数列通项公式求法及答案

若数列的递推公式为a 1
3, a * 1
2(* ¥），则求这个数列的通项公式
a *
例2.①已知数列
a *的前*项和S *满足S * 2a *
3,门 1 •求数列a *的通项公式.
a *
S * 1
数列通项公式、求和的常见题型
等差数列定义：公差d
a * i a *
3 , a * 2 (n 1) ( 3) = n+5
门1
等比数列定义：公差q ・ 3, a * 2
3
a
“
练习
(a*
、公式法
已知数列的前*项和S *与a *的关系，求数列a *的通项a *可用公式
1
2求解.
(注意 S 1 a 1 , a * 3 2* 1)
、定义法
例题1:⑴在数列｛ a n ｝中，若a i 2 ， a
n 1 a
n 3,贝Ua* _____________________
⑵在数列｛ a n ｝中，若a i
2 , a * i 3a * , 贝U a n = ______________
3
(1)数列a n 的前n 项和S n 满足S n 1),
(
n N )求数列a n 的通项
②已知数列a n 的前n 项和S n 满足S n
2门2 n
1，求数列a n 的通项公式.
应用 a n S n S n !得 B n 4n-2
③ 已知等比数列a n 的首项印1，公比0 q 1，设数列b n 的通项为 b n a n 1 a n 2，求数列 g 的通项公式。

③解析：由题意，b n 1 a n 2 a n 3，又a *是等比数列，公比为q
b
n 1
b n
a n 2
a n 3
q
，故数列b n 是等比数列，D a 2 a 3 ag ag q(q 1)，
a
n 1 a
n 2
二 b n
q (q n 1
0 q
q n (q 1)
练习
公式• ( a n 3n )
、归纳法:
1 1 1 1 J J
J
13
5 7
(3)
9，99，999, 9999, (4) 8，88,888,8888,
(1) a n
1 2n 1
n 1
1
⑵
a n ( 1)
(3) a n
10n 1 (4) a n 8(10n 1)
9
四、分组求和法:
把整个式子拆分成等差数列和等比数列
例4、求和
3)
(a n n ) (2n 3 5 n )
(6 3 5 3)
1
n — 2n
解：
五、升次，错位相减法：
含x 的项是等比数列，系数是等差数列
练习
求和 1 弓 2 22 5
7 23
24
2n 1
c
c 1
( S
n
3
2n 3 2n )
六、累加法
累加法形如a n 1 a n f (n )型， a n 1 ，a n 相邻两项系数相等， f (n )是一个常数,
则直接用等差数列通项公式求出(例 1之(1)), f ( n )是一个关于n 的变量，根据递推公 式，写出a i 到a n 的所有的递推关系式，然后将它们分别相加即可得到通项公式。

例6.若在数列a n 中，a 1 3， a n i a n 2n ，求通项a n 。

解析：由 a n i a n 2n 得a . i a . 2n ，找出关键一步：a . a . i Nn 1)，
(1)
(a 1) (a
2) (a 3
⑵(2
3
5 1) (4
3 52)
1 1
1 (3) 1
2
3 2
4 8
4 — 16
(1)c=2 (2) a n
n(n 1) 2
2、若在数列a
n中, a1
1
a n a n 1
3n 1，( n 2 ,)
(1)求a i, a2 (a1 1, a2 13 )(2)证明a n 3n 1
2
3、若在数列a n中,
a1
3
a n 1 a n n，求数列a n的通项公式。

a3 a2 2 2 ,
a4 a3 2 3 ,
将以上各式左右两边分别相加得：
a n a1 2[1 234(n 1)]，又a1 3
所以a n-3= 2[1 (n1)](n 1)得a n= n(n-1)+3
2
练习
1、在数列a n中，a12，a n 1a n cn，（c是常数，n= 1，2,3,…）,且agg
成公比不为1的等比数列。

