江苏省南通中学2020-2021学年高二第一学期期中考试数学试卷 PDF版含答案

江苏省南通中学2020-2021学年度第一学期期中考试
高二数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。

1.一个等比数列的首项为2，公比为3，则该数列的第3项为（）.8A .16B .18C .27D 【答案】C
2.设,a R ∈.则“1a >”是“2a a >”的（
）
.A 充分不必要条件.B 必要不充分条件.C 充要条件.D 既不充分也不必要条件
【答案】A
3.不等式
1
021
x x +≤-的解集为（）
1.1,2A ⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭1.1,2B ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
(]1.,1,2C ⎛⎫
-∞-+∞ ⎪
⎝⎭
()1.,1,2D ⎡⎫
-∞-+∞⎪
⎢⎣⎭
【答案】A
4.已知椭圆的准线方程为4,x =±离心率为
1
2
，则椭圆的标准方程为（）
2
2.12
x A y +=2
2.1
2
y B x +=22.143
x y C +=22
.134
x y D +=【答案】C
5.数列{}n a 中，112,21n n a a a +==-，则10a 的值为（）
.511
A .513
B .1025
C .1024
D 【答案】B
6.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的1
7
是较小的两份之和，则最小的一份为（）5.3
A 10.3
B 5.6
C 11.6
D 【答案】A
7.椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F 和2F ，P 为椭圆C 上的动点，若
a =，满足
1290F PF ∠= 的点P 有（）个
.2A 个
.4B 个
.0C 个
.1D 个
【答案】A
8.已知实数0,0a b >>且9a b ab +=，若不等式2218a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围为（
）
[).3,A +∞(].,3B -∞(].,6C -∞[)
.6,D +∞
【答案】A
二．多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）
9.若实数0a >，0b >，1a b = ，若下列选项的不等式中，正确的是（）.A 2
a b +≥.
B 2
≥.C 222
a b +≥.
D 112
a b
+≤【答案】ABC
10.对任意实数a ，b ，c ，给出下列结论，其中正确的是（）.A “a b =”是“ac bc =”的充要条件
.B “a b >”是“22a b >”的充分条件.C “5a <”是“3a <”的必要条件
.D “5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件【答案】CD
11.设椭圆.22
193
x y +
=.的右焦点为F ，直线(0y m m =<<与椭圆交于A ，B 两点，则下述结论正确的是（）.A AF BF +为定值
.B ABF ∆的周长的取值范围是[]6,12.C 当m =ABF ∆为直角三角形
.D 当1m =时，ABF ∆
【答案】AD
12.已知数列{}n a ，{}n b 均为递增数列，{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 的前n 项和为n T ，且满足12n n a a n ++=，()
12n n n b b n N *+=∈ ，则下列结论正确的是（）.A
101
a <<.B 11
b <<.C 22n n
S T <.D 22n n
S T ≥【答案】ABC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.命题“,0x R ax b ∀∈+≤”的否定是___________.【答案】,0
x R ax b ∃∈+>14.不等式210x kx -+>对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是________.【答案】()
2,2-
15.若椭圆2215x y m +=，则m 的值为________.
【答案】
2533
或16.对于数列{}n a ，定义11222n n
n a a a A n
-+++= 为数列{}n a 的“好数”，已知某数列{}n a 的
“好数”12n n A +=，记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若7n S S ≤对任意的n N *∈恒成立，则实数k 的取值范围是________.
【答案】916,47⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
四．解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）求适合下列条件的椭圆的标准方程；
（1）与椭圆2212x y +=有相同的焦点，且经过点31,2⎛⎫
⎪⎝⎭；
（2）经过
A 2,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，
B 2⎛ ⎝⎭
两点【答案】（1）椭圆2
212x y +=的焦点坐标为()
1,0±因为椭圆过点31,2⎛⎫
⎪
⎝⎭
所以
24
a =所以
2a =，b =所以椭圆的标准方程为22
143
x y +
=（2）设椭圆方程为()22
10,0,x y m n m n m n
+
=>>≠带入得1
4213241m
n m
n
⎧⎪+=⎪⎪⎨
⎪⎪+=⎪⎩解得8m =，1
n =所以椭圆方程为2
21
8
x y +=
18.（本小题满分12分）已知在等比数列{}n a 中，11a =，且2a 是1a 和31a -的等差中项（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足()
2n n b n a n N *=+∈，求数列{}n b 的前n 项和n S 【答案】（1）1
2n n a -=（2）
1
22n n b n -=+()()()()2121426222n n S n -=++++++++ ()()
012124+6++22222n n -=++++++ ()
11222212n
n n -+=+
- 221
n n n =++-19.(本小题满分12分)已知函数2()2
f x ax bx a =+-+（1）若关于x 的不等式()0f x >的解集是()1,3-，求实数,a b 的值；（2）若2,0b a =>，解关于x 的不等式()0f x >【答案】
（1）∵不等式()0f x >的解集是()
1,3-∴-1，3是方程220ax bx a +-+=的两根故代入可得12
a b =-⎧⎨
=⎩（2）由题，2b =时，
2()=22(1)(2)0
2
(1)(2)0(1)()0f x ax x a x ax a a a x ax a x x a
+-+=+-+>-∴+-+>⇔+-
> 1若2
1a a
--=，即1a =，解集为{}1x x ≠-2若21a a -->，即01a <<，解集为21a x x x a -⎧⎫
<>-⎨⎬⎩⎭或3
若21a a --<
，即1a >，解集为2a x x x a -⎧
⎫<>⎨⎬⎩
⎭-1或
20.（本小题满分12分）某工厂年初用98万元购进一台新设备，第一年设备维修及燃料，动力消耗（称为设备的低劣化）的总费用为12万元，以后每年都增加4万元，工厂因新设备每年可收益50万元。

