(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》检测卷(答案解析)(4)

一、选择题
1．在一个四边形ABCD 中依次连接各边的中点得到的四边形是矩形，则对角线AC 与BD 需要满足的条件是（ ）
A ．垂直
B ．相等
C ．垂直且相等
D ．不再需要条件 2．如图，顺次连接四边形ABCD 各边的中点得到四边形EFGH ，要使四边形EFGH 为菱形，
应添加的条件是( )
A ．A
B ∥DC
B ．AB ＝D
C C ．AC ⊥B
D D ．AC ＝BD
3．如图，边长为,a b 的矩形的周长为14，面积为10，则22a b ab +的值为（ ）
A ．140
B ．70
C ．35
D ．24
4．下列命题是假命题的是（ ）
A ．有一组邻边相等的矩形是正方形
B ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C ．对角线相等的平行四边形是矩形
D ．有三个角是直角的四边形是矩形 5．菱形ABCD 中，60D ∠=︒．点
E 、
F 分别在边BC 、CD 上，且BE CF =．若2EF =，则AEF 的面积为（ ）．
A ．3
B ．33
C ．23
D 36．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且OA OC =，OB OD =．若要使四边形ABCD 为矩形，则可以添加的条件是（ ）
A ．60AO
B ∠=︒ B ．A
C B
D = C ．AC BD ⊥ D ．AB BC = 7．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高线，C
E 是AB 边上的中线，DG ⊥CE 于点G ，CD =AE ．若BD =6，CD =5，则△DCG 的面积是（ ）
A ．10
B ．5
C ．103
D ．53
8．如图，正方形ABCD 的边长为3，点P 为对角线AC 上任意一点，PE BC ⊥，PQ AB ⊥，垂足分别是E ，Q ，则PE PQ +的值是（ ）
A ．32
B ．3
C 32
D ．32
9．给出下列命题，其中错误命题的个数是（ ）
①四条边相等的四边形是正方形；
②四边形具有不稳定性；
③有两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；
④一组对边平行的四边形是平行四边形．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．如图，在ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，16BC =，F 是线段DE 上一点，连接AF 、CF ，4DE DF =，若90AFC ∠=︒，则AC 的长度是（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
11．如图，正方形纸片ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后折痕DE 分别交AB 、AC 于点E 、G ，连结GF ，给出下列结论：①∠ADG=22.5°；②AD=2AE ；③ACD OGD S S ∆∆=；④四边形AEFG 是菱形；⑤BE=2OG ：⑥若1OGF S ∆=，则正方形ABCD 的面积是642+，其中正确的结论个数为（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
12．如图，菱形ABCD 的边长是5，O 是两条对角线的交点，过O 点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，若菱形的一条对角线的长为4，则阴影部分的面积为（ ）
A ．221
B ．421
C ．12
D ．24
二、填空题
13．如图，以AB 为边作边长为8的正方形ABCD ，动点P 、Q 在正方形ABCD 的边上运动，且PQ ＝8，若点P 从点A 出发，沿A →B →C →D 的线路，向D 点运动，点Q 只能在线段AD 上运动，求点P 从A 到D 的运动过程中，PQ 的中点O 所经过的路径的长为_____．
14．如图，两个长宽分别为7cm 、3cm 的矩形如图叠放在一起，则图中阴影部分的面积是________．
15．D 为等腰Rt △ABC 斜边BC 上一点（不与B 、C 重合），DE ⊥BC 于点D ，交直线BA 于点E ，作∠EDF ＝45°，DF 交AC 于F ，连接EF ，BD ＝nDC ，当n ＝__________时，△DEF 为等腰直角三角形．
16．如图，点E 是矩形ABCD 内任一点，若4AB =，7BC =．则图中阴影部分的面积为__________．
17．如图，正方形ABCD 中，AB=2，AC ，BD 交于点O ．若E ，F 分别是边AB ，BC 上的动点，且OE OF ⊥，则△OFF 周长的最小值是________________；
18．如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，BE AC ⊥于点E ，DF 平分ADC ∠，交EB 的延长线于点F ，3BC =，6CD =，则BE BF
=_________．
