云城区实验中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

云城区实验中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 下列结论正确的是（ ）
A ．若直线l ∥平面α，直线l ∥平面β，则α∥β．
B ．若直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则α∥β．
C ．若直线l 1，l 2与平面α所成的角相等，则l 1∥l 2
D ．若直线l 上两个不同的点A ，B 到平面α的距离相等，则l ∥α
2． 已知变量,x y 满足约束条件20
170
x y x x y -+≤⎧⎪
≥⎨⎪+-≤⎩
，则y x 的取值范围是（ ）
A ．9[,6]5
B ．9(,][6,)5
-∞+∞ C ．(,3][6,)-∞+∞ D ．[3,6]
3． 若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）
A ．（0，+∞）
B ．（0，2）
C ．（1，+∞）
D ．（0，1）
4． 冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备，为了检验用这两种设备生产的产品中所含杂质的关系，调查结果如下表所示．
杂质高 杂质低 旧设备 37 121 新设备
22
202
根据以上数据，则（ ） A ．含杂质的高低与设备改造有关 B ．含杂质的高低与设备改造无关 C ．设备是否改造决定含杂质的高低
D ．以上答案都不对
5． 已知两条直线12:,:0L y x L ax y =-=，其中为实数，当这两条直线的夹角在0,12π⎛⎫
⎪⎝⎭
内变动 时，的取值范围是（ ）
A ． ()0,1 B
．⎝ C
．()1,3⎫
⎪⎪⎝⎭
D ．( 6． “3<-b a ”是“圆05622
2=++-+a y x y x 关于直线b x y 2+=成轴对称图形”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查圆的一般方程、圆的几何性质、常用逻辑等知识，有一定的综合性，突出化归能力的考查，属于中等难度．
7． 如果函数f （x ）的图象关于原点对称，在区间上是减函数，且最小值为3，那么f （x ）在区间上是（ ） A ．增函数且最小值为3
B ．增函数且最大值为3
C ．减函数且最小值为﹣3
D ．减函数且最大值为﹣3
8． 若，[]0,1b ∈，则不等式2
2
1a b +≤成立的概率为（ ）
A ．
16π B ．12π C ．8π D ．4
π 9． 满足集合M ⊆{1，2，3，4}，且M ∩{1，2，4}={1，4}的集合M 的个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．已知向量=（1，2），=（x ，﹣4），若∥，则x=（ ） A ． 4 B ． ﹣4 C ． 2 D ． ﹣2
二、填空题
11．如果直线3ax+y ﹣1=0与直线（1﹣2a ）x+ay+1=0平行．那么a 等于 ．
12．设所有方程可以写成（x ﹣1）sin α﹣（y ﹣2）cos α=1（α∈[0，2π]）的直线l 组成的集合记为L ，则下列说
法正确的是 ； ①直线l 的倾斜角为α；
②存在定点A ，使得对任意l ∈L 都有点A 到直线l 的距离为定值； ③存在定圆C ，使得对任意l ∈L 都有直线l 与圆C 相交； ④任意l 1∈L ，必存在唯一l 2∈L ，使得l 1∥l 2；
⑤任意l 1∈L ，必存在唯一l 2∈L ，使得l 1⊥l 2．
13．已知圆C 1：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=1，圆C 2：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值 ．
14．已知点A （2，0），点B （0，3），点C 在圆x 2+y 2
=1上，当△ABC 的面积最小时，点C 的坐标为 ．
15．考察正三角形三边中点及3个顶点，从中任意选4个点，则这4个点顺次连成平行四边形的概率等于 ．
16．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线x
C y e ：＝上一点，直线20l x y c ：＋＋＝经过点P ，且与曲线C 在P 点处的切线垂直，则实数c 的值为________．
三、解答题
17．某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），[90，100）后得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中实数a的值；
（Ⅱ）根据频率分布直方图，试估计该校高一年级学生其中考试数学成绩的平均数；
（Ⅲ）若从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．
18．在平面直角坐标系中，矩阵M对应的变换将平面上的任意一点P（x，y）变换为点P′（x﹣2y，x+y）．（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵M﹣1；
（Ⅱ）求圆x2+y2=1在矩阵M对应的变换作用后得到的曲线C的方程．
19．【徐州市2018届高三上学期期中】已知函数（,是自然对数的底数）.
