湖北省浠水县实验高级中学高三数学测试题(1.3)文(含解析)

湖北省浠水县实验高级中学2017届高三数学测试题（1.3）文（含解
析）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知是虚数单位，则满足的复数在复平面上对应点所在的象限为
（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】A
【解析】试题分析：，，对应点，在第一象限．故选A．
考点：复数的模，复数的几何意义．
2. 已知集合，，
，则，，的关系是（）
A. 是的真子集、是的真子集
B. 是的真子集、是的真子集
C. 是的真子集、
D.
【答案】C
【解析】∵，
，
∴A=B；
故排除选项A，B；
又∵，
∴排除D，
故选C.
3. 对下方的程序框图描述错误的是（）
A. 输出2000以内所有奇数
B. 第二个输出的是3
C. 最后一个输出的是1023
D. 输出结果一共10个数
【答案】A
【解析】执行程序框图，依次输出：1，3，7，15，31，63，127，255，511，1023，结束循环.
根据选项知A不正确.
故选A.
4. 设函数与的图象的交点为，则所在区间是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】试题分析：先画出两个函数图象的草图，可以看出两个函数图象的交点的横坐标大致应在内，下面给出准确的验证，当时，
，当时，
，由于，则，则，
因此，则所在的区间是.
考点：函数图象，函数的零点.
5. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则的表达式可以是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】试题分析：将函数的图象向左平移个单位得
考点：三角函数图像平移
6. 在等比数列中，若，，则的最小值为（）
A. B. 4 C. 8 D. 16
【答案】B
【解析】试题分析：因为，所以由基本不等式可得，
，故选B.
考点：1、等比数列的性质；2、基本不等式求最值.
7. 已知圆的一条直径通过直线被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意知，已知圆的圆心坐标
∵弦的中点与圆心的连线与弦所在的直线垂直得，且方程的斜率为
∴该直径所在的直线的斜率为：−2，∴该直线方程；
即2x+y−3=0，
故选D.
8. 已知等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则（）
A. 1
B. 3
C. 6
D. 9
【答案】D
【解析】∵等比数列的各项均为正数,且，，成等差数列，
∴，
即，
解得(舍)或，
∴.
故选：D.
点睛：等差中项的性质：若成等差，则.
等比数列的通项公式：.
9. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则的平分线的长等于（）
A. B. 3 C. D.
【答案】D
【解析】试题分析：由正弦定理及知：，得
，故，故选D.
考点：1、正弦定理的应用；2特殊角的三角函数.
10. 已知，（，）的图象过点，则
在区间上的值域为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】试题分析：由，有，得，而，所以
，其中
，故，由知，，故
，即的值域为，故选B.
考点：1、两角和与差的正弦公式；2、三角函数的图象与三角函数的最值.
【方法点晴】本题考查两角和与差的正弦公式、三角函数的图象及三角函数的最值，属于难
题.求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式利用三角函数有界性求最值；③型，可化为求最值.本题是利用方法③的思路解答的.
11. 在体积为的三棱锥中，，，，且平面
平面，若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】试题分析：如图,设球心为,半径为,取中点为,连,依据图形的对称性,点必在上,由题设可知,解之得,连,则在
中,,解之得,则,故应选B.
考点：几何体的外接球与体积的计算公式.
12. 若函数，在区间和上均为增函数，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】试题分析：由下图可得，故选B．
考点：函数的图象与性质．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知，且，则等于__________．
【答案】
【解析】试题分析：因为，所以，，解得
，而，得，故，故答案为.
考点：1、余弦的二倍角公式；2、诱导公式及特殊角的三角函数.
14. 一个多面体从前面、后面、左侧、右侧、上方看到的图形分别如图所示（其中每个正方形边长都为1），则几何体的表面积为__________．
【答案】
【解析】
该多面体是由一个正方体沿着相邻三个面的对角线切割去一个三棱锥．
其表面积：
.
15. 已知向量，，若向量在方向上的投影为1，则
__________．
【答案】
【解析】∵向量，,向量在方向上的投影长为1
∴解得.
故答案为：.
16. 设，满足不等式组，若的最大值为，最小值为
，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】由得,直线是斜率为−a,y轴上的截距为z 的直线,
作出不等式组对应的平面区域如图：
则A(1,1),B(2,4)，
∵的最大值为，最小值为，
∴直线过点B时，取得最大值为，
经过点时取得最小值为，
若，则，此时满足条件，
若，则目标函数斜率，
要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，
则目标函数的斜率满足，
即，
若，则目标函数斜率，
要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，
则目标函数的斜率满足，
即，
综上，
故答案为：[−2,1].
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 已知数列的前项和为，，且满足（）. （Ⅰ）证明：数列为等差数列；
（Ⅱ）求.
【答案】(1)见解析;(2) .
【解析】试题分析：（1）得：
试题解析：
（Ⅰ）证明：由条件可知，，即，
整理得，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，即，令，
①，②
—②得，，整理得. 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
18. 某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩按进行分层抽样，随机抽取了20名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下表所示的频率分布表：
（Ⅰ）求表中，，的值，并估计这次考试全校高三数学成绩的及格率（成绩在
内为及格）；
（Ⅱ）设茎叶图中成绩在范围内的样本的中位数为，若从成绩在范围内的样品中每次随机抽取1个，每次取出不放回，连续取两次，求取出两个样本中恰好一个是数字的概率.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】试题分析：（Ⅰ）由茎叶图知成绩在[50，70）范围内的有2人，在[110，130）范围内的有3人，由此能估计这次考试全校高三数学成绩的及格率．
（Ⅱ）由茎叶图得m=106，列出一切可能的结果组成的基本事件空间，设事件A=“取出的两个样本中恰好有一个是数字m”，求出A包含的基本事件个数，由此能求出∴取出两个样本中恰好一个是数字m的概率．
试题解析：
（Ⅰ）由茎叶图知成绩在范围内的有2人，在范围内的有3人，∴，，
成绩在范围内的频率为，
∴成绩在范围内的样本数为，
估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率为：.
（Ⅱ）由茎叶图得，一切可能的结果组成的基本事件空间为：
，共15个基本事件组成；
设事件“取出的两个样本中恰好有一个是数字”，
则
，共由8个基本事件组成，∴.
19. 如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，
，、分别为、上的动点，且，（）.
（Ⅰ）若，求证：平面；
（Ⅱ）求三棱锥体积的最大值.
【答案】(1)见解析;(2) .
【解析】试题分析：（Ⅰ）分别取和中点、，连接、、,只要证明四边形为平行四边形即可；
（Ⅱ）在平面内作，可以证明就是三棱锥的高；先将表示成的函数再求其最大值.
试题解析：
（1）分别取和中点、，连接、、，则,,所以,四边形为平行四边形．
,又∥． 4分
（2）在平面内作,
因为侧棱底面,
所以平面底面,且平面底面,
所以,所以． 7分
（或平面中，所以）
因为,所以．
,, 10分
12分
的最大值为
考点：空间直线、平面的位置关系、空间几何体的体积.
20. 在中角、、所对边分别为，，.已知，.
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若，求的大小.
【答案】(1) 最小值;(2) 当时，求得.
【解析】试题分析：（Ⅰ）借助题设条件运用余弦定理和基本不等式求解；（Ⅱ）借助题设条件运用向量的数量积公式和正弦定理求解。

