10概率统计解答题(教师版)

三道工序合格，其他两道工序不合格，显然彼此互斥，有互斥事件与独立事件的概率求法，即可求出；（2）设 X 为三 道加工工序中产品合格的工序数，求 X 的分布列和数学期望，由题意可知，三道加工工序中产品合格的工序数为 0,1, 2,3 ，分别求出概率，即得分布列，从而得数学期望．
试题解析：（1）产品为废品的概率为：
年龄在
的 5 个受访人中，有 4 人支持发展共享单车；年龄在
。（2） 的 6 个受访人中，有 5 人支持发展共享单车．随
机变量 的所有可能取值为 2，3，4．所以 试题解析：（Ⅰ）根据所给数据得到如下 列联表：
年龄低于 35 岁
支持
30
不支持
5
合计
35
，
年龄不低于 35 岁 10 5 15
，
.
合计 40 10 50
，
，
2
3
4
试卷第 2 页，总 9 页
∴随机变量 的数学期望
．
3．已知某企业近 3 年的前 7 个月的月利润（单位：百万元）如下面的折线图所示：
（1）试问这 3 年的前 7 个月中哪个月的月平均利润最高？ （2）通过计算判断这 3 年的前 7 个月的总利润的发展趋势； （3）试以第 3 年的前 4 个月的数据（如下表），用线性回归的拟合模式估测第 3 年 8 月份的利润．
（2）当第一次取完一个盒子中的球时，另一个盒子恰剩下 个球，求 的分布列及期望 E 。
【答案】（1） 3 ；（2） E 15
16
8
【解析】
试题分析：（1）
P
C32
(1)2 2
1 2
1 2
3 16
（2） 1, 2,3
P(
1)
C32
(
1 2
)4
C31
(
1 2
)4
3 8
P(
2)
( 1 )3 2
C21
P( X
i)
C4i C44i C84
(i
0,1, 2,3, 4)
P( X
0)
C40C44 C84
1 , P(X 70
1)
C41C43 C84
16 70
, P(X
2)
C42C42 C84
36 , 70
试卷第 5 页，总 9 页
P( X
3)
C43C41 C84
16 70
, P(X
4)
C44C40 C84
所以这 3 年的前 7 个月的总利润呈上升趋势．
（3）∵ x 2.5 ， y 5 ， 12 22 32 42 30 ， 14 24 36 46 54 ，
∴
bˆ
54 4 2.55 30 4 2.52
0.8
，
∴ aˆ 5 2.50.8 3，
∴ yˆ 0.8x 3 ，
当 x 8 时， yˆ 0.88 3 9.4 （百万元），∴估计 8 月份的利润为 940 万元．
和
（单位: ）内的男生中任选两人，求这两人的身高都不低于
的
概率．
【答案】（1） （2）
（3）
【解析】（Ⅰ）根据题意，
.
解得
．
所以样本中学生身高在
内（单位: ）的人数为
．
（Ⅱ）设样本中男生身高的平均值为 ，则
．
所以，该校男生的平均身高为
．
（Ⅲ）样本中男生身高在
内的人有
（个），记这两人为 ．
由（Ⅰ）可知，学生身高在
0.50
0.40 0.25 0.15
0.10 0.05
0.025 0.010 0.005 0.001
0.455
0.708 1.323 2.072
2.706 3.841
5.024 6.635 7.879 10.828
参考公式：
，其中
．
【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析.
【解析】试题分析：（1）由题意可知 a=30,b=10,c=5,d=5,代入：
色完全相同，并且其中 4 杯为 A 饮料，另外 4 杯为 B 饮料.公司要求此员工一一品尝后，从 8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮
料.若 4 杯都选对，则月工资定为 3500 元；若 4 杯选对 3 杯，则月工资定为 2800 元；否则月工资定为 2100 元.令 X 表
示此人选对 A 饮料的杯数.假设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力.
