空间曲面与空间曲线
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所求方程为
x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 R 2
(球面方程的标准式)
特殊地：球心在原点时方程为 x2y2z2R2
将标准方程展开得
x 2 y 2 z 2 2 x 0 x 2 y 0 y 2 z 0 z x 0 2 y 0 2 z 0 2 R 2 0 由此可见球面方程的特点
(2 ) abc,
x2 a2
ay22
az22
1
球面
2 双曲面
z
x2 a2
by22
cz22
1
单叶双曲面
z
o
x
o y
x
y
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
双叶双曲面
3 抛物面
x2 y2 z （ p与 同q 号） 2 p 2q 设 p0,q0，图形如下：
椭圆抛物面
cz22
1
椭球面与平面 z z1
o y
的交线为椭圆
a2 c2
x2 (c2
z12)
b2 c2
y2 (c2
x
z12)
1
z z1
| z1|c
同理与平面 x和x1 y的交y1线也是椭圆.
椭球面的几种特殊情况：
(1) ab,
x2 a2
ay22
cz22
1
旋转椭球面
§7.5 空间曲面与空间曲线
一 曲面方程的概念 二 曲线方程的概念 三 二次曲面的截痕法
一 曲面方程的概念
1 曲面方程的定义
如果曲面 S 与三元方程
F (x,y,z)0
有下述关系：
（1） 曲面 S上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面 S上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程 F (x,y,z)0就叫做曲面 S的方程， 而曲面 S 就叫做方程的图形．
z
z
x2 a2
y2 b2
z2 c2
椭圆锥面
二 曲线方程的概念
1 空间曲线的一般方程 空间曲线C可看作空间两曲面的交线.
F(x, y,z) 0 G(x, y,z) 0
z
S1
S2
C
o
y
x
例5
方程组
x2 y2 1
表示怎样的曲线？
2x3y3z 6
解 x2y2 1
表示圆柱面，
x2y21.
三 二次曲面的截痕法
二次曲面的定曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察 其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解 曲面的全貌．
以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
z
1 椭球面
x2 a2
by22
fx 2 y 2 ,z 0 ,
yoz面上曲线 f(y,z)0绕 z轴的旋转曲面方程.
同理：yoz坐标面上的已知曲线 f(y,z)0绕 y
轴旋转一周的旋转曲面方程为
fy , x 2 z 2 0 .
x o y 坐标面上的已知曲线 f(x,y)0绕 y 轴旋转
一周的旋转曲面方程为 f( x2z2,y)0
曲线 C . 只含 y,z 而缺 x的方程 F(y,z)0在空间直角坐标
系中表示母线平行于 x轴的柱面，其准线为 yoz 面上 曲线 C .
只含 z,x 而缺 y的方程 F(z,x)0在空间直角坐标 系中表示母线平行于 y 轴的柱面，其准线为 zox面上 曲线 C .
z
柱面举例 母线平行于 z轴的平面yx
z
的旋转面方程。
设旋转面上任意一点
M(x,y,z) 是由 y O z 平 面的曲线 f(y,z)0上 一点 M1(0,y1,z1)绕 z 轴旋转而得的，则
o
M 1(0,y1,z1)
M(x,y,z)
o y
f(y,z)0
zz1, x2y2|y1|x 将上式代入 f(y1,z1)0得方程
v沿平行 于 z轴的正方向上升（其中 、 v都是常数），
那么点 M构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．
解 取时间t为参数，动点从 A点出发，
经过t时间，运动到 M(x,y,z)点,
M在 xoy面的投影为M (x,y,0)
xaco ts
z
则
yasi nt，记 t,
b v
zvt
3
3 9
例2 已知 A(1,2,3),B(2,1,4),求线段 AB的垂直平分
面的方程.
解 设 M(x,y,z)是所求平面上任一点，根据题意有 |M| A |M|B ,
x 1 2 y 2 2 z 3 2
化简得所求方程
x 2 2 y 1 2 z 4 2 ,
l 这条定曲线 C叫 柱面 的准线， 动直线 L 叫 柱面的 母线.
