+x C=2，故所求的横坐标之和为4．故选：B．9．（5分）已知向量，，满足||=4，||=2，与的夹角为，（﹣）•（﹣）=﹣1，则|﹣|的最大值为（）A．+B．+1 C．D．+1【解答】解：设，，；以OA所在直线为x，O为坐标原点建立平面直角坐标系，∵||=4，||=2，与的夹角为，则A（4，0），B（2，2），设C（x，y）∵（﹣）•（﹣）=﹣1，∴x2+y2﹣6x﹣2y+9=0，即（x﹣3）2+（y﹣1）2=1表示以（3，1）为圆心，以1为半径的圆，|﹣|表示点A，C的距离即圆上的点与点A（4，0）的距离；∵圆心到A的距离为，∴|﹣|的最大值为，故选：D．10．（5分）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2﹣4||；当x＞1时，f（x）=af（x﹣1），a∈R，a为常数．下列有关函数f（x）的描述：①当a=2时，；②当|a|＜1，函数f（x）的值域为[﹣2，2]；③当a＞0时，不等式在区间[0，+∞）上恒成立；④当﹣1＜a＜0时，函数f（x）的图象与直线y=2a n﹣1（n∈N*）在[0，n]内的交点个数为n﹣．其中描述正确的个数有（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：由题意知，．在描述①中，由x＞1，将a=2及代入f（x）=af（x﹣1）中，得=，可知描述①正确．在描述②中，（1）若0＜a＜1，当0≤x≤1时，，其图象是一条折线段，当x＞1时，则f（x）的图象向右依次平移一个单位长度，且每条折线段的转折点到x轴的距离是上一条折线段的转折点到x轴距离的a倍，由知，0≤f（x）≤2．其图象如图1所示．（2）若a=0，则，此时亦有0≤f（x）≤2．（3）若﹣1＜a＜0，则f（x）的图象向右依次平移一个单位长度，每条折线段在x轴上下交替出现，且从第二段起，每条折线段的转折点到x轴的距离是上一条折线段的转折点到x 轴距离的|a|倍，此时，﹣2＜f（x）≤2．其图象如图2所示．综合（1），（2），（3）知，f（x）的值域为（﹣2，2]，所以描述②错．在描述③中，取a=44，，则，而＜1，故描述③错．在描述④中，由图2知，当n=1时，f（x）的图象与直线y=2a1﹣1即y=2在[0，1]内的交点个数为1，即；当n=2时，f（x）的图象与直线y=2a2﹣1即y=2a在[0，2]内的交点个数为1，即；当n=3时，f（x）的图象与直线y=2a3﹣1即y=2a2在[0，3]内的交点个数为3，即；当n=4时，f（x）的图象与直线y=2a4﹣1即y=2a3在[0，4]内的交点个数为3，即；…由此猜想：当﹣1＜a＜0时，函数f（x）的图象与直线y=2a n﹣1（n∈N*）在[0，n]内的交点个数为n﹣．现用数学归纳法证明之．（1）由上可知，当n=1时，猜想成立．（2）假设n=k时，猜想成立，即函数f（x）的图象与直线y=2a k﹣1（k∈N*）在[0，k]内的交点个数为k﹣．则当n=k+1时，如图2所示，若k为奇数，则交点个数与n=k时情形相同；若k为偶数，则交点个数在n=k时的基础上增加2个，所以当n=k+1时的交点个数在n=k时的基础上增加了1+（﹣1）k个，从而交点个数为=，得，即当n=k+1时，猜想也成立．综合（1），（2）知，猜想成立，所以描述④正确．故选：C．二．填空题（本大题有5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）定义在R上的奇函数f（x），当x＜0时，f（x）=xe﹣x，则当x＞0时，f（x）=xe x．【解答】解：∵x＞0，∴﹣x＜0，又x＜0时，f（x）=xe﹣x，∴f（﹣x）=﹣xe x，又f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=xe x．故答案为：xe x．12．（4分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于60m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）【解答】解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，则Rt△ACD中，∠C=30°，AD=46m，AB=，根据正弦定理，，得BC===60m．故答案为：60m．13．（4分）过函数f（x）=x3﹣3x上的点M（﹣2，﹣2）的切线方程是y=﹣2和y=9x+16．【解答】解：设切点坐标为（t，t3﹣3t），∵f′（x）=3x2﹣3，∴切线斜率为3t2﹣3=3（t2﹣1），则切线方程为y﹣（t3﹣3t）=3（t2﹣1）（x﹣t），∵切线过点M（﹣2，﹣2），故坐标M满足切线方程，∴﹣2﹣（t3﹣3t）=3（t2﹣1）（﹣2﹣t），整理得2t3+6t2﹣8=（t+2）2（t﹣1）=0解得t=﹣2或t=1．当t=﹣2时，t3﹣3t=﹣2，3t2﹣3=9；当t=1时，t3﹣3t=﹣2，3t2﹣3=0；故切点为（﹣2，﹣2）时，切线斜率为9，则切线方程为y+2=9（x+2）；切点为（1，﹣2）时，切线斜率为0，则切线方程为y+2=0（x﹣1）；∴切线方程为9x﹣y+16=0或y=﹣2故答案为：9x﹣y+16=0或y=﹣2．14．（4分）在△ABC所在平面上有三点P、Q、R，满足，，，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为1：3．【解答】解：由可得，∴==，∴=2∴P为线段AC的一个三等分点，同理可得Q、R分别AB，BC的一个三等分点，△PQR的面积为△ABC的面积减去三个小三角形面积，∴S=S△ABC﹣△PQR（++）=S△ABC﹣（×+×+×）=S△ABC﹣（S△ABC+S△ABC+S△ABC）=S△ABC∴所求的面积比为1：3，故答案为：1：315．（4分）已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c取值范围为（2e+，e2+2）．【解答】解：函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），如图，不妨设a＜b＜c，由已知条件可知：0＜a＜1＜b＜e＜c＜e2，∵﹣lna=lnb，∴ab=1∵lnb=2﹣1nc∴bc=e2，∴a+b+c=b+，（1＜b＜e），由（b+）′=1﹣＜0，故（1，e）为减区间，∴2e+＜a+b+c＜e2+2，∴a+b+c的取值范围是：（2e+，e2+2）．故答案为：（2e+，e2+2）．三．解答题（本大题有5小题，共80分）16．（13分）已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，集合B为函数y=x2﹣2x+a的值域，集合C={x|x2﹣ax﹣4≤0}，命题p：A∩B≠∅；命题q：A⊆C．（1）若命题p为假命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p∧q为真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：∵y=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+a﹣1≥a﹣1∴A={x|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，B={y|y≥a﹣1}，C={x|x2﹣ax﹣4≤0}，（1）由命题p为假命题可得A∩B=∅∴a﹣1＞2∴a＞3（2）∵命题p∧q为真命题命题∴p，q都为真命题即A∩B≠∅且A⊆C．∴解可得0≤a≤317．（13分）叙述并证明余弦定理．【解答】解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍；或在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有a2=b2+c2﹣2bccosA，b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．证法一：如图，====b2﹣2bccosA+c2即a2=b2+c2﹣2bccosA同理可证b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC；证法二：已知△ABC中A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则C（bcosA，bsinA），B（c，0），∴a2=|BC|2=（bcosA﹣c）2+（bsinA）2=b2cos2A﹣2bccosA+c2+b2sin2A=b2+c2﹣2bccosA，同理可证b2=a2+c2﹣2accosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．18．（13分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+b+1（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）=．（1）求a、b的值；（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）函数g（x）=ax2﹣2ax+b+1=a（x﹣1）2+1+b﹣a，因为a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故，解得．…．（6分）（2）由已知可得f（x）=x+﹣2，所以，不等式f（2x）﹣k•2x≥0可化为2x+﹣2≥k•2x，可化为1+﹣2•≥k，令t=，则k≤t2﹣2t+1．因x∈[﹣1，1]，故t∈[，2]．故k≤t2﹣2t+1在t∈[，2]上能成立．记h（t）=t2﹣2t+1，因为t∈[，2]，故h（t）max =h（2）=1，所以k的取值范围是（﹣∞，1]．…（14分）19．（13分）已知向量=（cosωx﹣sinωx，sinωx），=（﹣cosωx﹣sinωx，2cosωx），设函数f（x）=•+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若y=f（x）的图象经过点（，0）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=•+λ=（cosωx﹣sinωx）×（﹣cosωx﹣sinωx）+sinωx ×2cosωx+λ=﹣（cos2ωx﹣sin2ωx）+sin2ωx+λ=sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin（2ωx﹣）+λ∵图象关于直线x=π对称，∴2πω﹣=+kπ，k∈z∴ω=+，又ω∈（，1）∴k=1时，ω=∴函数f（x）的最小正周期为=（2）∵f（）=0∴2sin（2××﹣）+λ=0∴λ=﹣∴f（x）=2sin（x﹣）﹣由x∈[0，]∴x﹣∈[﹣，]∴sin（x﹣）∈[﹣，1]∴2sin（x﹣）﹣=f（x）∈[﹣1﹣，2﹣]故函数f（x）在区间[0，]上的取值范围为[﹣1﹣，2﹣]20．（14分）一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD（如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上），设∠BOC=θ，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．（1）求V关于θ的函数表达式；（2）求θ的值，使体积V最大；（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．【解答】解：（1）梯形ABCD的面积S==sinθcosθ+sinθ，θ∈（0，）．…（2分）体积V（θ）=10（sinθcosθ+sinθ），θ∈（0，）．…（3分）（2）V′（θ）=10（2cos2θ+cosθ﹣1）=10（2cosθ﹣1）（cosθ+1）．令V′（θ）=0，得cosθ=，或cosθ=﹣1（舍）．∵θ∈（0，），∴θ=．…（5分）当θ∈（0，）时，＜cosθ＜1，V′（θ）＞0，V（θ）为增函数；当θ∈（，）时，0＜cosθ＜，V′（θ）＜0，V（θ）为减函数．…（7分）∴当θ=时，体积V最大．…（8分）（3）木梁的侧面积S=10（AB+2BC+CD）=20（cosθ+2sin+1），θ∈（0，）．侧∴表面积S=2（siθcosθ+sinθ）+20（cosθ+2sin+1），θ∈（0，）．…（10分）设g（θ）=cosθ+2sin+1，θ∈（0，）．∵g（θ）=﹣2sin2+2sin+2，∴当sin=，即q=时，g（q）最大．…（12分）又由（2）知θ=时，sinθcosθ+sinθ取得最大值，∴θ=时，木梁的表面积S最大．…（13分）综上，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大．…（14分）21．（4分）已知函数f（x）=x+，h（x）=．（Ⅰ）设函数F（x）=f（x）﹣h（x），求F（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）设a∈R，解关于x的方程log4[f（x﹣1）﹣]=log2h（a﹣x）﹣log2h（4﹣x）；（Ⅲ）试比较f（100）h（100）﹣与的大小．【解答】解：（Ⅰ）由F（x）=f（x）﹣h（x）=x+﹣（x≥0）知，F′（x）=，令F′（x）=0，得x=．当x∈（0，）时，F′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，F′（x）＞0．故x∈（0，）时，F（x）是减函数；故x∈（，+∞）时，F（x）是增函数．F（x）在x=处有极小值且F（）=．（Ⅱ）原方程可化为log4（x﹣1）+log2 h（4﹣x）=log2h（a﹣x），即log 2（x﹣1）+log2=log2，⇔⇔①当1＜a≤4时，原方程有一解x=3﹣；②当4＜a＜5时，原方程有两解x=3；③当a=5时，原方程有一解x=3；④当a≤1或a＞5时，原方程无解．（Ⅲ）设数列{a n}的前n项和为s n，且s n=f（n）g（n）﹣从而有a1=s1=1．当2＜k≤100时，a k=s k﹣s k﹣1=，a k﹣=[（4k﹣3）﹣（4k﹣1）]==＞0．即对任意的2＜k≤100，都有a k＞．又因为a1=s1=1，所以a1+a2+a3+…+a100＞=h（1）+h（2）+…+h（100）．故f（100）h（100）﹣＞．四、自主招生题：（10分，供学有余力的同学选做，可按实际得分加入本科目考试总分）22．（10分）求函数f（x）=+++++的最大值．【解答】解：设：）a1+a2+a3+a4+a5+a6=（f（x），f（x））|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|=所以：当且仅当：==即sinx=0，即x=kπ时，函数赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数图象定义域 (0,)+∞值域 R过定点图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)log a y x=xyO (1,0)log a y x=。

福建省莆田第六中学高三数学9月月考试题(A卷)理

莆田第六中2018-2019学年高三上学期9月月考理科数学（A卷）（时间120分钟，满分150分）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、若复数z满足，其中i为虚数单位，则Z 的共轭复数是等于（）A．B．C．D．2、已知集合，，则( )A．(0,1) B．(0,2] C．[2,4) D．(1, 2]3、曲线在点(1,1) 处的切线方程为（）A．B．C．D．4、已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值为（）A．B．C．D．5、若函数在上单调递减，则的值可能是（）A.B. C.D.6、中，若，则（）A．B．C．是直角三角形D．或7、在如图所示的正方向中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（）（附：若，则，.A.906 B ．1359 C.2718 D.34138、二项式x22的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中常数项是 ( ) A ．180 B ．90 C ．45 D ．3609、已知函数在区间上的最小值是－2，则的最小值等于( )A.32B.23C ．2D ．310、若f (x )＝3sin x －4cos x 的一条对称轴方程是x ＝a ，则a 的取值范围可以是 ( )A. B.C.D.11、设函数（，，是常数，，），且函数的部分图象如图所示，则有（）A．B．C．D．12、已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为，则=（）A.3 B． C.D．4第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

）13、已知，，则__________．14、如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为，若直角三角形的两条直角边的长分别为，则．15、在中,角、、所对的边分别为、、，，且，则面积的最大值为．16、已知圆与曲线有唯一的公共点，且公共点的横坐标为，若，则．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（本小题满分12分）已知函数f (x )＝2sin x ·sin 6π.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)当x ∈2π时，求函数f (x )的值域．18、（本小题满分12分）在中，分别是角的对边，且，（1）求的值；（2）若，求的面积.19、（本小题满分12分）已知圆，直线，动圆与圆相外切，且与直线相切.设动圆圆心的轨迹为.（1）求的方程；（2）定点，，为上的两个动点，若直线与直线垂直，求证：直线恒过定点.20、（本小题满分12分）汽车店是一种以“四位一体”为核心的特许经营模式，包括整车销售、零配件销售、售后服务、信息反馈等。

