人教版八年级数学上册 (最短路径问题)轴对称课件

A
C
C′
l
即 AC +BC 最短．
B′
例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，
AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（ B ）
A．7.5 C．4
B．5 D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线 AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF 的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.
方案：
A
（1）把A平移到岸边.
（2）把B平移到岸边.
（3）把桥平移到和A相连.
（4）把桥平移到和B相连.
Ｍ
Ｎ
B
（1）把A平移到岸边. AM+MN+BN长度改变了
A
A'
Ｍ
Ｎ B' B
（2）把B平移到岸边. AM+MN+BN长度改变了
（3）把桥平移到和A相连.
A Ｍ
Ｎ B
（4）把桥平移到和B相连.
AM+MN+BN 长度有没有改变 呢？
第十三章 轴对称
最短路径问题
学习目标
1 能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点） 2 体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．（重点）
新课导入
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？
为什么？
①
②最短，因为两点之间，线段最短
②
A ③B
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连
01 想一想
研究对象
变化的量
路程，时间，速 度
单价，张数，票房收 入
路程，时间
张数，收 入
固定不变的量 速度 单价
存在的关系 S=60 t Y=10x
01 想一想
（3）圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，当圆的半径r 分别为10 cm，20 cm， 30 cm 时，圆的面积S 分别为多少？
01 想一想
则A到B的路径长为 AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
A MC
在△ACE中，∵AC+CE＞AE, ∴AC+CE+MN＞AE+MN,
ND E
即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN，
B
故桥的位置建在MN处，A到B的路径最短.
总结：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移 等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径 的选择.
为AA １ ＋A１N１＋BN１.
在△A１N１B 中，因为A1N1+BN1＞A1B. 因此AM１＋M１N１＋BN１＞ AM+MN+BN.
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE,
BD=CE,
∴ A到B的路径长为AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC,CD,DB,CE,
线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为
最短路径问题.
现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数
学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址
问题”.
①
P
②
A ③B
A BC
Dl
如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地， 牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
随堂训练
1、如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个
水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺
设的管道，则所需要管道最短的是（ D ）
Q P
Q P
MA
l
Q
P
M
l
C
B P
Ml Q
M
l
D
2、如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在
OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小
若每份a元，则y＝ax中的常量是 是。
，变量
02 练一练
2.观察某市2月份某日的气温变化图
图 17.1.1
（1）这天的6时的气温是 ℃，10时的气温是
（2）这一天中，最高气温是
℃，最低气温是
小结：天气温度随
的变化而变化， 即T随
℃，14时的气温是 ℃；
的变化而变化；
℃；
02 练一练
3.弹簧原长22cm,挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂 物体质量x（kg）有如下关系：
填一填：
t（分）
······
1
2
5
10
15
······
S（米）
······
······
问题：
1.在这个行程问题中，我们所研究的对象有几个量？ 2.几个所研究的对象中，哪些是变化的量，哪些是固定不变的量？
他们之间存在怎样的数量关系？
01 创设情境
思考下面问题，并填表： （1）汽车以60 km/h 的速度匀速行驶，行驶时间为 t h，行驶路程为 s km．
B
B
抽象成
A
A
l
实际问题
C
l
数学问题
作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.
问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上 找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
连接AB,与直线 l 相交于一点C.
A
C
根据是“两点之间，线段最
l
短”，可知这个交点即为所求.
B
1.预测身高 h男＝０.５４（a+b ） h女＝０.９７５（a+b）÷２ （a是父亲身高，b是母亲身高）
02 练一练
1.半径是r的圆的周长为C=2πr，下列说法正确的是( )
2、造桥选址问题 如图，A和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.
桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行 的直线，桥要与河垂直）？
A
B
如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径 是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？
●A
M
M
N
N
?
●B
思考 我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？ 什么图形变换能帮助我们呢？
问题2 如果点A,B分别是直线l 同侧的两个点，又应该如何解决？
B 想一想：对于问题2，如何将点
B“移”到l 的另一侧B′处，满
A
足直线l 上的任意一点C，都保
持CB 与CB′的长度相等？
l
利用轴对称，作出点B关于直线l 的对称点B′.
B′
作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
x/kg
0
1
2
3
4
5
6
y/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
写出这个问题的数量关系式并找出变量和常量
02 练一练
4.指出下列关系式中的常量和变量
1.y=2x+3 3. y=x2+1
2.y-=6
x
4. c=2r
02 换角度思考
假设学校到王坨山公园的总路程为3500米，行驶速度v米/分,行使时间t 分钟, 指出这个过程中的常量与变量，请写出t与v的关系式？ 常量与变量往往是相对的； 相对于某个变化过程，并非一成不变。
研究对象
变化的量
路程，时间，速 度
单价，张数，票房收 入
面积，半径，圆周率π
路程，时间
张数，收 入
面积，半 径
固定不变的量 速度 单价
圆周率π
存在的关系 S=60 t Y=10x S= π
01 想一想
（4）用10 m长的绳子围一个矩形，当矩形的一边长x 分别为3 m， 3.5 m，4 m，4.5 m 时，它的邻边长y 分别为多少？
解决问题
如图，平移A到A1，使AA1等于河 宽，连接A1B交河岸于N作桥MN， 此时路径AM+MN+BN最短.