19．如图，正方形ABCD 的边长为8，点E 为边BC 的中点，点P 在对角线BD 上移动，则PE +PC 的最小值是_____．
20．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别是边AB ，CD 上的点，且60CFE ∠=︒．将四边形BCFE 沿EF 翻折，得到B C FE ''，点C '恰好落在AD 边上，B C ''交AB 于点G ，则GE 的长是_______．
三、解答题
21．如图1，点E 为正方形ABCD 内一点，90AEB =︒∠，现将Rt ABE △绕点B 按顺时针方向旋转90︒，得到CBE '△（点A 的对应点为点C ），延长AE 交CE '于点F ．
（1）如图1，求证：四边形BEFE '是正方形；
（2）连接DE ．
①如图2，若DA DE =，求证：F 为CE '的中点；
②如图3，若15AB =，3CF =，试求DE 的长．
22．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD ，BC 的中点，G ，H 分别是BD 、AC 的中点，依次连接E ，G ，F ，H ．
（1）求证：四边形EGFH 是平行四边形；
（2）当AB=CD 时，EF 与GH 有怎样的位置关系？请说明理由；
（3）若AB=CD ，∠ABD=20°，∠BDC=70°，则∠GEF= °．
23．如图，在△ABC 中，已知AB=AC ，∠BAC=90°，BC=12cm ，直线CM ⊥BC ，动点D 从点C 开始以每秒4cm 的速度运动到B 点，动点E 也同时从点C 开始沿射线CM 方向以每秒2cm 的速度运动．
（1）问动点D 运动多少秒时，△ABD ≌△ACE ，并说明理由；
（2）设动点D 运动时间为x 秒，请用含x 的代数式来表示△ABD 的面积S ；
（3）动点D 运动多少秒时，△ABD 与△ACE 的面积比为4：1．
24．已知：如图，在矩形ABCD 中，M 、N 分别是边AD 、BC 的中点，E 、F 分别是线段BM 、CM 的中点．
（1）求证：△ABM ≌△DCM ；
（2）当AB ：AD 的值为多少时，四边形MENF 是正方形？请说明理由．
25．如图，在ABC 中，已知105BAC ∠=︒，45ACB ∠=︒，AD 是BC 边上的高线，CE 是AB 边上的中线，DG CE 于点G ，且42AC =
（1）求AB 的长；
（2）求证：CG EG ．
26．已知：如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、AB 上的点，且CE BF =，连接DE 、CF ，两线相交于点P ，过点E 作EG DE ⊥，且EG DE =，连接FG ．
（1）若5DE =，求FG 的长．
（2）若点E 、F 分别是BC 、AB 延长线上的点，其它条件不变，试判断FG 与CE 的关系，并予以证明．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
根据题意画出相应的图形，如图所示，由四边形EFGH 为矩形，根据矩形的四个角为直角得到∠FEH ＝90°，又EF 为三角形ABD 的中位线，根据中位线定理得到EF 与DB 平行，根
据两直线平行，同旁内角互补得到∠EMO＝90°，同理根据三角形中位线定理得到EH与AC 平行，再根据两直线平行，同旁内角互补得到∠AOD＝90°，根据垂直定义得到AC与BD垂直．
【详解】
解：如图，
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠FEH＝90°，
又∵点E、F、分别是AD、AB边的中点，
∴EF是三角形ABD的中位线，
∴EF∥BD，
∴∠FEH＝∠OMH＝90°，
又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点，
∴EH是三角形ACD的中位线，
∴EH∥AC，
∴∠OMH＝∠COB＝90°，
即AC⊥BD．
故选：A．
【点睛】
此题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，以及平行线的性质．这类题的一般解法是：借助图形，充分抓住已知条件，找准问题的突破口，由浅入深多角度，多侧面探寻，联想符合题设的有关知识，合理组合发现的新结论，围绕所探结论环环相加，步步逼近，所探结论便会被“逼出来”．
2．D
解析：D
【分析】
连AC，BD，根据三角形中位线的性质得到EF∥AC，EF=1
2
AC；HG∥AC，HG=
1
2
AC，即有
四边形EFGH为平行四边形，当AB∥DC和AB=DC，只能判断四边形EFGH为平行四边形；当AC⊥BD，只能判断四边形EFGH为矩形；当AC=BD，可判断四边形EFGH为菱形．
【详解】
解：连AC ，BD ，如图，
∵E 、F 、G 、H 为四边形ABCD 各中点，
∴EF ∥AC ，EF=
12AC ；HG ∥AC ，HG=12
AC ， ∴四边形EFGH 为平行四边形，
要使四边形EFGH 为菱形，则EF=EH ， 而EH=
12
AC ， ∴AC=BD ． 当AB ∥DC 和AB=DC ，只能判断四边形EFGH 为平行四边形，故A 、B 选项错误； 当AC ⊥BD ，只能判断四边形EFGH 为矩形，故C 选项错误；
当AC=BD ，可判断四边形EFGH 为菱形，故D 选项正确．
故选D ．
【点睛】
