第1讲 长方体的元素及其直观图的画法

第8章第1讲长方体的元素及其直观图的画法
知识精要
1.长方体的元素长方体(cuboid)有六个面(face)，八个顶点(vertex)，十二条棱(edge)。

2.长方体的性质(1)长方体的每个面都是长方形(rectangle)；(2)长方体的十二条棱可以
分为三组，每组中的四条棱长度相等；(3)长方体的六个面可以分为三组，每组中的
两个面的形状和大小都相同。

注意：正方体是特殊的长方体。

3.长方体的直观图的画法
(1)平面的画法与表示：在数学中，平面是平的，无边无沿，通常可以画一个平行四边形来表示它，特别地，
把水平放置的平面画成一边是水平位置，另一边与水平线所成的角为45°的平行四边形(如图所示).该平面可以用平行四边形的顶点表示，记作：平面ABCD；也可以在表示平面的平行四边形的一个角上写上小写的希腊字母α，将平面记作：平面α。

(2)直观图的概念：把空间图形画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出图
形各主要部分的位置关系和度量关系的图形，叫做这个图形的直观图。

(3)长方体的直观图画法：(斜二测画法)水平放置的长方体直观图通常画法的
基本步骤：第一步：画平行四边形ABCD，使AB等于长方体的长，AD等于长方体宽的二分之一，∠=(如图(1)所示)。

第二步：过A、B分别画AB的垂线AE、BF，过C、D分别画CD的垂DAB
45
线CG、DH，使它们的长度等于长方体的高(如图(2)所示)。

第三步：顺次连接(如图(3)所示)。

第四步：将被遮住的线段改用虚线(隐藏线)表示(如图(4)所示)。

这样，长方体的直观图就画成了。

(1) (2) (3) (4)
经典题型精讲
(一)长方体的元素
例1.在右图所示的长方体中，
(1)从正面看，看不见的棱有____________.
(2)与棱EH相等的棱有____________.
(3)与平面BCGF相对的平面有____________.
(4)位于水平位置的平面有____________.
举一反三：填空：如图所示，在长方体中，与棱AE相等的棱是____________，与面ABCD相对的面是____________．从点E出发的棱有______条．它们是_________________．
例2.用一根长100厘米的塑料管和橡皮泥做一个棱长为5厘米，6厘米，7厘米的长方体架子，应该如何截取?
材料够吗?
举一反三：一个长方体的长、宽、高之比为4:3:2，已知这个长方体的棱长之和是108厘米，求这个长方体的表面积和体积．
例3.要做一个棱长分别为3厘米、5厘米和7厘米的无盖的长方体纸盒，最少需要多大的纸?最多需要多少纸? 107cm2, 127 cm2
举一反三：一个正方体的所有棱长之和为60cm，则这个正方体的所有面的面积之和是_________cm2．
例4.如图，将一个长方体的木块，沿线段CD从右侧截去一个长方体，成为一个正方体后，表面积减少了84cm2，已知新长方体的棱AB长3cm。

求：(1)正方体的棱长；(2)原来长方体的表面积和体积。

(1)7 (2)378, 490
举一反三：如图是一个长方体纸盒的平面展开图，这个纸盒子的体积是多少?(单位：厘米)
2160cm3
练习10.1
1.下面各种平面中，可以看作水平面的是( )
A.光滑的镜面
B.玻璃幕墙
C.长方体的各个面
D.斜置的杯中的液面
，根据图形回答下列问题：
2.如图，长方体ABCD EFGH
(1)与棱AB相等的棱有哪几条？
(2)与面ADHE相对面有哪儿个？
(3)经过点A的面有哪几个？
(4)从点D出发的棱有哪几条？
3.判断题：(对的打“√”，错的打“×”)
(1)长方体的每个面都是长方形。

