2019-2020学年广东省广州市越秀区八年级(上)期末数学试卷

2019-2020学年广东省广州市越秀区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共有10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）已知一个三角形两边的长分别是2和5，那么第三边的边长可能是下列各数中的(
) A ．1
B ．2
C ．3
D ．5
2．（3分）如图，已知ABC BAD ∠=∠，添加下列条件还不能判定ABC BAD ∆≅∆的是(
)
A ．AC BD =
B ．B
C A
D =
C ．C
D ∠=∠
D ．CAB DBA ∠=∠
3．（3分）下列运算正确的是( ) A ．224a a a += B ．33a a a ÷=
C ．235a a a =
D ．246()a a =
4．（3分）要使分式53
x
x +有意义，则x 的取值范围是( ) A ．3x ≠-
B ．3x ≠
C ．0x ≠
D ．3x ≠±
5．（3分）下列变形从左到右一定正确的是( )
A ．22a a b b -=-
B ．a ac b bc
=
C ．2
2a a b b
=
D ．
ax a bx b
= 6．（3分）如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上( )根木条．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．（3分）如图，用尺规作出AOB ∠的角平分线OE ，在作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是( )
A ．ASA
B ．SSS
C ．SAS
D ．AAS
8．（3分）若等腰三角形中的一个外角等于130︒，则它的顶角的度数是( ) A ．50︒
B ．80︒
C ．65︒
D ．50︒或80︒
9．（3分）如图，//AD BC ，BG ，AG 分别平分ABC ∠与BAD ∠，GH AB ⊥，5GH =，则AD 与BC 之间的距离是( )
A ．5
B ．8
C ．10
D ．15
10．（3分）若a ，b ，c 是ABC ∆的三边长，且2220a b c ab ac bc ++---=，则ABC ∆的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形
D ．不能确定
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.
11．（3分）如果一个多边形的内角和是1800度，它是 边形．
12．（3分）若关于x 的多项式210(x x k k ++为常数）是完全平方式，则k = ． 13．（3分）分式
3232a b c 与246a b
a b c
-的最简公分母是 ． 14．（3分）若35m =，38n =，则23m n += ．
15．（3分）点(3,4)-与点2(a ，2)b 关于y 轴对称，则()()a b a b +-= ． 16．（3分）如图，ABC ∆是等边三角形，1
3
AD AB =
，点E 、F 分别为边AC 、BC 上的动点，当DEF ∆的周长最小时，FDE ∠的度数是 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（6分）解方程：3111
x
x x =-+-． 18．（8分）计算： （1）32(2)3(2)x x x x ---
（2）2[(2)(2)(2)]4x y x y x y y +--+÷ 19．（8分）分解因式： （1）269a ab ab -+ （2）22()()x x y y y x -+-
20．（6分）如图所示，在ABC ∆中，D 是BC 边上一点12∠=∠，34∠=∠，69BAC ∠=︒，求DAC ∠的度数．
21．（10分）（1）先化简再求值：2
2
(1)11
x x x -
÷+-，其中3x =-； （2）如果2
210a a +-=，求代数式2
4()2
a a a a --的值．
22．（8分）如图，P 是OC 上一点，PD OA ⊥于D ，PE OB ⊥于E ．F 、G 分别是OA 、OB 上的点，且PF PG =，DF EG =． （1）求证：OC 是AOB ∠的平分线．
（2）若//PF OB ，且8PF =，30AOB ∠=︒，求PE 的长．
23．（8分）如图，在ABC
∆中，AB AC
=，90
BAC
∠=︒，点P是直线AC上的动点（不和A、C重合），CD BP
⊥于点D，交直线AB于点Q．
（1）当点P在边AC上时，求证：AP AQ
=
（2）若点P在AC的延长线上时，（1）的结论是否成立？若成立，请画出图形（不写画法，画出示意图）；若不成立，请直接写出正确结论．
24．（8分）春节前夕，某超市用6000元购进了一批箱装饮料，上市后很快售完，接着又用8800元购进第二批这种箱装饮料．已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多20元，
且数量是第一批箱数的4
3
倍．
（1）求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元；
（2）若两批箱装饮料按相同的标价出售，为加快销售，商家决定最后的10箱饮料按八折出售，如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于36%（不考虑其他因素），那么每箱饮料的标价至少多少元？
25．（10分）如图所示，点O是线段AC的中点，OB AC
⊥，9
OA=．
（1）如图1，若30
ABO
∠=︒，求证ABC
∆是等边三角形；
（2）如图1，在（1）的条件下，若点D在射线AC上，点D在点C右侧，且BDQ