本题考查了菱形的判定定理：邻边相等的平行四边形是菱形．也考查了平行四边形的判定以及三角形中位线的性质．
3．B
解析：B
【分析】
由矩形的周长和面积得出7a b +=，10ab =，再把多项式分解因式，然后代入计算即可．
【详解】 根据题意得：1472
a b +==，10ab =， ∴22a b ab +()10770ab a b =+=⨯=；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、分解因式、矩形的周长和面积的计算；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
4．B
解析：B
【分析】
根据特殊平行四边形的判定与性质可以对各选项的正误作出判断．
【详解】
由平行四边形的性质及特殊平行四边形的判定可以得到：
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形，故A正确；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B错误；
（3）对角线相等的平行四边形是矩形，故C正确；
（4）有三个角是直角的四边形是矩形，故D正确．
故选B．
【点睛】
本题考查特殊平行四边形的应用，熟练掌握特殊平行四边形的判定与性质是解题关键．5．D
解析：D
【分析】
先证明△ABE≌△ACF，推出AF＝AE，∠EAF＝60°，得到△AEF是等边三角形，即可解决问题．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠D=∠B＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵AC是菱形的对角线，
∴∠ACF1
=∠DCB＝60°，
2
∴∠B=∠ACF，
∵AB=AC，BE=CF，
∴△ABE≌△ACF，
∴AF＝AE，∠BAE=∠CAF，
∴∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC，
即∠EAF＝∠BAC=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∵EF＝2，
∴S
△AEF=×22=
故选：D．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是证明全等三角形得到△AEF是等边三角形，牢记等边三角形面积公式是解题关键．
6．B
解析：B
【分析】
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，再根据菱形
的判定定理和矩形的判定定理逐一分析即可．
【详解】
∵在四边形ABCD 中， OA OC =，OB OD =
∴四边形ABCD 是平行四边形
若添加60AOB ∠=︒，无法判断，故A 不符合题意；
若添加AC BD =，则四边形ABCD 是矩形，故B 符合题意；
若添加AC BD ⊥，则四边形ABCD 是菱形，故C 不符合题意；
若添加AB BC =，则四边形ABCD 是菱形，故D 不符合题意；
故选B ．
【点睛】
此题考查的是平行四边形的判定、矩形的判定和菱形的判定，掌握平行四边形的判定定理、矩形的判定定理和菱形的判定定理是解决此题的关键．
7．B
解析：B
【分析】
作EF ⊥BC 于F 点，首先结合直角三角形中“斜中半”定理可求得△ABD 中AB 的长度，从而结合勾股定理求出AD 的长度，再根据中位线定理可得EF 的长度，然后进一步判定△EDC 为等腰三角形，并根据“三线合一”的性质推出12
DCG EDC S S =△△，最后根据12
EDC S CD EF =△求解即可． 【详解】
∵AD 是BC 边上的高线，CE 是AB 边上的中线，
∴△ABD 为直角三角形，E 为斜边AB 上的中点，
∴AE=BE=DE ，
∵CD =AE ，CD =5，
∴AB=2AE =10，
在Rt △ABD 中，由勾股定理可得：AD =
∴AD =8，
作EF ⊥BC 于F 点，则EF 为△ABD 的中位线， ∴142
EF AD ==， 又∵CD=ED ，DG ⊥CE 于点G ， ∴△EDC 为等腰三角形，12DCG EDC S S =
△△， ∵11541022EDC S CD EF =
=⨯⨯=△， ∴11052
DCG S =⨯=△，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查直角三角形中“斜中半”定理，中位线定理，以及等腰三角形的判定与性质综合问题，灵活运用“斜中半”定理求出三角形的边长是解题关键．
8．B
解析：B
【分析】
证明四边形PQBE是矩形得PE=QB，证明△PEC是等腰直角三角形得PQ=BE便可求得结果【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∠BCD=45°
∴∠ABC=90°，∠ACB=1
2
∵PE⊥BC，PQ⊥AB，
∴四边形PQBE是矩形，
∴PQ=BE
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠PCE=45°，
又∠PEC=90°
∴△PEC是等腰直角三角形
∴PE=CE
∴PE+PQ=CE+BE=BC=3．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的判定，关键是证明PE=CE，PQ=BE．