( )
(2)长方体有十二条棱。

( )
(3)六个面、十二条棱和八个顶点组成的图形都是长方体。

( )
(4)长方体相对的面的面积都相等。

( )
(5)水平面是平面． ( )
3.计算下图长方体的个数__________．
4.三个边长为5厘米的正方体所拼成的长方体的周长是__________．
5.用一根长度为250厘米的塑料管和橡皮泥做一个三条棱分别为10厘米、
30厘米、15厘米的长方体架子，应如何裁剪这根塑料管?
6.一根长为36分米的铁丝截开后刚好能够搭成一个长方体架子，这个长方体架子的长、宽、高的长度均为整数分米，且互不相等，求这个长方体的体积。

(二)长方体直观图的画法
例5.用斜二测画法画边长为4cm 的水平放置的等比三角形的直观图。

举一反三：已知四边形ABCD 中，90A D ∠=∠=，3AD CD cm ==，7AB cm =，用斜二测画法画四边形
ABCD 的直观图。

例6.如图所示，补画下面的图形，使它们成为长方体的直观图．
① ②
举一反三：用斜二侧画法补画下面的图形，使之成为长方体的直观图(虚线表示被遮住的线段；只要在已有图形
基础、上画出长方体，不必写画法步骤)．
例7.小李准备用纸板作一个长方体纸盒，现在需要你的帮忙：
(1)制作前，要画出长方形纸盒的直观图，小李画了一部分(如图1)，请你帮他画完整；
(2)制作时，需要裁剪一块有一边长为12的长方形硬纸板，小李经过设计发现正好将这块硬纸板全部用完(如图2)请你求出长方体的长a 、宽b 、高c ．
图1 图2
答案：3, 4.5,9a b c ===
举一反三：如图①所示，已知线段a 、b 、c ，画一个长为a ，宽为b ，高为c 的长方体直观图．
图①
练习10.2
1.通常我们采用_________画法来画长方体的直观图，在画图时，所画长方体的宽是实际宽的________(填几分之几)，长与宽的夹角是_________。

2.补画下面的图形，使之成为长方体的直观图。

3.如图，补画下面的图形，使之成为长方体的直观图．
(1) (2)
4.如图，画一个立方体，使它的棱长为a ．
能力提升
1.长方体的长、宽、高之比为2 : 1 : 1，棱长总和是80厘米，把这个长方体截成两正方体时，表面积增加了________。

2.已知一个长方体的棱长之和是76厘米，那么有一个公共顶点的三条棱的长度之和是__________厘米．
3.在长方体的各个面中，如果有正方形，那么是正方形的面数只能是_________个．
4.如图，这是一个由几个小正方体组成的几何体，请数出小正方体的个数是________个。

5.下列图形中是正方体的展开图的是( )
A B C D
6.一根长为36分米的铁丝截开后刚好能够搭成一个长方体架子，这个长方体架子的长、宽、高的长度均为整数
分米，且互不相等，求这个长方体的体积．
7.一张长方形的硬纸片，长为8厘米，宽为6厘米。

如果在四个角各剪去一个边长为2厘米的小正方形，可把这
张硬纸片折成一个无盖的盒子。

求这个盒子的体积。

8.已知一个长方体的宽是6cm，长比宽的3倍多2cm，高是宽的一半，求这个长方体的所有棱长之和
9.一个长方体的表面积是88平方厘米，这个长方体可以被分割为5个完全相同的正方体，求这个长方体的体积．
10.补画下列各图，使它成为长方体(虚线部分表示被遮住的部分)．
11.12个棱长为1厘米的正方体叠在一起，成为一个长方体，求这个长方体的表面积．
12.如图，把一块长是108厘米的长方体木块的棱AE分成3 : 1的两段，分点为M，过点M按平行于面ABCD的
方向把长方体分成两块后，表面积增加了800平方厘米，这两块长方体的体积分别是多少?
参考答案：
1.50cm2
2.19
3.2或6
4.7
5.D
6.12立方分米或立方分米15或24立方分米
7.16cm3
8.116cm
9.3
40cm 10.略11.50 cm2或40 cm2或38 cm212.10800cm3和36400cm3。