曲线的轨迹方程 -2021-2022学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

专题2：曲线的轨迹方程
一、填空题
1．圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 所在平面上与P 不重合的一个定点，P 是圆上任意一点，线段PA 的垂直平分线l 和直线OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是________ ①椭圆；①双曲线；①抛物线；①圆；①一个点
2．已知椭圆 2
2116
x y += 的左右焦点为1F 、2F ，点P 为椭圆上任
意一点，过2F 作12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为点Q ，过点Q 作y 轴的垂线，垂足为N ，线段QN 的中点为M ，则点M 的轨迹方程为___________.
3．过圆22:4O x y +=与y 轴正半轴的交点A 作圆O 的切线l ，M 为l 上任意一点，过M 作圆O 的另一条切线，切点为Q ．当点M 在直线l 上运动时，①MAQ 的垂心的轨迹方程为________．
4．已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆1C ：22
221x y a b
+=的左、右顶
点分别为1A ，2A .直线l ：()()2121m y m x y -+-=+（m R ∈）交椭圆于P ，Q 两点，直线1A P 和直线2A Q 相交于椭圆外一点R ，则点R 的轨迹方程为______.
5．点M 为椭圆22
195x y +=上一点，12,F F 为椭圆的两个焦点，则
12F MF △的内心轨迹方程为____________.
二、解答题
6．在平面直角坐标系xOy 中，A B ，为抛物线()2:20C y px p =>上不
同的两点，且OA OB ⊥，点D ()12，
且⊥OD AB 于点D . （1）求p 的值；
（2）过x 轴上一点 ()()00T t t ≠，
的直线l 交C 于()11M x y ，，()22N x y ，两点，M N ，在C 的准线上的射影分别为P Q ，，F 为C 的焦点，若
2PQF MNF S S ∆∆=，求MN 中点E 的轨迹方程.
7．若动点M 到定点()0,1A 与定直线:3l y =的距离之和为4. （1）求点M 的轨迹方程，并画出方程的曲线草图；
（2）记（1）得到的轨迹为曲线C ，问曲线C 上关于点()0,B t （
t R ∈）对称的不同点有几对？请说明理由.
8．已知直线x ＝﹣2上有一动点Q ，过点Q 作直线l ，垂直于y 轴，动点P 在l 1上，且满足OP OQ 0⋅=(O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为C ．
（1）求曲线C 的方程；
（2）已知定点M(1
2
-，0)，N(1
2，0)，点A 为曲线C 上一点，直线AM 交曲线C 于另一点B ，且点A 在线段MB 上，直线AN 交曲线C 于另一点D ，求①MBD 的内切圆半径r 的取值范围．
9．已知221(1)1C x y ：
-+=，222(1)25C x y ++=：．
（1）若直线L 与①C 1相切，且截①C 2的弦长等于L 的方程．
（2）动圆M 与①C 1外切，与①C 2内切，求动圆M 的圆心M 轨迹方程．
10．如图，设点 A 和
B
为抛物线 ()2
40y px p => 上原点以外的
两个动点，已知 OA OB ⊥，OM AB ⊥．求点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．
11．设椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为2
，已知(),0A a 、
()0,B b -，且原点到直线AB .，
（①）求椭圆E 的方程；
（①）已知过点()1,0M 的直线交椭圆E 于C 、D 两点，若存在动点N ，
使得直线NC 、NM 、ND 的斜率依次成等差数列，试确定点N 的轨迹方程.
12．已知抛物线C ：22x y =，过点(11)Q ,
的动直线与抛物线C 交于不同的两点,A B ，分别以,A B 为切点作抛物线的切线1l 、2l ，直线1l 、2l 交于点P .
（1）求动点P 的轨迹方程；
（2）求PAB △面积的最小值，并求出此时直线AB 的方程. 13．已知点()2,0A -，()2,0B ，动点(),S x y 满足直线AS 与BS 的斜率之积为34
-，记动点S 的轨迹为曲线C .
（1）求曲线C 的方程，并说明曲线C 是什么样的曲线；
（2）设M ，N 是曲线C 上的两个动点，直线AM 与NB 交于点P ，
90MAN ∠=︒.
①求证：点P 在定直线上；
①求证：直线NB 与直线MB 的斜率之积为定值.
14．已知点1,0A ，E ，F 为直线1x =-上的两个动点，且AE AF ⊥，动点P 满足//EP OA ，//FO OP （其中O 为坐标原点）.
（1）求动点P 的轨迹C 的方程；
（2）若直线l 与轨迹C 相交于两不同点M 、N ，如果4OM ON ⋅=-，证明直线l 必过一定点，并求出该定点的坐标.
15．已知椭圆C 的方程为22
12y x +=，点P (a ，
b )的坐标满足2212
b a +≤，过点P 的直线l 与椭圆交于A ､B 两点，点Q 为线段AB 的中点，求：
（1）点Q 的轨迹方程；
（2）点Q 的轨迹与坐标轴的交点的个数.
16．已知点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(,)M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为14
-．记M 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程，并说明是什么曲线；
（2）设直线l 不经过点(0,1)P 且与曲线C 相交于点D ．E 两点．若直线PD 与PE 的斜率之和为2，证明：l 过定点．
17．在直角坐标系内，点A ，B 的坐标分别为()2,0-，()2,0，P 是
坐标平面内的动点，且直线PA ，PB 的斜率之积等于1
4
-，设点P 的轨迹为C .
（1）求轨迹C 的方程；
（2）设过点()1,0且倾斜角不为0的直线l 与轨迹C 相交于M ，N 两点，求证：直线AM ，BN 的交点在直线4x =上.