9．C
解析：C
【分析】
利用正方形的判定、直角三角形全等的判定、平行四边形的判定定理对每个选项依次判定解答．
【详解】
①四条边相等的四边形是菱形，故①错误；
②四边形具有不稳定性，故②正确；
③两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，两个锐角对应相等，因此构成了AAA ，不能判定全等，故③错误；
④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故④错误；
综上，错误的命题有①③④共3个．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正方形的判定、平行四边形的判定及直角三角形全等的判定．
10．D
解析：D
【分析】
先证得DE 是△ABC 的中位线，求出DE=8，及EF=6，再根据90AFC ∠=︒证得AC=2EF 求出答案．
【详解】
∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，
∴DE 是△ABC 的中位线，
∴DE=
12BC=8， ∵4DE DF =，
∴DF=2，EF=6，
∵90AFC ∠=︒，AE=CE ，
∴AC=2EF=12，
故选：D ．
【点睛】
此题考查三角形中位线的判定及性质定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，熟练掌握各定理并运用解决问题是解题的关键．
11．B
解析：B
【分析】
由题意易得AC ⊥BD ，OA=OC=OB=OD ，∠ADO=∠ABD=45°，AD=AB ，△ADE ≌△FDE ，则有
BE =，进而可得四边形AEFG 是平行四边形，然后根据等腰直角三角形的性质及线段的等量关系可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AC ⊥BD ，OA=OC=OB=OD ，∠ADO=∠ABD=45°，AD=AB ，
∵折叠正方形ABCD ，
∴△ADE ≌△FDE ，
∴∠ADE=∠FDE=22.5°，AD=DF ，AE=FE ，∠EFD=∠DAE=90°，故①正确；
∴△EFB 是等腰直角三角形，
∴
BE =， ∴
AD AB AE ==
+，故②错误； 由图可直接判定③错误；
∵∠EFB=∠AOB=90°，
∴OA ∥EF ，
由折叠的性质可得：∠GFO=∠DAO=45°，
∴∠GFO=∠ABO=45°，
∴GF ∥AE ，
∴四边形AEFG 是平行四边形，
∵AE=AF ，
∴四边形AEFG 是菱形，故④正确；
∵∠GFO=45°，∠AOB=90°，
∴△GOF 是等腰直角三角形， ∴EF GF ==，
∴2BE OG =，故⑤正确； ∵2112OGF S OG ∆=
=， ∴
OG =
∴2BE EF AE ===， ∴
2AB =，
∴()222
12ABCD S AB ===+正方形⑥错误；
∴正确的有三个；
故选B ．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质、菱形的判定及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、菱形的判定及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键． 12．A
解析：A
【分析】
连接AC 、BD ，由菱形的性质得出5AB =，122
OB OD BD ===，OA OC =，
AC BD ⊥，由勾股定理求出OA ，得出AC =性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半解答．
【详解】
解：连接AC 、BD ，如图所示：
菱形ABCD 的边长是5，O 是两条对角线的交点，4BD =，
5AB ∴=，122
OB OD BD ===，OA OC =，AC BD ⊥，
22225221OA AB OB ∴=--
2221AC OA ∴== ∴菱形ABCD 的面积1
1221442122
AC BD =⨯=⨯= O 是菱形两条对角线的交点，
∴阴影部分的面积12=
菱形ABCD 的面积221；
故选：A ．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，中心对称，熟记性质并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键． 二、填空题
13．4π+8【分析】根据题意将问题分类讨论三种情况依次讨论：一个是依据斜边上的中线+圆的定义得到弧的轨迹一个可以用中垂线来理解【详解】解：（1）当P 在AB 上Q 在AD 上时AO ＝由圆的定义可以知O 的轨迹为E 解析：4π+8
【分析】
根据题意将问题分类讨论，三种情况依次讨论：一个是依据斜边上的中线+圆的定义得到弧的轨迹，一个可以用中垂线来理解
【详解】
解：（1）当P 在AB 上，Q 在AD 上时，AO ＝
142PQ =，由圆的定义可以知O 的轨迹为EF 这段14
圆弧 （2）同理当P 在CD 上，Q 在AD 上时，DO ＝
142PQ =，由圆的定义可以知O 的轨迹为EG 这段14
圆弧 （3）Q 在AD 上，P 在BC 上，可知PQ ∥AB ，O 的运动轨迹为FG 这条线段