福建省莆田市仙游一中2015届高三上学期期中考试数学理试题 Word版含答案

莆田市仙游一中2015届高三上学期期中考试数学（理科）试卷（命题人：杨超拔，满分：150分，答卷时间: 120分钟）一．选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）1. 设为向量，则“a b a b ⋅=”是“b a //”的（） A ．充分必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件2．已知正角α的终边上一点的坐标为（32cos,32sinππ），则角α的最小值为( ) A ．65π B ．32π C ．35π D ．611π3.下列命题中是假命题．．．的是（）A ．,)1()(,342是幂函数使+-⋅-=∈∃m m x m x f m R ),0(+∞且在上递减 B ．有零点函数a x x x f a -+=>∀ln ln )(,02 C ．βαβαβαsin cos )cos(,,+=+∈∃使R ;D ．,()sin(2)f x x ϕϕ∀∈=+R 函数都不是偶函数4．将函数x x f y sin )('=的图象向左平移4π个单位，得到函数x y 2sin 21-=的图象，则)(x f 是（）A ．2cos xB ．x sin 2C ．sin xD ．cos x5．若4sin()sin cos()cos 5αββαββ---=，且α为第二象限角，则tan()4πα+=（）A ．7B ．17C ．7-D ．17-6.若函数[]1,1)(),(,0)()()(),(11-=⎰-为区间则称满足x g x f dx x g x f x g x f 上的一组正交函数，给出三组函数：①x x g x x f 21cos )(,21sin)(==；②1)(,1)(-=+=x x g x x f ；③2)(,)(x x g x x f ==其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是（）A.0B.1C.2D.3()的值域为函数x x x f 3123)(.7-+-= A.[1，2] B[1，2] C.[1,3] D[1,23]8的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐 A ．2 B ． 8 C ． 4 D ．69.已知向量,,a b c 满足4,22,a b ==a 与b 的夹角为4π，()()1c a c b -⋅-=-，则c a-的最大值为（）1211 10. 已知定义在[)+∞,0上的函数()x f ，当[]1,0∈x 时，;2142)(--=x x f 当1＞x 时，()()a R a x af x f ,,1∈-=为常数.下列有关函数()x f 的描述：①当2=a 时，423=⎪⎭⎫⎝⎛f ； ②当，＜1a 函数()x f 的值域为[]2,2-；③当0＞a 时，不等式()212-≤x ax f 在区间[)+∞,0上恒成立；④当01-＜＜a 时，函数()x f 的图像与直线()*-∈=N n a y n 12在[]n ，0内的交点个数为()211nn -+-.其中描述正确的个数有( ) A.4 B.3 C.2D.1二．填空题（本大题有5小题，每小题4分，共20分）11．定义在R 上的奇函数)(x f ，当0<x 时，x xe x f -=)(，则当0>x 时，=)(x f ______ . 12.如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67，30，此时气球的高是46m ，则河流的宽度BC 约等于 m . （用四舍五入法将结果精确到个位。

福建省莆田第六中学高三数学第一次模拟考试试题理(实验班,无答案)新人教A版

莆田第六中学2014届高三理科实验班第一次检测满分：150分考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．设i z -=1（为虚数单位），则=+zz 22（） A ．i --1 B ．i +-1 C ．i +1 D ． i -12、设集合2{|450}A x x x =--=，集合{}210y y -=，则A B =（）（A ）{1} （B ）{1}- （C ）{1,1,5}- （D ）∅ 3. 设集合},214|{},,212|{Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+==则（） A. M N ⊂ B. M N ⊃ C. M N = D. M N ⋂=∅4.已知x y ，满足约束条件5000x y x y y ++≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则2+4z x y =的最小值为（） A . 14- B. 15- C. 16- D. 17-5．已知命题2:[1,2],1p x x a ∀∈+≥，命题2:,210q x R x ax ∃∈++=，若命题“p q ∧”为真命题，则实数a 的取值范围是 ( ) A.21a a ≤-≥或 B.12a a ≤-≤≤或1 C.1a ≥ D.21a -≤≤ 6、设函数()f x 在R 上可导,其导函数为()f x ',且函数()f x 在x =－2处取得极小值,则函数y=xf'(x )的图象可能是（）7．若等边ABC ∆的边长为2，平面内一点M 满足1132CM CB CA =+，则MA MB ⋅=( ) A.98 B.913 C ．98- D ．913- 8．已知点O 是ABC ∆外心， 3,5==AC AB ，则AO BC ⋅=（）A ．316B ． 316-C ．8D ． 8-9．设不等式组1103305390x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩表示的平面区域为D ，若指数函数x y a =的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是（）AA.(1,3]B.[2,3]C.(1,2]D.[ 3, +∞)10．已知函数()f x 定义在R 上的奇函数，当0x <时，()(1)x f x e x =+，给出下列命题：①当0x >时，()(1);xf x e x =- ②函数()f x 有2个零点③()0f x >的解集为(1,0)(1,)-+∞ ④12,x x R ∀∈，都有12|()()|2f x f x -<其中正确命题个数是B A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（每小题4分，共20分）11．已知||1,||2,a b a b a ==+且与垂直，则a b 与的夹角是。

福建省莆田第六中学届高三数学上学期12月月考试题理【含答案】

莆田六中2017届高三12月月考理科数学满分：150分考试时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题有且只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合{}1,0,1,2A =-，{}2|log (1)0B x x =+>，则A B =（）A ．{}0,1,2B ．(0,2]C ．{}1,2D ．[1,2]2.已知实数．．,a b 满足(1)(1)a i bi =+⋅-，其中i 是虚数单位，则||a bi -= （）A ．3B ． 2C ．5D 3.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若36-=a ，216=S ，则5a 等于（） A ．3- B ．1- C ．1 D ．44．“1a =-”是“关于,x y 的方程组15x ay ax y +=⎧⎨+=⎩无解”的（）条件。

A ．充分但不必要B ．必要但不充分C ．充分D ．既不充分也不必要 5.设,a b 是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是（）A ．存在唯一直线l ，使得l a ⊥，且l b ⊥B ．存在唯一直线l ，使得//l a ，且l b ⊥C ．存在唯一平面α，使得a α⊂，且//b αD ．存在唯一平面α，使得a α⊂，且b α⊥6．在△ABC 中，3AB =，AC =3B π=，则△ABC 的面积是（）A ．4 B ． 2．．7.如图，周长为1的圆的圆心C 在y 轴上，顶点(0,1)A ，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长AM x =，直线AM 与x 轴交于点(,0)N t ，则函数()t f x =的图像大致为（）8.《九章算术》中，将底面是直角形的直三棱柱称之为“堑堵” ，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该 “堑堵”的侧面积为（） .A. 2B. 224+C. 244+D. 246+9. 已知y x ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x ，若不等式1≥-y ax 恒成立，则实数a 的取值范围是( ).A .⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，527 B . ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，511 C . ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，53 D . [)∞+，2 10.已知非零向量,a b 的夹角为60，且满足22a b -=，则a b ⋅的最大值为（） A ．21B ．1C ．2D ．3 11.已知点B A M ，，，)01(是椭圆1422=+y x 上的动点，且0MA MB ⋅=，则MA BA ⋅的取值范围是（）. A .⎥⎦⎤⎢⎣⎡132， B . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡932， C . []91，D .⎥⎦⎤⎢⎣⎡336，12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数1,()0,x Qf x x R x Q∈⎧=⎨∈∈⎩且称为狄利克雷函数，则关于这个函数()f x 有以下四个命题： ①(())1f f x =； ②函数是偶函数；③存在一个非零实数T ，使得()()f x T f x +=对任意x R ∈恒成立；④存在三个点11(,())A x f x ，22(,())B x f x ，33(,())C x f x ，使得△ABC 为等边三角形。

2014-2015学年福建省莆田一中高三(上)期中数学试卷和答案(理科)