18．过椭圆C 外一点()00,P x y 作椭圆22
:154
x y C +=的切线1l ，2l ，切
点分别为A ，B ，满足12l l ⊥.
（1）求P的轨迹方程
（2）求ABP
△的面积(用P的横坐标0x表示)（3）当P运动时，求ABP
△面积的取值范围.
参考答案
1．①①①①
【分析】由题设条件线段的垂直平分线的性质，结合圆锥曲线的定义，分类讨论，即可求解.
【解析】（1）因为A 为圆O 内的一定点，P 为O 上的一动点， 线段AP 的垂直平分线交半径OP 于点M ， 可得,MA MP MA MO MP MO OP r =+=+==， 即动点M 到两定点,O A 的距离之和为定值，
①当,O A 不重合时，根据椭圆的定义，可知点M 的轨迹是：以,O A 为焦点的椭圆；
①当,O A 重合时，点M 的轨迹是圆；
（2）当A 为圆O 外的一定点，P 为O 上的一动点， 线段AP 的垂直平分线交半径OP 于点M ， 可得,MA MP MA MO MP MO OP r =-=-==， 即动点M 到两定点,O A 的距离之差为定值，
根据双曲线的定义，可得点M 的轨迹是：以,O A 为焦点的双曲线； （3）当A 为圆O 上的一定点，P 为O 上的一动点，此时点M 的轨迹是圆心O .
综上可得：点M 的轨迹可能是点、圆、椭圆和双曲线. 故答案为：①①①①
【点评】本题主要考查了椭圆、双曲线和圆的定义及其应用，其中解答中熟练应用线段垂直平分线的性质，以及椭圆和双曲线的定义是解
答的关键，着重考查推理与论证能力，以及转化思想的应用.
2．22
1416
x y +=
【分析】先利用椭圆的几何性质得到Q 的轨迹方程为：2216x y +=，再根据M 的坐标与Q 的坐标关系可得M 的轨迹方程.
【解析】
如图，延长2F Q 交1F P 的延长线于S ，连接OQ . 因为PQ 为2SPF ∠的平分线且2F S PQ ⊥，
故2PSF △为等腰三角形且2PS PF =，2SQ QF =， 所以121248PF PF PS PF +=+=⨯=.
在12F SF △中，因为1
22,FO F O SQ QF ==，所以()1111
422
OQ F S F P PS =
=+=， 故Q 的轨迹方程为：2216x y +=.
令(),M x y ，则()2,Q x y ，所以2
2
416x y +=即22
1416
x y +=，
故答案为：22
1416
x y +=
【点评】本题考查椭圆的几何性质以及动点的轨迹方程，注意遇到与焦点三角形有关的轨迹问题或计算问题时，要利用好椭圆的定义，另外，求动点的轨迹，注意把要求的动点的轨迹转移到已知的动点的轨迹上去.
3．2240x y y +-= (0)x ≠
【分析】设M 点坐标(m ，2)(0)m ≠，由于MA ，MQ 是过M 点的圆的两条切线，求出切点弦AQ 的方程24mx y +=，将其与圆的方程联立，可以得到Q 点坐标，由于AM 垂直于y 轴，于是垂线BQ 就垂直于x 轴，因此B 、Q 横坐标相同．又MA 、MQ 是圆的两条切线，于是MA MQ =，因此可知MH 过AQ 中点，而由圆的对称性可知，MO 也过AQ 的中点，于是可知M 、H 、O 三点共线．又直线OM 的斜率知道了，B 点的横坐标知道了，于是H 点的纵坐标也出来了，则垂心H 的轨迹可求． 【解析】解：由题意设M 点坐标(m ，2)(0)m ≠，则以MO 为直径的圆的方程为2221
()(1)(4)24
m x y m -
+-=+， 又圆O 的方程为224x y +=，两式作差得：24mx y +=．
联立22244mx y x y +=⎧⎨+=⎩，解得222
84
824m x m m y m ⎧
=⎪⎪+⎨-⎪=
⎪+⎩
或02x y =⎧⎨=⎩． 则点Q 的横坐标为284m
m +．
由于AM 垂直于y 轴，于是垂线BQ 就垂直于x 轴，因此B 、Q 横坐标相同．
又MA 、MQ 是圆的两条切线，于是MA MQ =，因此可知(MH H 为三角形MAQ 的垂心）过AQ 中点，
而由圆的对称性可知，MO 也过AQ 的中点，于是可知M 、H 、O 三点共线．
由直线MO 的方程为2
y x m =，
代入Q 点横坐标得H 点的纵坐标为216
4y m =+．
∴三角形MAQ 的垂心的轨迹方程为2284
164m x m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=
⎪+⎩
． 消掉m 得：2240x y y +-= (0)x ≠．
故答案为：2240x y y +-= (0)x ≠
【点评】本题考查轨迹方程的求法，训练了参数法求曲线的轨迹，解答此题的关键是求出过切点的弦的方程，属于中档题． 4．2x a =
【分析】由已知，可得直线l 恒过(1,0)，由题意知，直线PQ 斜率不为0，设PQ 的方程为1x ty =+，112212(,),(,)(0,0)P x y Q x y y y ><，(,)R x y ，联立椭圆方程，解得12,y y ，再由由1,,A P R 三点共线可得
11y y
x a x a =
++，由
2,,A Q R 三点共线可得22y y x a x a
=--，两式相除可得1222()
()y x a x a x a y x a --=++，再将12,y y 代入化简即可.