A
A1
M Ｍ１
N
Ｎ１
理由:另任作桥M1N１，连接AM１，BN１，A１N１.
B
由平移性质可知，AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１.
AM+MN+BN 转化为AA １ ＋ A１B，而A M１ ＋ M１ N１ ＋BN１ 转化
接的所有线段中，哪条最短？为什么？
P
PC最短，因为垂线段最短
A BC
Dl
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小 的基本事实？ 三角形三边关系：两边之和大于第三边； 斜边大于直角边. 4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？
A
l
A′
知识讲解
1、牧马人饮马问题
“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直
总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而 后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条 件求解.
例2 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），
点C是 y 轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC
的周长最小时点C的坐标是（ A ）
A．（0，3）
则四边形AFD′D为平行四边形，
C
A DF
于是AD=FD′,
C′ D ′
同理，BE=GE′， 由两点之间线段最短可知，
E E′
GF最小.
BG
课堂小结
原理 线段公理和垂线段最短
最短路 牧马人饮 径问题 马问题
解题方法
轴对称知识+线段公理
造桥选址 问题
解题方法
关键是将固定线段“桥” 平移
第十九章 一次函数
01 想一想
研究对象
变化的量
固定不变的量
存在的关系
01 想一想
（2）每张电影票的售价为10 元，第一场售出票150张票，第二场售出205张，第三 场售出310张，三场电影票的票房收入各多少元？设一场电影售出 x 张票，票房收入 为 y 元， y 的值随x 的值变化而变化吗 ？
票房收入 = 单价×售票张数 第一场票房收入 = 10×150 = 1500 （元） 第二场票房收入 = 10×205 = 2050 （元） 第三场票房收入 = 10×310 = 3100 （元）
则点C 即为所求．
B
A
C l
B′
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C ′(与点C 不重合)，连接AC′， BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
B
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′． 在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′．
变量与函数 VARIABLES AND FUNCTIONS
授课教师：docer读秀
目录
CONTENS
教学目标
01
1.了解变量与常量的意义，体验在一个过程中常量与变量
是相对存在的；
2.在较复杂问题中辨别常量与变量；
3.通过列举同学们身边的事例，激发同学们探究问题的兴
趣，体会数学的应用价值，在探索活动中获得成功的体验。
01 形成概念
数值发生 变化的量
数值始终 不变的量
变量 常量
定义： 在一个变化过程中，数值发生变化的量,称为变量.
数值始终不变的量，称之为常量.
PART 02
练一练 HOMEWORK PRACTICE 授课教师：docer读秀
02 练一练
1.某种报纸每份2元，购买x份此种报纸共需y元，
则y＝2x中的常量是 ，变量是 。
周长是（ A ）
A．10 C．20
B．15 D．30
3、如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别
为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，
则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离10是00
米.
C
D 河
A
B
4、如图，荆州古城河在CC ′处直角转弯，河宽相同，从A处到
D
C
y
A
x
B
01 想一想
研究对象
变化的量
固定不变的量
存在的关系
路程，时间，速度
路程，时间
速度
S=60 t
单价，张数，票房收入 张数，收半径 周长，边长，邻边长 边长，邻边长
圆周率π 周长
S= π Y=5-x
上述运动变化过程中出现的数量，你认为可以怎样分类？
B．（0，2）
C．（0，1）
D．（0，0）
C′
解析：作B点关于y 轴对称点B′，连接AB′，交
B′
y 轴于点C′，此时△ABC的周长最小，然后依
E
据点A与点B′的坐标可得到BE、AE的长，然后
证明△B′C′O为等腰直角三角形即可．
总结：求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和 固 定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点， 而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即 为三角形周长最小时动点的位置.
B处，须经两座桥：DD ′, EE ′（桥宽不计），设护城河以及两
座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程
最短？
A
C
D
C′ D ′
E E′
B
解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作BG ⊥CE，且BG=河宽，连接GF,
与河岸相交于E ′, D′. 作DD′, EE′即为桥.
理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′，
学习重难点
02
1.重点：能找出一个变化过程中的变量与常量，
2.难点：体会运动变化过程中量的变化．
PART 01
教学目标 TEACHING OBJECTIVES 授课教师：docer读秀
01 创设情境 形成概念
五一假期，李想和朋友从学校门口出发，骑自行车去王坨山公园游玩，他们匀速行驶， 每分钟骑200米骑车的总路程为s米，骑车的时间为t分钟。