2014-2015学年福建省莆田一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A={x|﹣2＜x＜3}，B={x|x≤1或x≥4}．若全集U=R，则A∩∁U B=（）A．{x|1＜x≤3}B．{x|1＜x＜3}C．{x|1≤x＜3}D．{x|x≤1或x≥3}2．（5分）若z=1﹣i（i为虚数单位），则z（z﹣1）等于（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．2i D．﹣2i3．（5分）下列函数f（x）中，满足“对定义域内的任意一个x都有f（﹣x）+f （x）=0，且在区间（0，+∞）上恒有f′（x）＞0”的是（）A．f（x）=B．f（x）=x2C．f（x）=x3D．f（x）=e x4．（5分）设函数f（x）=x﹣lnx（x＞0），则y=f（x）（）A．在区间（，1），（l，e）内均有零点B．在区间（，1），（l，e）内均无零点C．在区间（，1）内无零点，在区间（l，e）内有零点D．在区间（，1）内有零点，在区间（l，e）内无零点5．（5分）给出下列结论，其中错误的是（）A．若命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0B．∀x∈R，2x＞x2C．“若am2≤bm2，则a＜b”是假命题D．“a＞1，b＞1”是“ab＞1”的充分条件6．（5分）若函数f（x）与函数g（x）=2x互为反函数，且f（a）+f（b）=4，则+的最小值为（）A．1 B．C．D．7．（5分）给出如下性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x=对称；③在（﹣，）上是增函数．则同时具有上述性质的一个函数是（）A．y=sin（+）B．y=cos（﹣）C．y=sin（2x﹣）D．y=cos （2x+）8．（5分）已知x，y满足，且x2+y2的最小值为8，则正实数a的取值范围是（）A．（0，2]B．[2，5]C．[3，+∞）D．（0，5]9．（5分）已知a是非负实数，则函数f（x）=﹣2的图象不可能是（）A．B．C．D．10．（5分）一次研究性课堂上，老师给出了函数，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：①函数f（x）的值域为（﹣1，1）；②若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）（x）），则对任意n∈N*③若规定f1（x）=f（x），f n（x）=f（f n﹣1恒成立．你认为上述三个命题中正确的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）11．（4分）曲线y=x3﹣x+3在点（1，3）处的切线方程为．12．（4分）计算定积分（x2+sinx）dx=．13．（4分）已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为．14．（4分）设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则．类比这个结论可知：四面体A﹣BCD的四个面分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体A﹣BCD的体积为V，则R=．15．（4分）已知数列{a n}的通项公式为a n=sin+ncos，其前n项的和为S n，则S3n=．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤.请按照题目顺序在第Ⅱ卷各个题目的答题区域内作答.）16．（13分）已知在等差数列{a n}中，a1=2，a4=11，在等比数列{b n}中，b1=，b4=a11，（Ⅰ）求等比数列{b n}的通项公式b n；（Ⅱ）求证数列{b n+1}不可能是等比数列．17．（13分）已知函数f（x）=（其中|ϕ|＜）在区间（0，]上的图象如图所示，则：（Ⅰ）求f（x）的在区间（0，]上的解析式；（Ⅱ）若f（x）=m恒有实数解，求实数m的取值范围．18．（13分）已知向量=（1+sin2x，sinx﹣cosx），=（1，sinx+cosx），函数f（x）=•．（Ⅰ）求f（x）的最大值及相应的x的值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C所对边，若f（）=2，a=2，求△ABC面积的最大值．19．（13分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣2ax，其中a∈R．（Ⅰ）若x=1是函数f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）若f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，求a的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）=ln（x+）﹣ax，其中a∈R且a≠0（Ⅰ）讨论f（x）的单调区间；（Ⅱ）若直线y=ax的图象恒在函数f（x）图象的上方，求a的取值范围；（Ⅲ）若存在﹣＜x1＜0，x2＞0，使得f（x1）=f（x2）=0，求证：x1+x2＞0．选修4-2：矩阵与变换21．（7分）二阶矩阵M对应的变换将点（1，﹣1）与（﹣2，1）分别变换成点（﹣1，﹣1）与点（0，﹣2），（Ⅰ）求矩阵M；（Ⅱ）设直线l在变换M作用下得到了直线m：x﹣2y=4，求直线l的方程．选修4-4：坐标系与参数方程22．（7分）已知直线l的参数方程：（t为参数）和圆C的极坐标方程：．（Ⅰ）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l和圆C的位置关系．选修4-5：不等式选讲23．已知不等式x2﹣5ax+b＞0的解集为{x|x＞4或x＜1}（1）求实数a，b的值；（2）若0＜x＜1，f（x）=，求f（x）的最小值．2014-2015学年福建省莆田一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A={x|﹣2＜x＜3}，B={x|x≤1或x≥4}．若全集U=R，则A∩∁U B=（）A．{x|1＜x≤3}B．{x|1＜x＜3}C．{x|1≤x＜3}D．{x|x≤1或x≥3}【解答】解：∵A={x|﹣2＜x＜3}，B={x|x≤1或x≥4}，且全集U=R，∴∁U B={x|1＜x＜4}，则A∩∁U B={x|1＜x＜3}，故选：B．2．（5分）若z=1﹣i（i为虚数单位），则z（z﹣1）等于（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．2i D．﹣2i【解答】解：∵z=1﹣i，∴z（z﹣1）=（1﹣i）（﹣i）=﹣1﹣i，故选：A．3．（5分）下列函数f（x）中，满足“对定义域内的任意一个x都有f（﹣x）+f （x）=0，且在区间（0，+∞）上恒有f′（x）＞0”的是（）A．f（x）=B．f（x）=x2C．f（x）=x3D．f（x）=e x【解答】解：由题意知，f（x）为奇函数，且在单调区间上为增函数，选项A：在单调区间上单调递减，选项B：偶函数，选项D：非奇非偶函数，故选：C．4．（5分）设函数f（x）=x﹣lnx（x＞0），则y=f（x）（）A．在区间（，1），（l，e）内均有零点B．在区间（，1），（l，e）内均无零点C．在区间（，1）内无零点，在区间（l，e）内有零点D．在区间（，1）内有零点，在区间（l，e）内无零点【解答】解：由题得，令f′（x）＞0得x＞3；令f′（x）＜0得0＜x＜3；f′（x）=0得x=3，故知函数f（x）在区间（0，3）上为减函数，在区间（3，+∞）为增函数，在点x=3处有极小值1﹣ln3＜0；又，，．故选：C．5．（5分）给出下列结论，其中错误的是（）A．若命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0B．∀x∈R，2x＞x2C．“若am2≤bm2，则a＜b”是假命题D．“a＞1，b＞1”是“ab＞1”的充分条件【解答】解：A．根据特称命题的否定是全称命题知A正确；B．x=3时，23＜32，∴B错误；C．若am2≤bm2，当m2=0时a，b取任意值，即得不到a＜b，∴该命题是假命题，即C正确；D．a＞1，b＞1时，能得到ab＞1，所以“a＞1，b＞1”是“ab＞1”的充分条件，即D正确；∴结论错误的是B．故选：B．6．（5分）若函数f（x）与函数g（x）=2x互为反函数，且f（a）+f（b）=4，则+的最小值为（）A．1 B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）与函数g（x）=2x互为反函数，∴函数f（x）的解析式为f（x）=log2x，∵f（a）+f（b）=4，∴log2a+log2b=log2ab=4，∴ab=24=16，∴+≥2=当且仅当=即a=b=4时取等号，∴+的最小值为故选：B．7．（5分）给出如下性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x=对称；③在（﹣，）上是增函数．则同时具有上述性质的一个函数是（）A．y=sin（+）B．y=cos（﹣）C．y=sin（2x﹣）D．y=cos （2x+）【解答】解：A，y=sin（+）的最小正周期T==4π，故不满足；B，y=cos（﹣）的最小正周期T==4π，故不满足；C，令y=f（x）=sin（2x﹣），则f（）=sin（﹣）=sin=1，为最大值，∴f（x）=sin（2x﹣）的图象关于直线x=对称，且其周期T==π，同时具有性质①、②，符号题意；由2k≤2x﹣≤2k，k∈Z解得：x∈[k]，k∈Z，从而当k=1时，有函数f（x）=sin（2x﹣）在（﹣，）上是增函数．D，y=cos（2x+），由2kπ≤2x+≤2kπ+π，k∈Z可解得其单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，故不符合③；故选：C．8．（5分）已知x，y满足，且x2+y2的最小值为8，则正实数a的取值范围是（）A．（0，2]B．[2，5]C．[3，+∞）D．（0，5]【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：圆心（0，0）到直线x+y﹣4=0的距离d=，此时d2=8，由，解得，即O在直线x+y﹣4=0的垂足为B（2，2），则（2，2）满足不等式ax﹣y﹣2≤0即可．即2a﹣2﹣2≤0，解得a≤2，即正实数a的取值范围是0＜a≤2，故选：A．9．（5分）已知a是非负实数，则函数f（x）=﹣2的图象不可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由1＞＞0，∴函数f（x）=﹣2＜0，函数的图象在x轴下方，∴B正确．a=0时D正确．由a是实数，函数f（x）=﹣2∴当a→0时，y→﹣1，当a≠0时，由无限的思想可知，当x→+∞时，y→﹣2，当x→﹣∞时，y→﹣1，A正确；∴满足题目要求的图象，A、B、D．故选：C．10．（5分）一次研究性课堂上，老师给出了函数，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：①函数f（x）的值域为（﹣1，1）；②若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）③若规定f1（x）=f（x），f n（x）=f（f n（x）），则对任意n∈N*﹣1恒成立．你认为上述三个命题中正确的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：∵f（﹣x）﹣f（x）∴f（x）为奇函数∵∵f（x）为奇函数，∴当x＜0是，f（x）∈（﹣1，0）总之，f（x）∈（﹣1，1）故甲对当为增函数，∵f（x）为奇函数∴当x＜0是，f（x）∈（﹣1，0）为增函数所以f（x）在（﹣1，1）上为增函数故当x1≠x2时，则一定有f（x1）≠f（x2）故乙对若规定f1（x）=f（x），f n（x）=f（f n（x）），﹣1则当n=1时，，满足设n=k时，满足（x）=f（f K（x））==当n=k+1时，f K+1即对任意n∈N*恒成立故丙对故选：D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）11．（4分）曲线y=x3﹣x+3在点（1，3）处的切线方程为2x﹣y+1=0．【解答】解：y′=3x2﹣1，令x=1，得切线斜率2，所以切线方程为y﹣3=2（x﹣1），即2x﹣y+1=0．故答案为：2x﹣y+1=0．12．（4分）计算定积分（x2+sinx）dx=．【解答】解：由题意，定积分===．故答案为：．13．（4分）已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为．【解答】解：根据题意设三角形的三边长分别为a，a，2a，∵2a＞a＞a，∴2a所对的角为最大角，设为θ，则根据余弦定理得：cosθ==﹣．故答案为：﹣14．（4分）设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则．类比这个结论可知：四面体A﹣BCD的四个面分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体A﹣BCD的体积为V，则R=．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为则R=；故答案为：．15．（4分）已知数列{a n}的通项公式为a n=sin+ncos，其前n项的和为S n，则S3n=．【解答】解：∵a n=sin+ncos，又f（n）=sin+cos，是以T==3的周期函数，∴a1+a2+a3=+0+3×1=，a4+a5+a6=+5×（﹣）+0+6×1=，…∴s3n=（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+…+（a3n﹣2+a3n﹣1+a3n）=．故答案为．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤.请按照题目顺序在第Ⅱ卷各个题目的答题区域内作答.）16．（13分）已知在等差数列{a n}中，a1=2，a4=11，在等比数列{b n}中，b1=，b4=a11，（Ⅰ）求等比数列{b n}的通项公式b n；（Ⅱ）求证数列{b n+1}不可能是等比数列．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则∵a1=2，a4=11，∴d==3，∴a n=a1+（n﹣1）d=3n﹣1，∴b1==4，b4=32∴q3=8即q=2∴b n=b1q n﹣1=4×2n﹣1=2n+1（6分）（Ⅱ）若{b n+1}是等比数列，则b1+1，b2+1，b3+1是等比数列，由（Ⅰ）可得b1=4，b2=8，b3=16，显然{b n+1}的前3项依次为5，9，17，由于5×17=85，92=81∴b1+1，b2+1，b3+1不是等比数列，∴数列{b n+1}不可能是等比数列．（13分）17．（13分）已知函数f（x）=（其中|ϕ|＜）在区间（0，]上的图象如图所示，则：（Ⅰ）求f（x）的在区间（0，]上的解析式；（Ⅱ）若f（x）=m恒有实数解，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由图象知A=2，T=4（）=4π，∴ω==，∴Φ）由图象知：（，2）是五点法作图中的第二点，∴×+ϕ=即ϕ=，∴f（x）=2sin（x+），x∈（0，]．（Ⅱ）方程f（x）=m恒有实数解⇔m∈{f（x）|x∈[﹣4，]}，①当x∈（0，]时，由图象可知f（x）∈[0，2]，②当x∈[﹣4，0]时，f（x）=x2+4x+1=（x+2）2﹣3，∴f（x）min=f（﹣2）=﹣3，f（x）max=f（﹣4）=f（0）=1，∴此时f（x）∈[﹣3，1]，综上所述，函数f（x）的值域为[﹣3，2]，∴f（x）=m恒有实数解时，实数m的取值范围为[﹣3，2]．解法二：方程f（x）=m恒有实数解⇔m∈{f（x）|x∈[﹣4，]}，在同一坐标系中作出函数f（x）在x∈[﹣4，0]上的图象如下，由图象可知函数f（x）的值域为[﹣3，2]，∴f（x）=m恒有实数解时，实数m的取值范围为[﹣3，2]．18．（13分）已知向量=（1+sin2x，sinx﹣cosx），=（1，sinx+cosx），函数f（x）=•．（Ⅰ）求f（x）的最大值及相应的x的值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C所对边，若f（）=2，a=2，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵=（1+sin2x，sinx﹣cosx），=（1，sinx+cosx），∴f（x）=•=1+sin2x+sin2x﹣cos2x，=1+sin2x﹣cos2x，=1+sin（2x﹣），∴当2x﹣=2kπ+即x=+kπ，k∈Z时，函数取得最大值1+．（Ⅱ）由（I）知f（）=2时，sin（A﹣）=，∴A﹣=2kπ+或A﹣=2kπ+，即A=+2kπ或A=π+2kπ，k∈Z，∵A是三角形的一个内角，∴A=，即△ABC是直角三角形．∵a=2，∴b2+c2=4，=bc≤=1（当且仅当b=c=时，取得最大值），∴S△ABC∴△ABC面积的最大值为1．19．（13分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣2ax，其中a∈R．（Ⅰ）若x=1是函数f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）若f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由，得f′（x）=2x2﹣2ax﹣2a．因为x=1是函数f（x）的极值点，所以f′（1）=2﹣2a﹣2a=0，解得．经检验x=1为函数f（x）的极值点，所以．（Ⅱ）∵f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，∴f'（x）=2x2﹣2ax﹣2a≥0在区间（2，+∞）上恒成立，∴a≤对区间x∈（2，+∞）恒成立，令g（x）=，则g'（x）==∴当x∈（2，+∞）时，g'（x）＞0，有g（x）=＞g（2）=，∴a的取值范围为（﹣∞，]．20．（14分）已知函数f（x）=ln（x+）﹣ax，其中a∈R且a≠0（Ⅰ）讨论f（x）的单调区间；（Ⅱ）若直线y=ax的图象恒在函数f（x）图象的上方，求a的取值范围；（Ⅲ）若存在﹣＜x1＜0，x2＞0，使得f（x1）=f（x2）=0，求证：x1+x2＞0．【解答】解：（I）f（x）的定义域为．其导数，①当a＜0时，f'（x）＞0，函数在上是增函数；②当a＞0时，在区间上，f'（x）＞0；在区间（0，+∞）上，f'（x）＜0．∴f（x）在上是增函数，在（0，+∞）是减函数．（II）当a＜0时，取，则，不合题意．当a＞0时令h（x）=ax﹣f（x），则，问题化为求h（x）＞0恒成立时a的取值范围．由于，∴在区间上，h'（x）＜0；在区间上，h'（x）＞0．∴h（x）的最小值为，所以只需即，∴，∴，（Ⅲ）由于当a＜0时，函数在上是增函数，不满足题意，所以a＞0构造函数：g（x）=f（﹣x）﹣f（x），（）∴，则g′（x）=﹣+2a=+2a，∵，∴0＜x2，0＜a2x2＜1，﹣1＜a2x2﹣1＜0，＜﹣2a，则+2a＜﹣2a+2a=0，即g′（x）＜0，∴函数g（x）在区间上为减函数．∵，∴g（x1）＞g（0）=0，于是f（﹣x1）﹣f（x1）＞0，又f（x1）=0，f（﹣x1）＞0=f（x2），由f（x）在（0，+∞）上为减函数可知x2＞﹣x1，即x1+x2＞0．选修4-2：矩阵与变换21．（7分）二阶矩阵M对应的变换将点（1，﹣1）与（﹣2，1）分别变换成点（﹣1，﹣1）与点（0，﹣2），（Ⅰ）求矩阵M；（Ⅱ）设直线l在变换M作用下得到了直线m：x﹣2y=4，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设矩阵M=，则：=，=，即，解得∴M=．（Ⅱ）设（x，y）经M的变换作用后变为（x'，y'），则：又∵x'﹣2y'=4，∴（x+2y）﹣2（3x+4y）=4，∴5x+6y+4=0．即直线l的方程为：5x+6y+4=0．选修4-4：坐标系与参数方程22．（7分）已知直线l的参数方程：（t为参数）和圆C的极坐标方程：．（Ⅰ）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l和圆C的位置关系．【解答】解：（Ⅰ）消去参数t，得直线l的普通方程为y=2x+1，，即ρ=2（sinθ+cosθ），两边同乘以ρ得ρ2=2（ρsinθ+ρcosθ），得⊙C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2；（Ⅱ）圆心C到直线l的距离，所以直线l和⊙C相交．选修4-5：不等式选讲23．已知不等式x2﹣5ax+b＞0的解集为{x|x＞4或x＜1}（1）求实数a，b的值；（2）若0＜x＜1，f（x）=，求f（x）的最小值．【解答】解：（1）由题意可得，解得，∴实数a，b的值分别为1，4；（2）由（1）知f（x）=+∵0＜x＜1，∴0＜1﹣x＜1，∴＞0，＞0，∴f（x）=+=（+）[x+（1﹣x）]=5++≥5+2=9当且仅当=即x=时，等号成立．∴f（x）的最小值为9．。

2014-2015年福建省莆田市哲理中学高二上学期数学期中试卷带答案(理科)