L C
下面建立母线平行于 z 轴，准线为 x O y 平面曲线
f(x,y)0的柱面方程。
z
设 M(x,y,z)为柱面上
任意一点，过 M 作平行
z 轴的直线交 x O y 平面 曲线 f(x,y)0上的点 M1(x1,y1,0),因此
z
o
y
x
x2 y2 z（ p与 同q 号） 2p 2q
双曲抛物面（马鞍面）
设 p0,q0，图形如下：
z
0
y
x
1
绕
z轴；
旋
x2 y2 a2
cz22
1
转 椭 球
面
z o
y
x
③ xoy面上抛物线 2py x2 绕 y 轴；
y
x2z2 2py
旋转抛物面
x o z
④ yoz面上直线 zy 绕 z轴； z z x2 y2
z2 x2 y2
圆锥面 o
y
x
（4）锥面
通过定点 M动直线 L 沿定曲线 C移动所形成的 曲面称为锥面，定点 M称 为锥面的顶点， 动直线 L 称为锥面的母线， 定曲线 C 称为锥面的准线。
M L
C
例4
建立以椭圆
ax22by22
1,zc0
为准线，
z
坐标原点为顶点的锥面方程。
解 设点 M(x,y,z)锥面 上任意一点，过点 M的母线
M (x,y,c) M(x,y,z)
交椭圆于点 M (x,y,c),由
o
y
O M //O M
x yz x y c
x
x cx, y cy 锥面方程为
z 3( x2 y2 ) 锥面所围成 , 求它在 xoy 面z上的投影 . 解 半球面和锥面的交线为
C:z 4x2 y2, z 3(x2 y2),
消去 z得投影 x2柱 y2 面 1,
o
y
则交C 线在xo面 y 上的投x影为
x2 y2 1, z 0. 所求立x体 o面 y在 上的投 一个影 圆面为 :
F(x, y,z) 0 G(x, y,z) 0
消去
y得曲线
L关于 zox面
的投影柱面：R(x,z)0,zo面x 上的投影曲线Ry (x0, z)
0 ；
F(x, y,z) 0 G(x, y,z) 0
消去 x得曲线
L关于 yoz面
的投影柱面：Q(y,z)0,
yoz面上的投影曲线
2 x 6 y 2 z 7 0 .
2 几种常见的曲面 （1）球面 设球心在点 M 0(x0,y0,z0),半径为 R , 下面建立 球面方程.
设 M(x,y,z)是球面上任一点， 根据题意有
|M0M |R
x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 R
2 x 3 y 3 z 6
表示平面，
x2 y2 1 2x3y3z 6
交线为椭圆.
2 空间曲线的参数方程
x x(t)
y
y(t)
z z ( t )
(t)
例6 如果空间一点 M在圆柱面 x2y2a2上从点
A(a,0,0)出发，以角速度 绕 z轴旋转，同时又以线速度
Q( y, z) x 0
0
.
例8
求曲线
x2 y2
z
3 2
(z
1)2
1 在
x
oy面上的投影.
解
消去变量
z后得关于
xoy的投影柱面
z
x2 y2 3, 4
在 xoy面上的投影为
x 2
y2
3 4,
z 0
o
y
例9 设一个立体 , 由上半球面 z 4 x2 y2 和
z
o
y
x
yx
母线平行于 z轴的椭圆柱面
x
x2 a2
y2 b2
1
o y
x
母线平行于 x轴的抛物柱面
o
z 2py2
z
y
（3）旋转曲面
定一义条平面曲线绕其 所在平面上的一条定直线
旋转一周所成的曲面称为
旋转曲面.