综上分析：O 的运动路径长为：4π+8．
故答案：4π+8
【点睛】
本题考查了轨迹以及正方形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 14．【分析】由两个长宽分别为的矩形如图叠放在一起可证得阴影部分是菱形然后设则利用勾股定理可得方程：则可求得的长继而求得答案【详解】解：如图：根据题意得：四边形是平行四边形两个矩形等高即四边形是菱形设则在 解析：2877
cm ． 【分析】
由两个长宽分别为7cm 、3cm 的矩形如图叠放在一起，可证得阴影部分是菱形，然后设BF xcm =，则 DF
xcm ，7()AF AD DF x cm ，利用勾股定理可得方程： 2223(7)x x ，则可求得BE 的长，继而求得答案．
【详解】
解：如图：
根据题意得：//AD BC ，//BF DE ，
∴四边形ABCD 是平行四边形，
两个矩形等高，
即DH AB =，
BEDF S BE AB BF DH ，
BE BF ∴=，
∴四边形BEDF 是菱形，
BF DF ∴=，
设BF xcm =，则DF
xcm ，7()AF AD DF x cm ， 在Rt ABF ∆中，222AB AF BF +=， 2223(7
)x x ，
解得：297x ， 297
BE cm ， 2877BEDF S BE AB
cm 菱形． 故答案为：
2877cm ． 【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质以及勾股定理等知识．掌握方程思想的应用是解此题的关键．
15．或1【分析】分两种情况①当∠DEF ＝90°时由题意得出EF ∥BC 作FG ⊥BC 于G 证出△CFG △BDE 是等腰直角三角形四边形EFGD 是正方形得出
BD=DE=EF=DG=FG=CG 继而可得结果；②当∠E
解析：12
或1 【分析】
分两种情况①当∠DEF ＝90°时，由题意得出EF ∥BC ，作FG ⊥BC 于G ，证出△CFG 、△BDE 是等腰直角三角形，四边形EFGD 是正方形，得出BD=DE=EF=DG=FG=CG ，继而可得结果；②当∠EFD ＝90°时，求出∠DEF ＝45°，得出E 与A 重合，D 是BC 的中点，BD=CD ，即可得出结果.
【详解】
解：分两种情况：①当∠DEF ＝90°时，如图1所示：
∵DE ⊥BC ，
∴∠BDE ＝90°＝∠DEF ，
∴EF ∥BC ，作FG ⊥BC 于G ，
∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴△CFG 、△BDE 是等腰直角三角形，四边形EFGD 是正方形，
∴BD=DE=EF=DG=FG=CG ，
∴BD=
12CD, ∴n=12
； ②当∠EFD ＝90°时，
如图2所示：
∵∠EDF ＝45°，
∴∠DEF ＝45°，此时E 与A 重合，D 是BC 的中点，
∴BD=CD ，
∴n=1.
综上所述：n=
12或1, 故答案为：
12
或1 【点睛】
本题主要考查等腰直角三角形的判定与性质、平行线的判定、正方形的判定与性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键. 16．【分析】根据三角形面积公式可知图中阴影部分面积等于矩形面积的一半；即可得出结果【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∴AD=BC=7设两个阴影部分三角形的底为ADBC 高分别为h1h2则h1+h2=AB ∴
解析：14
【分析】
根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于矩形面积的一半；即可得出结果．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD=BC=7，
设两个阴影部分三角形的底为AD ，BC ，高分别为h 1，h 2，则h 1+h 2=AB ，
∴S △ADE +S △BCE =
12AD•h 1+12BC•h 2=12AD （h 1+h 2）=12AD•AB ， ∴147142
S =⨯⨯=阴影； 故答案为：14．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
17．2+【分析】根据正方形的对角线互相平分且相等可得AO=BO ∠AOB=90°对角线平分一组对角可得∠OAE=∠OBF 再根据AE=BF 然后利用SAS 证明△AOE 和△BOF 全等根据全等三角形对应角相等可得
解析：
【分析】
根据正方形的对角线互相平分且相等可得AO=BO ，∠AOB=90°，对角线平分一组对角可得∠OAE=∠OBF ，再根据AE=BF ，然后利用“SAS”证明△AOE 和△BOF 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AOE=∠BOF ，可得∠EOF=90°，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
【详解】
解：在正方形ABCD 中，AO=BO ，∠AOB=90°，∠OAE=∠OBF=45°，
∵点E 、F 的速度相等，
∴AE=BF ，
在△AOE 和△BOF 中，