∆是等边三角形，QC的延长线交直线OB于点P，求PC的长度；
（3）如图2，在（1）的条件下，若点M在线段BC上，OMN
∆是等边三角形，且点M沿着线段BC从点B运动到点C，点N随之运动，求点N的运动路径的长度．
2019-2020学年广东省广州市越秀区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共有10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）已知一个三角形两边的长分别是2和5，那么第三边的边长可能是下列各数中的(
) A ．1
B ．2
C ．3
D ．5
【解答】解：设第三边的长度为x ，由题意得：
5252x -<<+， 即：37x <<， 只有D 选项在范围内． 故选：D ．
2．（3分）如图，已知ABC BAD ∠=∠，添加下列条件还不能判定ABC BAD ∆≅∆的是(
)
A ．AC BD =
B ．B
C A
D =
C ．C
D ∠=∠
D ．CAB DBA ∠=∠
【解答】解：A 、当添加AC BD =时，且ABC BAD ∠=∠，AB BA =，由“SSA ”不能证得
ABC BAD ∆≅∆，故本选项符合题意；
B 、当添加B
C A
D =时，且ABC BAD ∠=∠，AB BA =，由“SAS ”能证得ABC BAD ∆≅∆，
故本选项不符合题意；
C 、
当添加C D ∠=∠时，且ABC BAD ∠=∠，AB BA =，由“AAS ”能证得ABC BAD ∆≅∆，故本选项不符合题意；
D 、
当添加CAB DBA ∠=∠时，且ABC BAD ∠=∠，AB BA =，由“ASA ”能证得ABC BAD ∆≅∆，故本选项不符合题意； 故选：A ．
3．（3分）下列运算正确的是( ) A ．224a a a +=
B ．33a a a ÷=
C ．235a a a =
D ．246()a a =
【解答】解：A 、2222a a a +=，故A 错误；
B 、32a a a ÷=，故B 错误；
C 、235a a a =，故C 正确；
D 、238()a a =，故D 错误．
故选：C ． 4．（3分）要使分式53
x
x +有意义，则x 的取值范围是( ) A ．3x ≠-
B ．3x ≠
C ．0x ≠
D ．3x ≠±
【解答】解：由题意得：30x +≠， 解得：3x ≠-， 故选：A ．
5．（3分）下列变形从左到右一定正确的是( )
A ．22a a b b -=-
B ．a ac b bc
=
C ．2
2a a b b
=
D ．
ax a bx b
= 【解答】解：A 、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故A 错误；
B 、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，错误；
C 、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故C 错误；
D 、分子分母都除以x ，分式的值不变，故D 正确；
故选：D ．
6．（3分）如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上( )根木条．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解答】解：根据三角形的稳定性，要使六边形木架不变形，至少再钉上3根木条； 故选：C ．
7．（3分）如图，用尺规作出AOB ∠的角平分线OE ，在作角平分线过程中，用到的三角形
全等的判定方法是( )
A ．ASA
B ．SSS
C ．SAS
D ．AAS
【解答】解：在OCE ∆和ODE ∆中， CO DO EO EO CE DE =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
， ()OCE ODE SSS ∴∆≅∆． 故选：B ．
8．（3分）若等腰三角形中的一个外角等于130︒，则它的顶角的度数是( ) A ．50︒
B ．80︒
C ．65︒
D ．50︒或80︒
【解答】解：①当130︒外角是底角的外角时，底角为：18013050︒-︒=︒， ∴顶角度数是180505080︒-︒-︒=︒，
②当130︒外角是顶角的外角时，顶角为：18013050︒-︒=︒， ∴顶角为50︒或80︒．
故选：D ．
9．（3分）如图，//AD BC ，BG ，AG 分别平分ABC ∠与BAD ∠，GH AB ⊥，5GH =，则AD 与BC 之间的距离是( )
A ．5
B ．8
C ．10
D ．15
【解答】解：作GE AD ⊥于E ，EG 的延长线交BC 于F ，如图，
//AD BC ，GE AD ⊥， EF BC ∴⊥，
BG ，AG 分别平分ABC ∠与BAD ∠， 5GE GH ∴==，5GF GH ==，
5510EF ∴=+=，
即AD 与BC 之间的距离为10． 故选：C ．
10．（3分）若a ，b ，c 是ABC ∆的三边长，且2220a b c ab ac bc ++---=，则ABC ∆的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形
D ．不能确定
【解答】解：已知等式整理得：2222222220a b c ab ac bc ++---=， 即222222(2)(2)(2)0a ab b a ac c b bc c -++-++-+=， 变形得：222()()()0a b a c b c -+-+-=，
a b c ∴==，
则ABC ∆为等边三角形， 故选：C ．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.