【解析】因为()()()2121m y m x y m R -+-=+∈， 所以(22)10m y x x y --+--=，
由22010y x x y --=⎧⎨--=⎩得1
x y =⎧⎨=⎩，故直线l 恒过(1,0)，
由题意知，直线PQ 斜率不为0，
设PQ 的方程为1x ty =+，112212(,),(,)(0,0)P x y Q x y y y ><，(,)R x y ， 联立椭圆方程，得22222222()20b t a y b ty b a b +++-=，
则>0∆，222212122222222,,b a b b t
y y y y b t a b t a --=+=++，()
()222121222a b b y y y y b t
-+=， 由1,,A P R 三点共线可得
11y y
x a x a =++，
由2,,A Q R 三点共线可得22
y y x a x a =--， 两式相除可得12122121()(1)()(1)y x a y ty a x a x a y x a y ty a -+--===++++()()121
21
211ty y a y ty y a y +-++
()()
()()()
()22
21212
22
2122
211
21
12a b
b y y t
a y a
b t a a b b y y t
a y
b t
-++--==
+-+++，解得2x a =， 所以点R 在定直线2x a =上，故点R 的轨迹方程为2x a =. 故答案为：2x a =.
【点评】本题考查直线与椭圆位置关系中的定值问题，考查学生的逻辑推理与数学运算能力，是一道难度较大的题.
5．22
51(0)44
x y y +
=≠ 【分析】设12F MF △的内心为I ，连接MI 交x 轴于点N ，由内角平分线性质定理得到3
2
MI
NI
=
，设()()()0011,,,,,I x y M x y N x y ，再由焦半径公式及内角平分线定理得到04
9
I x x =，则04,09N x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，然后利用向量关系把M 的坐标用I 的坐标表示出来，代入椭圆方程求解.
【解析】如图，设12F MF △的内心为I ，连接MI 交x 轴于点N ，连接12,IF IF 在1MF I △中1IF 是1MF N ∠的角平分线. 根据内角平分线性质定理得到1
1MI
MF NI NF =.
同理可得22
MI
MF NI
NF =.
所以1212MI MF MF NI NF NF ==，根据等比定理得：1212+22MI MF MF a a
NI NF NF c c
===+ 在椭圆22
195
x y +=
中，3,2a b c ===
所以3
2
MI
NI
=
设()()()0011,,,,,I x y M x y N x y ，则00y ≠
102
33MF x =
==+ 同理2
02
33
MF x =- 又11212,2F N x F N x =+=-，则0
11
0232
32233
x x x x ++=--，可得1049x x =
所有04,09N x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
()0004,,,9MI x x y y IN x x y ⎛⎫
=--=-- ⎪⎝⎭
由32MI IM =
，得002332x x x x -=-，03
2
y y y -=- 所以0035,22x x y y =-=，代入椭圆22
195
x y +=方程.
得22
5144
x y +
=，由00y ≠，则0y ≠.
所以12F MF △的内心轨迹方程为：()22
51440x y y +
=≠ 故答案为：()22
5144
0x y y +
=≠
【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查焦半径公式，内角平分线定理的应用，属于难题.
6．（1）52
；（2）
2
52524y x =- 【分析】（1）由点()12D ，
且OD AB ⊥于点D ，可求得直线AB 的方程，联立直线方程与抛物线方程由韦达定理可表示A B y y ，进而表示A B x x ⋅，再由OA OB ⊥，得0OA OB ⋅=构建方程，解得p 值；
（2）分别表示PQF S ∆与MNF S ∆，由已知2PQF MNF S S ∆∆=构建方程，解得t 的值，设MN 的中点E 的坐标为()x y ，，当MN 与x 轴不垂直时，由
MN TE K K =构建等式，整理得中点轨迹方程；当MN 与x 轴垂直时，T 与
E 重合，综上可得答案.
【解析】（1）由OD AB ⊥及()12D ，
，得直线AB 的斜率11
2
OD k k =-=-， 则AB 的方程为()1
212
y x -=-
-，即25x y =-+， 设(),A A A x y ，(),B B B x y ，
联立22,25,
y px x y ⎧=⎨=-+⎩消去x 得24100y py p +-=，216400p p ∆=+>，
由韦达定理，得10A B y y p =-，于是222
2
10025224A B A B y y p x x p p p =
⋅==， 由OA OB ⊥，得0OA OB ⋅=，即0A B A B x x y y +=，则25100p -=， 解得5
2
p =
. （2）由（1）得抛物线的焦点504F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，设C 的准线与x 轴的交点为G ， 则12115
222
PQF S FG PQ y y ∆=
=⨯-，12115224MNF S FT PQ t y y ∆==--，
由2PQF MNF S S ∆∆=，得5544t -=，且0t ≠，得5
2
t =.
设MN 的中点E 的坐标为()x y ，， 则当MN 与x 轴不垂直时，由MN TE K K =，
可得2121222121210555
5552222255
y y y y y y y y
y y x x y y y x x x x ---=⇒=⇒=⇒=
-+-----
， 25255242y x x ⎛⎫
=
-≠ ⎪⎝⎭
； 当MN 与x 轴垂直时，T 与E 重合， 所以MN 的中点的轨迹方程为25
252
4
y x =-
.
【点评】本题考查由已知关系求抛物线的标准方程，还考查了在抛物线中线弦的问题下求中点的轨迹方程问题，属于难题.
7．（1）()2
4,3124,3y y x y y ≤⎧⎪=⎨-->⎪⎩
；作图见解析；（2
）答案不唯一，具体见
解析.