这条定直
线叫旋转曲面的轴．
旋转轴
求由
yO z
平面曲线
f(y,z)0绕
z
轴旋转一周所得
例3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的
旋转曲面的方程．
①
yoz面上双曲线
y2 a2
z2 c2
1 分别绕
y轴和 z轴；
绕 y 轴旋转
y2 a2
x2 z2 c2
1
旋 转 双
绕 z轴旋转
z
x2 a2
y2
cz22
1
曲 z面
o y
o y
x
x
②
yoz面上椭圆
y2 a2
z2 c2
3 空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线
L的一般方程：
F(x, G(x,
y,z) 0 y,z) 0
消去变量 z后得：H (x,y)0
称此曲面为曲线 L关于 xoy面的投影柱面。
称曲线
H(x, z 0
y)
0
为曲线
L在
xoy面的投影曲线。
类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影.
x a cos
即有
y
a
sin
t
o
M
z b
x A M y
例7
将曲线方程
x2
y2
z2
4
化为参数式方程。
y z
解 将 zy代入 x2y2z24得
x22y2 4, 即 x2 y2 1. 42
参数式方程为:
x2cot s y 2sint z 2sitn
M(x,y,z) o
y
x1x,y1y x 由于 M 1 在 x O y 平面曲线
M1(x1,y1,0)
f(x,y)0上，将 x1x,y1y代入得柱面方程
f(x,y)0
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x, y而缺 z的方程 F(x,y)0在空间直角坐标 系中表示母线平行于 z轴的柱面， 其准线为 xoy面上
例1 求与原点 O 及 M0(2,3,4) 的距离之比为 1:2
的点的全体所组成的曲面方程.
解 设 M(x,y,z) 是曲面上任一点，根据题意有
| MO| 1 ,
| MM0 | 2
x2y2z2
1
,
x22y32z42 2
所求方程为 x2 2y12 z4 211 . 6
1) 是 x, y,z 的二次方程
2）x2, y2,z2 的系数为1（或相等）
3）不 含
xy,yz,zx项
球面方程又可表示为
x 2 y 2 z 2 A x B y C z D 0
(球面方程的一般式)
（2）柱面 定义 平行于定直线 l并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 R 2
(球面方程的标准式)
特殊地：球心在原点时方程为 x2y2z2R2
将标准方程展开得
x 2 y 2 z 2 2 x 0 x 2 y 0 y 2 z 0 z x 0 2 y 0 2 z 0 2 R 2 0 由此可见球面方程的特点
(2 ) abc,
x2 a2
ay22
az22
1
球面
2 双曲面
z
x2 a2
by22
cz22
1
单叶双曲面
z
o
x
o y
x
y
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
双叶双曲面
3 抛物面
x2 y2 z （ p与 同q 号） 2 p 2q 设 p0,q0，图形如下：
椭圆抛物面
cz22
1
椭球面与平面 z z1
o y
的交线为椭圆
a2 c2
x2 (c2
z12)
b2 c2
y2 (c2
x
z12)
1
z z1
| z1|c
同理与平面 x和x1 y的交y1线也是椭圆.
椭球面的几种特殊情况：
(1) ab,
x2 a2
ay22
cz22
1
旋转椭球面
§7.5 空间曲面与空间曲线
一 曲面方程的概念 二 曲线方程的概念 三 二次曲面的截痕法
一 曲面方程的概念
1 曲面方程的定义
如果曲面 S 与三元方程
F (x,y,z)0
有下述关系：
（1） 曲面 S上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面 S上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程 F (x,y,z)0就叫做曲面 S的方程， 而曲面 S 就叫做方程的图形．
z
z
x2 a2
y2 b2
z2 c2
椭圆锥面
二 曲线方程的概念
1 空间曲线的一般方程 空间曲线C可看作空间两曲面的交线.
F(x, y,z) 0 G(x, y,z) 0
z
S1
S2
C
o
y
x
例5
方程组
x2 y2 1
表示怎样的曲线？
2x3y3z 6
解 x2y2 1
表示圆柱面，
x2y21.