（1）若函数在区间上是单调减函数,求实数的取值范围；
（2）求函数的极值；
（3）设函数图象上任意一点处的切线为，求在轴上的截距的取值范围．
20．（本题满分15分）
设点P 是椭圆14
:2
21=+y x C 上任意一点，
过点P 作椭圆的切线，与椭圆)1(14:22222>=+t t y t x C 交于A ，B 两点．
（1）求证：PB PA =；
（2）OAB ∆的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【命题意图】本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，意在考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．
21．一艘客轮在航海中遇险，发出求救信号.在遇险地点A 南偏西45方向10海里的B 处有一艘海
难搜救艇收到求救信号后立即侦查，发现遇险客轮的航行方向为南偏东75，正以每小时9海里的速度向 一小岛靠近.已知海难搜救艇的最大速度为每小时21海里.
（1）为了在最短的时间内追上客轮，求海难搜救艇追上客轮所需的时间； （2）若最短时间内两船在C 处相遇，如图，在ABC ∆中，求角B 的正弦值.
22．（本小题满分12分）已知椭圆1C ：14
82
2=+y x 的左、右焦点分别为21F F 、，过点1F 作垂直 于轴的直线，直线2l 垂直于点P ，线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M . （1）求点M 的轨迹2C 的方程；
（2）过点2F 作两条互相垂直的直线BD AC 、，且分别交椭圆于D C B A 、、、，求四边形ABCD 面积 的最小值.
云城区实验中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：A 选项中，两个平面可以相交，l 与交线平行即可，故不正确； B 选项中，垂直于同一平面的两个平面平行，正确；
C 选项中，直线与直线相交、平行、异面都有可能，故不正确；
D 中选项也可能相交． 故选：B ．
【点评】本题考查平面与平面，直线与直线，直线与平面的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
2． 【答案】A 【解析】
试题分析：作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），y
x 表示点(,)x y 与原点连线的斜率，易得59(,)22
A ，
(1,6)B ，9
9
2552
OA
k ==，661OB k ==，所以965y x ≤≤．故选A ．
考点：简单的线性规划的非线性应用．
3． 【答案】D
【解析】解：∵方程x 2+ky 2
=2，即
表示焦点在y 轴上的椭圆
∴故0＜k ＜1
故选D ．
【点评】本题主要考查了椭圆的定义，属基础题．
4． 【答案】
A
【解析】
独立性检验的应用． 【专题】计算题；概率与统计．
【分析】根据所给的数据写出列联表，把列联表的数据代入观测值的公式，求出两个变量之间的观测值，把观测值同临界值表中的数据进行比较，得到有99%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的．
【解答】解：由已知数据得到如下2×2列联表 杂质高 杂质低 合计 旧设备 37 121 158 新设备 22 202 224 合计
59
323
382
由公式κ2
=
≈13.11，
由于13.11＞6.635，故有99%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的．
【点评】本题考查独立性检验，考查写出列联表，这是一个基础题．
5． 【答案】C 【解析】1111]
试题分析：由直线方程1:L y x =，可得直线的倾斜角为0
45α=，又因为这两条直线的夹角在0,
12π⎛⎫
⎪⎝⎭
，所以直线2:0L ax y -=的倾斜角的取值范围是0
3060α<<且0
45α≠，所以直线的斜率为
00tan30tan 60a <<且0tan 45α≠1a <<或1a << C. 考点：直线的倾斜角与斜率. 6． 【答案】A
【解析】
7．【答案】D
【解析】解：由奇函数的性质可知，若奇函数f（x）在区间上是减函数，且最小值3，
则那么f（x）在区间上为减函数，且有最大值为﹣3，
故选：D
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，比较基础．
8．【答案】D
【解析】
考点：几何概型．
9．【答案】B
【解析】解：∵M∩{1，2，4}={1，4}，
∴1，4是M中的元素，2不是M中的元素．
∵M⊆{1，2，3，4}，
∴M={1，4}或M={1，3，4}．
故选：B．
10．【答案】D
【解析】：解：∵∥，
∴﹣4﹣2x=0，解得x=﹣2．
故选：D．
二、填空题
11．【答案】．
【解析】解：∵直线3ax+y﹣1=0与直线（1﹣2a）x+ay+1=0平行，
∴3aa=1（1﹣2a），解得a=﹣1或a=，
经检验当a=﹣1时，两直线重合，应舍去
故答案为：．
【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．
12．【答案】②③④
【解析】解：对于①：倾斜角范围与α的范围不一致，故①错误；
对于②：（x﹣1）sinα﹣（y﹣2）cosα=1，（α∈[0，2π）），
可以认为是圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的切线系，故②正确；
对于③：存在定圆C，使得任意l∈L，都有直线l与圆C相交，
如圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=100，故③正确；
对于④：任意l1∈L，必存在唯一l2∈L，使得l1∥l2，作图知④正确；
对于⑤：任意意l1∈L，必存在两条l2∈L，使得l1⊥l2，画图知⑤错误．
故答案为：②③④．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意直线方程、圆、三角函数、数形结合思想等知识点的合理运用．
13．【答案】5﹣4．
【解析】解：如图，圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，
|PM|+|PN|的最小值为圆A 与圆C 2的圆心距减去两个圆的半径和，
即：﹣4=5
﹣4．
故答案为：5
﹣4．
【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法，考查两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力，考查数形结合的数学思想，属于中档题．
14．【答案】 （
，
） ．
【解析】解：设C （a ，b ）．则a 2+b 2
=1，① ∵点A （2，0），点B （0，3）， ∴直线AB 的解析式为：3x+2y ﹣6=0．
如图，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，欲使△ABC 的面积最小，只需线段CF 最短．
则CF=≥，当且仅当2a=3b 时，取“=”，
∴a=
，②
联立①②求得：a=，b=，
故点C 的坐标为（，）．
故答案是：（
，
）．
【点评】本题考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．【答案】．
【解析】解：从等边三角形的三个顶点及三边中点中随机的选择4个，共有=15种选法，
其中4个点构成平行四边形的选法有3个，
∴4个点构成平行四边形的概率P==．
故答案为：．
【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，是基础题．确定基本事件的个数是关键．
16．【答案】－4－ln2
【解析】
点睛：曲线的切线问题就是考察导数应用，导数的含义就是该点切线的斜率，利用这个我们可以求出点的坐标，
再根据点在线上（或点在曲线上），就可以求出对应的参数值。

三、解答题
17．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由频率分布直方图，得：
10×（0.005+0.01+0.025+a+0.01）=1，
解得a=0.03．
（Ⅱ）由频率分布直方图得到平均分：
=0.05×45+0.1×55+0.2×65+0.3×75+0.25×85+0.1×95=74（分）．
（Ⅲ）由频率分布直方图，得数学成绩在[40，50）内的学生人数为40×0.05=2，这两人分别记为A，B，
数学成绩在[90，100）内的学生人数为40×0.1=4，这4人分别记为C，D，E，F，
若从数学成绩在[40，50）与[90，100）两个分数段内的学生中随机选取2名学生，
则所有的基本事件有：
（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），
（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共15个，
如果这两名学生的数学成绩都在[40，50）或都在[90，100）内，
则这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10，
记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，
则事件M包含的基本事件有：（A，B），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共7个，
所以这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率P=．
【点评】本题考查频率和概率的求法，二查平均分的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图和列举法的合理运用．
18．【答案】
【解析】解：设P′（x′，y′），依题意得：，
∴，∴；
（Ⅱ）∵点P（x，y）在圆x2+y2=1上，
又，∴，
即得2x′2+2x′y′+5y′2=9，
∴变换作用后得到的曲线C的方程为2x2+2xy+5y2=9．
【点评】本题考查逆矩阵与逆变换，注意解题方法的积累，属于中档题．
19．【答案】（1）（2）见解析（3）
【解析】试题分析：（1）由题意转化为在区间上恒成立，化简可得一次函数恒成立，根据一次函数性质得不等式，解不等式得实数的取值范围；（2）导函数有一个零点，再根据a的正负讨论导函数符号变化规律，确定极值取法（3）先根据导数得切线斜率再根据点斜式得切线方程，即得切线在x轴上的截距，最后根据a的正负以及基本不等式求截距的取值范围．
试题解析：（1）函数的导函数，
则在区间上恒成立，且等号不恒成立，
又，所以在区间上恒成立，
记，只需，即，解得．
（2）由，得，
①当时，有；，
所以函数在单调递增，单调递减，
所以函数在取得极大值，没有极小值．
②当时，有；，
所以函数在单调递减，单调递增，
所以函数在取得极小值，没有极大值．
综上可知: 当时，函数在取得极大值，没有极小值；
当时，函数在取得极小值，没有极大值．
（3）设切点为，
则曲线在点处的切线方程为，
当时，切线的方程为，其在轴上的截距不存在．
当时，令，得切线在轴上的截距为
，
当时，
，
当且仅当，即或时取等号；
当时，
，
当且仅当，即或时取等号.
所以切线在轴上的截距范围是.