11．（3分）如果一个多边形的内角和是1800度，它是 12 边形． 【解答】解：这个正多边形的边数是n ， 则(2)1801800n -︒=︒， 解得：12n =， 则这个正多边形是12． 故答案为：12．
12．（3分）若关于x 的多项式210(x x k k ++为常数）是完全平方式，则k = 25 ． 【解答】解：关于x 的多项式210x x k ++是完全平方式，
22210255x x k x x ∴++=++， 2525k ∴==， 故答案为：25．
13．（3分）分式
3232a b c 与24
6a b
a b c -的最简公分母是 346a b c ． 【解答】解：分式
3232a b c 与246a b a b c
-的最简公分母是34
6a b c ， 故答案为：346a b c ．
14．（3分）若35m =，38n =，则23m n += 200 ． 【解答】解：35m =，38n =， 2223(3)358200m n m n +∴=⨯=⨯=．
故答案为：200．
15．（3分）点(3,4)-与点2(a ，2)b 关于y 轴对称，则()()a b a b +-= 1- ． 【解答】解：点(3,4)-与点2(a ，2)b 关于y 轴对称，
23a ∴=，24b =， 解得3a =±，2b =±．
()()(32)(32)341a b a b ∴+-=+-=-=-；
或()()(32)(32)341a b a b +-=-+=-=-； 或()()(32)(32)341a b a b +-=-+--=-=-； 或()()(32)(32)341a b a b +-=---+=-=-． 故答案为：1-．
16．（3分）如图，ABC ∆是等边三角形，1
3
AD AB =
，点E 、F 分别为边AC 、BC 上的动点，当DEF ∆的周长最小时，FDE ∠的度数是 60︒ ．
【解答】解：作D 关于AC 的对称点G ，D 关于BC 的对称点H ，连接GH 交AC 于E 交BC 于F ，
则此时，DEF ∆的周长最小，
60A B ∠=∠=︒，DG AC ⊥，DH BC ⊥，
30ADG BDH ∴∠=∠=︒，
120GDH ∴∠=︒，
60H G ∴∠+∠=︒，
EG ED =，DF HF =，
G GDE ∴∠=∠，H HDF ∠=∠，
60HDF GDE ∴∠+∠=︒，
60FDE ∴∠=︒，
故答案为：60︒．
三、解答题：本题共9小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（6分）解方程：3111
x x x =-+-． 【解答】解：去分母得：3(1)(1)(1)(1)x x x x x -=+-+-，
解得：2x =，
检验：当2x =时，(1)(1)0x x +-≠，
∴原分式方程的解是2x =．
18．（8分）计算：
（1）32(2)3(2)x x x x ---
（2）2[(2)(2)(2)]4x y x y x y y +--+÷
【解答】解：（1）32(2)3(2)x x x x ---
323836x x x =--+
3223x x =--；
（2）2[(2)(2)(2)]4x y x y x y y +--+÷
2222(444)4x y xy x y y =++-+÷
2(84)4y xy y =+÷
2x y =+．
19．（8分）分解因式：
（1）269a ab ab -+
（2）22()()x x y y y x -+-
【解答】解：（1）原式22(169)(13)a b b a b =-+=-；
（2）原式222()()()()x x y y x y x y x y =---=-+．
20．（6分）如图所示，在ABC ∆中，D 是BC 边上一点12∠=∠，34∠=∠，69BAC ∠=︒，
求DAC ∠的度数．
【解答】解：12∠=∠，34∠=∠，
而312∠=∠+∠，
341221∴∠=∠=∠+∠=∠，
在ADC ∆中，34180DAC ∠+∠+∠=︒，
41180DAC ∴∠+∠=︒，
169BAC DAC ∠=∠+∠=︒，
11804169∴∠+︒-∠=︒，
解得137∠=︒，
693732DAC ∴∠=︒-︒=︒．
21．（10分）（1）先化简再求值：22(1)11x x x -÷+-，其中3x =-； （2）如果2210a a +-=，求代数式2
4()2
a a a a --的值． 【解答】解：（1）原式1(1)(1)1(1)(1)112122
x x x x x x x x x +-+-+--===++， 当3x =-时，原式2=-；
（2）2210a a +-=，
221a a ∴+=，
则原式222
24(2)(2)2122
a a a a a a a a a a a -+-===+=--． 22．（8分）如图，P 是OC 上一点，PD OA ⊥于D ，PE OB ⊥于E ．F 、G 分别是OA 、OB 上的点，且PF PG =，DF EG =．
（1）求证：OC 是AOB ∠的平分线．
（2）若//PF OB ，且8PF =，30AOB ∠=︒，求PE 的长．
【解答】解：（1）证明：在Rt PFD ∆和Rt PGE ∆中，