（1）求c的值；（2）求数列a n的通项公式
七、累乘法
例&已知数列a n 满足a 1
3，a
n
a n 1
1
n ( n
—(n
1)，(
形如a n 1
a 2 a 1
21
， a s
a 2
22
， a± a s 23，
2n
2、数列｛ a n ｝满足a 1 1，(n
1总1 na n ，求通项公式。

a n f(n )a n 型的数列，f (n )是一个常数，则直接用等比数列通项公式求出例 1
之(2) , f ( n )是一个关于n 的变量，根据递推公式，写出a i 到a .的所有的递推关系 式，然后将它们左右两边分别或相乘，即可得到通项公式
例6在数列a n 中，a i 3， a n 1 2n a n ( n N )，求通项a n 。

解析：由已知也2n ，对应找出电2n1，
a n
a n 1
等号左右两边对应相乘得
a i a 1 a s a 2
04 a s
… a n
a
n 1
J ^2 2 2 23… 2n 1 得a n
a 1
n( n 1)
21
2 3
(n 1)
又a 1
3
， 所以
a n ==3 2 2
练习
1、已知数列｛ a n } 满足a 1
2，a n 1
n 2
a n ，求通项公式。

(a n n (n 1))
n
八、裂项相消法
1 1
注意应用式子：K n
k)
n k n)
a n a1
1n，又a1
所以a n=1
练习:
设数列a n的前n项和S n，点
n, (n N )均在函数y=x的图象上,
(1)求通项a n ； (2)设b n
a n ? a n 1 ,求数列的前n项和T n
求数列a n的通项a n公式
将以上各式左右两边分别相加得:
答案：(1) a n 2n 1 (2) T n
2n 1
九、待定系数法：
形如a n 1=p a n+q (p、q为非零常数且1),设a. 1 +k=p (a. +k),通过待定系数
法求出常数，得到新数列｛a n +k｝，首项是a1 k,公比为p的等比数列
1
例9、( 1)数列｛a n｝满足a1=1, a n =丄a.1+1 (n>2),求数列｛a.｝的通项公式。

2
1 1
解：由a n=—a n1+1 ( n》2)得a n —2 = - ( a n 1 _2),而a1 —2=1 —2 = —1 ,
2 2
(2)数列｛a n ｝满足a 1=1，3am a . 7 0,求数列｛a n ｝的通项公式
7
1
7 •••
｛an
4｝
是以3为公比’以a1
;
3
3
为首项的等比数列
4
MH
a n
(3)、已知数列a n 满足a i 1，且a ni 3a n 2，求 a n .
解：设a n 1 t 3(a n t)，则 a n 1 3a n 2t
t 1，a n 1 1 3(a n 1)
a n 1是
以(a 1 1)为首项,以3为公比的等比数列
a n 1 (a 1 1) 3n 1 2 3n 1 a n 2 3n 1 1
1
(4)、数列｛a n ｝满足a 1=1，a . —a .1+1 (n >2)，求数列｛a .｝的通项公式< 2 1 1
解：由 a
n =—a
n1+1 (
2)得 a
n — 2=— (a
n1 — 2)，而 a
1 — 2=1 — 2=— 1，
2
2
•••数列｛ a n — 2｝是以-为公比，一1为首项的等比数列
2
•••数列｛ a n — 2｝是以丄为公比，首项是一1的等比数列
2
练习、
1 a n 3 1 a
n 1
解：左右同时取倒数，得
1、设数列｛a n ｝满足a 1 2, a n 1
1 a
2 n
1 2，
求 a n - (a
n
1 3)
2 2n
(2)数列 a n 的前n 项和S n ， 且a 1 1,S n
1
4a n
2 (n N )
①求数列a n 的通项公式及前n 项和。

