第十一章动量定理和动量矩定理

Fx m2e2 cost
miaCiy
Fe iy
m1 0 m2e2 sint Fy m1g m2g Fy m2e2 sint m1g m2g
y
O2
a ω
O1
e ωt
2W2
x
W1
Fy
Fx
29
§11–2 动量和动量定理
解：解法三：质心运动定理
动距离为x。则质心坐标为
x
W2
W1
s FN
x
xC 2

m1x

m2 (x e cost)
m1 m2
33
§11–2 动量和动量定理
34
§11–2 动量和动量定理
y
因为在水平方向质心位置守恒，
O2
ω O1 eωt
x
W2
W1
所以有xC1= xC2 ，解得
x m2e cost
x
m1 m2
实际的问题： 1、联立求解微分方程（尤其是积分问题） 非常困难。
2、大量的问题中，不需要了解每一个质点 的运动, 仅需要研究质点系整体的运动 情况。
本章我们开始研究动力学普遍定理（包括动量定理、
动量矩定理、动能定理及由此推导出来的其它一些
定理）。
4
5
第十一章 动量定理和动量矩定理
§11–1 质点系的质量几何性质 §11–2 动量和动量定理 §11–3 动量矩和矩心为定点的动量矩定理 §11–4 刚体的定轴转动微分方程 §11–5 矩心为质心的动量矩定理 §11–6 刚体的平面运动微分方程
mR2
c、均质细杆长为l、质量为m，
对过质心且与杆轴线垂直的z轴
的转动惯量：I z

1 12
ml 2
y Ox z
y Ox z z
x
10
§11–1 质点系的质量几何性质
2）回转半径
若刚体的质量为m，对z轴的转动惯量为Iz
则由式 z
Iz 定义的长度称为回转半径 m
若已知刚体的回转半径，则刚体转动惯量为：
i i
对质点系内任一质点
d
i，
dt
(mivi
)

Fi e

Fii
对整个质点系：
d dt (mivi )
Fii
Fie
(而 Fii 0)
dp
e
dt
Fi
微分形式
p2 p1
t2 t1
Fiedt Ie 积分形式
16
§11–2 动量和动量定理
投影形式：
dpx
质心位置守恒。
若 Fixe 0，则 aCx 0 , vCx 常量，
质心沿x方向速度不变；
若存在vCx0 0 则 xC 常量，
质心在x 轴的位置坐标保持不变。
20
§11–2 动量和动量定理
21
§11–2 动量和动量定理
22
§11–2 动量和动量定理
23
§11–2 动量和动量定理
dt
F (e) ix
dp y
dt
Fiy (e)
dp z
dt
Fiz (e)
质点系的动量守恒
t2
p 2x p 1x Iix (e )
Fix ( e ) dt
t1
t2
p 2 y p 1y
Iiy(e)
Fiy (e)dt
t1
t2
p 2z p 1z
x
W2
W1
32
§11–2 动量和动量定理
y
电动机受到的作用力有外壳的重力，
ω O1 e O2
W1 W2
s FN
转子的重力和地面的法向力。
因为电动机在水平方向没有受到 外力，且初始为静止，因此系统质心 x 的坐标xC保持不变。
取坐标轴如图所示。转子在静止时，
y O2
ω O1 eωt
设 xC1=0。当转子转过角度ωt时，设移
有外力也作用在质心上所产生
是动量定理的
的运动。
另一种表现形式
19
§11–2 动量和动量定理
质心运动定理： MaC Fi e
只有外力才能改变质点系质心的运动, 内力不能改变 质心的运动，但可以改变系统内各质点的运动。
若 Fie 0 ，则aC 0 , vC 常矢量，
若开始时系统静止，即 vC0 0 则rC 常矢量,
6
§11–1 质点系的质量几何性质
一、质心
质点系的质量中心称为质心。
质心是表征质点系质量分布情况的重要概念。
质点系质心C点的位置：
rC
mi ri M
MrC miri
设rc xci yc j zck ,则
xC

mi
M
xi
,
yC

mi
M
yi
,
zC

mi
M
zi
7
§11–1 质点系的质量几何性质
代入 MaC
e
Fi
得
e
miaCi Fi


miaCix miaCiy
Fix e Fiy e

miaCiz
Fiz e
对于任意一个质点系， 无论它 作什么形式的运动， 质点系质 心的运动可以设想把整个质点 系的质量都集中在质心上， 所
质心运动定理
引例
均质圆轮绕O轴做定轴转动， 已知重为W,半径为R,在一力偶 M作用下，以匀角加速度转动， 试求：力偶M
M
Fy O Fx

