(常考题)北师大版初中数学八年级数学下册第四单元《因式分解》测试题(含答案解析)(4)

一、选择题
1．下列各式中，从左到右变形是因式分解的是（ ）
A ．()()22224a b a b a b +--=
B ．()()2
633m m m -=+- C ．()22542x x x x ++=++
D ．()()2933a a a -=+- 2．下列因式分解正确的是
A ．4m 2-4m +1=4m （m -1）
B ．a 3b 2-a 2b +a 2=a 2（ab 2-b ）
C ．x 2-7x -10=（x -2）（x -5）
D ．10x 2y -5xy 2=5xy （2x -y ） 3．若x -y +3=0，则x （x -4y ）+y （2x +y ）的值为（ ） A ．9
B ．－9
C ．3
D ．－3 4．已知x -y =
12，xy =43，则xy 2-x 2y 的值是 A ．1
B ．-23
C ．116
D ．23 5．多项式x 2+mx ﹣21因式分解的结果为（x +3）（x ﹣7），则m 的值是（ ） A ．4 B ．﹣4 C ．10
D ．﹣10 6．已知三角形的三边a ，b ，c 满足2223()()b a b c ba a -+=-，则△ABC 是（ ）
A ．等腰三角形
B ．等腰直角三角形
C ．等边三角形
D ．等腰三角形或直角
三角形 7．下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A ．()210x 5x 5x 2x 1-=-
B ．()()2222a b c a b a b c --=-+-
C ．()a m n am an +=+
D ．()()2x 166x x 4x 46x -+=+-+ 8．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A ．12a 2b 2＝3a •4ab 2
B ．（x +4）（x ﹣4）＝x 2﹣16
C ．am +an ＝a （m +n ）
D ．x ﹣1＝x （1﹣1x
） 9．下列各多项式从左到右变形是因式分解，并分解正确的是（ ）
A ．2()()()(1)a b b a a b a b ---=--+
B ．2(2)(3)56x x x x ++=++
C ．2249(49)(49)a b a b a b -=-+
D ．222()()2m n m n m n -+=+-+
10．下列因式分解错误的是( )
A ．a 2﹣a +1=a (a ﹣1)+1
B ．a 2﹣b 2=(a +b )(a ﹣b )
C ．﹣a 2+9b 2=﹣(a +3b )(a ﹣3b )
D ．a 2﹣4ab +4b 2=(a ﹣2b )2
11．下列因式分解正确的是（ ）
A ．()()()()a a b b a b a b a b ---=-+
B ．2229(3)a b a b -=-
C ．22244(2)a ab b a b ++=+
D ．2()a ab a a a b -+=-
12．下列各项分解因式正确的是（ ）
A ．22(1)1a a -=-
B ．2242(2)a a a -+=-
C ．22()()b a a b a b -+=+-
D ．223(1)(3)x x x x --=-+
二、填空题
13．因式分解：316m m -=________．
14．利用1个a×a 的正方形，1个b×b 的正方形和2个a×b 的矩形可拼成一个正方形(如图所示)，从而可得到因式分解的公式________．
15．边长为m 、n 的长方形的周长为14，面积为10，则33m n mn +的值为_________． 16．因式分解()()2
6x mx x p x q +-=++，其中m 、p 、q 都为整数，则m 的最大值是______．
17．因式分解：33327xy x y -=______．
18．已知为等腰三角形ABC ，其中两边,a b 满足，244|3|0a a b -++-=，则ABC ∆的周长为_______________________
19．分解因式：4232x -=_________．
20．若a 2-b 2=8，a-b=2，则a+b 的值为_________．
三、解答题
21．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m 的大正方形，两块是边长都为n 的小正五形，五块是长为m ，宽为n 的全等小长方形．且m n >．（以上长度单位：cm ）
（1）观察图形，可以发现代数式22252m mn n ++可以因式分解为________．
（2）若每块小长方块的面积为220cm ，四个正方形的面积和为2162cm ．
①试求图中所有裁剪线（虚线部分）长度之和；
②求2()m n -的值．
22．分解因式
（1）()()()()a b x y b a x y ----+
（2）4+12（x -y ）+9（x -y ）2
（3）22369xy x y y -- （4）()2
28a b ab -+
23．阅读下面的材料：常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如22926a b a b --+，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下： ()()2222926926a b a b a b a b --+=---
()()()3323a b a b a b =+---
()()332a b a b =-+-．
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．
利用分组分解法解决下面的问题：
（1）分解因式：22222x xy y x y -+-+；
（2）已知ABC 的三边长a ，b ，c 满足220a bc b ac +--=，判断ABC 的形状并说明理由．
24．先阅读下列材料，再解答问题：
常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如多项式244x xy x y -+-和2222a b c bc --+．经过细心观察可以发现，若将多项式进行合理分组后，先将每一组进行分解，分别分解后再用提公因式法或公式法就可以完整分解了.