三 二次曲面的截痕法
二次曲面的定曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察 其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解 曲面的全貌．
以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
z
1 椭球面
x2 a2
by22
fx 2 y 2 ,z 0 ,
yoz面上曲线 f(y,z)0绕 z轴的旋转曲面方程.
同理：yoz坐标面上的已知曲线 f(y,z)0绕 y
轴旋转一周的旋转曲面方程为
fy , x 2 z 2 0 .
x o y 坐标面上的已知曲线 f(x,y)0绕 y 轴旋转
一周的旋转曲面方程为 f( x2z2,y)0
曲线 C . 只含 y,z 而缺 x的方程 F(y,z)0在空间直角坐标
系中表示母线平行于 x轴的柱面，其准线为 yoz 面上 曲线 C .
只含 z,x 而缺 y的方程 F(z,x)0在空间直角坐标 系中表示母线平行于 y 轴的柱面，其准线为 zox面上 曲线 C .
z
柱面举例 母线平行于 z轴的平面yx
z
的旋转面方程。
设旋转面上任意一点
M(x,y,z) 是由 y O z 平 面的曲线 f(y,z)0上 一点 M1(0,y1,z1)绕 z 轴旋转而得的，则
o
M 1(0,y1,z1)
M(x,y,z)
o y
f(y,z)0
zz1, x2y2|y1|x 将上式代入 f(y1,z1)0得方程
v沿平行 于 z轴的正方向上升（其中 、 v都是常数），
那么点 M构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．
解 取时间t为参数，动点从 A点出发，
经过t时间，运动到 M(x,y,z)点,
M在 xoy面的投影为M (x,y,0)
xaco ts
z
则
yasi nt，记 t,
b v
zvt
3
3 9
例2 已知 A(1,2,3),B(2,1,4),求线段 AB的垂直平分
面的方程.
解 设 M(x,y,z)是所求平面上任一点，根据题意有 |M| A |M|B ,
x 1 2 y 2 2 z 3 2
化简得所求方程
x 2 2 y 1 2 z 4 2 ,
l 这条定曲线 C叫 柱面 的准线， 动直线 L 叫 柱面的 母线.
L C
下面建立母线平行于 z 轴，准线为 x O y 平面曲线
f(x,y)0的柱面方程。
z
设 M(x,y,z)为柱面上
任意一点，过 M 作平行
z 轴的直线交 x O y 平面 曲线 f(x,y)0上的点 M1(x1,y1,0),因此
z
o
y
x
x2 y2 z（ p与 同q 号） 2p 2q
双曲抛物面（马鞍面）
设 p0,q0，图形如下：
z
0
y
x
1
绕
z轴；
旋
x2 y2 a2
cz22
1
转 椭 球
面
z o
y
x
③ xoy面上抛物线 2py x2 绕 y 轴；
y
x2z2 2py
旋转抛物面
x o z
④ yoz面上直线 zy 绕 z轴； z z x2 y2
z2 x2 y2
圆锥面 o
y
x
（4）锥面
通过定点 M动直线 L 沿定曲线 C移动所形成的 曲面称为锥面，定点 M称 为锥面的顶点， 动直线 L 称为锥面的母线， 定曲线 C 称为锥面的准线。
M L
C
例4
建立以椭圆
ax22by22
1,zc0
为准线，
z
坐标原点为顶点的锥面方程。
解 设点 M(x,y,z)锥面 上任意一点，过点 M的母线
M (x,y,c) M(x,y,z)
交椭圆于点 M (x,y,c),由
o
y
O M //O M
x yz x y c
x
x cx, y cy 锥面方程为
z 3( x2 y2 ) 锥面所围成 , 求它在 xoy 面z上的投影 . 解 半球面和锥面的交线为
C:z 4x2 y2, z 3(x2 y2),
消去 z得投影 x2柱 y2 面 1,
o
y
则交C 线在xo面 y 上的投x影为
x2 y2 1, z 0. 所求立x体 o面 y在 上的投 一个影 圆面为 :
F(x, y,z) 0 G(x, y,z) 0
消去
y得曲线
L关于 zox面
的投影柱面：R(x,z)0,zo面x 上的投影曲线Ry (x0, z)
0 ；
F(x, y,z) 0 G(x, y,z) 0
消去 x得曲线
L关于 yoz面
的投影柱面：Q(y,z)0,
yoz面上的投影曲线
2 x 6 y 2 z 7 0 .