W
利用动量定理无法求解
38
§11–3 动量矩和矩心为定点的动量矩定理
一、动量矩
1、质点的动量矩 1）质点对点O的动量矩：
m2 m1 m2
e 2
sin t
利用
MaCx

MaCy
Fixe
Fiye
30
§11–2 动量和动量定理
31
§11–2 动量和动量定理
例4、设例3中电动机没用螺栓固定，初始时电动机静 止，求：1、转子以匀角速度ω转动时电动机外壳的运 动；2、电动机跳起的条件。
y
O2
ω
O1
e ωt
质心位置及加速度
xC

m1x1 m2 x2 m1 m2

m2 m1 m2
e cos
t
y
O2
ω
O1
e ωt
x
W2
W1
yC

m1 y1 m2 y2 m1 m2

m2 m1 m2
e sin
t
Fy
Fx
acx

xC


m2 m1 m2
e 2
cos t
acy

yC


1
第三篇 动力学
动力学的研究内容：
研究物体运动变化与作用于物体上的力之间的关系
动力学研究的模型： 1、质点 自由质点系 2、质点系 非自由质点系（刚体）
动力学研究的问题：
1、已知物体的运动，求作用于物体上的力； 2、已知作用于物体上的力，求物体的运动。 2
第三篇 动力学
动力学课程体系：
1、经典动力学（矢量动力学）
y
O2
ω
O1
e ωt
a2W2
x
W1
转子质心O2的加速度a2=e2，
方向垂直于O1。
Fy
Fx
a2x=-e 2 cos (t)， a2y=-e 2 sin(t)
28
§11–2 动量和动量定理
4、由质心运动定理
e
mi aCi Fi
miaCix
Fe ix
m1 0 m2e 2 cost Fx
Iz

m
2 z
11
§11–1 质点系的质量几何性质
3）平行轴定理 刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平
行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平
方之乘积。
Iz' Iz md 2
例1
z
I z

Iz

md 2

1 12
ml 2

m
l 2
2

1 3
ml 2
dt
Fiy e
d dt
(m2e
cost)

Fy

m1g

m2 g
Fy m2e2 sint m1g m2g
y
O2
ω
O1
e ωt
x
W2
W1
Fy
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Fx
27
§11–2 动量和动量定理
解：解法二：刚体系统的质心运动定理
1、取整个电动机为研究对象 2、受力分析 3、运动分析：
定子质心加速度a1=0，
d (mv) Fdt 两边积分
在v某v12 d一(m时v间) 间 隔t1t2内Fd，t 动量m的v2增量m等v1于 力t1t2在F该dt时积间分内形的式冲量
15
§11–2 动量和动量定理
2、质点系动量定理
设质点系由n个质点构成，第i个质点质量为mi，
速度为vi，所受外力为Fei，内力为F
px m1 0 m2 (e sin t) m2e sin t
py m2e cost
26
§11–2 动量和动量定理
4、由动量定理
dp
dt
e
Fi
dpx
dt
Fix
e
d dt
(m2e
sin
t)

Fx
Fx m2e2 cost
dpy
s FN
当电动机跳起时，Fy=0：
Fy m2e2 sint (m1 m2 )g
m1g m2g 0
当 t 2k

2
最易跳起
m2esin t
min
(m1 m2 )g m2e
35
§11–2 动量和动量定理
36
§11–2 动量和动量定理
37
§11–3 动量矩和矩心为定点的动量矩定理
或 MrC
Fie
质心运动定理：质点系的质量与质心加速度的乘积，
等于作用于质点系上所有外力的矢量和（外力系的
主矢）。
投影形式