【分析】（1）设(),M x y 34y -=，分类讨论，
可得点M 的轨迹方程，并画出方程的曲线草图；
（2）当0t ≤或4t ≥显然不存在符合题意的对称点，当0
4t ＜＜时，注意到曲线C 关于y 轴对称，至少存在一对（关于y 轴对称的）对称点，再研究曲线C 上关于()0,B t 对称但不关于y 轴对称的对称点即可.
【解析】解：（1）设(),M x y 34y -=
①：当3y ≤1y =+， 化简得：24x y =
①：当3y >7y =-，
化简得：()2
124x y =--（二次函数）
综上所述：点M 的轨迹方程为()2
4,3
124,3y y x y y ≤⎧⎪=⎨-->⎪⎩
（如图）：
（2）当0t ≤或4t ≥显然不存在符合题意的对称点，
当0
4t ＜＜时，注意到曲线C 关于y 轴对称，至少存在一对（关于y 轴对称的）对称点.
下面研究曲线C 上关于()0,B t 对称但不关于y 轴对称的对称点
设()00,P x y 是轨迹()2
43x y y =≤上任意一点， 则()2
00043x y y =≤，
它关于()0,B t 的对称点为()00,2Q x t y --，
由于点Q 在轨迹()2
124x y =--上，
所以()()2
001224x t y -=---，
联立方程组()200
20
041224x y x t y ⎧=⎪⎨=--⎪⎩（*）得
()0041224y t y =---，
化简得()006
033
y t y +=
≤≤ ①当()00,3y ∈时，()2,3t ∈，此时方程组（*）有两解， 即增加有两组对称点.
①当00y =时，2t =，此时方程组（*）只有一组解， 即增加一组对称点.（注：对称点为()0,0P ，()0,4Q ） ①
当03y =时，3t =，此时方程组（*
）有两解为()P
，()Q -， 没有增加新的对称点.
综上所述：记对称点的对数为
()()[)0,0,4
1,0,2,2,23,2,3
1,3,4t t t M M t t t ⎧≤≥⎪
∈⎪⎪
==⎨⎪∈⎪
⎪∈⎩
. 【点评】本题考查根据几何条件告诉的等量关系求轨迹方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，难度大. 8．（1）22y x =；（2
）1,)+∞
【分析】（1）设点P 的坐标为（x ，y ），结合题意得出点Q 的坐标，再利用向量数量积的运算可得出点P 的轨迹方程；
（2）设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）、D （x 3，y 3），设直线AM 的方程为
12y k x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，将该直线方程与曲线C 的方程联立，结合韦达定理进行
计算得出点B 和点D 的横坐标相等，于是得出BD ①x 轴，根据几何性质得出①MBD 的内切圆圆心H 在x 轴上，且该点与切点的连线与AB 垂直．
方法一是计算出①MBD
的面积和周长，利用等面积法可得出其内切
圆的半径的表达式；
方法二是设H （x 2﹣r ，0），直线BD 的方程为x ＝x 2，写出直线AM 的方程，利用点H 到直线AB 和AM 的距离相等得出r 的表达式； 方法三是利用①MTH ①①MEB ，得出MH HT
MB BE
=，然后通过计算得出①MBD 内切圆半径r 的表达式．
通过化简得到r 关于x 2的函数表达式，并换元2
1
12
t x =+＞，将函数关系式转化为r 关于t 的函数关系式，然后利用单调性可求出r 的取值范围．
【解析】（1）设点(),P x y ，则()2,Q y - ①(),OP x y =，()2,OQ y =- ①0OP OQ ⋅= ①220OP OQ x y ⋅=-+=，即22y x =
（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,D x y ，直线BD 与x 轴交点为E ，内切圆与AB 的切点为T ．
设直线AM 的方程为：12y k x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，则联立方程2122y k x y x
⎧⎛
⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎨
⎪=⎩
，得：(
)
2
2
2
2
204
k k x k x +-+=
①1214x x =且120x x << ①1212
x x << ①直线AN 的方程为：
111122
y y x x ⎛⎫
=
- ⎪⎝⎭-， 与方程2
2y x =联立得：22222111111122024y x y x x x y ⎛⎫-+-++= ⎪
⎝⎭，化简得：221111122022x x x x x ⎛
⎫-++= ⎪⎝
⎭
解得：114x x =
或
1x x = ①3
211
4x x x == ①BD x ⊥轴 设MBD ∆的内切圆圆心为H ，则H 在x 轴上且HT AB ⊥
方法（一）①221
1
222MBD S x y ∆⎛⎫
=⋅+⋅ ⎪⎝
⎭
，且MBD ∆
的周长为：
22y
①22211122222MBD
S y r x y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=⋅=⋅+⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
①
22
1x y r ⎛⎫+ ⎪=
=
=
.
方法（二）设()2,0H x r -，直线BD 的方程为：2x x =，其中2
222y x =
直线AM 的方程为：
2
21122
y y x x ⎛⎫=
+ ⎪⎝⎭+，即22211022y x x y y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，且点H 与点O 在直线AB 的同侧，
①
()2221x r y y r -+
=
=
，解得：
2221
x y y r +
=
=
方法（三）①MTH MEB ∆~∆ ①MH HT MB BE =
221x r r y +
-=，解得：
22
211
x y x r ⎛⎫++
⎪==
21x +
=
=
令212
t x =+，则1t >
①
r =
在()1,+∞
上单调增，则r >，即r
的取值范围为)
1,+∞．
【点评】本题考查轨迹方程以及直线与抛物线的综合问题，考查计算能力与化简变形能力，属于难题．
9．（1
）33
y x y x ==-+（2）22
19
8
x y .
