2016-2017学年高中数学新课标必修1同步学案：1.3第3课时 函数的奇偶性 含答案

第一章 集合与函数概念
§1。

3函数的基本性质第三课时 函数的奇偶性
一、课前准备
1．课时目标:
从具体函数出发,理解函数的奇偶性，学会利用图象理解和探讨函数的性质,能熟练判断一些简单函数的奇偶性.
2．基础预探
（1） 如果函数)(x f y =
的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x 都有()()f x f x -=-,则称)(x f y =是 。

它的等价形式有 （2） 如果函数)(x f y =的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x 都有)()(x f x f =-,则称)(x f y =是 . 它的等价形式有
二、基本知识习题化
1。

2)(x x f =，[)1,1-∈x 是 2.x x y =是 函数（填写奇或偶）．
三、学习引领
1．函数按奇偶性分为四大类：
（1）奇函数：如果定义域关于原点对称（这一点说明了x 与x -必须同时在定义域中），且对定义域内的任意x 都有()()f x f x -=-，则函数()y f x =是奇函数。

如53)(x x x f +=;
（2） 偶函数:即如果定义域关于原点对称(这一点说明了x 与x -必须同时在定义域中）,且对定义域内的任意x 都有()()f x f x -=，则函数()y f x =是偶函数. 如62)(x x x f +=等；
(3) 非奇非偶函数：即函数的定义域不关于原点对称（这一点说明了存在x ，使得x 与x -不同时在定义域中)，或虽然定义域关于原点
对称，但对定义域内的任意x 有()()f x f x -≠,且()()f x f x -≠-，则函数()y f x =是非奇非偶函数. 如3)(+=x x f ,3
)(x x f =（[)1,1-∈x )等； （4)既奇又偶函数：解析式只有()0f x =，但定义域可以为任何关于原点对称的区间。

2．判断函数()y f x =的奇偶性，首先看定义域，如果定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数;如果定义域关于原点对称,则看对任意的x 是否都有()()f x f x -=-,或()()f x f x -=，若满足前者则是奇函数，满足后者是偶函数，两者都不满足,则是非奇非偶函数。

3．奇函数的图象关于原点对称;如果一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数。

偶函数的图象关于y 轴对称。

如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数。

对于在原点有定义的奇函数()y f x =,有()00f =。

4．两个奇(偶）函数的和、差函数还是奇（偶）函数;两个奇（偶）函数的积、商函数是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积、商函数是奇函数。

四、典例导析
题型一：函数的奇偶性的判断
例1判断()f x x a x a =++-的奇偶性．
思路导析:先看函数的定义域，显然是R ,然后根据定义找)(x f -与)(x f 的关系．
解:函数()f x x a x a =++-的定义域为R ，
且 ()()()()f x x a x a x a x a x a x a f x -=-++--=--+-+=-++=，
∴函数()f x 是偶函数．
规律总结：如果定义域关于原点对称,才可根据定义判定函数奇偶性，否则直接下结论是非奇非偶函数，如果直接用定义判断有困难,也可用定义的等价形式．
变式1:
已知函数()f x =
+判断其奇偶性。

题型二：己知函数的奇偶性求参数 例2已知函数()23()114
x a f x x x bx -=-≤≤-+为奇函数,试求,a b 的值。

思路导析：己知函数的奇偶性,然后求参数，有时用特殊值法是很有效的，比如我们常用()00f =可大大方便解题．
解析：由于()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，所以()00f =得0a =。

又()()11f f -=-，所以
3355b b -=-+-，所以0b =. 所以23()4
x f x x =+，再利用定义可以证明()f x 为奇函数. 规律总结： 对于在原点有定义的奇函数()f x ,可以先令特殊值()00f =，求出其中参数的值,当然如果参数多时也可以再取其它自变量的值来求,当然有时也可根据对于定义域内的任意x 值恒成立的等式,借用待定系数法来求。