2014-2015学年福建省莆田市哲理中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）设a∈R，则a＞1是＜1 的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）已知命题p：∃x∈R，使tanx=1，其中正确的是（）A．¬p：∃x∈R，使tanx≠1 B．¬p：∃x∉R，使tanx≠1C．¬p：∀x∈R，使tanx≠1 D．¬p：∀x∉R，使tanx≠13．（5分）已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人得分的中位数之和是（）A．62 B．63 C．64 D．654．（5分）要从已编号（1～60）的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是（）A．5、10、15、20、25、30 B．3、13、23、33、43、53C．1、2、3、4、5、6 D．2、4、8、16、32、485．（5分）已知含5个数的组数1，2，3，4，a的平均数是3，则该数组的方差是（）A．1 B．10 C．4 D．26．（5分）已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）A．4 B．5 C．7 D．87．（5分）如图的程序运行后输出的结果为（）A．0 B．1 C．2 D．38．（5分）椭圆=1上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为（）A．20 B．22 C．24 D．289．（5分）给出命题p：若“•＞0，则△ABC为锐角三角形”；命题q：“实数a，b，c满足b2=ac，则a，b，c成等比数列”．那么下列结论正确的是（）A．p且q与p或q都为真B．p且q为真而p或q为假C．p且q为假且p或q为假D．p且q为假且p或q为真10．（5分）给出下列命题：（1）等比数列{a n}的公比为q，则“q＞1”是“”的既不充分也不必要条件；（2）“x≠1”是“x2≠1”的必要不充分条件；（3）函数的y=lg（x2+ax+1）的值域为R，则实数﹣2＜a＜2；（4）“a=1”是“函数y=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”的充要条件．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置11．（4分）若六进制数Im05（6）（m为正整数）化为十进数为293，则m=．12．（4分）椭圆上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于．13．（4分）对任意实数x，（a2﹣1）x2+（a﹣1）x﹣1＜0都成立，则a的取值范围是．14．（4分）以边长为2的正方形的四个顶点为圆心各作一个半径为1的四分之一圆周，如图，现向正方体内任投一质点，则质点落入图中阴影部分的概率为．15．（4分）①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件．③是的充要条件；④“am2＜bm2”是“a＜b”的充分必要条件．以上说法中，判断错误的有．三、解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（13分）（1）两个焦点坐标分别是（0，﹣2）和（0，2）且过（﹣，）求该椭圆的标准方程（2）已知椭圆过两点A（0，2）、B（，），求该椭圆的标准方程．17．（13分）（1）求证：关于x的一元二次不等式ax2﹣ax+1＞0对于一切实数x 都成立的充要条件是0＜a＜4（2）设0＜a，b，c＜1，求证：（1﹣a）b，（1﹣b）c，（1﹣c）a不同时大于．18．（13分）已知p：对任意m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立；q：存在x，使不等式x2+ax+2＜0成立，若“p或q”为真，“p且q”为假，求a的取值范围．19．（13分）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1，2，3，4，5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：（I）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有4件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值；（Ⅱ）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2，这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．20．（14分）以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：（1）画出数据对应的散点图；（2）求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；（3）据（2）的结果估计当房屋面积为150m2时的销售价格．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．21．（14分）某汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25万元，市场调研表明：当销售价为流程图的输出结果p万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低1万元时，平均每周能多售出8辆．如果设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元．（销售利润=销售价﹣进货价）（1）求y与x的函数关系式；在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；（2）假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；（3）当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？2014-2015学年福建省莆田市哲理中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）设a∈R，则a＞1是＜1 的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由＜1，解得a＜0或a＞1．∴a＞1是＜1 的充分不必要条件．故选：A．2．（5分）已知命题p：∃x∈R，使tanx=1，其中正确的是（）A．¬p：∃x∈R，使tanx≠1 B．¬p：∃x∉R，使tanx≠1C．¬p：∀x∈R，使tanx≠1 D．¬p：∀x∉R，使tanx≠1【解答】解：∵命题“∃x∈R，使tanx=1”是特称命题∴命题的否定为：∀x∈R，使tanx≠1．故选：C．3．（5分）已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人得分的中位数之和是（）A．62 B．63 C．64 D．65【解答】解：由茎叶图知甲的数据有12个，中位数是中间两个数字的平均数=27乙的数据有13个，中位数是中间一个数字36∴甲和乙两个人的中位数之和是27+36=63故选：B．4．（5分）要从已编号（1～60）的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是（）A．5、10、15、20、25、30 B．3、13、23、33、43、53C．1、2、3、4、5、6 D．2、4、8、16、32、48【解答】解：从60枚某型导弹中随机抽取6枚，采用系统抽样间隔应为=10，只有B答案中导弹的编号间隔为10，故选：B．5．（5分）已知含5个数的组数1，2，3，4，a的平均数是3，则该数组的方差是（）A．1 B．10 C．4 D．2【解答】解：∵5个数1，2，3，4，a的平均数是3，∴，∴a=5，∴这组数据的方差是=2，故选：D．6．（5分）已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）A．4 B．5 C．7 D．8【解答】解：将椭圆的方程转化为标准形式为，显然m﹣2＞10﹣m，即m＞6，，解得m=8故选：D．7．（5分）如图的程序运行后输出的结果为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：执行程序，有a=0，j=1满足条件j≤5，有a=1，j=2满足条件j≤5，有a=3，j=3满足条件j≤5，有a=1，j=4满足条件j≤5，有a=0，j=5满足条件j≤5，有a=0，j=6不满足条件j≤5，输出a的值为0．故选：A．8．（5分）椭圆=1上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为（）A．20 B．22 C．24 D．28【解答】解：由题意得a=7，b=2，∴c=5，两个焦点F1 （﹣5，0），F2（5，0），设点P（m，n），则由题意得=﹣1，+=1，n2=，n=±，则△PF1F2的面积为×2c×|n|=×10×=24，故选：C．9．（5分）给出命题p：若“•＞0，则△ABC为锐角三角形”；命题q：“实数a，b，c满足b2=ac，则a，b，c成等比数列”．那么下列结论正确的是（）A．p且q与p或q都为真B．p且q为真而p或q为假C．p且q为假且p或q为假D．p且q为假且p或q为真【解答】解：由得到的夹角为锐角，所以∠B为钝角，∴△ABC 为钝角三角形；∴命题p是假命题；由b2=ac得不到a，b，c成等比数列，比如a=b=c=0满足b2=ac，但a，b，c不是等比数列；∴命题q是假命题；∴p且q和p或q都为假．故选：C．10．（5分）给出下列命题：（1）等比数列{a n}的公比为q，则“q＞1”是“”的既不充分也不必要条件；（2）“x≠1”是“x2≠1”的必要不充分条件；（3）函数的y=lg（x2+ax+1）的值域为R，则实数﹣2＜a＜2；（4）“a=1”是“函数y=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”的充要条件．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：若首项为负，则公比q＞1时，数列为递减数列，当时，包含首项为正，公比q＞1和首项为负，公比0＜q＜1两种情况，故（1）正确；“x≠1”时，“x2≠1”在x=﹣1时成立，“x2≠1”时，“x≠1”一定成立，故（2）正确函数的y=lg（x2+ax+1）的值域为R，则x2+ax+1=0的△=a2﹣4≥0，解得a≥2或a≤﹣2，故（3）错误；“a=1”时，“函数y=cos2x﹣sin2x=cos2x的最小正周期为π”，但“函数y=cos2ax﹣sin2ax 的最小正周期为π”时，“a=±1”，故“a=1”是“函数y=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件，故（4）错误故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置11．（4分）若六进制数Im05（6）（m为正整数）化为十进数为293，则m=2．【解答】解：先转化为10进制为：1*216+m*36+0*6+5=293∴m=2．故答案为：212．（4分）椭圆上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于4．【解答】解：椭圆，可得a=5，∴|MF1|+|MF2|=2a=10，又|MF1|=2，∴|MF2|=8，∵N是MF1的中点，O为F1F2的中点，∴|ON|=|MF2|=4．故答案为：4．13．（4分）对任意实数x，（a2﹣1）x2+（a﹣1）x﹣1＜0都成立，则a的取值范围是（﹣，1] ．【解答】解：当a2﹣1=0，即a=±1，当a=1时，﹣1＜0恒成立，当a=﹣1时，﹣2x﹣1＜0不恒成立；当a2﹣1≠0时，由条件得，a2﹣1＜0且（a﹣1）2+4（a2﹣1）＜0，解得﹣1＜a＜1且﹣＜a＜1，则有﹣＜a＜1．综上，可得a的取值范围是：（﹣，1]．故答案为：（﹣，1]．14．（4分）以边长为2的正方形的四个顶点为圆心各作一个半径为1的四分之一圆周，如图，现向正方体内任投一质点，则质点落入图中阴影部分的概率为．【解答】解：∵以边长为2的正方形的四个顶点为圆心各作一个半径为1的四分之一圆周，如图：图形中4个半圆的面积：π×12=π，正方形的面积为4，∴阴影部分的面积为；4﹣π，∴现向正方体内任投一质点，则质点落入图中阴影部分的概率为；故答案为：．15．（4分）①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件．③是的充要条件；④“am2＜bm2”是“a＜b”的充分必要条件．以上说法中，判断错误的有③④．【解答】解：根据题意，依次分析4个命题：①、一个命题的逆命题与其否命题互为逆否命题，则若其逆命题为真，其否命题也一定为真，①正确；②、若∠B=60°，则∠A+∠C=120°，有∠A+∠C=2∠B，则∠A，∠B，∠C三个角成等差数列，反之若∠A，∠B，∠C三个角成等差数列，有∠A+∠C=2∠B，又由∠A+∠B+∠C=180°，则∠B=60°，故在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件，②正确；③、当x=，y=，则满足，而不满足，则是的不必要条件，③错误；④、若a＜b，当m=0时，有am2=bm2，则“am2＜bm2”是“a＜b”的不必要条件，④错误；故答案为③④．三、解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（13分）（1）两个焦点坐标分别是（0，﹣2）和（0，2）且过（﹣，）求该椭圆的标准方程（2）已知椭圆过两点A（0，2）、B（，），求该椭圆的标准方程．【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为，且c=2，由椭圆的定义，椭圆上一点P到两焦点距离之和等于2a．∴2a=+=2，得a=，得b=，则椭圆方程为：．（2）可设椭圆的方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0），把点的坐标代得，解得m=1，n=，∴椭圆的标准方程为：17．（13分）（1）求证：关于x的一元二次不等式ax2﹣ax+1＞0对于一切实数x 都成立的充要条件是0＜a＜4（2）设0＜a，b，c＜1，求证：（1﹣a）b，（1﹣b）c，（1﹣c）a不同时大于．【解答】证明：（1）必要性：由题意可知a≠0，∵ax2﹣ax+1＞0对于一切实数x都成立，∴，解得：0＜a＜4．充分性：∵0＜a＜4，∴ax2﹣ax+1=a（x﹣）2+1﹣≥＞0，∴关于x的一元二次不等式ax2﹣ax+1＞0对于一切实数x都成立的充要条件是0＜a＜4．（2）假设（1﹣a）b，（1﹣b）c，（1﹣c）a同时大于，即：（1﹣a）b＞，（1﹣b）c＞，（1﹣c）a＞，∴（1﹣a）b•（1﹣b）c•（1﹣c）a＞，①又∵0＜a，b，c＜1，∴0＜（1﹣a）a≤（）2=，同理：0＜（1﹣b）b≤，0＜（1﹣c）c≤．以上三式相乘：（1﹣a）a•（1﹣b）b•（1﹣c）c≤，与①矛盾．∴（1﹣a）b，（1﹣b）c，（1﹣c）a，不可能同时大于．18．（13分）已知p：对任意m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立；q：存在x，使不等式x2+ax+2＜0成立，若“p或q”为真，“p且q”为假，求a的取值范围．【解答】解：若p成立，由m∈[﹣1，1]得，即a2﹣5a﹣3≥3，解得a≥6或a≤﹣1；若q成立，则不等式中△＞0，解得或；若“p或q”为真，“p且q”为假，则命题p与q一真一假，（1）若p真q假，则；（2）若p假q真，则；综上：a的取值范围是或19．（13分）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1，2，3，4，5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：（I）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有4件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值；（Ⅱ）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2，这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．【解答】解：（I）由频率和为1，得a+0.2+0.45+b+c=1，即a+b+c=0.35；因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有4件，所以b==0.2；等级系数为5的恰有2件，所以c==0.1；从而a=1﹣0.2﹣0.45﹣0.2﹣0.1=0.05；所以a=0.05，b=0.2，c=0.1；（II）从x1，x2，x3，y1，y2，这5件日用品中任取两件，所有可能的结果为：{x 1，x2}，{x1，x3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x2，x3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x3，y1}，{x3，y2}，{y1，y2}设事件A表示“从x1，x2，x3，y1，y2，这5件日用品中任取两件，等级系数相等”，则A包含的基本事件为：{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}共4个，又基本事件的总数为：10故所求的概率P（A）==0.4．20．（14分）以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：（1）画出数据对应的散点图；（2）求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；（3）据（2）的结果估计当房屋面积为150m2时的销售价格．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．【解答】解：（1）数据对应的散点图如图所示：（2），，，，设所求回归直线方程为，则，，故所求回归直线方程为．（3）据（2），当x=150m2时，销售价格的估计值为：（万元）21．（14分）某汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25万元，市场调研表明：当销售价为流程图的输出结果p万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低1万元时，平均每周能多售出8辆．如果设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元．（销售利润=销售价﹣进货价）（1）求y与x的函数关系式；在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；（2）假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；（3）当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？【解答】解：（1）模拟执行程序框图，可得i=1，p=1满足条件p＜25，p=2，i=2满足条件p＜25，p=4，i=3满足条件p＜25，p=7，i=4满足条件p＜25，p=11，i=5满足条件p＜25，p=16，i=6满足条件p＜25，p=22，i=7满足条件p＜25，p=29，i=8不满足条件p＜25，退出循环，输出p的值为29．由程序框图知，p=29，故当销售价为流程图的输出结果p=29万元时，平均每周能售出8辆，则y=29﹣x﹣25=﹣x+4（0≤x≤4）；（2）由于当销售价每降低1万元时，平均每周能多售出8辆．故设每辆汽车降价x万元时，销售量为8+8×x，故z=y×（8+8x）=8（﹣x+4）（1+x）=﹣8x2+24x+32；（3）∵z=﹣8x2+24x+32=﹣8（x﹣1.5）2+50（0≤x≤4）；∴当x=1.5万元时，平均每周的销售利润最大，此时29﹣x=27.5，即当每辆汽车的定价为27.5万元时，平均每周的销售利润最大，最大利润为50万元．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：x-a a-a运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．DE2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．ABFEDCF第21页（共21页）。

2014-2015年福建省厦门六中高二上学期数学期中试卷及参考答案(理科)

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三．解答题（本大题有 6 小题，共 76 分；解答应写出文字说明与演算步骤） 17．（12 分）已知 p：﹣2≤x≤10；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围． 18．（12 分）已知△ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 a=2， cosB= （Ⅰ）若 b=4，求 sinA 的值；（Ⅱ）若△ABC 的面积 S△ABC=4 求 b，c 的值． 19．（12 分）已知等差数列{an}满足 a3=15，a4+a6=22，Sn 为{an}的前 n 项和．（1）求通项公式 an 及 Sn；（2）设{bn﹣an}是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列{bn}的通项公式及其前 n 项和 Tn． 20．（13 分）某家公司每月生产两种布料 A 和 B，所有原料是三种不同颜色的羊毛，下表给出了生产每匹每种布料所需的羊毛量，以及可供使用的每种颜色的羊毛的总量．已知生产每匹布料 A、B 的利润分别为 120 元、80 元．那么如何安排生产才能够产生最大的利润？最大的利润是多少？羊毛颜色每匹需要/kg 布料 A 红绿黄 4 6 2 布料 B 4 3 6 1400 1800 1800 供应量/kg
C．若 a＞﹣b，则 c﹣a＜c+b 3．（5 分）已知△ABC 中，a=2
A．450 B．1350 C．450 或 1350 D．300 或 1500 4．（5 分）某种细胞每隔 30 分钟分裂 1 次，1 个分裂成 2 个，则 1 个这样的细胞经过 4 小时 30 分钟后，可得到的细胞个数为（ A．512 B．511 C．1024 D．1023 ））