试题解析：
（Ⅰ）∵。

当且仅当时，取得最小值。

（Ⅱ）∵，∴。

由（Ⅰ）中可得。

∴。

∴。

由及可解得，，或。

∴由正弦定理可得，
当时，。

∴。

同理，当时，求得。

考点：基本不等式、正弦定理和余弦定理等有关知识的综合运用。

21. 设函数，.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设（）.对任意，，，都有
，求实数的取值范围.
【答案】(1) 当时，在单调递增；当时，在单调递减; 当时，在单调递增，在单调递减；(2) . 【解析】试题分析：（Ⅰ）的定义域为，，讨论，从而求出函数的单调区间；
（Ⅱ）问题转化为，则在上单调递减，通过讨论①当
时，②当时，的单调性，从而得到的范围．
试题解析：
（Ⅰ）的定义域为，.
当时，，故在单调递增；
当时，，故在单调递减；
当时，令，解得.由于在上单调递减，故
当时，，故在单调递增；
当时，，故在单调递减.
（Ⅱ）由题意得，即.
若设，则在上单调递减，
①时，，，
在上恒成立，
设，则，当时，，
在上单调递增，，∴；
②当时，，，
在上恒成立，
设，则，
即在上单调递增，，∴.
综上，由①②可得.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线上两点，的极坐标分别为，.
（Ⅰ）设为线段上的动点，求线段取得最小值时，点的直角坐标；
（Ⅱ）求以为直径的圆的参数方程，并求在（Ⅰ）的条件下直线与圆相交所得的弦长.
【答案】(1) ;(2) 参数方程是.（为参数），弦长为. 【解析】试题分析：（1）先根据将的极坐标化为直角坐标
，再根据两点式求出线段所在直线方程，由图可知当线段时，线段获得最小值，此时由直线方程联立方程组可解交点坐标（2）先求出以为直径的圆直角坐标方程，再利用三角代换得参数方程是为参数），最后根据垂径定理求弦长
试题解析：（1）的极坐标化为直角坐标分别为,故直线的斜率为
,直线的方程为.由题意,当线段时，线段获得最小值，此时直线的斜率为，所以直线的的方程为，联立，解得，故所求点的直角坐标为.
（2）因为的中点坐标为，故以为直径的圆直角坐标方程为
，化为参数方程是为参数），因为圆心
到直线的距离为，所以直线与圆相交所得的弦长为.
考点：极坐标化为直角坐标，直线与圆位置关系。