大学物理第4章-动量和角动量

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与地面碰撞的时间为t
由动量定理得:
F
,重tt12心F下dt移了ps2

p1
ห้องสมุดไป่ตู้
F Mv0
t2 t1
t
t
设人落地后作匀减速运动到静止,则:
讨论
v v0 at ,v2 v02 2as
F Mv02 2s
v02 2gh
t 2s v0 h
F Mg s
设人从 2m 处跳下,重心下移 1cm,则:
称质心:质点系的质量中心)的概念。 N个质点组成的系统∶
• • •• • m1, m2 ,, mi ,, mN
y
m1 m2
• • •• 位矢分别为 • • • •• • •
•C
m3
mi
x
• • r1 , r2 ,..., ri ,..., rN
mN
• 质点系的动量为∶
p m1v1 m2v2 ... mN vN
F1
m1
: F1
f1
dp1 dt
f1 f2 0
f1
f2
F2
m1
m2
m2
: F2
f2
dp2 dt
F1
F2
d(
p1
dt
p2
)
n 个质点组成的质点系:
即:
F

dp dt
n
Fi
i 1
d dt
n i 1
pi
— 质点系的动力学方程
即∶质点系所受合外力等于系统总动量的变化率。
说明
内力可以改变一个质点的动量,但对系统总动量 的改变无贡献。
四、质点系的动量定理: 1、微分形式: 由
F
dp
得:
dt
Fdt dp 动量定理的微分式
2 、积分形式:
对上式积分,
t2
F
dt
p2
dp
t1
p1
即: I
t2
F
dt
Δp
动量定理的积分式
t1
它表明∶在一个过程中,系统所受合外力的冲量等于 系统在同一时间内动量的增量。
弹出口时炮车的速率;(2)发射炮弹过程中,炮车移动的距 离(炮身长为L)。
m
u
解(1)选炮车和炮弹为系统,地面为参 考系,系统所受合外力为N,mg,Mg都沿 竖直方向,水平方向合外力为零,系
NL
mg
统总动量x分量守恒。设炮弹出口时相
M
x
对于地面的水平速度为vx,
o
u
炮身的反冲速度为v’x,对地面参考系有
落入车厢的煤为⊿m = 500kg。如果使车厢的速率保持不变,应用
多大的牵引力拉车厢? (摩擦忽略不计)
解 选取车厢和车厢里的煤 m 和即将
v
落入车厢的煤 d m 为研究的系统。取水平
dm
向右为正。
m
F
t 时刻系统的水平总动量:
mv d m0 mv
t + dt 时刻系统的水平总动量: mv d mv (m d m)v
dt 时间内水平总动量的增量: dp ( m dm )v mv vdm
由动量定理得: F d t d p v d m
F d m v 500 3 1500( N ) dt
§4.2 动量定理守恒定律
一 对、质动点量系守,恒由定F律 dp
知,当
F
0