2014-2015学年福建省莆田六中高三上学期12月月考数学(理)试卷 Word版含解析

2014-2015学年福建省莆田六中高三（上）12月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的，把答案填写在答题卷的相应位置． 1．集合A={x|y=ln（﹣x2+2x+3）}，B={y|y=ex}，则A∩B=（） A． {x|﹣1＜x＜0} B． {x|0＜x＜3} C． {x|x＞﹣1} D． {x|x＜3} 2．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是（） A．α⊥β，m?α，则m⊥βB． m∥n，n?α，则m∥α C． m⊥α，m?β，则α⊥βD． m∥α，n?a，则m∥n 3．若a+1、a+2、a+6依次成等比数列，则该等比数列的公比为（） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 4．“ab＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 5．△ABC，A、B、C依次成等差数列，且a、c是﹣x2+6x﹣8=0的两根，则△ABC面积为（） A． 4 B． 3 C． 2 D． 6．已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（） A．B． C． D． 7．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（） A． 4 B． 5 C． 6 D． 7 8．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．则不同的搜寻方案有（） A． 40种B． 70种 C． 80种 D． 100种 9．在△ABC中，AB=3，AC=5，BC=7，且在△ABC所在的平面内存在一点O，使得（+）?=（+）?=（+）?=0成立，则?的值为（） A． 7 B． 8 C． 9 D． 10 10．已知函数f（x）（0≤x≤1）的图象是一段弧（如图所示），若0＜x1＜x2＜1，则（） A． x2f（x1）＜x1f（x2）B． x1f（x1）＜x2f（x2）C． x2f（x1）＞x1f（x2）D． x1f（x1）＞x2f（x2）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填写在答题卷的相应位置． 11．已知向量=（2m，3），=（m﹣1，1），若，共线，则实数m的值为． 12．已知等差数列{an}中，a1+a5+a9=，则sin（a4+a6）=． 13．{（x，y）|0≤x≤1，﹣1≤y≤1}中任取一点，恰好在y2=x和x=1围成区域的概率． 14．数列{an}满足（an+1）（1﹣an+1）=2，则a2013a2015=． 15．f（x）是定义在R上的函数，且满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2015成立，若函数g （x）=f（x）+sin2015x有最大值M和最小值m，则M+m=．三、解答题：本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把答案填写在答题卷的相应位置． 16．如图，四边形ABCD和ABEF都是直角梯形，AD∥BC，AF∥BE，∠DAB=∠FAB=90°，且平面ABCD⊥平面ABEF，DA=AB=BE=2，BC=1．（Ⅰ）证明DA⊥EF；（Ⅱ）求直线BE与平面DCE所成角的正弦值． 17．已知向量=（cosax，sinax），=（cosax，﹣cosax），其中a＞0，若f（x）=?的图象与y=m（m＞0）相切，且切点横坐标成公差为π的等差数列．（Ⅰ）求a和m的值；（Ⅱ）在△ABC中，若f（）=，且BC=4，求△ABC面积的最大值． 18．如图，点A，B分别是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右顶点，圆B：（x﹣2）2+y2=9，经过椭圆E的左焦点F．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过A作直线l与y轴交于点Q，与椭圆E交于点P（异于A）．求?的取值范围． 19．自驾游从A地到B地有甲乙两条线路，甲线路是A﹣C﹣D﹣B，乙线路是A﹣E﹣F﹣G﹣H ﹣B，其中CD段，EF段，GH段都是易堵车路段．假设这三条路段堵车与否相互独立．这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表所示：堵车时间（小时）频数 [0，1] 8 （1，2] 6 （2，3] 38 （3，4] 24 （4，5] 24 经调查发现堵车概率x在（，1）上变化，y在（0，）上变化．在不堵车的状况下，走甲路线需汽油费500元，走乙线路需汽油费545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．路政局为了估计CD段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到如表数据．路段CD EF GH 堵车概率 x y 平均堵车时间（小时）a 2 1 （Ⅰ）根据右表数据画出CD段堵车时间频率分布直方图并求CD段平均堵车时间a的值；（Ⅱ）若只考虑所花汽油费的期望值大小，为了节约，求选择走甲线路的概率． 20．已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）（Ⅰ）求f（x）在（0，f（0））处切线方程；（Ⅱ）当x∈[0，+∞），f（x）上的点均在表示的区域内，求实数a的取值范围．（Ⅲ）求证：＜，n∈N*．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分7分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．【选修4-2：矩阵与变换】 21．已知是矩阵A=的一个特征向量．（Ⅰ）求m的值和向量相应的特征值；（Ⅱ）若矩阵B=，求矩阵B﹣1A．【选修4-5：不等式选讲】 22．已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）设曲线C与直线l相交于P、Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．【选修4-5：不等式选讲】 2014?泉州模拟）已知不等式|t+3|﹣|t﹣2|≤6m﹣m2对任意t∈R恒成立．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）若（Ⅰ）中实数m的最大值为λ，且3x+4y+5z=λ，其中x，y，z∈R，求x2+y2+z2的最小值． 2014-2015学年福建省莆田六中高三（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的，把答案填写在答题卷的相应位置． 1．集合A={x|y=ln（﹣x2+2x+3）}，B={y|y=ex}，则A∩B=（） A． {x|﹣1＜x＜0} B． {x|0＜x＜3} C． {x|x＞﹣1} D． {x|x＜3} 考点：交集及其运算．专题：集合．分析：利用函数的定义域、值域和交集的定义求解．解答：解：∵集合A={x|y=ln（﹣x2+2x+3）}={x|﹣x2+2x+3＞0}={x|﹣1＜x＜3}， B={y|y=ex}={y|y＞0}， ∴A∩B={x|0＜x＜3}．故选：B．点评：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要注意函数的定义域、值域的合理运用． 2．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是（） A．α⊥β，m?α，则m⊥βB． m∥n，n?α，则m∥α C． m⊥α，m?β，则α⊥βD． m∥α，n?a，则m∥n 考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据面面垂直的几何特征及性质可判断A；根据线面平行的判定定理，可判断B；根据面面垂直的判定定理，可判断C；根据线面平行的几何特征，及空间线线关系的定义，可判断D．解答：解：若α⊥β，m?α，则m与β可能平行，可能相交，也可能线在面内，故A 错误；若m∥n，n?α，则m∥α或m?α，故B错误；若m⊥α，m?β，则α⊥β，故C正确；若m∥α，n?a，则m与n可能平行也可能异面，故D错误；故选：C 点评：本题考查的知识点是空间直线与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面关系，面面关系，线线关系的定义，几何特征及性质和判定方法是解答的关键． 3．若a+1、a+2、a+6依次成等比数列，则该等比数列的公比为（） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得（a+2）2=（a+1）（a+6），由此求出a，进而能求出该等比数列的公比．解答：解：∵a+1、a+2、a+6依次成等比数列， ∴（a+2）2=（a+1）（a+6），解得a=﹣， ∴该等比数列的公比q===4．故选：D．点评：本题考查等比数列的公比的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用． 4．“ab＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：椭圆的标准方程．专题：计算题．分析：由“ab＞0”，不能判断“方程ax2+by2=1表示椭圆”，“方程ax2+by2=1表示椭圆”?“ab＞0”，所以∴“ab＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的必要不充分条件．解答：解：∵由“ab＞0”，不能判断“方程ax2+by2=1表示椭圆”，例如a＜0，b＜0时，“方程ax2+by2=1不表示椭圆”． “方程ax2+by2=1表示椭圆”?“ab＞0”， ∴“ab＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的必要不充分条件．故选B．点评：本题考查充分条件、必要条件和充要条件，解题时要注意椭圆的定义和性质的灵活运用． 5．△ABC，A、B、C依次成等差数列，且a、c是﹣x2+6x﹣8=0的两根，则△ABC面积为（） A． 4 B． 3 C． 2 D．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的性质，可得B=60°，由a和c是﹣x2+6x﹣8=0的两根，求出a，c，再利用三角形面积公式，可得结论．解答：解：∵内角A、B、C依次成等差数列，∴B=60°， ∵a和c是﹣x2+6x﹣8=0的两根，∴a=2，c=4， ∴S△ABC=acsinB=×2×4×=2，故选：C．点评：本题考查等差数列的性质，考查三角形面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题． 6．已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（） A．B． C． D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论．解答：解：∵双曲线C的离心率为2， ∴e=，即c=2a，点A在双曲线上，则|F1A|﹣|F2A|=2a，又|F1A|=2|F2A|， ∴解得|F1A|=4a，|F2A|=2a，||F1F2|=2c，则由余弦定理得cos∠AF2F1===．故选：A．点评：本题主要考查双曲线的定义和运算，利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力． 7．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（） A． 4 B． 5 C． 6 D． 7 考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图可知该几何体是一棱长为2的正方体切去两个三棱锥，其底面为俯视图中的两个直角三角形，高为2．利用柱体、锥体的体积公式计算即可．解答：解：由三视图可知该几何体是一棱长为2的正方体切去两个三棱锥，其两个三棱锥的底面为俯视图中的两个直角三角形，高为2，所以V=2×2×2﹣=7．故选：D．点评：本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键． 8．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．则不同的搜寻方案有（） A． 40种B． 70种 C． 80种 D． 100种考点：进行简单的合情推理．专题：计算题；推理和证明．分析：Grace不参与该项任务，需一位小孩在大本营陪同，则其余4人被均分成两组，一组去远处，一组去近处；Grace参与该项任务，则从其余5人中选2人去近处，即可得出结论．解答：解：Grace不参与该项任务，则有=30种； Grace参与该项任务，则有=10种，故共有30+10=40种故选：A．点评：本题考查进行简单的合情推理，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，比较基础． 9．在△ABC中，AB=3，AC=5，BC=7，且在△ABC所在的平面内存在一点O，使得（+）?=（+）?=（+）?=0成立，则?的值为（） A． 7 B． 8 C． 9 D． 10 考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的三角形法则和向量的平方即为模的平方，可得||=||=||．即O为△ABC 的外心．再由?=?（﹣）=﹣，运用向量的数量积的定义和几何意义，结合等腰三角形的性质，即可计算得到．解答：解：由于（+）?=（+）?=（+）?=0，则（+）?（﹣）=（+）?（﹣）=（+）?（﹣）=0，即有﹣=﹣=﹣=0，即==，即||=||=||．即O为△ABC的外心．由于O为外心，D，E为中点，OD，OE分别为两中垂线． ?=||（||cos∠DAO）=||?||=||2=，同样地，?=||2=，则?=?（﹣）=﹣=﹣=8．故选：B．点评：本题考查向量的数量积的定义和性质，主要考查向量的平方即为模的平方，同时考查向量的三角形法则和外心的性质，运用等腰三角形的性质是解题的关键． 10．已知函数f（x）（0≤x≤1）的图象是一段弧（如图所示），若0＜x1＜x2＜1，则（） A． x2f（x1）＜x1f（x2）B． x1f（x1）＜x2f（x2）C． x2f（x1）＞x1f（x2）D． x1f（x1）＞x2f（x2）考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：方法一，根据已知中函数y=f（x）（0≤x≤1）的图象，分析其凸凹性，进而可得y=f′（x）（0≤x≤1）的单调性，及函数y=（0≤x≤1）的单调性，根据单调性可得的大小．方法二根据直线的斜率．解答：解：方法一，由已知中函数y=f（x）（0≤x≤1）的图象可得函数为凸函数，故y=f′（x）（0≤x≤1）为减函数，故函数y=（0≤x≤1）为减函数． ∵0＜x1＜x2＜1， ∴＞， ∴x2f（x1）＞x1f（x2）；方法二：如图所示， ∵0＜x1＜x2＜1， ∴， ∴＞， ∴＞， ∴x2f（x1）＞x1f（x2）故选：C．点评：本题考查的知识点是直线的斜率，函数的图象，其中根据函数的图象分析出函数y=（（0≤x≤1）的单调性，是解答的关键．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填写在答题卷的相应位置． 11．已知向量=（2m，3），=（m﹣1，1），若，共线，则实数m的值为　3　．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：计算题；平面向量及应用．分析：利用向量共线的坐标表示可得关于m的方程，解出可得．解答：解：∵，共线， ∴2m×1﹣3（m﹣1）=0，解得m=3，故答案为：3．点评：本题考查向量共线的坐标表示，属基础题，注意不要与向量数量积运算的坐标形式混淆． 12．已知等差数列{an}中，a1+a5+a9=，则sin（a4+a6）=．考点：数列与三角函数的综合．专题：计算题．分析：根据等差数列的性质，知道a5是a1与a9的等差中项，得到第五项的值，根据a5是a4与a6的等差中项，得到这两项的和，从而求出角的正弦值．解答：解：∵等差数列{an}中，a1+a5+a9=， ∴3a5=， ∴a5=∴a4+a6=2a5=， ∴sin（a4+a6）=sin，故答案为：．点评：本题考查等差数列的性质，考查等差中项的应用，考查特殊角的三角函数值，解题的关键是利用等差数列通项的性质． 13．{（x，y）|0≤x≤1，﹣1≤y≤1}中任取一点，恰好在y2=x和x=1围成区域的概率．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：（x，y）|0≤x≤1，﹣1≤y≤1}的面积为2，y2=x和x=1围成区域的面积为2dx==，即可求出概率．解答：解：{（x，y）|0≤x≤1，﹣1≤y≤1}的面积为2，y2=x和x=1围成区域的面积为2dx==， ∴所求的概率为=．故答案为：．点评：本题考查几何概型，考查学生的计算能力，确定y2=x和x=1围成区域的面积是关键． 14．数列{an}满足（an+1）（1﹣an+1）=2，则a2013a2015=﹣1　．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由（an+1）（1﹣an+1）=2，可得，进而得到an+2=，即可得出．解答：解：∵（an+1）（1﹣an+1）=2， ∴an+1﹣anan+1﹣an+1=2，化为， ∴=， ∴an+2?an=﹣1． ∴a2013a2015=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了递推式的应用、数列的周期性，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 15．f（x）是定义在R上的函数，且满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2015成立，若函数g （x）=f（x）+sin2015x有最大值M和最小值m，则M+m=﹣4030　．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数f（x）的特征，构造与f（x）、g（x）相关的奇函数，利用奇函数的图象对称性，得到相应的最值关系，从而得到g（x）的最大值M与最小值m的和，得到本题结论．解答：解：∵f（x）是定义在R上的函数，且对任意x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）+f（y）+2015成立， ∴取x=y=0，得：f（0）=f（0）+f（0）+2015，f（0）=﹣2015，取y=﹣x，得到：f（0）=f（x）+f（﹣x）+2015， ∴f（x）+f（﹣x）=﹣4030．记h（x）=f（x）+sin2015x+2015，则h（﹣x）+h（x）=[f（﹣x）+sin（﹣x）+2015]+f（x）+sin2015x+2015=f（x）+f（﹣x）+4030=﹣4030+4030=0，故y=h（x）为奇函数．记h（x）的最大值为A，则最小值为﹣A． ∴g（x）=f（x）+sin2015x有最大值M=A﹣2015和最小值m=﹣A﹣2015，则M+m=A﹣2015+（﹣A﹣2015）=﹣4030，故答案为：﹣4030．点评：本题考查了函数奇偶性及其应用，还考查了抽象函数和构造法，根据条件构造奇函数是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把答案填写在答题卷的相应位置． 16．如图，四边形ABCD和ABEF都是直角梯形，AD∥BC，AF∥BE，∠DAB=∠FAB=90°，且平面ABCD⊥平面ABEF，DA=AB=BE=2，BC=1．（Ⅰ）证明DA⊥EF；（Ⅱ）求直线BE与平面DCE所成角的正弦值．考点：二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）由已知条件推导出DA⊥AB，从而得到DA⊥平面ABEF，由此能求出DA⊥EF．（Ⅱ）以AF为x轴，以AB为y轴，以AD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE与平面DCE所成角的正弦值．解答：（Ⅰ）证明：∵∠DAB=90°，∴DA⊥AB，又平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB， ∴DA⊥平面ABEF， ∵EF?平面ABEF，∴DA⊥EF．（Ⅱ）DA⊥平面ABEF，AB⊥AF，以AF为x轴，以AB为y轴，以AD为z轴，建立空间直角坐标系， ∴B（0，2，0），E（2，2，0），D（0，0，2），C（0，2，1）， ∴，设平面DCE的法向量，则，令x=1，得平面DCE的一个法向量，又， cos＜＞=， ∴直线BE与平面DCE所成角的正弦值为．点评：本题考查立体几何中的线面关系、空间角、空间向量等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、等价转化能力，考查数形结合、化归与转化等数学思想． 17．已知向量=（cosax，sinax），=（cosax，﹣cosax），其中a＞0，若f（x）=?的图象与y=m（m＞0）相切，且切点横坐标成公差为π的等差数列．（Ⅰ）求a和m的值；（Ⅱ）在△ABC中，若f（）=，且BC=4，求△ABC面积的最大值．考点：平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：等差数列与等比数列；解三角形；平面向量及应用．分析：（Ⅰ）运用向量的数量积的坐标表示和二倍角公式及两角和的余弦公式，化简f （x），再由相切可得m为f（x）的最大值，再由等差数列的通项公式可得a=1；（Ⅱ）由f（x）的解析式，可得A，再由余弦定理和基本不等式，可得bc的最大值为16，运用三角形的面积公式计算即可得到所求最大值．解答：解：（Ⅰ）由于向量=（cosax，sinax），=（cosax，﹣cosax），其中a＞0，则f（x）=?=cos2ax﹣sinaxcosax=（1+cos2ax）﹣sin2ax=+cos（2ax+），若f（x）图象与y=m（m＞0）相切，则m为f（x）的最大值，即为1+；又切点横坐标成公差为π的等差数列，由2ax+=2kπ，即有x=，k∈Z，即有a=1．（Ⅱ）在△ABC中，若f（）=，则+cos（A+）=，即有cos（A+）=0，由A为三角形的内角，则A+=，即A=，且BC=4，由余弦定理可得42=b2+c2﹣2bccosA，即有16=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc，即有bc≤16，则△ABC面积S=bcsinA=bc≤4．当且仅当b=c=4，三角形的面积取得最大值4．点评：本题主要考查向量的数量积的坐标运算和三角恒等变换、三角函数的性质等基础知识，同时考查三角形的余弦定理和面积公式的运用，运用基本不等式求最值是解题的关键． 18．如图，点A，B分别是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右顶点，圆B：（x﹣2）2+y2=9，经过椭圆E的左焦点F．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过A作直线l与y轴交于点Q，与椭圆E交于点P（异于A）．求?的取值范围．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）通过圆B的圆心坐标可得a=2，在圆B方程中令y=0得c=1，进而可得结论；（Ⅱ）①当直线l为x轴时，显然有?=0；②设直线AP：x=ty﹣2，并与椭圆E的方程联立，利用韦达定理可得yP=，xP=，通过向量数量积的坐标形式计算即得结论．解答：解：（Ⅰ）∵以椭圆E的右顶点B为圆心的圆B方程为：（x﹣2）2+y2=9， ∴圆B的圆心坐标的横坐标即为a的值，∴a=2，在圆B：（x﹣2）2+y2=9中令y=0，得F（﹣1，0）， ∴b2=4﹣1=3， ∴椭圆E的方程为：+=1；（Ⅱ）①当直线l为x轴时，显然有?=0； ②设直线AP：x=ty﹣2，并与椭圆E的方程联立，消去x可得：（4+3t2）y2﹣12ty=0，由椭圆E的方程可知：A（﹣2，0），由韦达定理可得：yP=，xP=，在直线AP：x=ty﹣2中令x=0，得：yQ=， ∴?=（1，）?（﹣2，）=∈（0，2）；综上所述，?的取值范围为[0，2）．点评：本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、圆与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、探索求解能力，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于中档题． 19．自驾游从A地到B地有甲乙两条线路，甲线路是A﹣C﹣D﹣B，乙线路是A﹣E﹣F﹣G﹣H﹣B，其中CD段，EF段，GH段都是易堵车路段．假设这三条路段堵车与否相互独立．这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表所示：堵车时间（小时）频数 [0，1] 8 （1，2] 6 （2，3] 38 （3，4] 24 （4，5] 24 经调查发现堵车概率x在（，1）上变化，y在（0，）上变化．在不堵车的状况下，走甲路线需汽油费500元，走乙线路需汽油费545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．路政局为了估计CD段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到如表数据．路段CD EF GH 堵车概率 x y 平均堵车时间（小时）a 2 1 （Ⅰ）根据右表数据画出CD段堵车时间频率分布直方图并求CD段平均堵车时间a的值；（Ⅱ）若只考虑所花汽油费的期望值大小，为了节约，求选择走甲线路的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（1）由已知数据能画出CD段堵车时间频率分布直方图，用总的堵车时间除以总人数100人，即得到平均堵车时间；（2）利用独立事件求出每种情况的概率，选择甲路线说明甲需汽油费少，利用线性规划化画出区域图，再利用几何概型求概率．解答：解：（1）由CD段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到数据统计表，作出CD段堵车时间频率分布直方图，如右图． a=0.5×+=3．（2）设走甲线路所花汽油费为X元，则EX=500（1﹣x）+（500+60）x=500+60x．设走乙线路多花的汽油费为Y元，∵EF段与CH段堵车与否相互独立， ∴P（Y=0）=（1﹣y）（1﹣）， P（Y=20）=（1﹣y）， P（Y=40）=y（1﹣）， P（Y=60）=， ∴EY=+60=40y+5． ∴走乙线路所花的汽油费的数学期望为E（545+Y）=545+E（Y）=550+40y，依题意，选择走甲线路应满足（550+40y）﹣（500+60x）≥0，即6x﹣4y﹣5≤0，又， ∴P（选择走甲线路）==．点评：本题考查利用频率分布表求平均数，相互独立事件同时发生的概率，离散型随机变量分布列，数学期望，几何概型等基础知识；考查运用统计、概率、数学期望等数学知识解决实际问题的能力，以及运算求解能力，考查数形结合数学思想方法． 20．已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）（Ⅰ）求f（x）在（0，f（0））处切线方程；（Ⅱ）当x∈[0，+∞），f（x）上的点均在表示的区域内，求实数a的取值范围．（Ⅲ）求证：＜，n∈N*．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（I）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程，可得切线方程；（II）由题意可得当x∈[0，+∞）时，ax2+ln（x+1）≤x，构造g（x）=ax2+ln（x+1）﹣x，求得导数，判断单调性，对a讨论，得到g（x）≤0恒成立的a的范围；（Ⅲ）令g（x）=ln（x+1）﹣2x（x≥0），求出导数，判断单调性，再令x=，则ln（1+）＜=﹣，再由裂项相消求和，以及不等式的性质，即可得证．解答：（I）解：f′（x）=2ax+，则切线的斜率为f′（0）=1，又f（0）=0， ∴f（x）在（0，f（0））处切线方程为y=x；（II）解：∵当x∈[0，+∞），f（x）上的点均在表示的区域内， ∴当x∈[0，+∞）时，ax2+ln（x+1）≤x，即g（x）=ax2+ln（x+1）﹣x≤0， g′（x）=2ax+﹣1=2ax﹣．当a≤0时，g′（x）≤0， ∴函数g（x）在[0，+∞）上单调递减， ∴g（x）≤g（0）=0，满足题意，因此a≤0适合条件；当a＞0时，g′（x）=．当a≥时，g′（x）≥0，函数g（x）在[0，+∞）上单调递增， g（x）≥0，不满足题意，舍去；当时，令g′（x）＞0，解得，此时函数g（x）单调递增；令g′（x）＜0，解得，此时函数g（x）单调递减． ∴＜g（0）=0，不满足题意，舍去．综上可得：实数a的取值范围是（﹣∞，0]．（Ⅲ）证明：令h（x）=ln（x+1）﹣2x（x≥0），则h′（x）=﹣2=＜0， h（x）在[0，+∞）递减，即有h（x）≤h（0）=0，则ln（x+1）≤2x，令x=，则ln（1+）＜=﹣，即有=（1+）＜（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣）=1+﹣﹣＜．故原不等式成立．点评：此题主要考查利用导数研究切线方程和函数的单调区间和最值问题，解题过程中多次用到了转化的思想，函数的恒成立问题转化为求最值问题，同时考查不等式的证明，注意运用函数的单调性和裂项相消求和，本题难度比较大，是一道综合题．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分7分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．【选修4-2：矩阵与变换】 21．已知是矩阵A=的一个特征向量．（Ⅰ）求m的值和向量相应的特征值；（Ⅱ）若矩阵B=，求矩阵B﹣1A．考点：逆矩阵的意义；矩阵特征值的定义．专题：矩阵和变换．分析：（Ⅰ）设出特征值，根据矩阵与列向量的乘积，列出方程组求解即可；（Ⅱ）首先求出|B|，然后求出B﹣1，最后根据矩阵相乘的方法，求出阵B﹣1A即可．解答：解：（Ⅰ）根据题意，可知存在实数λ（λ≠0），使得=λ，即，又因为k≠0，所以，所以m=0，特征向量相应的特征值为1；（Ⅱ）因为|B|=3×1﹣2×2=﹣1，所以B﹣1=，因此阵B﹣1A==．点评：本题主要考查矩阵的性质和应用、特征值的计算，考查了矩阵的乘法、逆矩阵的求法，解题时要特别注意特征值与特征向量的计算公式的灵活运用．【选修4-5：不等式选讲】 22．已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）设曲线C与直线l相交于P、Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．考点：参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：直线与圆．分析：（1）利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ即可把曲线C的极坐标方程化为普通方程；消去参数t即可得到直线l的方程；（2）利用弦长|PQ|=2和圆的内接矩形，得对角线是圆的直径即可求出圆的内接矩形的面积．解答：解：（1）对于C：由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，进而x2+y2=4x；对于l：由（t为参数），得，即．（5分）（2）由（1）可知C为圆，且圆心为（2，0），半径为2，则弦心距，弦长，因此以PQ为边的圆C的内接矩形面积．（10分）点评：本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程向直角坐标方程转化，参数方程向普通方程转化，以及圆内几何图形的性质等．【选修4-5：不等式选讲】 2014?泉州模拟）已知不等式|t+3|﹣|t﹣2|≤6m﹣m2对任意t∈R恒成立．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）若（Ⅰ）中实数m的最大值为λ，且3x+4y+5z=λ，其中x，y，z∈R，求x2+y2+z2的最小值．考点：二维形式的柯西不等式；绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由条件利用绝对值三角不等式求得|t+3|﹣|t﹣2|的最大值，可得6m﹣m2≥5，由此求得实数m的取值范围（Ⅱ）由题意可得λ=5，3x+4y+5z=5，再根据（x2+y2+z2）（32+42+52）≥25，求得x2+y2+z2的最小值．解答：解：（Ⅰ）∵|t+3|﹣|t﹣2|≤|（t+3）﹣（t﹣2）|=5，不等式|t+3|﹣|t﹣2|≤6m﹣m2对任意t∈R恒成立，可得6m﹣m2≥5，求得1≤m≤5，或m≥5，即实数m的取值范围为{m|1≤m≤5}．（Ⅱ）由题意可得λ=5，3x+4y+5z=5． ∵（x2+y2+z2）（32+42+52）≥（3x+4y+5z）2=25，当期仅当==时，等号成立，即x=，y=，z=时，取等号． ∴50（x2+y2+z2）≥25，∴x2+y2+z2≥，即x2+y2+z2的最小值为，点评：本题主要考查绝对值三角不等式，柯西不等式的应用，属于基础题．。