【分析】（1）设所求直线l 的方程为y=kx+b ，由直线l 与①C 1相切、直线l 截①C 2的弦长，列方程组即可求出直线L 的方程．
（2）由题意得：|MC 1|+|MC 2|=6，设动点M （x ，y ），列方程能求出动圆M 的圆心M 轨迹方程．
【解析】解：（1）设所求直线L 的方程为y =kx +b ，
①直线L与①C1相切，
=1，（i）
又直线L截①C2的弦长等于
，
=2，（ii）
d2=r2-21=4，
①|k-b
，①|k-b|=2|k+b|，
①k+3b=0，（iii）或3k+b=0，（iiii）
（iii）代入（i），得：|
2
3
k
2
5
10
9
k+=，无解，
（iiii）代入（i），得：|-2k
，解得k
=
3
±，
当k
b=
，直线方程为y
x
当k=
b
，直线方程为y=
x
．
经检验得斜率不存在的直线均不适合题意．
故直线L的方程为y
x y=
（2）由题意得：|MC1|+|MC2|=6，
设动点M（x，y）
=6，
解得
22
98
x y
+=1，
①动圆M的圆心M轨迹方程为221
98
x y
+=．
【点评】本题考查直线方程的求法，动圆的圆心的轨迹方程的求法，直线与圆相切、弦长公式、直线方程、圆、两点间距离公式等基础知
识，属于难题．
10．M 的轨迹是以 ()2,0p 为圆心，以 2p 为半径的圆，去掉坐标原点． 【解析】
【分析】设出点的坐标，根据给出的两个垂直关系，得到各个坐标间的关系，最后消掉参数得到轨迹方程，并去掉不符合的点。

【解析】如图，点 ,A B 在抛物线 2
4y px = 上，设 22,,,44A B A B y y A y B y p p ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
,OA OB 的斜率分别为 ,OA OB k k ．
所以
244,.4A OA OB A A B y p p
k k y y y p
=
== 由 OA OB ⊥，得
2161OA OB
A B
p k k y y ⋅==-①
依点 A 在 AB 上，得直线 AB 方程
()()2
44A
A B A y y y y y p x p ⎛⎫+-=- ⎪
⎝
⎭②
由 OM AB ⊥，得直线 OM 方程
4A B
y y y x p
③+=
-
设点 (),M x y ，
则 ,x y 满足①、①两式，将①式两边同时乘 4x
p
-
，并利用①式整理得
()
2
2204A A x y yy x y p
+-+=④
由①、①两式得
()
220.4A B x
y y x y p
-
-+= 由①式知，2
16,A B y y p =- ① 2240.x y px +-=
因为 ,A B 是原点以外的两点，所以 0x ≠．
所以 M 的轨迹是以 ()2,0p 为圆心，以 2p 为半径的圆，去掉坐标原点．
【点评】本题考查了曲线轨迹方程的求法，通过迭代法、设而不求，得到各个坐标间的相互关系，最后消去参数得到轨迹方程。

注意最后要把不符合要求的点坐标舍弃，属于难题。

11．（①）22142
x y +=；（①）4x =.
【分析】（①）由椭圆
E 的离心率得出a =，写出直线AB 的方程，
利用原点到直线AB 得出b 的值，进而得出a 的值，于此得出椭圆E 的方程；
（①）设点()11,C x y 、()22,D x y 、()00,N x y ，设直线CD 的方程为1x my =+，
将直线CD 的方程与椭圆E 的方程联立，并列出韦达定理，利用斜率公式以及直线NC 、NM 、ND 的斜率依次成等差数列，2NM NC ND k k k =+，并代入韦达定理求出0x 的值，即可得出点N 的轨迹方程.
【解析】（①）由22222
2221
12
c a b b e a a a -==
=-=，得a =，
由点(),0A a 、()0,B b -可知直线AB 的方程为1x
y a b
-=，
即0x --=. 由于原点到直线AB
3=
=，得
b =
2a ∴==，因此，椭圆E 的方程为22
142
x y +
=； （①）设点()11,C x y 、()22,D x y 、()00,N x y ，设直线CD 的方程为1x my =+，
联立直线CD 的方程与椭圆E 的方程22114
2x my x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，
消去x 并整理得()222230m y my ++-=，()2
1630m ∆=+>，
由韦达定理得12222m
y y m +=-
+，12
232
y y m =-+. ()()
10201020
1020102011NC ND y y y y y y y y k k x x x x ky x ky x ----+=
+=+--+-+- ()()()()()()()
1201201200
2
2120120212111ky y ky y y x y y x y k y y k x y y x -++-+--=+-++-
()()()()()()
220000
2
22200622122132121k k y k x k x y k k x k x -+---+-=---++-
()()()()()()2000000
22
200022162141121321k y y x k x x y k x x x ---+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=⎡⎤----+-⎣⎦
①，
而0
0221NM y k x =
-①，
由题意得
()()()()()()2000000
2
2
200002216214121121321k y y x k x x y y x k x x x ---+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=
-⎡⎤----+-⎣⎦
，
故得()06210x +-=，解得04x =，
再代回①式得2000
2812212183
k y y y k ⨯+=+，回代①式可得023y ，
由此说明点N 的轨迹为直线4x =.
【点评】本题考查椭圆方程的求解，考查动点轨迹方程的求解，考查直线与圆锥曲线综合问题的求解，解决这类问题就是将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，结合韦达定理设而不求法来求解，难点在于计算量大，属于难题.
