高中数学选修1(人教A版)课件2.3.3-4点到直线的距离公式

2．两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距离 为( )
A．3 B．2
C．1
1 D.2
解析：由平行线间的距离公式得：
d＝|－7－32＋－4122|＝1，故选C. 答案：C
3．若第二象限内的点P(m,1)到直线x＋y＋1＝0的距离为 2 ， 则m的值为________．
解析：由|m＋121＋＋112 |＝ 2，得m＝－4或m＝0， 又∵m＜0，∴m＝－4. 答案：－4
由光的性质可知，光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|，由
A(4,3)，P(－4,3)知，|AP|＝4－(－4)＝8，
∴光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.
方法归纳
光线的入射、反射的问题以及在某定直线取点，使它与两定
点距离之和最小这类问题均属于点关于直线对称的问题．
(1)点A(x0，y0)关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称点M(x，y)，
题型二 两条平行线间的距离——师生共研 例1 (1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之 间的距离为________．
解析：(1)由题意，得63＝m1 ，
∴m＝2，将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，
由两平行线间距离公式，得|－612＋＋262|＝
5＝ 40
10 4.
2.3.3 点到直线的距离公式 2.3.4 两条平行直线间的距离
[教材要点]
要点一 点到直线的距离 1．概念：过一点向直线作垂线，则该点与___垂__足___之间的距 离，就是该点到直线的距离． 2．公式：点P(x0，y0)到直线：l：Ax＋By＋C＝0的距离，d＝ |Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|.
答案：(1)
10 4
(2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距 离相等，则l的方程为________．
解析：(2)设直线l的方程为2x－y＋C＝0，由题意，得
|3－C| 22＋12
＝ |C22＋＋11| 2，解得C＝1，∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.
答案：(2)2x－y＋1＝0
可由方程组yxA－－·x＋yx200·x(0－＋ABB·)y＝＋2－y0＋1ACB＝≠00
求得．
(2)常用对称的特例有： ①A(a，b)关于x轴的对称点为A′(a，－b)； ②B(a，b)关于y轴的对称点为B′(－a，b)； ③C(a，b)关于直线y＝x的对称点为C′(b，a)； ④D(a，b)关于直线y＝－x的对称点为D′(－b，－a)； ⑤P(a，b)关于直线x＝m的对称点为P′(2m－a，b)； ⑥Q(a，b)关于直线y＝n的对称点为Q′(a,2n－b)．
答案：C
2．垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1,0)的距离是35 10的直 线l的方程是____________．
解析：设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝ 0，
则由点到直线的距离公式知： d＝|3×3－2＋1－－01＋2 m|＝|m－103|＝35 10. 所以|m－3|＝6，即m－3＝±6. 得m＝9或m＝－3， 故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0. 答案：3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0
式，且x，y的系数对应相等． ③当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决． 当两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－
x1|； 当两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－
y1|.
[基础自测]
1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为( ) A．1 B. 3 C．2 D. 5 解析：由点到直线距离公式得： d＝|0＋21×2＋02－2 5|＝ 5.故选D. 答案：D
ba·(－43 )＝－1， 8×2a＋6×b2＝25，
解得ba＝＝34，，
∴A的坐标为(4,3)，
∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，
又由反射光线过P(－4,3)，两点纵坐标相等．
故反射光线所在直线方程为y＝3.
由方程组y8＝x＋3，6y＝25，
解得 x＝78， y＝3，
由于反射光线为射线，
故反射光线的方程为y＝3(x≤78).
题型一 点到直线的距离公式的应用——自主完成 1．已知点A(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a ＝( )
A. 2 B．2－ 2 C. 2－1 D. 2＋1
解析：由点到直线的距离公式知，d＝
|a－2＋3| 2
＝
|a＋1| 2
＝1，
得a＝－1± 2.又∵a＞0，用直线方程的形式不当引发错误
例3 过点P(2,5)，且与点(－4,1)距离等于6的直线方程为 ________．
解析：当斜率存在时，设所求直线方程为y－5＝k(x－2)，即kx－y －2k＋5＝0，
由点到直线的距离公式得：|－4k－k12－ ＋21k＋5|＝6，解得k＝－152， 故所求直线方程为5x＋12y－70＝0. 当斜率不存在时，直线平行于y轴，直线方程为x＝2，符合题意． 综上，所求直线方程为5x＋12y－70＝0或x＝2. 答案：5x＋12y－70＝0或x＝2
题型三 对称问题——师生共研 例2 如图，一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y ＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程及光线从O点到达 P点所走过的路程．
先求出原点关于l的对称点，然后利用反射光线的反向延长线 过对称点可求方程.
解析：设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l 垂直和线段AO的中点在l上得
方法归纳
求两条平行线间距离的方法
求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公
式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝
|b1－b2| k2＋1
；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2
时，d＝ |CA1－2＋CB22| .但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．
跟踪训练1 与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3 的直线方程是________．
解析：∵与l平行的直线方程为5x－12y＋b＝0， 根据两平行直线间的距离公式得 52|＋b－－6|122＝3， 解得b＝45或b＝－33. 所以所求直线方程为：5x－12y＋45＝0，或5x－12y－33＝0. 答案：5x－12y＋45＝0，或5x－12y－33＝0.
要点二 两平行直线间的距离
1．概念：夹在两条平行直线间的公__垂__线__段__的长度就是两条平 行直线间的距离．
2．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2 ＝0之间的距离d＝ |CA1－2＋CB2|2.
状元随笔 ①求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的
距离，也可以利用公式． ②利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般
跟踪训练2 若点P(m,0)到点A(－3,2)及B(2,8)的距离之和最 小，求实数m的值．
解析：点A(－3,2)关于x轴的对称点为A′(－3，－2)． 因为点P(m,0)在x轴上，由对称性可知|PA|＝|PA′|， 所以|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|， 所以当A′，P，B三点共线时，|PA|＋|PB|最小． 因为kA′B＝82＋ ＋23＝2， 所以直线A′B的方程为y－8＝2(x－2)，即y＝2x＋4. 令y＝0，得x＝－2， 即A′，P，B三点共线时，点P的坐标为(－2,0)， 所以所求实数m的值为－2.
【易错警示】 易错原因
忽略了直线的斜率不存 在的情况而漏解致错.
纠错心得 一般地，求直线方程，设为点斜式或斜 截式是常见的两种形式．因此，一定要 考虑斜率不存在而直线存在的形式.
方法归纳
点到直线的距离的求解方法 (1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程， 直接应用点到直线的距离公式求解即可．
(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们 的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0 －a|或d＝|y0－b|.
(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距 离公式列方程求解参数即可．