解答过程如下：
()()()()
()()22(1)444444x xy x y
x xy x y x x y x y x y x -+-=-+-=-+-=-+
()
()()()
22222222(2)22a b c bc
a b c bc a b c a b c a b c --+=-+-=--=+--+
这种方法叫分组分解法，对于超过三项的多项式往往考虑这种方法．
利用上述思想方法，把下列各式分解因式：
（1）32236m m m --+
（2）2229x xy y --+
25．分解因式：
（1）222ax axy ay ++；（2）4161y -
26．（1）分解因式：()()22 4?
a x y
b x y ---； （2）计算：()()
222322a a b ab b a a b a b ⎡⎤---÷⎣⎦．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据因式分解的定义逐项判断即可得．
【详解】
A 、()()22
224a b a b a b +--=是整式的乘法，此项不符题意； B 、()()2
933m m m -=+-，则等式左右两边不相等，此项不符题意； C 、()2
2542x x x x ++=++没有将一个多项式转化成几个整式的乘积的形式，此项不符题意；
D 、()()2933a a a -=+-，此项符合题意； 故选：D ．
【点睛】
本题考查了因式分解的定义，掌握理解定义是解题关键．
2．D
解析：D
【分析】
A 、利用完全平方公式分解；
B 、利用提取公因式a 2进行因式分解；
C 、利用十字相乘法进行因式分解；
D 、利用提取公因式5xy 进行因式分解．
【详解】
A 、4m 2-4m+1=（2m-1）2，故本选项错误；
B 、a 3b 2-a 2b+a 2=a 2（ab 2-b+1），故本选项错误；
C 、（x-2）（x-5）=x 2-7x+10，故本选项错误；
D 、10x 2y-5xy 2=xy （10x-5y ）=5xy （2x-y ），故本选项正确；
故选D ．
【点睛】
本题考查了因式分解，要想灵活运用各种方法进行因式分解，需要熟练掌握各种方法的公式和法则；分解因式中常出现错误的有两种：①丢项：整项全部提取后要剩1，分解因式后项数不变；②有些结果没有分解到最后，如最后一个选项需要一次性将公因式提完整或进行多次因式分解，分解因式一定要彻底．
3．A
解析：A
【解析】
解：∵x -y +3=0，∴x -y =－3．
原式=2242x xy xy y -++=2()x y -=2(3)-=9．故选A ．
4．B
解析：B
【解析】
因为x -y =12，xy =43，所以xy 2-x 2y =xy (y -x )=12×43⎛⎫- ⎪⎝⎭=-23
，故选B . 5．B
解析：B
【分析】
直接利用因式分解法得出m 与3，-7的关系．
【详解】
解：∵多项式x 2+mx ﹣21因式分解的结果为（x +3）（x ﹣7），
∴m ＝﹣7+3＝﹣4．
故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了因式分解法分解因式，正确掌握常数项与一次项系数的关系是解题关键． 6．D
解析：D
【分析】
先将原式分解因式得（b-a ）(b 2+c 2-a 2)=0,从而得b ﹣a =0或c 2+b 2﹣a 2=0，根据等腰三角形的判定和勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】
解：∵2223()()b a b c ba a -+=-，∴（b-a ）(b 2+c 2-a 2)=0.
∴b ﹣a =0或c 2+b 2﹣a 2=0，则a=b 或c 2+b 2=a 2.
∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．
故选D ．
【点睛】
此题综合运用了因式分解的知识、勾股定理的逆定理．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．
7．A
解析：A
【分析】
根据把一个多项式写成几个整式积的形式叫做因式分解对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：A 、10x 2-5x=5x(2x-1)是因式分解，故本选项正确；
B 、右边不是整式积的形式，故本选项错误；
C 、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误；
D 、右边不是整式积的形式，故本选项错误.
故选A.