12．（1）10x y --=；（2）1，y x =.
【分析】（1）设211,2x A x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，2
2
2,2x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，分别求出以,A B 为切点的切线
方程，联立两切线方程表示出点P 的坐标，再设直线AB 的方程为：
1(x 1)y k -=-，与抛物线的方程联立，代入可得点P 的轨迹方程；
（2）由（1）知AB 和(,1)P k k -到直线AB 的距离，利用三角形面积公式求得PAB △
面积S =S 的最小值和直线AB 的方程.
【解析】（1）设211,2x A x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，2
22,2x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21
2y x =，y x '=
则以A 为切点的切线为2111()2x y x x x -=-，整理得：2
112
x y x x =⋅-，
同理：以B 为切点的切线为：2
222
x y x x =-
，
联立方程组：21122
2
22x y x x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，解得121222x x x x P +⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 设直线AB 的方程为：1(x 1)y k -=-，
联立方程组21(1)12y k x y x -=-⎧⎪
⎨=⎪⎩
，整理得：22220x kx k -+-=，
2244(22)4(1)40k k k ∆=--=-+>恒成立，
由韦达定理得：122x x k +=，1222x x k =-，故(,1)P k k -， 所以点P 的轨迹方程为10x y --=；
（2）由（1
）知：AB ==
(,1)P k k -到直线AB
的距离为：d =
，
①1
2
S AB d =
⋅== ①1k =时，S 取得最小值1，此时直线AB 的方程为y x =.
【点评】思路点睛：本题考查直线与抛物线的交点相关问题，涉及到抛物线的切线和三角形的面积的最值，直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．属中档题.
13．（1）()221243
x y x +=≠±，曲线C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上
的椭圆，不含A ，B 两点；（2）①证明见解析；①证明见解析. 【分析】（1）利用直接法表示出直线AS 与BS 的斜率之积，化简可得到曲线方程；
（2）①设直线AM 的方程，由AM AN ⊥，可得直线AN 方程，与椭圆联立可求点N 坐标，进而可求得直线BN 方程，与AM 联立即可得证
点P 在定直线上；①由（1）得34NA NB k k ⋅=-，3
4
MA MB k k ⋅=-，又AM AN ⊥，
进而可得直线NB 与直线MB 的斜率之积. 【解析】（1）解：由题意，得
()3
2224
y y x x x ⋅=-≠±+-， 化简，得()22
1243
x y x +=≠±，
所以曲线C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含A ，B 两点.
（2）证明：①由题设知，直线MA ，NB 的斜率存在且均不为0. 设直线AM 的方程为()20x ty t =-≠，
由AM AN ⊥，可知直线NA 的斜率为NA k t =-，方程为12x y t
=--.
由221
2,{3412,
x y t x y =--+=得()22
43120t y ty ++=， 解得21243N t
y t =-+，则2221126824343N t t x t t t -⎛⎫=-⋅--= ⎪++⎝⎭，即222
6812,4343t t N t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. 直线NB 的斜率为222120343684243NB t
t k t t t -
-+==--+， 则直线BN 的方程为()324y x t =-，将()3
24y x t
=-代入2x ty =-，解得
14x =-，
故点P 在直线14x =-上.
①由（1），得34NA NB k k ⋅=-，34
MA MB k k ⋅=-，
所以339
4416NA NB MA MB k k k k ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
结合1NA MA k k ⋅=-，得9
16
MB NB k k ⋅=-为定值.即直线NB 与直线MB 的斜率之积为定值.
【点评】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
14．（1）()2
40y x x =≠；（2）证明见解析，定点为()2,0.
【分析】（1）设点(),P x y ，()1,E a -，()1,F b -，由AE AF ⊥可得出4ab =-，
由//EP OA ，//FO OP 可得出y a =，y bx =-，代入4ab =-化间可得出动点
P 的轨迹C 的方程；
（2）设直线l 的方程为()0x ty n n =+≠，设点()11,M x y 、()22,N x y ，联立直线l 与曲线C 的方程，列出韦达定理，由4OM ON ⋅=-可求得n 的值，可得出直线l 的方程，进而可得出直线l 所过定点的坐标. 【解析】（1）设(),P x y 、()1,E a -、()1,F b -，
则()2,AE a =-，()2,AF b =-，()1,EP x y a =+-，()1,0OA =，()1,FO b =-，
(),OP x y =.
由AE AF ⊥，得40AE AF ab ⋅=+=，且点E 、F 均不在x 轴上， 故4ab =-，且0a ≠，0b ≠. 由//EP OA ，得0y a -=，即y a =. 由//FO OP ，得0bx y +=，即y bx =-.
所以24y abx x =-=，所以动点P 的轨迹C 的方程为：()2
40y x x =≠；
（2）若直线l 的斜率为零时，则直线l 与曲线C 至多只有一个公共点，不合乎题意.
可设直线l 的方程为()0x ty n n =+≠.
由24y ty n y x
=+⎧⎨=⎩，得2440y ty n --=. 设()11,M x y 、()22,N x y ，则124y y t +=，124y y n =-.
()2
12
21212
124416
y y OM ON x x y y y y n n ∴⋅=+=+=-=-，
0n ≠，解得2n =，所以，直线l 的方程为2x ty =+，即直线l 恒过定
点()2,0.
【点评】方法点睛：直线过定点：根据题中条件确定直线方程y kx m =+中的k 与、所满足的等量关系或等式，然后再代入直线方程，即可确定直线所过定点的坐标
15．（1）22220x y ax by +--=；（2）答案见解析.
