市场风险-敏感性因子

r
F
22
3.期权灵敏度指标的含义解析
灵敏度指标
δ (Delta) γ (Gamma) θ (Theta) Λ (Vega) ρ（Rho）
公式
F
S
2F S 2
S
F
t
F
F
r
含义
反映金融衍生品价格对其标的 物资产价格的线性敏感性
反映灵敏度系数δ对标的物资 产价格S的灵敏性
反映金融衍生品价格对时间变 化的敏感性
P Q t + ½GS 2= ½GS 2
构造交易组合的gamma中性
• 线性产品的gamma为0,改变交易组合的gamma必 须采用价格与基础资产价格呈非线性关系的产品 ，如期权.
• 假如有一个Delta中性的交易组合的Gamma为G， 而某一交易所期权的Gamma为GT，如果决定将 wT数量的期权加入到交易组合中，由此产生新的 交易组合的Gamma为
2. 衍生品——希腊字母
1. 衍生产品价格F 可以表示成下面的形式
F F(S,t,r, )
其中：S 表示标的物资产的当前价格,t 表示当
前时间，r 表示无风险利率， 表 示标的物资
产价格的波动率.
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期权的灵敏度测量
2.期权定价公式的泰勒展开
F
F S
S
1 2
2F S 2
(S )2
F t
t
F r
2 P
2
n
2
n2
ij
i j
2 ,
n
10
波动性方法的优缺点评述
1. 优点：含义清楚,应用也比较简单. 2. 缺点：
✓ 仅描述资产组合未来收益的波动程度，并不能 说明资产组合价值变化的方向;
11
3、敏感因子度量（Factor Sensitivity Measures）
基本思想可以通过基于Taylor展开式的资产组合 价值随市场因子变化的二阶形式来展现：
• 对冲机制会造成在价格下跌后股票被卖出，而在 价格上升后股票被买入，这正是所谓的“买高卖 低”。
（2）Gamma中性
• Gamma G 是指交易组合的delta () 变化与基础 资产价格变化的比率
• Gamma 被定义为交易组合价格对于基础资产价 格的二阶偏导数
2P Gamma S 2
• 对于一个Delta中性的交易组合：
P PDy 1 y m
D • 表达式 1 y m 也被称为修正久期.
• 假定该债券收益发生10个基本点的变化,则
y 0.0001 P 99.39 2,89 0.0001 0.28
1.0422
• 凸度值越大,债券利率风险越小,对债券持有者越有 利；
• 而修正久期具有双面性,具有较小修正久期的债券 抗利率上升风险较强,而当利率下降时,其价格增幅 却小于具有较大修正久期债券的价格增幅.
Delta P S
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线性产品的风险对冲
• 线性产品的价值变化与基础产品的价值变化有某种线性关 系.
• 远期、期货及互换都是线性产品,而期权不是 • 线性产品的风险很容易被对冲。
▫ 例如，一个美国银行与某一企业做了一个远期交易，银行同意在一 年后以130万美元的价格卖给企业100万欧元。假定欧元和美元的 一年期利率分别为4%和3%，当前1美元等于S欧元，则合约的价值 为
• 年波动率是日波动率的 252倍
隐含波动率
• 期权公式中唯一不能直接观察到得一个参数就是 股票价格的波动率.
• 隐含波动率是交易员从期权价格隐含反推计算出 的波动率。
• 可以用迭代法来求解隐含波动率。
资产组合风险的度量
一基本思路
用收益率的方差或标准差来度量资产组合的
风险.
(二)相关的计算公式
n
• 一个Gamma中性的交易组合一般不会是Vega中 性，投资人想使交易组合同时达到Gamma中性和 Vega中性，就必须引入与标的产品有关的两种不 同的衍生产品
（4）Theta
• 一个衍生产品投资组合的Theta Q 是指在其他条 件不变的情况下,交易组合的价值变化与时间变化 的比率，Theta常常被称为投资组合的时间损耗
Futures Contracts
2,000
Swaps
80,000
Options
–110,000
Exotics
25,000
Total
117,000
29
•假定黄金的价格由现在的每盎司800美元变为每盎司
800.10美元.