【点睛】
本题考查了因式分解的意义，因式分解与整式的乘法互为逆运算，熟记因式分解的定义是解题的关键．
8．C
解析：C
【分析】
因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．要确定从左到右的变形中是否为因式分解，只需根据定义来确定．
【详解】
A 、左边不是多项式的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B 、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C 、am+an ＝a （m+n ）是因式分解，故此选项符合题意；
D 、右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了因式分解的意义，解决问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断；同时还要注意变形是否正确．
9．A
解析：A
【分析】
直接利用因式分解的定义进而分析得出答案．
【详解】
解：A 、2()()()(1)a b b a a b a b ---=--+，是因式分解，故此选项正确；
B 、（x+2）（x+3）=x 2+5x+6，是整式的乘法运算，故此选项错误；
C 、4a 2-9b 2=（2a-3b ）（2a+3b ），故此选项错误；
D 、m 2-n 2+2=（m+n ）（m-n ）+2，不符合因式分解的定义，故此选项错误．
故选：A ．
【点睛】
此题主要考查了因式分解的意义，正确把握因式分解的定义是解题关键．
10．A
解析：A
【分析】
直接利用公式法以及提取公因式法分解因式得出答案．
【详解】
A ．a 2﹣a +1=a (a ﹣1)+1，不符合因式分解的定义，故此选项正确；
B ．a 2﹣b 2=(a +b )(a ﹣b )，正确，不符合题意；
C ．﹣a 2+9b 2=﹣(a +3b )(a ﹣3b )，正确，不合题意；
D ．a 2﹣4ab +4b 2=(a ﹣2b )2，正确，不合题意．
故选：A ．
【点睛】
此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 11．C
解析：C
【分析】
利用提公因式法分解因式和平方差公式以及完全平方公式进行分解即可得到答案．
【详解】
A 、2()()()()()a a b b a b a b a b a b ---=--=-，故此选项错误；
B 、229(3)(3)a b a b a b -=+-，故此选项错误；
C 、22244(2)a ab b a b ++=+，故此选项正确；
D 、2(+1)a ab a a a b -+=-，故此选项错误．
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，关键是注意口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
12．C
解析：C
【分析】
利用平方差公式对A 、C 进行判断；根据完全平方公式对B 进行判断；利用十字相乘法对D 进行判断．
【详解】
解：A 、a 2−1＝（a ＋1）（a−1），所以A 选项错误；
B 、a 2−4a ＋2在实数范围内不能因式分解；
C 、−b 2＋a 2＝a 2−b 2＝（a ＋b ）（a−b ），所以C 选项正确；
D 、x 2−2x−3＝（x−3）（x ＋1），所以D 选项错误．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了因式分解−十字相乘法：借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．也考查了公式法因式分解．
二、填空题
13．m （m+4）（m-4）【分析】原式提取公因式再利用平方差公式分解即可
【详解】解：=m （m2-16）=m （m+4）（m-4）故答案为：m （m+4）（m-4）
【点睛】此题考查了综合提公因式法和公式法分解
解析：m （m+4）（m-4）
【分析】
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】
解：316m m
=m （m 2-16）
=m （m+4）（m-4），
故答案为：m （m+4）（m-4）
【点睛】
此题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14．a2+2ab+b2=（a+b ）2【解析】试题分析：两个正方形的面积分别为a2b2两个长方形的面积都为ab 组成的正方形的边长为a ＋b 面积为(a ＋b)2所以a2＋2ab ＋b2＝(a ＋b)2点睛：本题考查
解析：a 2+2ab+b 2=（a+b ）2
【解析】
试题分析：两个正方形的面积分别为a 2，b 2，两个长方形的面积都为ab ，组成的正方形的边长为a ＋b ，面积为(a ＋b )2，
所以a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2．
点睛：本题考查了运用完全平方公式分解因式，关键是理解题中给出的各个图形之间的面积关系．