MaCx MaCy

Fixe Fiye

MaCz
Fize
18
§11–2 动量和动量定理
刚体系统：设第 i 个刚体 mi，vCi，则有
MrC mirCi MrC mirCi 即 MaC miaCi
Iiz(e)
Fiz (e)dt
t1
若
e
Fi

0, 则
p

mivi 常矢量。
若 Fix e 0, 则 px mivix 常量。
17
§11–2 动量和动量定理
3、质心运动定理
将
p

MvC代入到质点系动量定理，得
d dt
(MvC )

Fie
则 MaC
e
Fi
在均匀重力场中，质点系的质心与重心的 位置重合。可采用静力学中确定重心的各种方 法来确定质心的位置。
但是，质心与重心是两个不同的概念，质 心比重心具有更加广泛的力学意义。
8
§11–1 质点系的质量几何性质
二、转动惯量
1、定义 Iz miri2 Iz m r2dm（连续体）
刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量， 它的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。
质点系中所有各质点的动量的矢量和。 （质点系动量系主矢量）
MrC miri 两边对时间t求导 MvC mivi
p MvC
14
§11–2 动量和动量定理
二、动量定理
1、质点动量定理
ma m dv F

d
(mv )

dt F
微分形式
dt
质点的动量对时间的导数等于作用于质点的外力
24
§11–2 动量和动量定理
例3、电动机的外壳用螺栓固定在水平基础上，定子 的质量是 m1，转子的质量是 m2，转子的轴线通过定 子的质心 O1。制造和安装的误差，使转子的质心 O2 对它的轴线有一个很小的偏心距 e（图中有意夸张）。
试求电动机转子以匀角速度 转动时，电动机所受
的总水平力和铅直力。
I
O

I
O杆

I
O盘

13m1l
2

1 2
m2
R
2
m2
(l

R)2

13m1l
2

1 2
m2
(3R
2

2l
2
4lR)
13
§11–2 动量和动量定理
一、动量
1、质点的动量 p mv
质点的质量与速度的乘积 mv 称为质点的动量。 是瞬时矢量，方向与v 相同。单位是kgm/s。
2、质点系的动量：p mivi
z x
12
§11–1 质点系的质量几何性质
4）计算转动惯量的组合法
当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计 算每一部分(物体)的转动惯量, 然后再加起来就是整 个物体的转动惯量。 若物体有空心部分, 要把此部 分的转动惯量视为负值来处理。
例2钟摆： 均质直杆m1, l ； 均质圆盘：m2 , R ； 求 IO 。
y
O2
ω
O1
e ωt
x
W2
W1
Fy
Fx
25
§11–2 动量和动量定理
解：解法一：动量定理
y
1、取整个电动机为研究对象 2、受力分析 3、运动分析：
v O2
ω
O1
2e
ωt
x
W2
W1
定子质心速度v1=0，
转子质心O2速度v2=e，
Fy
Fx
方向垂直于O1。
v2x=-esin (t)， v2y=ecos (t)
牛顿第二定律
动力学普遍定理
达朗伯原理
（适用于惯性参考系）
2、分析力学初步
分析力学静力学—虚位移原理 分析力学动力学—拉格朗日方程
3、两种特殊的动力学问题

碰撞 机械振动
3
动力学普遍定理
对质点动力学问题： 建立质点运动微分方程求解。
对质点系动力学问题： 理论上讲，n个质点列出3n个微 分方程，联立求解它们即可。
国际单位制中单位：kg·m2
2、转动惯量的计算 １）积分法 适用于规则几何形状的均匀刚体
9
§11–1 质点系的质量几何性质
a、均质圆环半径为R、质量为m，
对垂直于圆环平面且过中心O的z轴
的转动惯量：
Iz mR2
b、均质圆盘半径为R、质量为m，
对垂直于圆盘平面且过中心O的z轴
的转动惯量：
Iz

1 2