OA BO OAE OBF AE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AOE ≌△BOF （SAS ），
∴∠AOE=∠BOF ，
∴∠AOE+∠BOE=90°，
∴∠BOF+∠BOE=90°，
∴∠EOF=90°，
在Rt △BEF 中，设AE=x ，则BF=x ，BE=2-x ，
∴
， ∴当
x=1时，EF ．
由勾股定理得，OE=OF=2
EF =1． ∴
△OEF 周长的最小值
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，以及勾股定理等知识，熟记正方形的性质，找出三角形全等的条件是解题的关键． 18．【分析】由矩形的性质可得结合角平分线的定义可求得可证明结合矩形的性质可得根据三角形的面积公式得到于是得到结论【详解】解：四边形为矩形设与相交于点平分又又故答案为：【点睛】本题主要考查矩形的性质掌握矩
解析：25
【分析】
由矩形的性质可得2COB CDO ∠=∠，EBO BDF F ∠=∠+∠，结合角平分线的定义可求得F BDF ∠=∠，可证明BF BD =，结合矩形的性质可得AC BF =，根据三角形的面积公式得到BE ，于是得到结论．
【详解】 解：四边形ABCD 为矩形，设DF 与AC 相交于点M ，
AC BD ∴=，90ADC ∠=︒，OA OD =，6AB CD ==，3AD BC ==， DF 平分ADC ∠，
ADG AGD ∴∠=∠，
又CDB CAB ∠=∠，
CMF CAB DGA ∠=∠+∠，
CMF ADG CDB ∴∠=∠+∠，
又90BDF ADG CDB ∠+∠+∠=︒，
90BDF CMF ∴∠+∠=︒，
90CMF F ∠+∠=︒，
BDF F ∴∠=∠，
BF BD ∴=，
AC BF ∴=，
6AB CD ==，3AD BC ==， 226335BF AC ∴==+=，
1122ABC S AC BE AB BC ∆=
=， 355BE ∴==，
∴255
35BE BF ==， 故答案为：25
．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质，掌握矩形的四个角都是直角、对角线互相平分且相等是解题的关键，注意三角形外角性质的应用．
19．4【分析】要求PE+PC 的最小值PEPC 不能直接求可考虑通过作辅助线转化PEPC 的值从而找出其最小值求解【详解】解：如图连接AE ∵点C 关于BD 的对称点为点A ∴PE+PC ＝PE+AP 根据两点之间线段最
解析：45
【分析】
要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．
【详解】
解：如图，连接AE，
∵点C关于BD的对称点为点A，
∴PE+PC＝PE+AP，
根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值，
∵正方形ABCD的边长为8，E是BC边的中点，
∴BE＝4，
∴AE22
=+=，
4845
故答案为：45．
【点睛】
此题主要考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．根据已知得出两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值是解题关键．
20．【分析】由正方形的性质得出∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°AB＝AD＝3由折叠的性质得出FC′＝FC∠C′FE＝∠CFE＝60°∠FC′B′＝∠C＝90°B′E＝BE∠B′＝∠B＝90°求出∠DC′F
解析：843
-
【分析】
由正方形的性质得出∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝AD＝3，由折叠的性质得出FC′＝FC，∠C′FE＝∠CFE＝60°，∠FC′B′＝∠C＝90°，B′E＝BE，∠B′＝∠B＝90°，求出∠DC′F＝30°，得出FC′＝FC＝2DF，求出DF＝2，33，则C′A＝3，AG＝3 6，设EB＝x，则GE＝2x，得出方程，解方程即可．
【详解】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝AD＝3，
由折叠的性质得：FC′＝FC，∠C′FE＝∠CFE＝60°，∠FC′B′＝∠C＝90°，B′E＝BE，∠B′＝∠B ＝90°，
∴∠DFC′＝180°-60°-60°=60°，
∴∠DC′F＝30°，
∴FC′＝FC ＝2DF ，
∵DF ＋CF ＝CD ＝6，
∴DF ＋2DF ＝6，
解得：DF ＝2，
∴
∴C′A ＝
∵∠AC′G=180°-30°-90°=60°，∠AGC′=90°-60°=30°，
∴
-6，
设EB ＝E′B=x ，
∵∠B′GE ＝∠AGC′＝30°，
∴GE ＝2x ，
则＋3x ＝6，
解得：x ＝
∴GE ＝
故答案是：【点睛】
本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握翻折变换和正方形的性质，根据题意得出方程是解决问题的关键．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）①见解析；②【分析】