•黄金价格变化后,交易组合的价格变为116900美元。 •黄金价格增加0.1美元会触发交易组合损失100美元。 •因而，组合的黄金价格敏感性为-1000，即为Delta值 •交易员可以买入1000盎司黄金来消除Delta风险。 •使新交易组合的Delta为0，这样的组合被称为Delta中性。
P
P t
t
n i 1
P xi
xi
1 2
n i, j1
xi
2
P x
j
xi
xj
债券价格：利率风险,度量为久期、凸度 证券价格：市场风险，度量为Beta系数 期权：标的资产价格变动风险，度量为Delta、
Gamma
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债券的利率敏感性
• 对债券而言,一个常用的风险测度工具是DV01， 刻画了证券价格对收益率曲线平移一个基本点或 特定利率变化一个基本点的敏感程度
Option price
B
Slope =
A Stock price
Delta对冲例子
•一个交易员卖出100,000单位的欧式看涨期权. •基础资产为某种无股息的股票 •假定交易员卖出期权而得到收入300,000美元 •S0 = 49, K = 50, r = 5%, = 20%, T = 20 周,
2、波动性方法
假设某种金融资产收益率r为随机变量,该资产的 风险可用收益率标准差σ即波动率来度量. σ越大说明该资产面临的市场风险越大，反之则 反是。
6
日波动率与年波动率
• 假设Si为市场变量的时间i的价格,每天的波动率为 的标ln(准Si 差Si1.)
• 研究证明在交易所开盘交易时的波动率比交易所 关闭时的波动率要大很多，因此，当由历史数据 估计波动率时，分析员常常忽略交易所关闭的天 数，在计算时通常假定每年有252个交易日
= 13%
•期权的理论价值是$240,000 •银行如何对冲风险锁定60,000美元的利润。
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• 起初,期权的delta值为0.522
• 因而，整个交易组合的delta为-52,200
• 这意味着在出售看涨期权的同时，交易员必须借 入2557800美元并按49美元的价格购买52200股 股票来保持delta中性.
反映衍生证券价格对其标的物 资产价格波动率的线性敏感性
反映金融衍生品价格关于利率 的线性敏感性
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例：远期合约的敏感度量
提供收益率y的远期的价值
St = 证券或商品的价格 FT = 远期价格 t, T = 当前时间和交割时间 r =无风险收益率 y = 证券的收益率
例：期权的灵敏度测量
在时刻0购买一种期权,可以在T时刻以一个敲定的价 格（Strike Price）购买（卖出）某种股票.如果用K 表示敲定的价格，到时刻T。 Black-Scholes公式：
• 要使得交易组合Gamma中性，期权的交易头寸为
Delta和Gamma的对冲再平衡过程
• 要使得交易组合Gamma中性,须引入交易期权会.但
这改变交易组合的Delta，此时必须调整基础资产
数量以保证新的交易组合Delta中性。
• 随着时间的变化，只有不断调整期权数量使得期
权头寸满足
以保证交易组合的
（3）Vega中性
• Vega n 是指交易组合价值变化与基础资产价格波
动率变化的比率
Vega P
Vega中性对冲
• 在某个交易组合中加入某个交易所期权会改变交 易组合的Vega.
• 假定某交易组合的Vega为V,而某一交易所期权的 Gamma为VT，将wT 数量的期权加入到交易 组合中，可产生新的交易组合的Vega为0。
▫ 合约的delta为-961538，这家银行可以通过买入961538欧元来对冲 风险。
• 但通过卖空交易以对冲远期合约并不一定很容易实现。
非线性产品的对冲
• 期权和大多数结构性产品都属于非线性产品,难以 对冲.