莆田第六中学高三数学上学期期中试题文.doc

第Ⅰ卷（共60分） 2019-11-8一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若向量()1,2AB =u u u v ，()1,3AC =-u u u v ，则BC =u u u v（）A. ()2,1-B. ()1,2-C. ()2,1-D. ()1,2-2.若集合{}212M x x x +<＝，{}2N x x =<，则M N U ＝（）A. ()32-，B. ()4,2-C. ()-∞，4D. ()3-∞， 3.若实数x ，y 满足约束条件22022x y x y y +-≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则x y -的最大值等于（）A. 2B. 1C. -2D. -44.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若38418a a a +=-，则9S =( ) A. 36B. 54C. 60D. 815.《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有这样一道题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿．欲以爵次分之，问各得几何?”其译文是“现有从高到低依次为大夫、不更、簪褭、上造、公士的五个不同爵次的官员，共猎得五只鹿，要按爵次高低分配（即根据爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列），问各得多少鹿?”已知上造分得23只鹿，则大夫所得鹿数为（） A. 1只B. 53只C.43只 D. 2只6.等比数列{}n a 的首项14a =，前n 项和为n S ，若639S S =，则数列{}2log n a 的前10项和为 A. 65 B. 75 C. 90 D. 1107.已知1cos 33x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5cos 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为( ) A. 19- B.19 C. 79 D. 79- 8.函数()23sin 1x xf x x -=+在[],ππ-的图象大致为（）A. B. C. D.9.设等比{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则9S =（） A. 144B. 117C.81D. 6310.如图，正方形ABCD 中，M 、N 分别是BC 、CD 的中点，若AC AM BN λμ=+u u u r u u u u r u u u r，则λμ+=（）A ．2B ．83C ．65D ．8511.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,,a b c 若cos cosA 2ca Bb -=，则tan()A B -的最大值为( )A ．433B ．3C ．233D ．3312.已知ABC ∆的重心G 恰好在以边AB 为直径的圆上，若8AC CB ⋅=-u u u r u u u r ，则AB =u u u r（）A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量1(,sin )2a α=r ，(sin ,1)b α=r ，若a r ∥b r ，则锐角α为________________14.已知2,1,a b ==r r a b r r ,的夹角为0602a b +=v v ，________________ 15．已知数列{}n a 满足对任意的*n N ∈，都有120n n a a +-=，又22a =，则8S =___________.16.已知,a b R +∈，且21a b +=，则11(1)(1)a b++的最小值为____________三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