【分析】（1）先把,A B 两点和点Q 的坐标设出来，再分,A B 两点的横坐标相等和不相等两种情况分别设出直线的方程，再利用,A B 两点既在直线上又再椭圆上，可以找出,A B 两点坐标之间的关系，最后利用中点公式，即可求得点Q 的轨迹方程（注意要反过来检验所求轨迹方程是否满足已知条件）；
（2）先找到曲线与y 轴的交点(0,0),(0,)b 以及与x 轴的交点(0,0),(,0)a ，再对,a b 的取值分别讨论，分析出与坐标轴的交点的个数（注意点
(,)P a b 的坐标满足22
12
b a +≤）.
【解析】（1）设点A ､B 的坐标分别为(x 1，y 1)､(x 2，y 2)，点Q 的坐标为Q (x ，y )，
当12x x ≠时，设直线斜率为k ，则l 的方程为y =k (x -a )+b ，
由已知2211
12y x += ①，2
2
2212
y x +=， ①
y 1=k (x 1-a )+b ①，y 2=k (x 2-a )+b ， ①
①①得(x 1+x 2)(x 1-x 2)+1
2(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0.①①+①得y 1+y 2=k (x 1+x 2)-2ka +2b ，
①
由①､①及1212
12,2x x y y x k x x +-=
=-，
得点Q 的坐标满足方程2x 2+y 2-2ax -by =0， ①
当x 1=x 2时，k 不存在，此时l 平行于y 轴，因此AB 的中点Q 一定落在x 轴，
即Q 的坐标为(a ，0)，显然点Q 的坐标满足方程 ① 综上所述，点Q 的坐标满足方程2x 2+y 2-2ax -by =0， 设方程①所表示的曲线为l .
则由2222220
12x y ax by y x ⎧+--=⎪
⎨+=⎪⎩
得(2a 2+b 2)x 2-4ax +2-b 2=0，
因为Δ=8b 2
(a 2
+22b -1)，由已知22
12
b a +≤，
所以当a 2
+2
2
b =1时，Δ=0，曲线l 与椭圆C 有且只有一个交点P (a ，
b )；
当a 2
+2
2
b <1时，Δ<0，曲线l 与椭圆C 没有交点，
因为(0，0)在椭圆C 内，又在曲线l 上，所以曲线l 在椭圆C 内， 故点Q 的轨迹方程为2x 2+y 2-2ax -by =0；
（2）由220
220x x y ax by =⎧⎨+--=⎩，得曲线l 与y 轴交于点(0，0)､(0，b )；
由220
220x x y ax by =⎧⎨+--=⎩
，得曲线l 与x 轴交于点(0，0)､(a ，0)；
当a =0，b =0，即点P (a ，b )为原点时，(a ，0)､(0，b )与(0，0)重合，曲线l 与x 轴只有一个交点(0，0)；
当a =0且0<|b 时，即点P (a ，b )不在椭圆C 外且在除去原点的y 轴上时，点(a ，0)与(0，0)重合，曲线l 与坐标轴有两个交点(0，b )与(0，0)；
同理，当b =0且0<|a |≤1时，即点P (a ，b )不在椭圆C 外且在除去原点的x 轴上时，曲线l 与坐标轴有两个交点(a ，0)与(0，0)；
当0<|a |<1且0<|b P (a ，b )在椭圆C 内且不在坐标轴上时，曲线l 与坐标轴有三个交点(a ，0)､(0，b )与(0，0). 【点评】解答圆锥曲线问题的策略：
1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；①利用条件找到k 过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；
2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
16．（1）()22124
x y x +=≠±，曲线C 是焦点在x 轴上，长轴长为4，短
轴长为2的椭圆，去掉两点()2,0-，()2,0；（2）证明见解析. 【分析】（1）由斜率公式求得各直线的斜率，根据题意列式整理得到曲线的轨迹方程，结合椭圆的方程判定轨迹为椭圆，注意根据斜率有存在，得到2x ≠±,轨迹中要去掉椭圆的左右顶点;
（2）①直线l 斜率不存在时，易得直线l 的方程为1x =-；①直线l 斜率存在时，设l 的方程为()1y kx b b =+≠，设()11,D x y ，()22,E x y ，联立方程，利用韦达定理和斜率公式可得1k b =+，进而利用直线的方程说
明直线恒过定点()1,1--．综和即得结论．
【解析】（1）解：因为AM 与BM 的斜率之积为14
-，
所以有
()1
2224
y y x x x ⨯=-≠+±-， 化简得()2
2124
x y x +=≠±，
所以曲线C 是焦点在x 轴上，长轴长为4，短轴长为2的椭圆，去掉两点()2,0-，()2,0．
（2）证明：直线l 不经过点()0,1P ，则点D ，E 不与点P 重合， ①直线l 斜率不存在时，设直线l 的方程为x a =，
由2
214
x a x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩
，解得D a ⎛ ⎝⎭
，,E a ⎛ ⎝
⎭
，
所以
12FD k a -=
，12PE k a
-=， 因为2PD PE k k +=得1a =-，即直线l 的方程为1x =-；
①直线l 斜率存在时，设l 的方程为()1y kx b b =+≠，设()11,D x y ，
()22,E x y ， 由22
1
4
y kx b
x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得122841kb x x k +=-+，212244
41b x x k -=+， 由2PD PE k k +=得1k b =+，
则():1l y b x b =++，则()()111y b x +=++，恒过定点()1,1--． 综上所述，l 过定点()1,1--．
【点评】本题考查求曲线的轨迹方程和轨迹，椭圆的方程和性质，直线与椭圆的位置关系和圆锥曲线中的直线过定点问题，属中档题.注
意第二问中的定点问题，要分直线的斜率存在于不存在两种情况的讨论说明.