（1）工厂第几年开始获利？
（2）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该设备；②总获利最大时，以8万元出售该设备，问哪种方案对工厂合算？
【答案】（1）由题每年费用是以12为首项，4为公差的等差数列，设第n 年时累计的纯收入为()f n ，
则2()50[1216(48)]9840298f n n n n n =-++++-=-- ，获利为：()0f n >2402980n n ∴-->
解得1010n -<<+又n N
∈3,4,5,17
n ∴= ∴当3n =时，即第3年开始获利。

（2）①年平均收入为：
()49402()412f n n n n =-+≤-=（万元）即年平均收益最大时，总收益为12726110⨯+=（万元）
，此时7n =；②2()2(10)102f n n =--+，∴当10n =时，max ()102f n =总收益为1028110+=万元，此时10
n =比较两种方案，总收益均为110万元，但是第一种方案需要7年，第二种需要10年。

故选择第一种方案。

21.（本小题满分12分）已知椭圆22
221(0)x y C a b a b
+=>>：的长轴长为4，且短轴的两个端点
与右焦点是一个等边三角形的三个顶点，O 为坐标原点。

（1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆的右焦点F 作直线l ，与椭圆相交于,A B 两点，求OAB 面积的最大值，并求此时直线l 的方程。

【答案】（1）24,2a a b ==得2,1a b ==所以椭圆C 的方程为2
214
x y +=（2）
设:AB l x my =+，()()1122,,,A x y B x y
，2
2
14
x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩
得22(4)10m y ++-=
所以1212
21
4
y y y y m -+=
=+
所以12y y -
所以1212S y y =-=
令1,t =
≥13S t
==≤+
当且仅当t =
即m =时取等号。

所以面积最大值为1
，直线方程为x =+。

22.（本小题满分12分）已知各项均为正数的两个数列{}{},n n a b 满足22112,n n n a a a +-=+2212log log 1,n n n a b b +=++且11 1.
a b ==（1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）求数列{}n b 的通项公式；
（3）设数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,,n n S T 求使得等式236m m i S a T +-=成立的有序数对
*(,)(,)m i m i N ∈.
【答案】（1）由22112n n n a a a +-=+可得222121(1)n n n n a a a a +=++=+，因为{}n a 各项均为正数，所以11n n a a +=+，即11n n a a +-=，故{}n a 是公差为1的等差数列。

（2）由（1）得n a n =，由2212log log 1,n n n a b b +=++得2112n n n b b -+=，所以21122,n n n b b +++=两式相除得
2
4,n n
b b +=所以数列{}n b 的奇数项和偶数项都是公比为4的等比数列。

由1 1.b =及2112n n n b b -+=知22,b =所以(21)1212,k k b ---=121*2242(),k k k b k N --=⨯=∈所以12n n b -=。

综上，数列{}n b 的通项公式为12n n b -=。

（3）由（1）（2）知(1)
,2 1.2n n n n n S T +=
=-由236m m i S a T +-=得(1)23621,2
i m m m +⨯
+-=-即()()752,i m m +-=则必存在*,,s t N ∈使得27,25,s t m m =+=-从而2212.s t -=若5,s ≥则221220,t s =-≥故 5.t ≥又因为,s t >所以12222232s t t t t +-≥-=≥与2212s t -=矛盾，所以 4.s ≤由于2212s t -=，则只能4,2s t ==，此时9, 6.
m i ==。