dt
dp 0 dt
p



dI F ( t )dt mdv
I
t2 t1
F ( t )dt
mv2
mv1
4、动量定理的应用 增大、减小冲力作用
1) 冲力 : 碰撞过程中物体间相互作用时间极短,相互作用力 很大,而且往往随时间变化,这种力通常称为冲力。
2) 平均冲力 : 冲力对碰撞时间的平均值。
若冲力很大, 其它外力可忽略时, 则: F
械能守恒
1 2
kx2
1 2
m v12
O
C
O'
A
B
x
②A脱离弹簧后速度不变,与B作完全弹性碰撞,交换速度,
A静止,B以初速v沿圆环轨道上升。
③B在圆环轨道上运动时,它与地球系统的机械能守恒
1 2
m v12
mgR(1
cos )
1 2
m v22
当滑块B沿半圆环轨道上升到C点时,满足
mg
cos
mv
2 2
说明
21、 、反I与 映了过p 同 程量向与。状3态、量只的适关用系于。惯性系。
从动量定理可以知道,在相等的冲量作用下,不同质量的物 体,其速度变化是不相同的,但它们的动量的变化却是一样的, 所以从过程角度来看,动量比速度能更恰当地反映了物体的运动 状态。因此,一般描述物体作机械运动时的状态参量,用动量比 用速度更确切些。动量和位矢是描述物体机械状态的状态参量。
讨论 1、瞬时性 2、矢量性 3、相对性
二、质点的动量定理(动量的变化与作用量的关系)
由牛顿第二定律:
F
=
dp
Fdt = dp
dt
1、 冲量(impulse)
1)微分形式: dI Fdt
Fdt 表示力的时间累积,叫时间d t 内合外力 F 的冲量。
2)积分形式: I
t2
F
d
t
若为恒力: I Ft
F
t2
F
dt
t1
p2
p1
p
F
t2 t1
t t
即:
F
p
t
O t1
t2
若其它外力不可忽略时, 则 F 是合外力的平均。
例题4-1 人在跳跃时都本能地弯曲关节,以减轻与地面的撞 击力。 若有人双腿绷直地从高处跳向地面,将会发生什么情况?
解 设人的质量为M,从高h 处跳向地面,落地的速率为v0 ,
rC
m1r1
m2r2
mN
rN
m1 m2 mN
N mi ri
i 1
M
C称为质点系的质心,rc 称为质心的位矢。
可以证明:质心相对质点系的位置与坐标系的选取无关,即 质心相对于质点系本身是一个特定的位置。
引入质心后,质点系的动量与质点的动量表示式一样简洁。得 质心C的坐标
xc
mi xi
R
(1)、(2)、(3)、(4)联立求解可得
(4) x 7mgR 2k
例题4-5如图,两个带理想弹簧缓冲器的小车A和B,质量分别为 m1和m2.B不动,A以速度v0 与B碰撞,如已知两车的缓冲弹簧 的劲度系数分别为k1和k2,在不计摩擦的情况下,求两车相对静
止时,其间的作用力为多大?(弹簧质量略而不计)
二、质心运动定理
由质心位矢
rc
mi ri
M
对t求导,得
vc
大学物理
第四章 动量和角动量
本章主要内容: 1. 动量定理及守恒定律 2. 角动量定理及守恒定律 3. 质心运动定理 4. 碰撞
一、动 量
与质量和速度 有关的状态量
§4.1 动量定理
度量质点 运动的量
质点动力 学问题
动量
p = mv
在直角坐标系中
px mvx py mvy pz mvz
在国际单位制(SI) 千克·米/秒(kg·m/s)
Mg
Mv x
mv
x
0
由相对速度的概念可得 v弹 对 地 v弹 对 炮 v炮 对 地
得 v x u cos vx Mvx m(u cos vx ) 0
解得
v x
m ucos
M m
负号表示炮车反冲速度与x轴正向相反。
(2)若以u(t)表示炮弹在发射过程中任一时刻炮弹相对炮 车的速率,则此时炮车相对地面的速率
点,另一端与滑块A接触,开始时滑块B静止于半圆环轨道的底
端,今用外力推滑块A,使弹簧压缩一段距离x后再释放,滑块A
脱离弹簧后与B作完全弹性碰撞,碰后B将沿半圆环轨道上升,
升到C点与轨道脱离,O’C与竖直方向成α=60°,求弹簧被压
缩的距离x.
解:①设滑块A离开弹簧时速度
为v,在弹簧恢复原形的过程中机
3 、动量定理分量形式 在直角坐标系中,动量定理的分量式为∶
I
t2
F
d
t
t2
I x
t2 t1
Fxdt
p2 x
p1x
I y
t2 t1
Fydt
p2 y
p1 y
Iz
t2 t1
Fzdt
p2 z
p1z
即系统所受合外力的冲量在某一方向上的分量等于系统动量 在该方向上分量的增量。
例题4-3 一辆装煤车以v = 3m/s 的速率从煤斗下面通过,每秒
k1 x1 k2 x2
相对静止时两车间的相互作用力
x1
[ m1m2 m1 m2
k2 k1(k1
]1/ 2 k2 )
v0
F
k1 x1
[ m1m2 m1 m2
k1k2 k1 k2
]1/ 2 v0
§4.3 质心 质心运动定理
一、质心
质点系运动时,各质点的运动情况可能是各不相同的,很
复杂的,为了简洁描述质点系的运动状态,引入质量中心(简
t1
还有重力。
o
即∶ F F冲 F重 F冲 mg
外力的冲量
F冲 F mg 3200 2 3200 N 可忽略
2)冲力的冲量:
F t2
t1 冲
d
t
103
0 F冲 d t 3.2k gm/s
重力的冲量: mgt 0.2103 2104 kgm/s
三、质点系的动力学方程
由两个质点组成的质点系:
3、动量定理分量形式 在直角坐标系中,动量定理的分量式为∶
I x tt12Fxdt mv2x mv1x
I y
t2 t1
Fydt
m v2 y
m v1 y
Iz
t2 t1
Fz
dt
m v2z
m v1z
即系统所受合外力的冲量在某一方向上的分量等于系统动 量在该方向上分量的增量。
在低速运动情况下,质点的质量是恒量,动量定理可写为
t1
冲量是力对时间的积累。
力对时间的积累产生的效果是什么呢 ?
2、动量定理 1)微分形式:

F
得dp:
dt
F d t d p — 动量定理的微分式
2)积分形式: 对上式积分,
t2
F
dt
p2
dp
t1
p1
即:
t2
F
dt
p
— 动量定理的积分式
t1
在一个过程中,质点所受合外力的冲量等于质点动量的增量。
M
yc
mi
M
yi
,
zc
mi zi
M
对质量连续分布的质点系∶
rc
rdm
M
xc
xdm M
,
yc
ydm M
,
zc
zdm
M
说明
(1)几何形状对称的均匀物体,质心就是几何对称中心。 (2)有些物体的质心可能不在所求的物体上,但有明确 的物理意义。 (3)重心是重力合力的作用点,尺寸不大的物体,质心 与重心重合。
解 时:,两两小车车速碰度撞相为等弹。性碰撞,在碰撞过程中v当0 两k1小车k相2 对静止
在碰撞过程中,以两车和弹簧为 系统,动量守恒,机械能守恒。
A m1
B m2
m1v0 (m1 m2 )v
1 2
m1 v 02
1 2 (m1
m2 )v2
1 2
k1 x12
1 2
k2 x22
x1、x2分别为相对静止时两弹簧的压缩量.由牛顿第三定律
N
pi
N
mivi
恒矢量
——动量守恒定律
i 1
i 1
当质点系所受的合外力为零时,质点系的总动量就保持不变。
应用动量守恒定律时应注意∶
① Fi 0,系统的动量守恒.并不意味着每个质点的动量不变,
在内力的作用下,每个质点一般均不断改变着其动量。但总的 动量和保持不变,即内力不改变总动量,这一结论与内力的性 质无关。
vx (t)
m M m
u(t ) cos
设炮弹经t1s出口,在t1s内炮车沿水平方向移动了
S
t1
0
v x
(t )dt
m M
m
cos
t1
0
u(t
)dt
m M
m
L cos
负号表示炮身沿x轴负向后退。
例题4-5:光滑水平面与半径为R的竖直光滑半圆环轨道相接,
两滑块A,B的质量均为m,弹簧的倔强系数为k,其一端固定在O
F Mg h 200Mg
可能发生骨折。
s
设人的体重为70 kg,此时平均冲力:F 70 9.8 200 1.37105 (N)
例4-2 质量为m=0.2kg的皮球,向地板落下,以8m/s的速率与
地板相碰,并以近似相同的速率弹回,接触时间为10-3s。
求解∶1)1地t)t1t2取2F板FF地dd对t板t球中为P的tt12的2参平FF考dP均实1t系冲为,m力t合向v22外上)1冲3力0为(.2力,3正m的除,v1冲3冲)由2量力002和外Nmtt12重vF1力dt的3.得冲2P:量2kg。mP1v/ms
z
m1
dr1 dt
m2
dr2 dt
... mN
drN dt
d
dt (m1r1 m2r2 ... mN rN )
取其质 位比量矢较为为得pM(rmc1,M 其mm1v速2c度m(为2m1.m..vcNm)mddd2Ndrtrc并tc 与,质则ddtm点有(mN系1r)具1dd有rtmc 相2r同2 动..量.的m质N r点N )C
不受外力。 外力矢量和为零
② 若外力与内力相比较小得多时,可认为近似满足动量守恒 条件。例如碰撞、打击、爆炸等现象中重力和摩擦力等可忽 略不计。
③ 动量守恒定律由牛顿定律导出,但它比牛顿定律应用的范 围更广泛。不仅适用于宏观现象而且适用于微观现象。
④ 动量和力是矢量,可沿坐标轴分解,当沿某坐标方向所受合 外力为零时,总动量沿该方向的分量守恒。
当Fx 0时 ,
N
mivix px 常 量
i=1
当Fy 0时 ,
当Fz 0时 ,
N
miviy py 常 量
i=1
N
miviz pz 常 量
i=1
⑤ 动量守恒定律只适用于惯性系。
例题4-4 质量为M,仰角为α的炮车发射了一枚质量为m的炮
弹,炮弹发射时相对炮身的速率为u,不计摩擦,求∶(1)炮
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