• 为了保持delta中性，对冲交易要定期进行调整。
Delta of the Option
1.数学期望
P E(rP ) wi i
2.方差
i1
nn
nn
2 PLeabharlann wi w jCov(ri , rj )
wi w j ij i j
3.相关系数
i1 j 1
i1 j 1
ˆ ij
1m m 1 k 1 (ri,k
ˆ i )(rj,k
ˆ iˆ j
ˆ j )
9
特征风险、系统性风险与风险分散化
48.12
0.000
购买股票数量 52200 4600 13700
（12600） …
（17600） （700）
• 表2和表3显示,对冲总成本的贴现非常接近于期权 的理论价格240000.
• 对冲的目的是为了保证金融机构的交易组合价值 的恒定。例如,第9周时交易组合的价值变化仅为 4100元。
• 对冲机制以合成的形式构造出一买入期权交易， 而这一合成期权会用于对冲交易员的卖空交易。
gamma中性。
• Delta中性保证了两次对冲再平衡过程中，交易组
合价值不受价格微小变化的影响。
• Gamma中性保证了两次对冲再平衡过程中，交易
组合价值不受价格较大变化的影响。
• 例：假定一交易组合为Delta中性,其Gamma量为3000，而对应交易所交易期权的Delta及Gamma 分别为0.62及1.50.请问如何进行对冲及平衡保持 Delta中性和Gamma中性。
一资产组合收益率方差
令 wi ,且1所/ n有单个资产的风险相同,则可得
资产组合收益率的方差为
2 P
n i 1
n j 1
1 n2
ij i
j
n i 1
n j 1
1 n2
ij
2
2
n2
n i 1
n
ij
j 1
(二)讨论
1. 若
ij 0 (i j) ,则 P2 2 ,n从而
lim
n
2 P
0
.
2. 若 ij ,则
• 由债券的定价公式可得
n
P cie yti , i 1
D
n i 1
ti
cie yti P
连续复利
修正久期
久期较准确地表达了债券的到期时间,但无法说明当利率 发生变动时,债券价格的变动程度,因此引入了修正久期 的概念.
D为修正久期
• 如果收益率y被表示成每年复利m次的利率,久期D 需要除以1+y/m
• 但是，一周后期权的delta值降到了0.458, 要保持 delta中性，就必须卖出6400股股票
• 表 2和表3 显示了两种不同情况下的再平衡模拟过 程
表2 Delta对冲模拟一
周数 0 1 2 3
…
股价 49.00 48.12 47.37 50.25
…
Delta 0.522 0.458 0.400 0.596
市场风险的度量
内容提要
• 测度市场风险的传统方法 • VaR的定义和计算公式
测度风险： 历史回顾
1、名义数量法（The Notional Amount Approach）
• 名义数量法衡量债券和投资组合的名义数量,如价 格，收益、损失等.如图
• 缺点在于
▫ 无法区分短期和长期。 ▫ 无法反映价格的波动和价格之间的相关性。 ▫ 市场风险真正的数额和名义金额往往差异很大。 ▫ 卖空
…
19
55.87
1.000
20
57.25
1.000
购买股票数量 52200
（6400） （5800）
19600 …
1000 0
表3Delta对冲模拟二
周数
股价
0
49.00
1
49.75
2
52.00
3
50.00
…
…
Delta 0.522 0.568 0.705 0.579
…
19
46.63
0.007
20
S = 股票价格 K = 敲定价格 N. = 标准正态分布 r = 无风险收益率 2 = 股票收益波动率 T = 到执行期的时间（生命期）
• 例：一个欧式看涨期权的希腊值
管理Delta, Gamma, & Vega
• 首先通过每天对基础资产进行交易以确保交易组 合的Delta（）为0或接近于0
• 然后保证Gamma, & Vega（G & n） 为0,必须要
找到价格合理并且适量的期权以达到对冲目的.
1 Delta中性
• 假如你是负责有关黄金资产组合的交易员,你应该如
何管理你所面临的风险
•当前黄金价格为每盎司800美元.
Position
Value ($)
Spot Gold
180,000
Forward Contracts – 60,000
• 期权的Theta值通常为负. 这就意味着，在标的资 产价格和波动率不变的条件下，随着期权期限的 接近，期权价值会下降.
• 由于时间走向没有不定性，因此通过对冲来消除 交易组合对于时间的不定性毫无意义。
对冲的现实状况