PF PG DF EG =⎧⎨=⎩
， Rt PFD Rt PGE(HL)∴∆≅∆，
PD PE ∴=，
P 是OC 上一点，PD OA ⊥，PE OB ⊥，
OC ∴是AOB ∠的平分线．
（2）//PF OB ，30AOB ∠=︒，
30PFD AOB ∴∠=∠=︒，
在Rt PDF ∆中，118422
PE PD PF ===⨯=． 23．（8分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点P 是直线AC 上的动点（不和A 、
C 重合）
，CD BP ⊥于点D ，交直线AB 于点Q ．
（1）当点P 在边AC 上时，求证：AP AQ =
（2）若点P 在AC 的延长线上时，（1）的结论是否成立？若成立，请画出图形（不写画法，画出示意图）；若不成立，请直接写出正确结论．
【解答】解：（1）CD BP ⊥
90BAC BDQ ∴∠=∠=︒
90Q QBD ∴∠+∠=︒，90Q ACQ ∠+∠=︒，
QBD ACQ ∴∠=∠，且AB AC =，90BAC QAC ∠=∠=︒，
()ABP ACQ ASA ∴∆≅∆
AP AQ ∴=；
（2）成立
理由如下：如图，
CD BP ⊥
90BAC BDQ ∴∠=∠=︒
90Q QBD ∴∠+∠=︒，90Q ACQ ∠+∠=︒，
QBD ACQ ∴∠=∠，且AB AC =，90BAC QAC ∠=∠=︒，
()ABP ACQ ASA ∴∆≅∆
AP AQ ∴=；
24．（8分）春节前夕，某超市用6000元购进了一批箱装饮料，上市后很快售完，接着又用8800元购进第二批这种箱装饮料．已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多20元，且数量是第一批箱数的43
倍． （1）求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元；
（2）若两批箱装饮料按相同的标价出售，为加快销售，商家决定最后的10箱饮料按八折出售，如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于36%（不考虑其他因素），那么每箱饮料的标价至少多少元？
【解答】解：（1）该第一批箱装饮料每箱的进价是x 元，则第二批购进(20)x +元， 根据题意，得600048800320
x x ⨯=+ 解得：200x =
（2）设每箱饮料的标价为y 元，
根据题意，得(304010)0.810(136%)(60008800)y y +-+⨯++
解得：296y
答：至少标价296元．
25．（10分）如图所示，点O 是线段AC 的中点，OB AC ⊥，9OA =．
（1）如图1，若30ABO ∠=︒，求证ABC ∆是等边三角形；
（2）如图1，在（1）的条件下，若点D 在射线AC 上，点D 在点C 右侧，且BDQ ∆是等边三角形，QC 的延长线交直线OB 于点P ，求PC 的长度；
（3）如图2，在（1）的条件下，若点M 在线段BC 上，OMN ∆是等边三角形，且点M 沿着线段BC 从点B 运动到点C ，点N 随之运动，求点N 的运动路径的长度．
【解答】解：（1）30ABO ∠=︒，OB AC ⊥， 60BAO ∴∠=︒， O 是线段AC 中点，OB AC ⊥， BA BC ∴=，又60BAO ∠=︒， ABC ∴∆是等边三角形；
（2）ABC ∆和BDQ ∆为等边三角形， BA BC ∴=，BD BQ =，60BAC ∠=︒，60DBQ ∠=︒， ABD CBQ ∴∠=∠，
在BAD ∆和BCQ ∆中，
BA BC ABD CBQ BD BQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()BAD BCQ SAS ∴∆≅∆
60BCQ BAD ∴∠=∠=︒，
60BCA ∠=︒，
60OCP ∴∠=︒，
90POC ∠=︒，
30OPC ∴∠=︒，
218PC OC ∴==；
（3）取BC 的中点H ，连接OH ，连接CN ， 则12
OH BC BH CH ===， HOC ∴∆为等边三角形，
60HOC OHC ∴∠=∠=︒，OH OC =， 当M 在BH 上时，60MON ∠=︒，60HOC ∠=︒， MOH NOC ∴∠=∠，
在OMH ∆和ONC ∆中，
OM ON MOH NOC OH OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()OMH ONC SAS ∴∆≅∆， 120OCN OHM ∴∠=∠=︒， 当点M 与点B 重合时，
在OBC ∆和△N BC '中，
30BO BN OBC N BC BC BC ='⎧⎪∠=∠'=︒⎨⎪=⎩
， OBC ∴∆≅△()N BC SAS '
60BCN BCO ∴∠'=∠=︒，
120OCN ∴∠'=︒，即C 、N 、N '在同一条直线上， 9CN OC ∴'==，
∴点N 从起点到C 作直线运动路径为9， 当M 在HC 上时，OCN ∆为等边三角形， 9CN OC ∴==，
∴点N 从C 到终点作直线运动路径长为9 综上所述，N 的路径长度为：9918+=．。