出行难题．然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等．
为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了 50 人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如下表：
年龄
受访人数
5
6
15
9
10
5
支持发展 共享单车人数
4
5
12
9
7
3
（Ⅰ）由以上统计数据填写下面的 持发展共享单车有关系；
6
PX 4 1 P 2 P 3 7 或 PX 4 ABC D D ABC D D ABC D D ABC D D 7
12 ，
12
X 的分布列为：
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X
2
3
4
P
1
1
7
4
6
12
EX 2 1 3 1 4 7 10
6分
4 6 12 3
基础上加或减。答题时每人总分达到 100 分或 100 分以上，直接录用不再继续答题；当四道题答完总分不足 100 分时
不予录用。
假设志愿者甲面试已通过且第二轮对 A,B,C,D 四个题回答正确的概率依次是 1 , 1 , 1 , 1 ，且各题回答正确与否相互之 2234
间没有影响.
(Ⅰ) 用 X 表示志愿者甲在知识问答结束时答题的个数，求 X 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）求志愿者甲能被录用的概率.
【答案】(1)
X
2
3
4
P
1
1
7
4
6
12
EX 2 1 3 1 4 7 10 4 6 12 3
(2) 25 48
【解析】
试题分析：解：设某题 M 答对记为“M”，答错记为“ M ” (Ⅰ) X 的可能取值为 2，3，4
PX 2 AB 1
4
PX 3 ABC ABC 1
内的人有 个，记这四人为
所以，身高在
和
内的男生共 人．
从这 人中任意选取 人，有
共 种情况．
设所选两人的身高都不低于
为事件 ，事件 包括
． ，
，共 种情况．
所以，所选两人的身高都不低于
的概率为
．
2．几个月前，成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的
列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下，认为年龄与是否支
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支持 不支持 合计
年龄低于 35 岁
年龄不低于 35 岁
合计
（Ⅱ）若对年龄在
，
的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的 4 人中支持发展共享单车的人数为
，求随机变量 的分布列及数学期望． 参考数据：
1 70
所以， X 的分布列为：
………………7 分

X
0
1
2
3
4
1
16
36
16
1
P
70
70
70
70
70
………………9 分
月份 x
1
2
3
4
利润 y（单位：百万元）
4
4
6
6
相关公式： bˆ
n
i1
xi x
2
yi y
n
i1
xi x
2
x n
i1 i
yi
nx
•
y
，
aˆ y bˆx ．
x n 2
i1 i
nx 2
【答案】（1 5 月和 6 月;（2）上升趋势．（3）940 万元．
【解析】试题分析：
(1)由折线图，通过计算每个月的平均利润可得；
(
1 2
)3
3 8
P( 3) (1)2 1 24
E 15 8
考点：本题考查了独立重复试验的求法及分布列期望的求法
点评：本题考查了随机事件的概率及随机变量的分布列、期望的综合运用，考查了学生的计算能力及解决实际问题的
能力，掌握求分布列的步骤及期望公式是解决此类问题的关键
7．某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共 8 杯，其颜
(2)分别计算出第 1、2、3 年前七个月的总利润，由计算结果即可分析趋势；
(3)由题意将数据代入公式，列出回归方程求解即可。
试题解析：
（1）由折线图可知 5 月和 6 月的平均利润最高．
（2）第 1 年前 7 个月的总利润为1 2 3 5 6 7 4 28 （百万元）， 第 2 年前 7 个月的总利润为 2 5 5 4 5 5 5 31（百万元）， 第 3 年前 7 个月的总利润为 4 4 6 6 7 6 8 41（百万元），
（1）求 X 的分布列；
（2）求此员工月工资被定为 2100 元的概率.