变式2： 设函数()()()x
a x x x f ++=1为奇函数，则实数=a 。

题型三：分段函数的奇偶性
例3判断函数f （x ） = ⎪⎩⎪⎨⎧+-≥-)0(.)1()0(,)1(22x ＜x x x x x 的奇偶性．
思路导析：分段函数的奇偶性需要分段判断)(x f -与)(x f 的关系,但函数的奇偶性是整个定义域上的性质,不能分段说明它的奇偶性．
解：当x ＞0时，－x ＜0，此时f （－x ） =－（－x ） （－x + 1） = x (x －1） =f （x ）;
当x = 0时，f （－0) =f （0) = 0;
当x ＜0时,－x ＞0，此时f （－x) = (－x) （－x －1） =－x （x +
1） =f （x ）．
因此，对任意x ∈R,都有f （－x) =f （x ），所以函数f (x ）为偶函数．
规律总结：函数的奇偶性是在关于原点对称的定义域内的重要性质，一定注意不能把定义域分开，“当0x <时，函数是偶函数；当0x ≥时,函数是奇函数”这种提法本身就是错误的．
变式3:判断函数
230()0x x f x x x ⎧<⎪=⎨⎪⎩，，≥的奇偶性． 五、随堂练习
(1） 函数()3f x x
x =+的奇偶性为（ ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数 D ．非奇非偶函
数
（2） 若函数=y ()f x 在定义域[]21,a a -上是偶函数，则a =（ ）
A ．0
B ．1
C ．12
D ．13 （3） 下列说法中不正确的是( )．
A ．图象关于原点成中心对的函数一定是奇函数
B ．奇函数的图象一定经过原点
C ．偶函数的图象不经过原点，则它与x 轴交点的个数一定是偶数
D ．图象关于y 轴对称的函数一定是偶函数
(4） 已知f (x ） = ax+ bx+ cx －8，且f (－2） = 10，则f (2） =__________．
（5） 判断函数()2
212
-+-=x x x f 奇偶性
六、课后作业
（1) 对于定义域是R 上的任何奇函数)(x f ，均有（ ）．
A ．)(x f －()f x -＞0 （x ∈R ）
B ．)(x f －()f x -≤0 （x ∈R ）
C ．)(x f ·()f x -≤0 (x ∈R ）
D ．)(x f ·()f x -＞0 (x ∈R ）
(2） 设()f x 是R 上的奇函数，且()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则()7.5f =（ )
A ．1.5
B ．0.5-
C ．0.5
D ． 1.5-
（3）下列判断正确的是（ ）
A ．()
f x =; B ．()(1f x x =-;
C ．()0f x =既是奇函数又是偶函数;
D ．()()222f x x x =-≤<是偶函数。

（4） 已知3()4f x ax bx =+-其中,a b 为常数，若(2)2f -=，则(2)f 的值等于(
) A 2- B 4- C 6- D 10-
（5) 若()
f x 是偶函数，则(1
f f -= .
（6）已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意,a b R ∈都
满足()()()f ab af b bf a =+，求()1f 的值及判断()f x 的奇偶性.
答案与详解
基础预探
（1) 奇函数，0)()(=+-x f x f ，1)()
(-=-x f x f
(2） 偶函数，)(2)()(x f x f x f =+-，1)()
(=-x f x f
基本知识习题化
1. 既不是奇函数也不是偶函数
2.奇
典例导析
变式1解析 原函数有意义必须221010
x x ⎧-≥⎨-≥⎩,即1x =±。

所以原函数的定义域为{}1,1-，关于原点对称.
而当{}1,1x ∈-时，原函数()0f x =，所以原函数既是奇函数也是偶函数。

变式2：解析:由()x f 是奇函数知()()x f x f -=-对于任意),0()0,(+∞-∞∈ x 均成立，则x
a x x x a x x ))(1())(1(++-=-+-+-，整理得01=+a ，即1-=a 。

变式3：解:当0x <时，0x ->，存在x 满足：32()()
()f x x x f x -=-≠=； 当0x ≥时，0x -≤,存在x 满足:23()()
()f x x x f x -=-≠-=-． 故函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数．
随堂练习 （1） A 提示：根据函数奇偶性的定义，可判断函数()()f x f x -=-；
（2) D 提示：函数()f x 为偶函数，则定义域关于原点对称,所以13
a =。

(3） B 提示：因为y =1x
是奇函数,但其图象不过原点,故选B ． （4) －26提示:令g （x ） =f （x ） + 8 = ax+ bx+ cx ，显然g （x ）是奇函数，即g （－2) =－g （2）．
又g （－2） =f （－2） + 8 = 18，所以f （2） = g(2）－8 =－26．
(5) 解:∈x [)(]1,00,1⋃-；∈-∴x [)(]1,00,1⋃-；
=-+)()(x f x f 0112
2=---x
x x x 所以()2
212
-+-=x x x f 是奇函数。

课后作业
(1） C 提示：由于()f x -=－)(x f ,所以)(x f ·()f x -=－［)(x f ］≤0,故选C ．
（2） B 提示：()()()()()()7.5 5.5 3.5 1.50.50.50.5f f f f f f =-==-=-=-=-。

（3）C 提示：A 、B 、D 所给函数的定义域都不关于原点对称。

(4) D 解析： 令3()()4F x f x ax
bx =+=+,则3()F x ax bx =+为奇函数
(2)(2)46,(2)(2)46,(2)10F f F f f -=-+==+=-=-
（5) 0提示：∵()
f x 是偶函数,∴)[1)]1
f f f =-=， ∴(
10
f f -=。

（6）解析：在()()()f ab af b bf a =+中,取1a b ==，得()()121f f =，∴()10f =， 又∵()()()111f f f =----,∴()10f -=，
在()()()f ab af b bf a =+中,
取1,a b x =-=,有()()()()()11f x f x f x xf f x -=-⋅=-+-=-,
即)()(x f x f -=-，故()f x 为奇函数。