17．（1）()22104
x y y +=≠；（2）证明见解析.
【分析】（1）设点，列式，化简（注意斜率存在的条件），求轨迹方程.
（2）直线l 倾斜角不为0，设直线的方程1x my =+（不用取讨论斜率是否存在），联立直线和椭圆的方程，消元，韦达定理，用点的坐标表示直线AM 和BN 方程，求交点()00,Q x y ，进而求出04x =，即证明交点在直线4x =.
【解析】（1）设点(,)P x y ，2PA y k x =
+，2
PB y
k x =
- 则
1224y y x x ⋅=-+-，得22
44y x =-，即()22104
x y y +=≠. 故轨迹C 的方程为：()2
2104
x y y +=≠.
（2）根据题意，可设直线MN 的方程为：1x my =+，
由22
114
x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理得()
22
4230m y my ++-=. 其中，()222
412416480m m m ∆=++=+>.
设()11,M x y ，()22,N x y ，则12224m y y m +=-
+，12
23
4
y y m =-+. 因直线l 的倾斜角不为0，故1x ，2x 不等于2±（1y ，2y 不为0）， 从而可设直线AM 的方程为：()1
122
y y x x =
++——①，
直线BN 的方程为：()2
222
y y x x =
--——①， 所以，直线AM ，BN 的交点()00,Q x y 的坐标满足：
()()()2100122222y x x x y x ++=⋅--.
而()()()()21211221212121
23321y x y my my y y y x y my my y y +++==---
()()2122
121
1
2
3239344433344
m m y m m y m m m m m y y m -⎛⎫+-- ⎪--+++⎝⎭===---+-+， 因此，04x =，即点Q 在直线4x =上.
【点评】本小题主要考查曲线轨迹的求法、直线与椭圆的位置关系；考查运算求解能力和转化化归思想，属于难题. 18．（1）2
2
9x y
+=.（2）
)0033S x =
-.（3）1625,99⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
【分析】（1）讨论切线1l ，2l 的斜率都存在时，设出切线方程，联立椭圆方程，结合相切的条件：判别式为0，由两直线垂直的条件：斜率之积为1-，可得P 的轨迹方程；再讨论切线的斜率不存在，可得所求；
（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，求得A ，B 处的切线方程，可得切点弦AB 的方程，联立椭圆方程，由韦达定理和弦长公式，可得||AB ，求得P 到直线AB 的距离，再由三角形的面积公式，化简可得所求； （3）运用换元法和导数，判断面积函数的单调性，结合P 的横坐标的范围，可得所求范围.
【解析】解：（1）当切线1l ，2l 的斜率都存在时，设切线方程为
()00y k x x y =-+，
由()0022
4520
y k x x y x y ⎧=-+⎨+=⎩，()
()()222
000045105200k x k y kx x y kx ∴++-+--= ()()()22
2220000104455200k y kx k y kx ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦
， ()2
200540y kx k ∴---=，
()22200005240x k x y x y ∴--+-=
①12l l ⊥.
①20122
04
15
y k k x -==--， ①22009+=x y .
当切线1l ，2l
的斜率有一条不存在时，(2)P ±，P 在229x y +=上. 故P 的轨迹方程229x y +=.
（2）设点0(M x ，0)y 在椭圆22
221x y a b
+=上，则过点0(M x ，0)y 的切线方程
为00
221x y x y a b +=，以下来证明此结论：
因为点0(M x ，0)y 在椭圆22
221x y a b +=上，得22
00221x y a b +=．
把0(x ，0)y 代入方程00221x y x y a b +=，得22
00
221x y a b
+=，
所以点0(M x ，0)y 在直线00
22
1x y
x y a b +=上， 联列方程组22
22
002
211x y a b x y x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 可得222220020a x a x x a x -+=，
解得0x x =，即方程组只有唯一解．
所以，直线00
22
1x y
x y a b +=为椭圆在点M 处的切线方程；
设()11,A x y ，()22,B x y ，
可知，过A 的切线方程为
11154
x x y y +=， 过B 的切线方程为22154
x x y y
+=. 又两切线均过()00,P x y ，
①0101
0202154
15
4x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩. 说明()11,A x y ，()22,B x y 均在直线00154
x x y y
+=上. ①过两点的直线唯一，
①切点弦AB 所在的直线方程为：00154
x x y y
+=. 由0022
45204520
x x y y x y +=⎧⎨+=⎩，()222
00004540100250x y x x y ∴+-+-= 可得0122200
4045x x x x y +=+，2
01222001002545y x x x y -=+，
即有
1200
x x -==
，
可得00||AB =， 又P 到直线AB
的距离为d =
，
可得ABP △的面积为
00
1
||2S AB d == 由22
009+=x y .可得22009y x =-，
即有)00
33S x =
-；
（3）设[4,5]t =，则3
220
t S t =+，
()
42
2
2
60020t t S t
+'=
>+，可得S 在[4,5]递增，
可得1625,99S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
. 则P 运动时，求ABP △面积的取值范围为1625,99
⎡
⎤
⎢⎥⎣
⎦
. 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质､直线与椭圆相切
0⇔∆=､直线垂直与斜率的关系､分类讨论等基础知识与基本技能
方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题.。