.
(a n
(5n
4) 2n 1 T n (1 5n ) 2n
10)
②设数列b n a n 1 2a n (n 1,2, )
，
求证： 数列 b n 是等比数列； (公比q = 2)
③设数列C n an ,(n 1,2,)，求证：数列C n 是等差数列；(公差d = 2.5 ) 2n 十、取倒数法、
通过取倒数，可得出有等差数列，或等比数列，
a
例 10、(1)设数列｛a n ｝满足a 1 2, a * i ——n
(n N),求a n . a n 3
..1 1
• a n 1 2 3丄 a n
1 1 -) 新数列｛—
2 a n
1
1 1
-｝首项一-1，公比为3的等比数列 2 a 1 2
1
1 3
…a n
2 a n
2
n 1
,-
2 3
1
练习
a
n
a
n 1
a
n
1、数列｛ a
中,
a 1 =1，a
2a n a n
n € N ，求通项a n
(a n
2、已知数列｛a n｝满足a11, n 2 时，a n 1 a n 2a n 1a n，求通项公式。

(a n
3、已知数列｛a n｝满足: a
n
a n 1
3 a n 1 1,a1
1 ,求数列｛a n｝的通项公式。

(a
1^一、观察系数与底数法:
例11、(1)已知数列a满足a i 1 ,a
n
3n3a n 1 (n 2)，求a
解：将a n 33a n i两边同除3a n
得了a n 1 a n a n 1
n n
3 3
新数列*}首项a1
3n31
公差为的等差数列。

(n 1) 1 a n
2
(
n3)3n
(2) 已知数列a
n
满足a1
1
,
a n 3n2a n 1 (n 2)，求a
解：将a n3n2an1两边同除3'得a2a n 1
3n a n
a n 1
s7
2,a n 1
t), 得t=-3 ,
a a 得新数列｛才｝是首项扌8
3,公比为
2的等比数列.
3
a n
3n
…3中1 3)n 1 n 2
a n 3 2
十二、相邻三项求法,
代定系数，找出新数列满足关系式: a n 1 ka n p( a n ka n 1)，即
a n 1 ka n
a n ka n 1
，得到新数列｛a n ka n1｝是首项a? ka1，公比为p的等比数列。

例12、已知数列a
n 中, a1 1, a2 2, a n，求a n
由a n
2
2 ■—a n 1
3
2
对应写成a n1 3 a n
设a n 1 ka n P(a
n
ka n 1)，去括号合并得a n 1 (P k)a n pka n 1
得a n a n
练习
2
(2)对应项系数相等得p k 3
1
1(a n -a
3
Pk ，解得P 1, k n 1)，公比p= 1，所以a n a2
1
a? a
2 3
7 1
-，所以a n§ % 1 a n
15
2
1
3n
1.已知数列a n满足a1 1,a2 3, a n 2 3a n 1 2a n(n N ).
(I)证明：数列a n 1a n是等比数列(答案公式为2)；(II )求数列a n的通项公式；(a.2n 13)
十三、取对数法
的通项公
log ；n
1,
答案: a n
2、设数列a
例13、设正项数列a n 满足a 1 1 , a n 2a ； 1 (n >2).求数列a n
解：两边取对数得：log ；n
1 2log ；n1
, log ；n
1 2(log ；n 1
1)，设 b 则b n 2b n 1
b n 是以2为公比的等比数列，b 1 log ； 1 1.
b n 1 2n1 2n
1
, log 2n
1 2n 1 , log ；n
2n
1
1 , /• a . 22
"
练习、
2
1、数列 a n 满足,a 1 3, a n 1
2
3 S n ，求 a .
3 (n 1)
4 (|)n 2
(n 2)
1 的前 n 项和 S n , S n 3(a n
1) n N
3
求 a 「 a ?
求证：数列a n 是等比数、
9
3、等差数列a n 满足a 3 2，前3项的和满足S n -
(1)数列a n 的通项公式
答案a n n 1
2T n
2n1
3、等差数列a n满足a s7 , a5a?26，数列a n的前n项和S n
(1)求a n、S n
(2) 设b n J •(n N ), 求数列b n的通项公式及前n项和T n。

a n 1
答案：a n 2n1、S n
2 n
n 2n T n
4(n 1)
例3、(1)。