2 几种常见的曲面 （1）球面 设球心在点 M 0(x0,y0,z0),半径为 R , 下面建立 球面方程.
设 M(x,y,z)是球面上任一点， 根据题意有
|M0M |R
x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 R
2 x 3 y 3 z 6
表示平面，
x2 y2 1 2x3y3z 6
交线为椭圆.
2 空间曲线的参数方程
x x(t)
y
y(t)
z z ( t )
(t)
例6 如果空间一点 M在圆柱面 x2y2a2上从点
A(a,0,0)出发，以角速度 绕 z轴旋转，同时又以线速度
Q( y, z) x 0
0
.
例8
求曲线
x2 y2
z
3 2
(z
1)2
1 在
x
oy面上的投影.
解
消去变量
z后得关于
xoy的投影柱面
z
x2 y2 3, 4
在 xoy面上的投影为
x 2
y2
3 4,
z 0
o
y
例9 设一个立体 , 由上半球面 z 4 x2 y2 和
z
o
y
x
yx
母线平行于 z轴的椭圆柱面
x
x2 a2
y2 b2
1
o y
x
母线平行于 x轴的抛物柱面
o
z 2py2
z
y
（3）旋转曲面
定一义条平面曲线绕其 所在平面上的一条定直线
旋转一周所成的曲面称为
旋转曲面.
这条定直
线叫旋转曲面的轴．
旋转轴
求由
yO z
平面曲线
f(y,z)0绕
z
轴旋转一周所得
例3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的
旋转曲面的方程．
①
yoz面上双曲线
y2 a2
z2 c2
1 分别绕
y轴和 z轴；
绕 y 轴旋转
y2 a2
x2 z2 c2
1
旋 转 双
绕 z轴旋转
z
x2 a2
y2
cz22
1
曲 z面
o y
o y
x
x
②
yoz面上椭圆
y2 a2
z2 c2
3 空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线
L的一般方程：
F(x, G(x,
y,z) 0 y,z) 0
消去变量 z后得：H (x,y)0
称此曲面为曲线 L关于 xoy面的投影柱面。
称曲线
H(x, z 0
y)
0
为曲线
L在
xoy面的投影曲线。
类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影.
x a cos
即有
y
a
sin
t
o
M
z b
x A M y
例7
将曲线方程
x2
y2
z2
4
化为参数式方程。
y z
解 将 zy代入 x2y2z24得
x22y2 4, 即 x2 y2 1. 42
参数式方程为:
x2cot s y 2sint z 2sitn
M(x,y,z) o
y
x1x,y1y x 由于 M 1 在 x O y 平面曲线
M1(x1,y1,0)
f(x,y)0上，将 x1x,y1y代入得柱面方程
f(x,y)0
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x, y而缺 z的方程 F(x,y)0在空间直角坐标 系中表示母线平行于 z轴的柱面， 其准线为 xoy面上
例1 求与原点 O 及 M0(2,3,4) 的距离之比为 1:2
的点的全体所组成的曲面方程.
解 设 M(x,y,z) 是曲面上任一点，根据题意有
| MO| 1 ,
| MM0 | 2
x2y2z2
1
,
x22y32z42 2
所求方程为 x2 2y12 z4 211 . 6
1) 是 x, y,z 的二次方程
2）x2, y2,z2 的系数为1（或相等）
3）不 含
xy,yz,zx项
球面方程又可表示为
x 2 y 2 z 2 A x B y C z D 0
(球面方程的一般式)
（2）柱面 定义 平行于定直线 l并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.