2020年湖南省邵阳市新建中学高三数学文联考试卷含解析

2020年湖南省邵阳市新建中学高三数学文联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知直线（是非零常数）与圆有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（▲）
A．52条B．60条C．66条D．78条参考答案：
B
略
2. 已知正数满足，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
，∴，化简，
，解之得。

3. 执行如图所示的程序框图，当输入时，输出的结果为（）
A．-1008 B．1009 C．3025 D．3028
参考答案：B
4. +的虚部为（）
A．i B．﹣i C．1 D．﹣1
参考答案：
C
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简+，则答案可求．
【解答】解：∵ +=，
∴+的虚部为1．
故选：C．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
5. 已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为( )
A．B．C．D．
参考答案：
B
考点：双曲线的标准方程．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：确定抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，进而可得b=2a，再利用抛物线的定义，结合P 到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，可得FF1=3，从而可求双曲线的几何量，从而可得结论．
解答：解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为ax﹣by=0，
∵抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，
∴
∴b=2a
∵P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，
∴FF1=3
∴c2+4=9
∴
∵c2=a2+b2，b=2a
∴a=1，b=2
∴双曲线的方程为
故选B．
点评：本题考查抛物线、双曲线的几何性质，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
6. 下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是
A．f(x)=│cos 2x│B．f(x)=│sin 2x│
C．f(x)=cos│x│D．f(x)= sin│x│
参考答案：
A 对于A,函数的周期T=,在区间单调递增,符合题意；
对于B,函数的周期T=,在区间单调递减,不符合题意；
对于C，函数，周期T=2π,不符合题意；
对于D,函数的周期T=π,不符合题意.
7. 为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如图 1），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是（）．
A．30 B．60
C．70 D．80
参考答案：
C
8. 在中，“”是“”
的（）
(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件
(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件
参考答案：
B
由
得
，即，所以
或
，即，或
，即
，所以
“
”是“”的必要不充分条件，选B.
9. 已知抛物线
的准线与圆
相切，则
的值为（ ）
A. B ．1 C ．2 D ．4
参考答案： C 10.
若条件p:|x+1|≤4，条件q:x 2
<5x －6，则┐p 是┐q 的 ( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
参考答案：
答案：B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11.
的展开式中整理后的常数项为 .
参考答案：
答案：
12. （1+2x ）3（1﹣x ）4展开式中x 6的系数为 ．
参考答案：
﹣20
解答：
解：（1+2x ）3的展开式的通项公式为T r+1=
?（2x ）r ，
（1+2x ）3（1﹣x ）4展开式的通项公式为 T k+1=?（﹣x ）k ．
故（1+2x ）3（1﹣x ）4展开式中x 6的系数为?22?
+
?23?（﹣
）=12﹣32=﹣20，
故答案为﹣20．
13. 函数的零点有 ▲ 个．
参考答案： 3
14. △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，若sinB=，
cosB=
，则a+c 的值为 ．
参考答案：
3
【考点】余弦定理．
【分析】由a ，b ，c 成等比数列，可得b 2=ac ，由sinB=，cosB=
，可解得ac=13，再由余弦定
理求得a 2+c 2=37，从而求得（a+c ）2的值，即可得解．
【解答】解：∵a，b ，c 成等比数列， ∴b 2=ac ， ∵sinB=
，cosB=
，
∴可得
=1﹣，解得：ac=13，
∵由余弦定理：b 2=a 2+c 2﹣2accosB=ac=a 2+c 2﹣ac×，解得：a 2+c 2=37． ∴（a+c ）2=a 2+c 2+2ac=37+2×13=63，故解得a+c=3．
故答案为：3
．
15. 已知函数
的图像恒过定点
，又点的坐标满足方程
，则
的最大值为
.
参考答案：
16. 统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如右图所示， 规定不低于60分为及格，则及格人数是。

参考答案：
17. 在2013年3月15日那天，长沙县物价部门对星沙的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：
根据上表可得回归直线方程是：
则
__________.
参考答案：
40 略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知
的角所对的边分别是，设向量，，
. （I ）若
∥，求角B 的大小；
（II ）若
，边长
，求
的面积的最大值．
参考答案：
解析：（1）∵
∥
，
（2）由
得
，
由均值不等式有（当且仅当时等号成立），
又,
所以,从而（当且仅当时等号成立），
于是，
即当时，
的面积有最大值
．
略
19. 记函数的定义域为A ， 的
定义域为B ． （1）求集合A ； （2）若
，求实数的取值范围．
参考答案：
解：（1） A=………5分
（2），由得B=
因为，所以即
20. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，
x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）设直线l与x轴交于点A，与直线交于点B，点P为曲线C上的动点，求的面积的最大值.
参考答案：
（1）曲线的普通方程为：+=1，直线的直角坐标方程为：．（2）
【分析】
（1）根据消去φ可得曲线的普通方程；根据可得直线直角坐标方程；（2）根据曲线的参数方程设出P点坐标，再根据点到直线距离求出△PAB的高的最大值，可得△PAB的面积的最大值．
【详解】（1）曲线的普通方程为：+=1，
直线的直角坐标方程为：．
（2）由题意知：A（1，0），B（4，3），所以|AB|=．
设点P（2cosφ，sinφ），则点P到AB的距离为
d==，所以△PAB的面积，
即△PAB的面积S的最大值为．
21. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，PC⊥底面ABCD，E为PB上一点，G为PO中点.
（1）若PD∥平面ACE，求证：E为PB的中点；
（2）若，求证：CG⊥平面PBD.
参考答案：
（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】
（1）连接，根据线面平行的性质定理可知，又为中点，可证得结论；（2）利用线面垂直的性质可知，正方形可得，根据线面垂直的判定定理可得平面，根据线面垂直性质可知，根据等腰三角形三线合一可知，根据线面垂直判定定理可证得结论.
【详解】
（1）连接，由四边形是正方形知，为中点
平面，面，面面
为中点为的中点
（2）在四棱锥中，
四边形是正方形
为中点
又底面，底面
而四边形是正方形
平面，平面
又平面
平面，
平面
【点睛】本题考查立体几何中直线与直线、直线与平面位置关系的证明问题，涉及到线面平行性质定理、线面垂直的判定定理和性质定理的应用，属于常规题型.
22. 椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，
且满足向量
(1)若，求椭圆的标准方程;
(2)设P为椭圆上异于顶点的点，以线段PB为直径的圆经过F1，问是否存在过F2的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由。

参考答案：
（1）易知，因为
所以为等腰三角形
所以b=c，由可知
故椭圆的标准方程为：
.........5分
（2）由已知得设椭圆的标准方程为，的坐标为
因为,所以
由题意得,所以
又因为P在椭圆上，所以,由以上两式可得
因为P不是椭圆的顶点，所以，故
设圆心为，则
圆的半径
假设存在过的直线满足题设条件，并设该直线的方程为
由相切可知,所以
.......10分
即，解得
.........12分
故存在满足条件的直线。