（1）由旋转性质知，90CE B AEB ∠∠=='︒，由90EBE '∠=︒，可证四边形BEFE '是矩形．由BE BE '=，可证四边形BEFE '是正方形；
（2）如图，过点 D 作DH EA ⊥，垂足为H ．由DA DE =，得12
AH AE =．可证DHA AEB △≌△．可得AH BE FE =='，由旋转性质知，CE AE '=即可； （3）设正方形BEFE '的边长为x ．在Rt CE B '△中，3CE x '=+，BE x '=，15CB AB ==，由勾股定理222CE BE BC '+='可求BE '，由DHA AEB △≌△，可求CE AE DH ='=3912=+=，HE AE AH =-1293=-=．在Rt DHE △中，得
DE ==
【详解】
（1）证明：由旋转性质知，90CE B AEB ∠∠=='︒，
又AE ∵延长与CE 于F 点，
90FEB AEB ∠∠︒∴==．
∵Rt ABE △绕点B 按顺时针方向旋转90︒，
90EBE ∠∴='︒，
∴四边形BEFE '是矩形．
又∵BE BE '=，
∴四边形BEFE '是正方形．
（2）证明：如图，过点 D 作DH
EA ⊥，垂足为H ． 由DA DE =，得12AH AE =． 90HDA DAH EAB DAH ∠∠∠∠︒+=+=，
HDA EAB ∴∠=∠．
又90DHA AEB ∠∠==︒，AD AB =，
DHA AEB ∴△≌△．
AH BE FE =='∴，
由旋转性质知，CE AE '=，
故12
FE AH CE =''=，即CF FE '=．
（3）解：设正方形BEFE '的边长为x ．
在Rt CE B '△中，3CE x '=+，BE x '=，15CB AB ==，
222(3)15x x ∴++=，
解得9x =（舍去12x =-）．
如图，过点 D 作DH EA ⊥，垂足为H ，同（2）知DHA AEB △≌△，
DH AE ∴=，AH BE BE '==．
CE AE DH =='∴3912=+=，HE AE AH =-1293=-=．
在Rt DHE △中，得22317DE DH HE =+=．
【点睛】
本题考查正方形性质与判定，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，
掌握正方形性质与判定，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理应用是解题关键．
22．（1）见解析；（2）GH ⊥EF ，见解析；（3）25
【分析】
（1）首先运用三角形中位线定理可得到EG ∥AB ，EG=
12AB ，HF ∥AB ，EG=12AB ，即可得到四边形EGFH 是平行四边形；
（2）再运用三角形中位线定理证明邻边相等，从而证明平行四边形EGFH 是菱形，即可证明GH ⊥EF ；
（3）由EH ∥CD ，得到∠BDC=∠BPH=70°，由EG ∥AB ，得到∠EGD=∠ABD=20°，再利用三角形的外角性质和菱形的性质即可求解．
【详解】
证明：（1）∵E 、G 分别是AD 、BD 的中点，
∴EG ∥AB ，且12
GE AB =， 同理可证：HF ∥AB ，且12HF AB =
， ∴EG ∥HF ，且EG=HF ，
∴四边形EGFH 是平行四边形；
（2）GH ⊥EF ，理由如下：
∵G 、F 分别是BD 、BC 的中点 ， ∴12
GF CD =， 由（1）知12GE AB =
， 又∵AB=CD ，
∴GE=GF ，
又∵四边形EGFH 是平行四边形，
∴四边形EGFH 是菱形，
∴GH ⊥EF ；
（3）∵E 、H 分别是AD 、AC 的中点 ，
∴EH ∥CD ，
∴∠BDC=∠BPH=70°，
∵EG ∥AB ，
∴∠EGD=∠ABD=20°，
∴∠GEP=∠BPH-∠EGD=50°，
∵四边形EGFH 是菱形，
∴∠GEF=∠HEF=12
∠GEP =25°． 故答案为：25．
【点睛】
本题考查了中点四边形，菱形的判定和性质，三角形中位线的性质，熟练掌握三角形中位线的判定和性质是解题的关键．
23．（1）动点D 运动2秒时，△ABD ≌△ACE ；理由见解析；（2）1236S x =-+；（3）动点D 运动1秒时，△ABD 与△ACE 的面积比为4:1．
【分析】
（1）设动点D 运动t 秒时△ABD ≌△ACE ，先根据等腰直角三角形得：∠ACE=∠B ，再加上AB=AC 所以只要满足BD=CE ，△ABD ≌△ACE 列式可求得t 的值；
（2）作高线AF ，根据等腰直角三角形三线合一可知：AF 是斜边的中线，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得AF=6，代入面积公式可求出代数式；
（3）作高线AG ，先证明四边形AFCG 是矩形，求出AG=6，由△ABD 与△ACE 的面积比为4:1列式可得出结论．
【详解】
(1)如图1，设动点D 运动t 秒时，△ABD ≌△ACE
由题意得：CD=4t,CE=2t,则BD=12-4t,
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠B=∠ACB=45°,
∵CM ⊥BC,
∴∠BCM=90°,
∴∠ACE=90°-45°=45°,
∴∠ACE=∠B,
∴当BD=CE 时,△ABD ≌△ACE,
即12-4t=2t,
t=2,动点D 运动2秒时,△ABD ≌△ACE;
(2)如图2,过A 作AF ⊥BC 于F,