15．290【分析】根据题意可知m ＋n ＝7mn ＝10再由因式分解法将多项式进行分解后可求出答案【详解】解：由题意可知：m ＋n ＝7mn ＝10原式＝mn （m2＋n2）＝mn(m+n)2-2mn=10×(72-
解析：290
【分析】
根据题意可知m ＋n ＝7，mn ＝10，再由因式分解法将多项式进行分解后，可求出答案．
【详解】
解：由题意可知：m ＋n ＝7，mn ＝10，
原式＝mn （m 2＋n 2）
＝mn[(m+n)2-2mn]
=10×(72-2×10)
=10×29
＝290
故答案为：290．
【点睛】
本题考查代数式求值，解题的关键是熟练运用因式分解法以及完全平方公式的变形公式． 16．5【分析】根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系按多项式乘以多项式法则把式子变形然后根据pq 的关系判断即可【详解】解：∵(x ＋p)(x ＋q)=x2＋（p+q ）x+pq=x2＋mx-6∴p+q=mpq=
解析：5
【分析】
根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按多项式乘以多项式法则把式子变形，然后根据p 、q 的关系判断即可．
【详解】
解：∵(x ＋p)(x ＋q)= x 2＋（p+q ）x+pq= x 2＋mx-6
∴p+q=m ，pq=-6，
∴pq=1×（-6）=（-1）×6=（-2）×3=2×（-3）=-6，
∴m=-5或5或1或-1，
∴m 的最大值为5，
故答案为：5．
【点睛】
此题主要考查了整式乘法和因式分解的逆运算的关系，关键是根据整式的乘法还原因式分解的关系式，注意分类讨论的作用．
17．【分析】根据因式分解的提公因式法找出公因式为然后再根据平方差公式求解即可；【详解】原式=故答案为：【点睛】本题考查了因式分解的提公因式法平方差公式找出公因式是是解题的关键
解析：()()333xy y x y x +-
【分析】
根据因式分解的提公因式法，找出公因式为3xy ，然后再根据平方差公式求解即可；
【详解】
原式=()()()2239333xy y x xy y x y x -=+-，
故答案为：()()333xy y x y x +-．
【点睛】
本题考查了因式分解的提公因式法、平方差公式，找出公因式是3xy 是解题的关键． 18．7或8【分析】先运用平方差公式将等式的前三项因式分解得再根据非负性求出的值再代入求值即可【详解】解：当腰为3时等腰三角形的周长为当腰为2时等腰三角形的周长为故答案为：7或8【点睛】此题考查了配方法的 解析：7或8
【分析】
先运用平方差公式将等式的前三项因式分解得2
(2)|3|0a b -+-=，再根据非负性求出a ，b 的值，再代入求值即可．
【详解】
解：244|3|0a a b -++-=，
2(2)|3|0a b ∴-+-=，
2a ∴=，3b =，
∴当腰为3时，等腰三角形的周长为3328++=，
当腰为2时，等腰三角形的周长为3227++=．
故答案为：7或8．
【点睛】
此题考查了配方法的应用，三角形三边关系及等腰三角形的性质，解题的关键熟练掌握完全平方公式．
19．2（x2+4）（x+2）（x －2）【分析】首先提取公因式2然后利用平方差公式继续分解直到不能分解为止即可求得答案【详解】解：2x4﹣32＝2（x4﹣16）＝2（x2+4）（x2﹣4）＝2（x2+4）
解析：2（x 2+4）（x +2）（x －2）
【分析】
首先提取公因式2，然后利用平方差公式继续分解，直到不能分解为止，即可求得答案．
【详解】
解：2x 4﹣32
＝2（x 4﹣16）
＝2（x 2+4）（x 2﹣4）
＝2（x 2+4）（x +2）（x －2）．
故答案为：2（x 2+4）（x +2）（x －2）．
【点睛】
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 20．4【分析】先对a2-b2=8左侧因式分解然后将a-b=2代入求解即可【详解】解：∵a2-b2=8∴（a-b ）（a+b ）=8∴2（a+b ）=8∴a+b=4故答案为4【点睛】本题考查了代数式求值和因式分
解析：4
【分析】
先对a 2-b 2=8左侧因式分解，然后将a-b=2代入求解即可．
【详解】
解：∵a 2-b 2=8
∴（a-b ）（a+b ）=8
∴2（a+b ）=8
∴a+b=4．
故答案为4．
【点睛】
本题考查了代数式求值和因式分解，灵活运用因式分解是正确解答本题的关键．
三、解答题
21．（1）（2m+n ）（m+2n ）；（2）①66cm ；②41
【分析】
（1）根据图中的面积关系，两个大正方形、两个小正方形和5个长方形的面积之和等于大长方形的面积，据此可解；
（2）①根据题意可得mn ，2m 2+2n 2，从而可得从而m 2+n 2，进而可求得m+n ，结合图形可得答案．
②根据m 2+n 2以及mn 的值，结合完全平方公式计算即可．
【详解】
解：（1）观察图形，发现代数式：
2m 2+5mn+2n 2表示大长方形的面积，
则2m 2+5mn+2n 2=（2m+n ）（m+2n ）；
故答案为：（2m+n ）（m+2n ）；
（2）①若每块小矩形的面积为20cm 2，四个正方形的面积和为162cm 2，
则mn=20cm 2，2m 2+2n 2=162cm 2，
∴m 2+n 2=81，
∴（m+n ）2=81+20×2=121，
∴m+n=11，
∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为6m+6n=6（m+n ）=66（cm ）；
②（m-n ）2= m 2+n 2-2mn=81-2×20=41．
【点睛】
本题考查了因式分解在几何图形问题中的应用，数形结合，并熟练掌握相关计算法则，是解题的关键．
22．（1）()2x a b -；（2）2(233)x y +- ；（3）()23y x y --；（4）()2
2a b + 【分析】
（1）先将原式变形，然后提取公因式进行因式分解；
（2）利用完全平方公式进行因式分解；
（3）先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解；
（4）先将原式进行整式的混合计算化简，然后利用完全平方公式进行因式分解．
【详解】
解：（1）()()()()a b x y b a x y ----+
=()()+()()a b x y a b x y ---+
=()()a b x y x y --++
=()2x a b -
（2）4+12（x -y ）+9（x -y ）2
=22+2×2×3（x -y ）+[3（x -y ）]2
=[2+3（x -y ）]2
=2(233)x y +-
（3）22369xy x y y -- =()2269y y xy x
--+
=()23y x y -- （4）()228a b ab -+
=22448a ab b ab -++
=224+4a ab b +
=()22a b +
【点睛】
本题考查综合提公因式法和公式法进行因式分解，掌握提取公因式的技巧和乘法公式的公式结构正确计算是解题关键．
23．（1）()()2x y x y ---；（2）ABC 为等腰三角形，理由见解析
【分析】
（1）前三项符合完全平方公式，最后一项用提公因式法进行分解因式，最后再提公因式（x-y ）即可．
（2）通过因式分解22a bc b ac +--()()0a b a b c =-+-=，因为0a b c +->，所以得0a b -=，则a b =，那么ABC 为等腰三角形．
【详解】
解：（1）原式()()22222x xy y x y =-+--
()()2
2x y x y =--- ()()2x y x y =---．
（2）结论：ABC 为等腰三角形
理由：∵22a bc b ac +--
()()22a b ac bc =---
()()()a b a b c a b =+---
()()a b a b c =-+-
0=
又∵0a b c +->
∴0a b -=
∴a b =
∴ABC 为等腰三角形．
【点睛】 此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
24．（1）2(2)(3)m m --；（2）()()33x y x y -+--
【分析】
（1）将1、2项，3、4项分别结合分别分解因式，再进行组间的公因式提取便可达目的；
（2）原式分成222x xy y -+和-9两组，前一组利用完全平方公式分解，然后再利用平方
差公式继续分解即可．
【详解】
解：（1）32236m m m --+
2(2)3(2)m m m =---
2(2)(3)m m =--；
（2）2229x xy y --+
2229x xy y =-+-
()2
23x y =-- ()()33x y x y =-+--．
【点睛】
本题考查了分组分解法，关键要明确分组的目的，是分组分解后仍能继续分解，还是分组后利用各组本身的特点进行解题．
25．（1）2()a x y +；（2）2(41)(21)(21)y y y ++-．
【分析】
（1）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式，即可得出结果；
（2）先利用平方差公式分解可得22(41)(41)y y +-，再次利用平方差公式对2(41)y -进
行分解，即可完成．
【详解】
解：（1）原式22(2)a x xy y =++
2()a x y =+，
（2）原式22(41)(41)y y =+-
2(41)(21)(21)y y y =++-．
【点睛】
本题考查了因式分解，掌握因式分解的基本方法，并能根据多项式的特点准确选择分解方法是解题的关键．
26．（1）()()()
22x y a b a b -+-；（2）1ab -． 【分析】
（1）提取公因式()
x y -后，再利用平方差公式分解即可； （2）中括号内先利用单项式乘多项式展开，再合并同类项，然后利用多项式除以单项式法则计算即可．
【详解】
（1）()()22
4?a x y b x y --- ()()
22 4x y a b =-- ()()() 2?2x y a b a b =-+-；
（2）()()
222322a a b ab b a a b a b ⎡⎤---÷⎣⎦ ()3222322 2a b a b a b a b a b =--+÷
()
32222?2?2a b a b a b =-÷ 1?ab =-．
【点睛】
本题考查了因式分解以及整式的混合运算，涉及的知识有：平方差公式，单项式乘多项式法则，多项式除以单项式法则以及合并同类项法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。