福建省莆田一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷

福建省莆田一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知p：x＞4，q：x＞5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）中心在原点、焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（）A．+=1 B．+=1C．+=1 D．+=13．（5分）200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布图如图所示，则时速在50，60）分汽车大约有多少辆？（）A．30 B．40 C．50 D．60考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据频率分布直方图，结论频率、频数与样本容量的关系，即可得出正确的答案．解答：解：根据频率分布直方图，得；时速在.1，2hslx3y3h点评：本题考察了充分必要条件的定义，不等式的求解，命题和集合的关系，属于容易题．18．（12分）某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如表所示：文艺节目新闻节目总计20岁至40岁40 18 58大于40岁15 27 42总计55 45 100（Ⅰ）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？（Ⅱ）在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．考点：分层抽样方法；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（I）在100名电视观众中，收看新闻的观众共有45人，从中随机抽取5名，抽样比为，进而由大于40岁的观众为27人，得到大于40岁的观众应该抽取人数．（II）抽取的5人中，年龄大于40岁的有3人，列举出所有基本事件的个数，及满足恰有1名观众的年龄为20至40岁的基本事件个数，代入古典概型概率公式，可得答案．解答：解：（I）在100名电视观众中，收看新闻的观众共有45人，其中20至40岁的观众有18人，大于40岁的观众共有27人．故按分层抽样方法，在应在大于40岁的观众中中抽取人．…（4分）（II）抽取的5人中，年龄大于40岁的有3人，分别记作1，2，3；20岁至40岁的观众有2人，分别高为a，b，若从5人中任取2名观众记作（x，y），…（6分）则包含的总的基本事件有：（1，2），（1，3），（1，a），（1，b），（2，3），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（a，b）共10个．…（8分）其中恰有1名观众的年龄为20岁至40岁包含的基本事件有：（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b）共6个．…（10分）故P（“恰有1名观众的年龄为20至40岁”）=；…（12分）点评：本题考查的知识点是分层抽样，古典概型概率公式，（I）的关键计算抽样比，（II）的关键是计算所有基本事件个数及满足条件的基本事件个数．19．（12分）已知F1（﹣1，0）、F2（1，0）为椭圆C的左、右焦点，且点P（1，）在椭圆C 上．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y=x+1与椭圆C交于A、B两点，求弦长|AB|．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）先设出椭圆的方程，代入求出a，b的值即可；（2）联立方程组解出A，B的坐标，从而求出|AB|的长．解答：解：（1）设椭圆的方程是：=1，由a2﹣b2=1，+=1，解得：a2=3，b2=2，∴椭圆C的方程是：+=1；（2）由，解得：，，∴|AB|==．点评：本题考查了求椭圆的方程问题，考查了椭圆的性质，是一道中档题．20．（12分）已知直线y=kx+1和双曲线3x2﹣y2=1相交于两点A，B；（1）求k的取值范围；（2）若以AB为直径的圆恰好过原点，求k的值．考点：双曲线的简单性质．专题：直线与圆．分析：（1）把直线方程与双曲线的方程联立可得△＞0，解出即可．（2）利用向量垂直与数量积的关系、根与系数的关系即可得出．解答：解：设交点A（x1，y1），B（x2，y2），由消去y，得（3﹣a2）x2﹣2ax﹣2=0，（1）由于直线与双曲线相交，∴∴a2＜6且a2≠3．∴a的取值范围为，且．（2）由韦达定理，得x1+x2=，①，②∵以AB为直径的圆恰好过坐标系的原点，∴，∴=x1x2+y1y2=0，即x1x2+（ax1+1）（ax2+1）=0，整理得（a2+1）x1x2+a（x1+x2）+1=0③将①②代入③，并化简得=0，∴a=±1，经检验，a=±1满足题目条件，故存在实数a满足题目条件．点评：本题考查了直线与双曲线相交转化为方程联立可得△＞0及根与系数的关系、圆的性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）设x∈（0，4），y∈（0，4）．（1）若x∈N+，y∈N+以x，y作为矩形的边长，记矩形的面积为S，求S＜4的概率；（2）若x∈R，y∈R，求这两数之差不大于2的概率．考点：几何概型；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）求出x∈N+，y∈N+时（x，y）所有的结果以及满足矩形的面积S＜4的（x，y）所有结果，利用古典概型求出对应的概率；（2）求出x∈R，y∈R时所有的结果组成区域Ω与两个数之差不大于2的所有结果组成区域H的面积，利用几何概型求出对应的概率．解答：解：（1）∵x∈N+，y∈N+，∴（x，y）所有的结果为（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）共9个，满足矩形的面积S＜4的（x，y）所有的结果为（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1）共5个，∴S＜4的概率为P=；（2）x∈R，y∈R时所有的结果组成区域为Ω={（x，y）|0＜x＜4，0＜y＜4}，两个之差不大于2的所有结果组成区域为H={（x，y）|0＜x＜4，0＜y＜4，|x﹣y|≤2}∴概率P（H）==．点评：本题考查了古典概型与几何概型的应用问题，解题时应根据题意，准确判断是哪种概率类型，从而进行解答问题，是基础题．22．（14分）直线l：y=k（x﹣1）过已知椭圆经过点（0，），离心率为，经过椭圆C的右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x=4上的射影依次为点D、K、E．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l交y轴于点M，且，当直线l的倾斜角变化时，探求λ+μ的值是否为定值？若是，求出λ+μ的值，否则，说明理由；（Ⅲ）连接AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）由题设知，因为a2=b2+c2a2=4，c2=1，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）设直线l方程y=k（x﹣1），且l与y轴交于M（0，﹣1），设直线l交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），由得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，再由韦达定理结合题设条件能够推导出当直线l的倾斜角变化时，λ+μ的值为定值．（Ⅲ）当直线l斜率不存在时，直线l⊥X轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交FK 的中点猜想，当直线l的倾斜角变化时，AE与BD相交于定点．证明：由A（x1，y1），B（x2，y2），知D（4，y1），E（4，y2）．当直线l的倾斜角变化时，首先证直线AE过定点再证点也在直线l BD上；所以当m变化时，AE与BD相交于定点．解答：解：（Ⅰ）由题设知，因为a2=b2+c2a2=4，c2=1，∴椭圆C的方程（3分）（Ⅱ）易知直线l的斜率存在，设直线l方程y=k（x﹣1），且l与y轴交于M（0，﹣k），设直线l 交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）由得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，∴（6分）又由，∴（x1，y1）=λ（1﹣x1，﹣y1），∴，同理∴（8分）∴所以当直线l的倾斜角变化时，λ+μ的值为定值；（10分）（Ⅲ）当直线l斜率不存在时，直线l⊥X轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交FK 的中点猜想，当直线l的倾斜角变化时，AE与BD相交于定点（11分）证明：由（Ⅱ）知A（x1，y1），B（x2，y2），∴D（4，y1），E（4，y2）当直线l的倾斜角变化时，首先证直线AE过定点∵当时，==∴点在直线l AE上，同理可证，点也在直线l BD上；∴当m变化时，AE与BD相交于定点点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要灵活运用圆锥曲线性质，注意合理地进行等价转化．。