∵AB=AC,∠BAC=90°，
∴AF 是等腰直角三角形的中线,
∴AF=6,
由题意得：CD=4x,则BD=12-4x ， 1
112-4)6123622
ABD S S BD AF x x ∆==⋅=⨯=-+（； (3)设动点D 运动x 秒时,△ABD 与△ACE 的面积比为4:1 如图2,再过A 作AG ⊥CM 于G,
∵∠AFC=∠BCM=∠AGC=90°，
∴四边形AFCG 为矩形，
∴AG=CF=6,
∵△ABD 与△ACE 的面积比为4:1,
1·4211·2ABD
ACE
BD AF S S CE AG ==△△ ∴4BD CE
= ∴BD=4CE,
即12-4x=8x ，x=1．
答：动点D 运动1秒时,△ABD 与△ACE 的面积比为4:1．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形、全等三角形的判定及性质以及动点问题，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键；在动点问题中，明确路程=时间⨯速度，根据时间准确表示动
点D 和E 的路程BD 、CE 的代数式，根据题中的等量关系列等式即可．
24．（1）见解析；（2）当AB ：AD =1：2时，四边形MENF 是正方形，理由见解析
【分析】
（1）求出AB =DC ，∠A =∠D =90°，AM =DM ，根据全等三角形的判定定理推出即可； （2）求出∠EMF =90°，根据正方形的判定推出即可．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB =DC ，∠A =∠D =90°，
∵M 为AD 中点，
∴AM =DM ，
在△ABM 和△DCM ，
AM DM A D AB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABM ≌△DCM （SAS ）；
（2）解：当AB ：AD =1：2时，四边形MENF 是正方形，
理由：当四边形MENF 是正方形时，则∠EMF =90°，
∵△ABM ≌△DCM ，
∴∠AMB =∠DMC =45°，
∴△ABM 、△DCM 为等腰直角三角形，
∴AM =DM =AB ，
∴AD =2AB ，
即当AB ：AD =1：2时，四边形MENF 是正方形．
【点睛】
本题考查了正方形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
25．（1）8；（2）见解析
【分析】
（1）证明△ADC 是等腰直角三角形，求出AD 和CD ，根据∠BAC 的度数求出∠BAD ，根据直角三角形的性质可得AB ；
（2）连接DE ，求出DE 的长，再根据三线合一的性质证明即可．
【详解】
解：（1）∵AD 是BC 边上的高线，
∴AD ⊥BC ，
∴∠ADB =∠ADC =90°，
∵∠ACB =45°，
∴△ADC 是等腰直角三角形，
∴AD =CD
=2
AC =4，∠DAC =45°，
∵∠BAC =105°，
∴∠BAD =∠BAC -∠DAC =60°，
∴∠ABD =30°，
∴AB =2AD =8；
（2）连接DE ，
∵CE 是AB 边上中线，
∴E 是AB 中点，
在Rt △ABD 中，E 是斜边AB 中点，
∴DE =12
AB =4， ∵DC =4，
∴DE =DC ，
∵DG ⊥CE ，
∴CG =EG ．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边中线的性质，30度的直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，属于基本定理，解题的关键是利用好“中点”这样的条件．
26．（1）FG=3；（2）GF EC =，//GF EC ，理由见解析
【分析】
（1）首先证明四边形GECF 是平行四边形得FG=CE ，再依据勾股定理求出CE 的长即可得到结论；
（2）证明四边形GECF 是平行四边形即可得到结论．
【详解】
（1）解：四边形ABCD 是正方形
BC CD ∴=
90B BCD ∠=∠=︒
BF CE =
BCF CDE ∴∆≅∆
DE CF ∴=，BCF CDE ∠=∠
90BCF DCP ∠+∠=︒
90CDF DCP ∴∠+∠=︒
90CPD ︒∴∠=
即DE CF ⊥
//CF EG ∴
EG DE
CF EG ∴=
∴四边形GECF 是平行四边形
FG EC ∴=
5DE =
4CD =
90DCE ∠=︒
3CE ∴=
3FG ∴=
（2）GF EC =，//GF EC
理由：延长FC 交DE 于点M ．
四边形ABCD 是正方形
BC CD ∴=
90ABC DCB ∠=∠=︒
90CBF DCE ∴∠=∠=︒
BF CE =
BCF CDE ∴∆≅∆
CF DE ∴=
BCF CDE ∠=∠
90BCF DCM ∠+∠=︒
90CDE DCM ∴∠+∠=︒
CM DE ∴⊥
DE EG ⊥
EG DE =
//CF EG ∴
CF BG =
∴四边形EGFC 是平行四边形
GF EC
//
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质．解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．。