【答案】（1） X 的分布列为：
X
0
1
2
3
4
1
16
36
16
1
P
70
70
70
70
70
（2） 53 70
【解析】（1）先求出随机变量的取值及对应的概率，然后利用分布列的概念求出分布列；（2）利用互斥的概率和公式
求解概率即可
（1）由题意知： X 的所有可能取值为：0, 1, 2, 3, 4. ………………2 分
第十讲：概率统计解答题
1．某中学随机选取了 名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．观察图中数据， 完成下列问题．
（Ⅰ）求 的值及样本中男生身高在
（单位: ）的人数；
（Ⅱ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男生的平均身高；
（Ⅲ）在样本中，从身高在
根据 列联表中的数据，得到 的观测值为
． ∴不能在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系．
（Ⅱ）由题意，年龄在 发展共享单车．
的 5 个受访人中，有 4 人支持发展共享单车；年龄在
的 6 个受访人中，有 5 人支持
∴随机变量 的所有可能取值为 2，3，4．
∵
，
∴随机变量 的分布列为
愿者，要求志愿者不仅要有一定的气质，还需有丰富的人文、地理、历史等文化知识。志愿者的选拔分面试和知识问
答两场，先是面试，面试通过后每人积 60 分，然后进入知识问答。知识问答有 A,B,C,D 四个题目，答题者必须按 A,B,C,D
顺序依次进行，答对 A,B,C,D 四题分别得 20 分、20 分、40 分、60 分，每答错一道题扣 20 分，总得分在面试 60 分的
4．江西某品牌豆腐食品是经过 A 、B 、C 三道工序加工而成的， A 、B 、C 工序的产品合格率分别为 3 、 2 、4 ．已 435
知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工的产品都为合格时产品为一等品；恰有两次合格为二等品；其它的为废 品，不进入市场． （1）生产一袋豆腐食品，求产品为废品的概率；
故 P( 2) 1 P( 0) P( 1) P( 3) 13
9分
30 ，
得到 ξ 的分布列如下：
0
1
2
3
1
3 13 2
P
60 20 30 5
E 1 3 2 13 3 2 133 20 30 5 60
12 分
考点：互斥事件的概率，独立事件的概率，分布列与期望．
5．2011 年 4 月 28 日世界园艺博览会将在陕西西安浐灞生态区举行，为了接待来自国内外的各界人士，需招募一批志
（2）生产一袋豆腐食品，设 X 为三道加工工序中产品合格的工序数，求 X 的分布列和数学期望．
【答案】（1）产品为废品的概率为 P 1 ；（2） X 的分布列 6
0
1
2
3
1
3 13 2
P
60 20 30 5
数学期望 E 133 ． 60
试卷第 3 页，总 9 页
【解析】 试题分析：（1）产品为废品包含三道工序加工的产品都不合格，三道工序加工的产品有一道工序合格，其他两道工序 不合格，而三道工序加工的产品有一道工序合格，其他两道工序不合格又包含，三道工序加工的产品有第一道工序合 格，其他两道工序不合格，三道工序加工的产品有第二道工序合格，其他两道工序不合格，三道工序加工的产品有第
P 111 311121114 1
6分
435 435 435 435 6
（2）由题意可得 0,1, 2,3
P( 0) (1 3) (1 2) (1 4) 1
4
3
5 60
P( 1) 3 1 1 1 2 1 1 1 4 3 4 3 5 4 3 5 4 3 5 20
P( 3) 3 2 4 2 435 5
(Ⅱ) 志愿者甲能被录用的概率
P AB ABC ABC ABCD ABCD ABCD
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 25 12 分 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 4 2 2 3 4 2 2 3 4 48
或 P １－ABC D ABC D ABC D ABC(D D) 25 48
考点：概率分布列和数学期望 点评：解决的关键是理解随机变量的各个取值，以及对应的概率值，进而得到分布列求解期望，同时运用间接法来求 解对立事件的概率值，属于基础题。 6．有甲，乙两个盒子，甲盒中装有 2 个小球，乙盒中装有 3 个小球，每次随机选取一个盒子并从中取出一个小球 （1）当甲盒中的球被取完时，求乙盒中恰剩下 1 个球的概率；