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2014-2015学年福建省莆田六中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的，把答案填写在答题卷的相应位置．1．（5分）集合A={0，2，a}，B={0，a2}，若A∩B={0，a}，则a的值为（）A．0 B．1 C．±1 D．0或12．（5分）在△ABC中，已知a=2bcosC，那么这个三角形一定是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形3．（5分）直线m在平面α内，直线n在平面β内，下列命题正确的是（）A．m⊥n⇒α⊥βB．α∥β⇒m∥βC．m⊥n⇒m⊥βD．m∥n⇒α∥β4．（5分）以边长为1的正方形的一条边为旋转轴，旋转一周后所得旋转体侧面积为（）A．2πB．πC．2 D．15．（5分）等比数列{a n}的各项均为正数，a4a7+a5a6=18，则log3a1+log3a2+…+log3a10=（）A．10 B．12 C．D．6．（5分）f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x+1．则=（）A．﹣4 B．2 C．3 D．47．（5分）直三棱柱ABC﹣EFG所有顶点在半径为的球面上，AB=AC=，AE=2，B﹣AE﹣C余弦为（）A．B．C．D．8．（5分）若平面区域的面积为3，则实数k的值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知f（x）是定义在（0，+∞）的单调函数，且对任意x∈（0，+∞）的，都有f[f（x）﹣lnx]=1，则函数g（x）=e x﹣f（x）+1的最小值必在区间（）A． B．（2，2.5）C．（1，2） D．10．（5分）△ABC内角A、B、C成等差，①若a、b、c成等比，则△ABC等边三角形；②若a=2c，则△ABC锐角三角形；③若，则3A=C；④若tanA+tanC＞﹣，则△ABC为钝角三角形．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填写在答题卷的相应位置．11．（4分）已知向量=（2m，3），=（m﹣1，1），若，共线，则实数m的值为．12．（4分）已知等差数列{a n}中，a1+a5+a9=，则sin（a4+a6）=．13．（4分）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（单位：元）14．（4分）ABC是单位圆上不重合的三点，对任意正数x，，则x 的取值．15．（4分）已知数列{a n}的通项公式为a n=（2n﹣1）2n，我们用错位相减法求其前n项和S n，可以得到S n=（2n﹣3）2n+1+6，类比推广以上方法，若b n=n22n，则其前n项和T n=．三、解答题：本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把答案填写在答题卷的相应位置．16．（13分）为了保障幼儿园儿童的人身安全，国家计划在甲、乙两省试行政府规范购置校车方案，计划若干时间内（以月为单位）在两省共新购1000辆校车．其中甲省采取的新购方案是：本月新购校车10辆，以后每月的新购量比上一月增加50%；乙省采取的新购方案是：本月新购校车40辆，计划以后每月比上一月多新购m辆．（1）求经过n个月，两省新购校车的总数S（n）；（2）若两省计划在3个月内完成新购目标，求m的最小值．17．（13分）若函数f（x）=asinx+bcosx，非零向量=（a，b），则称为f（x）的“相伴向量”，f（x）为的“相伴函数”（Ⅰ）已知函数f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx﹣2（ω≥0）的最小正周期为2π，求f（x）的“相伴向量”的模；（Ⅱ）向量的“相伴函数”为g（x），且与（1）中满足．将g（x）图象上所有点横坐标伸长为原来2倍，再将图象向左平移个单位长度，得到函数h（x），若，，求sinα．18．（13分）数列{a n}满足a1=1，a2=2，记，且．（Ⅰ）求{a n}；（Ⅱ）是否存在等差数列{b n}使得=（2n﹣3）2n+3？若存在，请求出{b n}，若不存在，请说明理由．19．（13分）几何特征与圆柱类似，底面为椭圆面的几何体叫做“椭圆柱”．图1所示的“椭圆柱”中，A′B′，AB和O′，O分别是上、下底面两椭圆的长轴和中心，F1、F2是下底面椭圆的焦点．图2是图1“椭圆柱”的三视图及其尺寸，其中俯视图是长轴在一条水平线上的椭圆．（Ⅰ）若M，N分别是上、下底面椭圆的短轴端点，且位于平面AA′B′B的两侧．①求证：OM∥平面A′B′N；②求平面ABN与平面A′B′N所成锐二面角的余弦值；（Ⅱ）若点N是下底面椭圆上的动点，N′是点N在上底面的投影，且N′F1，N′F2与下底面所成的角分别为α、β，请先直观判断tan（α+β）的取值范围，再尝试证明你所给出的直观判断．20．（14分）已知函数f（x）=ln（1+x）﹣kx（k∈R）（Ⅰ）若f（x）最大值为0，求k的值；（Ⅱ）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=ln（1+a n）﹣；（i）求证：＜2；（ii）是否存在n使得a n∉（0，1]，做不存在，请给予证明．【选修4-2：矩阵与变换】21．（7分）已知是矩阵A=的一个特征向量．（Ⅰ）求m的值和向量相应的特征值；（Ⅱ）若矩阵B=，求矩阵B﹣1A．【选修4-4：极坐标与参数方程】22．（7分）在平面直角坐标系中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为，与直线l2的交点为A，曲线C：．（Ⅰ）求A的极坐标；（Ⅱ）求C过点A的切线的极坐标方程．【选修4-5：不等式选讲】23．已知不等式|t+3|﹣|t﹣2|≤6m﹣m2对任意t∈R恒成立．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）若（Ⅰ）中实数m的最大值为λ，且3x+4y+5z=λ，其中x，y，z∈R，求x2+y2+z2的最小值．2014-2015学年福建省莆田六中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的，把答案填写在答题卷的相应位置．1．（5分）集合A={0，2，a}，B={0，a2}，若A∩B={0，a}，则a的值为（）A．0 B．1 C．±1 D．0或1【解答】解：∵A={0，2，a}，B={0，a2}，且A∩B={0，a}，∴a2=a，即a=0或a=1，当a=0时，A={0，2}，B={0}，不合题意，舍去；当a=1时，A={0，2，1}，B={0，1}，且A∩B={0，1}，满足题意，则a的值为1．故选：B．2．（5分）在△ABC中，已知a=2bcosC，那么这个三角形一定是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【解答】解：∵a=2bcosC=2b×=∴a2=a2+b2﹣c2∴b2=c2因为b，c为三角形的边长∴b=c∴△ABC是等腰三角形．故选：C．3．（5分）直线m在平面α内，直线n在平面β内，下列命题正确的是（）A．m⊥n⇒α⊥βB．α∥β⇒m∥βC．m⊥n⇒m⊥βD．m∥n⇒α∥β【解答】解：∵m⊂α，n⊂β，若m⊥n，则α与β可能平行也可能相交，故A错误；若α∥β，根据面面平行的定义，可知两个平面没有公共点，由m⊂α可知，m 与β没有公共点，即m∥β，故B正确；若m⊥n，则m与β可能平行，也可能相交，故C错误；若m∥n，则α与β可能平行也可能相交，故D错误；故选：B．4．（5分）以边长为1的正方形的一条边为旋转轴，旋转一周后所得旋转体侧面积为（）A．2πB．πC．2 D．1【解答】解：边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，圆柱的底面周长为2π，圆柱的高为1．则所得几何体的侧面积为：1×2π=2π，故选：A．5．（5分）等比数列{a n}的各项均为正数，a4a7+a5a6=18，则log3a1+log3a2+…+log3a10=（）A．10 B．12 C．D．【解答】解：由等比数列的性质得，a4a7=a5a6，因为a4a7+a5a6=18，所以a5a6=9，所以log3a1+log3a2+…+log3a10====10，故选：A．6．（5分）f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x+1．则=（）A．﹣4 B．2 C．3 D．4【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），即有f（﹣log23）=﹣f（log23），由于当x＞0时，f（x）=2x+1，则f（log23）=+1=3+1=4，则f（﹣log23）=﹣4．故选：D．7．（5分）直三棱柱ABC﹣EFG所有顶点在半径为的球面上，AB=AC=，AE=2，B﹣AE﹣C余弦为（）A．B．C．D．【解答】解：如图∵直三棱柱ABC﹣EFG的所有顶点都在半径为的球面上，∴球心O位于高的中点上，∵AE=2，AO=，∴OM=1，AM==1，同理MC=MB=1，即O在平面ABC的射影M为三角形ABC的外心，∵AB=AC=，∴cosBAM==，则∠BAM=，同理∠CAM=，则∠BAC=，则∠BAC是二面角B﹣AE﹣C的平面角，则cos∠BAC=cos=；故选：D．8．（5分）若平面区域的面积为3，则实数k的值为（）A．B．C．D．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：∵y=k（x+1）过定点B（﹣1，0），∴根据图象可知k＜k AB，即k＜2，由图象可知A（0，2），由得，即|AC|=，∴三角形的面积为==3，解得k=，故选：B．9．（5分）已知f（x）是定义在（0，+∞）的单调函数，且对任意x∈（0，+∞）的，都有f[f（x）﹣lnx]=1，则函数g（x）=e x﹣f（x）+1的最小值必在区间（）A． B．（2，2.5）C．（1，2） D．【解答】解：设f（x）﹣lnx=m，则f（m）=1，∴1﹣lnm=m，∴m=1，∴f（x）=1+lnx，∴g（x）=e x﹣f（x）+1=e x﹣lnx，∴g′（x）=e x﹣，∵g′（）＜0，g′（1）＞0，∴函数g（x）=e x﹣f（x）+1的最小值必在区间（，1）．故选：D．10．（5分）△ABC内角A、B、C成等差，①若a、b、c成等比，则△ABC等边三角形；②若a=2c，则△ABC锐角三角形；③若，则3A=C；④若tanA+tanC＞﹣，则△ABC为钝角三角形．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵△ABC内角A、B、C成等差，∴2B=A+C，3B=A+B+C=180°，∴B=60°．对于①，若a、b、c成等比，则b2=ac，即a2+c2﹣2accosB=ac，所以，a2+c2﹣2ac=（a﹣c）2=0，所以a=c，故△ABC为等边三角形，①正确；对于②，若a=2c，由正弦定理得：sinA=2sinC，即sinA=2sin（120°﹣A）=2sin120°cosA ﹣2cos120°sinA=cosA+sinA，所以，cosA=0，A=90°，△ABC为直角三角形，②错误；对于③，因为=（+）+•=+abcosC，所以，abcosC=0，C=90°，又B=60°，故A=30°，所以，3A=C，③正确；对于④，若A=C=60°，tanA+tanC=2＞﹣，但此时△ABC为锐角三角形，④错误．综上所述，正确命题的个数是2个，故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填写在答题卷的相应位置．11．（4分）已知向量=（2m，3），=（m﹣1，1），若，共线，则实数m的值为3．【解答】解：∵，共线，∴2m×1﹣3（m﹣1）=0，解得m=3，故答案为：3．12．（4分）已知等差数列{a n}中，a1+a5+a9=，则sin（a4+a6）=．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a1+a5+a9=，∴3a5=，∴a5=∴a4+a6=2a5=，∴sin（a4+a6）=sin，故答案为：．13．（4分）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是160（单位：元）【解答】解：设池底长和宽分别为a，b，成本为y，则∵长方形容器的容器为4m3，高为1m，故底面面积S=ab=4，y=20S+10[2（a+b）]=20（a+b）+80，∵a+b≥2=4，故当a=b=2时，y取最小值160，即该容器的最低总造价是160元，故答案为：16014．（4分）ABC是单位圆上不重合的三点，对任意正数x，，则x 的取值1＜x＜3．【解答】解：由已知得，；∴；∴；∴；由已知知；∴，解得：1＜x＜3．故答案为：1＜x＜3．15．（4分）已知数列{a n}的通项公式为a n=（2n﹣1）2n，我们用错位相减法求其前n项和S n，可以得到S n=（2n﹣3）2n+1+6，类比推广以上方法，若b n=n22n，则其前n项和T n=（n2﹣2n+3）2n+1﹣6．【解答】解：T n=1×2+4×22+9×23+…n2•2n∴2T n=1×22+4×23+9×24+…n2•2n+1∴﹣T n=1×2+3×22+5×23+…（2n﹣1）2n﹣n2•2n+1即T n=﹣S n+n2•2n+1=（n2﹣2n+3）•2n+1﹣6故答案为：（n2﹣2n+3）•2n+1﹣6．三、解答题：本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把答案填写在答题卷的相应位置．16．（13分）为了保障幼儿园儿童的人身安全，国家计划在甲、乙两省试行政府规范购置校车方案，计划若干时间内（以月为单位）在两省共新购1000辆校车．其中甲省采取的新购方案是：本月新购校车10辆，以后每月的新购量比上一月增加50%；乙省采取的新购方案是：本月新购校车40辆，计划以后每月比上一月多新购m辆．（1）求经过n个月，两省新购校车的总数S（n）；（2）若两省计划在3个月内完成新购目标，求m的最小值．【解答】解：（1）设a n，b n分别为甲省，乙省在第n月新购校车的数量．依题意，{a n}是首项为10，公比为1+50%=的等比数列；{b n}是首项为40，公差为m的等差数列．{a n}的前n项和A n=，{b n}的前n项和B n==40n+．所以经过n个月，两省新购校车的总数为S（n）=A n+B n=+40n+=20[（）n﹣1]+40n+=20•（）n+n2+（40﹣）n﹣20．（8分）（2）若计划在3个月内完成新购目标，则S（3）≥1000，所以S（3）=20（）3+×32+（40﹣）×3﹣20≥1000，解得m≥277.5．又m∈N*，所以m的最小值为278．（13分）17．（13分）若函数f（x）=asinx+bcosx，非零向量=（a，b），则称为f（x）的“相伴向量”，f（x）为的“相伴函数”（Ⅰ）已知函数f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx﹣2（ω≥0）的最小正周期为2π，求f（x）的“相伴向量”的模；（Ⅱ）向量的“相伴函数”为g（x），且与（1）中满足．将g（x）图象上所有点横坐标伸长为原来2倍，再将图象向左平移个单位长度，得到函数h（x），若，，求sinα．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx﹣2=2sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx，所以，依题意，∴∴（Ⅱ）依题意因为向量的“相伴函数”为g（x），．所以∴故∴=∴18．（13分）数列{a n}满足a1=1，a2=2，记，且．（Ⅰ）求{a n}；（Ⅱ）是否存在等差数列{b n}使得=（2n﹣3）2n+3？若存在，请求出{b n}，若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵数列{a n}满足a1=1，a2=2，记，且，），∴（1，2）∥（a n，a n+1∴，=2a n，∴a n+1∴{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴．（Ⅱ）假设存在等差数列{b n}使得=（2n﹣3）2n+3，则1×b1=3﹣2=1，解得b1=1，1+2b2=7，解得b2=3，∴{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，∴b n=2n﹣1．19．（13分）几何特征与圆柱类似，底面为椭圆面的几何体叫做“椭圆柱”．图1所示的“椭圆柱”中，A′B′，AB和O′，O分别是上、下底面两椭圆的长轴和中心，F1、F2是下底面椭圆的焦点．图2是图1“椭圆柱”的三视图及其尺寸，其中俯视图是长轴在一条水平线上的椭圆．（Ⅰ）若M，N分别是上、下底面椭圆的短轴端点，且位于平面AA′B′B的两侧．①求证：OM∥平面A′B′N；②求平面ABN与平面A′B′N所成锐二面角的余弦值；（Ⅱ）若点N是下底面椭圆上的动点，N′是点N在上底面的投影，且N′F1，N′F2与下底面所成的角分别为α、β，请先直观判断tan（α+β）的取值范围，再尝试证明你所给出的直观判断．【解答】（Ⅰ）（i）证明：连结O′M，O′N，∵O′O⊥底面A′B′N′，O′M⊂底面A′B′N′，∴O‘O⊥O′M，∵O′M⊥A′B′，O′O⊂平面AA′B′B，A′B′⊂平面AA′B′B，A′B′∩O′O=O′，∴O′M⊥平面AA′B′B，同理ON⊥平面AA′B′B，∴O′M∥ON，又O′M=ON，∴四边形ONO′M为平行四边形，又∵OM不包含于平面AA′B′B，O′N⊂平面AA′B′B，∴OM∥平面AA′B′B．（ii）解：由题意得，底面上的椭圆的长轴长2，短轴长为2，如图，以O为原点，AB所在直线为x轴，OO′所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则有F2（1，0，0），N（0，1，0），，，，∴=（0），，∵z轴⊥平面ABN，∴取平面ABN的一个法向量，设平面A′B′N的一个法向量为，则，取z=1，得，设平面ABN与平面A′B′N所成锐二面角的平面角为θ，则cosθ=|cos＜＞|=||=，∴平面ABN与平面A′B′N所成锐二面角的余弦值为．（Ⅱ）解：当点N为下底面上椭圆的短轴端点时，，tanα=tanβ===，，，tan（α+β）=﹣；当点N为下底面上椭圆的长轴端点（如右顶点）时，NF1=，NF2=，tanα=，tan=，，直观判断tan（α+β）的取值范围是[﹣，﹣]，∵N′是点N在上底面的投影，∴N′N⊥上底面O′，∵上下底面互相平行，∴N′N⊥平面ABN，∴分别为N′F1，N′F2与下底面所成的角，∴，又∵NF1，NF2⊂平面ABN，∴NN′⊥NF1，NN′⊥NF2，设NF1=m，NF2=n，则m+n=2，且tan，tan，∴tan（α+β）==，∵m+n=2，∴mn=m（2﹣m）=﹣（m﹣）2+2，又∵﹣5≤mn﹣6≤﹣4，﹣，∴tan（α+β）的取值范围是[﹣，﹣]．20．（14分）已知函数f（x）=ln（1+x）﹣kx（k∈R）（Ⅰ）若f（x）最大值为0，求k的值；（Ⅱ）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=ln（1+a n）﹣；（i）求证：＜2；（ii）是否存在n使得a n∉（0，1]，做不存在，请给予证明．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=﹣k，x∈（﹣1，+∞）①当k≤0，无最值，舍去；②k＞0，f max（x）=f（﹣1）=0，解得，k=1．（Ⅱ）i．证明：由（Ⅰ）知，f（x）=ln（1+x）﹣x≤0，即ln（x+1）≤x，∴ln（1+a n）≤a n，∴a n+1=ln（1+a n）﹣≤a n﹣；∴a n+1≤a n，∴a n≤a n﹣1≤a n﹣2≤…≤a1=，∴ii．不存在，由（i），下面用数学归纳法证明a n＞0对任意正整数成立，①当n=1，a1=1＞0；②假设当n=k时假设成立，即a k＞0令，则，故h（x）在（﹣1，1）单调递增，∵0＜a k≤1，∴a k+1=h（a k）＞h（0）=0，∴当n=k+1，a n＞0，∴a n＞0，∴对任意正整数a n＞0恒成立即不存在n∈N*，使a n∉（0，1]．【选修4-2：矩阵与变换】21．（7分）已知是矩阵A=的一个特征向量．（Ⅰ）求m的值和向量相应的特征值；（Ⅱ）若矩阵B=，求矩阵B﹣1A．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，可知存在实数λ（λ≠0），使得=λ，即，又因为k≠0，所以，所以m=0，特征向量相应的特征值为1；（Ⅱ）因为|B|=3×1﹣2×2=﹣1，所以B﹣1=，因此阵B﹣1A==．【选修4-4：极坐标与参数方程】22．（7分）在平面直角坐标系中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为，与直线l2的交点为A，曲线C：．（Ⅰ）求A的极坐标；（Ⅱ）求C过点A的切线的极坐标方程．【解答】解：（Ⅰ）直线l1的极坐标方程为，化为直角坐标方程为y=x，与直线l2的直角坐标方程为y=x+1，再由，求得，故交点A的直角坐标为（2，2），化为极坐标为（2，）．（Ⅱ）曲线C ：，化为直角坐标方程为 x 2+y 2=8，故过点A （2，2）的切线方程为2x +2y=8，即x +y=4．化为极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=4．【选修4-5：不等式选讲】23．已知不等式|t +3|﹣|t ﹣2|≤6m ﹣m 2对任意t ∈R 恒成立．（Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若（Ⅰ）中实数m 的最大值为λ，且3x +4y +5z=λ，其中x ，y ，z ∈R ，求x 2+y 2+z 2的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵|t +3|﹣|t ﹣2|≤|（t +3）﹣（t ﹣2）|=5，不等式|t +3|﹣|t ﹣2|≤6m ﹣m 2对任意t ∈R 恒成立，可得6m ﹣m 2≥5，求得1≤m ≤5，即实数m 的取值范围为{m |1≤m ≤5}．（Ⅱ）由题意可得 λ=5，3x +4y +5z=5．∵（x 2+y 2+z 2）（32+42+52）≥（3x +4y +5z ）2=25，当且仅当==时，等号成立，即x=，y=，z= 时，取等号．∴50（x 2+y 2+z 2）≥25，∴x 2+y 2+z 2≥，即x 2+y 2+z 2的最小值为，赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．（Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-xxx则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-0xx<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-0x。