点睛：函数极值问题的常见类型及解题策略
（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.
（2）已知函数求极值.求→求方程的根→列表检验在的根的附近两侧的符号→下结论.
（3）已知极值求参数.若函数在点处取得极值，则，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.
20．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
∴点P 为线段AB 中点，PB PA =；…………7分
（2）若直线AB 斜率不存在，则2:±=x AB ，与椭圆2C 方程联立可得，)1,2(2--±t A ，)1,2(2-±t B ，
故122
-=∆t S OAB ，…………9分
若直线AB 斜率存在，由（1）可得
148221+-=+k km x x ，144422221+-=k t m x x ，1
41141222212
+-+=-+=k t k x x k AB ，…………11分
点O 到直线AB 的距离2
22
1141k
k k
m d ++=
+=，…………13分
∴122
1
2-=⋅=
∆t d AB S OAB ，综上，OAB ∆的面积为定值122-t ．…………15分 21．【答案】（1）23小时；（2
【解析】
试
题解析：（1）设搜救艇追上客轮所需时间为小时，两船在C 处相遇. 在ABC ∆中，4575120BAC ∠=+=，10AB =，9AC t =，21BC t =. 由余弦定理得：2
2
2
2cos BC AB AC AB AC BAC =+-∠，
所以222
1(21)10(9)2109()2
t t t =+-⨯⨯⨯-，
化简得2
369100t t --=，解得23t =
或512t =-（舍去）. 所以，海难搜救艇追上客轮所需时间为2
3
小时.
（2）由2963AC =⨯=，2
21143
BC =⨯=.
在ABC ∆
中，由正弦定理得6sin 6sin120
2sin 14
14AC BAC B BC
⨯
∠===
=. 所以角B 的正弦值为
14
. 考点：三角形的实际应用．
【方法点晴】本题主要考查了解三角形的实际应用，其中解答中涉及到正弦定理、余弦定理的灵活应用，注重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，可先根据题意，画出图形，由搜救艇和渔船的速度，那么可设时间，并用时间表示,AC BC ，再根据正弦定理和余弦定理，即可求解此类问题，其中正确画出图形是解答的关键． 22．【答案】（1）x y 82=；（2）9
64
. 【解析】
试题分析：（1）求得椭圆的焦点坐标，连接2MF ，由垂直平分线的性质可得2MF MP =，运用抛物线的定义，即可得到所求轨迹方程；（2）分类讨论：当AC 或BD 中的一条与轴垂直而另一条与轴重合时，此时四边形ABCD 面积2
2b S =．当直线AC 和BD 的斜率都存在时，不妨设直线AC 的方程为()2-=x k y ，则直
线BD 的方程为()21
--
=x k
y ．分别与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式可得AC ，BD ．
利用四边形
ABCD 面积BD AC S 2
1
=即可得到关于斜率的式子，再利用配方和二次函数的最值求法，即可得出．
（2）当直线AC 的斜率存在且不为零时，直线AC 的斜率为，),(11y x A ，),(22y x C ，
则直线BD 的斜率为k
1
-，
直线AC 的方程为)2(-=x k y ，联立⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=148
)2(22y x x k y ，得0888)12(2222=-+-+k x k x k .111]
∴2
2
21218k k x x +=+，22212188k k x x +-=.
1
2)1(324)(1||22212
212++=-+⋅+=k k x x x x k AC .由于直线BD 的斜率为k 1-，用k 1-代换上式中的。

可得
2
)
1(32||2
2++=k k BD . ∵BD AC ⊥，∴四边形ABCD 的面积)
12)(2()1(16||||21222
2+++=⋅=k k k BD AC S .
由于222222
2
]2
)1(3[]2)12()2([)12)(2(+=+++≤++k k k k k ，∴964≥S ，当且仅当1222
2+=+k k ，即
1±=k 时取得等号.
易知，当直线AC 的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD 的面积8=S . 综上，四边形ABCD 面积的最小值为9
64. 考点：椭圆的简单性质．1
【思路点晴】求得椭圆的焦点坐标,由垂直平分线的性质可得||||2MF MP =,运用抛物线的定义,即可得所求的轨迹方程.第二问分类讨论,当AC 或BD 中的一条与轴垂直而另一条与轴重合时,四边形面积为2
2b .当直线
AC 和BD 的斜率都存在时,分别设出BD AC ,的直线方程与椭圆联立得到根与系数的关系,利用弦长公式求得
BD AC ,,从而利用四边形的面积公式求最值.。