精选推荐2018_2019学年高中数学第二章推理与证明2.1.1第2课时类比推理学案苏教版选修1_2

第2课时类比推理
学习目标 1.了解类比推理的含义、特征，能利用类比进行简单的推理.2.能正确区别归纳推理与类比推理的不同点，了解合情推理的合理性．
知识点一类比推理
思考科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等．由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在．他们使用了什么样的推理？
答案类比推理．
梳理(1)类比推理的定义
根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法．
(2)类比推理的思维过程大致如图
观察、比较―→猜测新的结论
(3)特征：由特殊到特殊的推理．
知识点二合情推理
思考1 归纳推理与类比推理有何区别与联系？
答案区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．
联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假．
思考2 归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？
答案 不一定正确． 梳理 (1)合情推理的含义
合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理． (2)合情推理的过程
从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想
1．由合情推理得出的结论一定是正确的．( × ) 2．合情推理必须有前提有结论．( √ ) 3．类比推理不能猜想．( × )
类型一 数列中的类比推理
例1 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列，类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，
T 16
T 12
成等比数列． 答案
T 8T 4 T 12T 8
解析 由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项的和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每4项的积成等比数列．下面证明该结论的正确性： 设等比数列{b n }的公比为q ，首项为b 1， 则T 4＝b 41q 6
，T 8＝b 81q
1＋2＋…＋7
＝b 81q 28
，
T 12＝b 121q
1＋2＋…＋11＝b 121q 66，
T 16＝b 161q
1＋2＋…＋15＝b 161q 120
， ∴T 8
T 4
＝b 41q 22
，
T 12T 8＝b 41q 38，T 16T 12
＝b 41q 54
， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫T 8T
42＝
T 12T 8·T 4，⎝ ⎛⎭⎪⎫T 12T 82＝T 8T 4·T 16T
12
，
故T 4，T 8T 4，
T 12T 8，T 16
T 12
成等比数列． 反思与感悟 已知等差数列与等比数列有类似的性质，在类比过程中也有一些规律，如下表所示的部分结论(其中d ，q 分别是公差和公比，m ，n ，p ，r ∈N *
)：
跟踪训练1 若数列{a n }(n ∈N *
)是等差数列，则有数列b n ＝
a 1＋a 2＋…＋a n n
(n ∈N *
)也是等差数
列；类比上述性质，相应地：若数列{c n }(n ∈N *
)是等比数列，且c n >0，则有数列d n ＝______________(n ∈N *
)也是等比数列．
答案
n
c 1c 2c 3…c n
解析 数列{a n }(n ∈N *
)是等差数列，则有数列b n ＝
a 1＋a 2＋…＋a n n
(n ∈N *
)也是等差数列．类
比猜想：若数列{c n }(n ∈N *
)是各项均为正数的等比数列，则当d n ＝n
c 1c 2c 3…c n (n ∈N *
)时，数列{d n }也是等比数列． 类型二 几何中的类比推理
例2 如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°.设a ，b ，c 分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c 2
＝a 2
＋b 2
.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．
解 如题图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°.设a ，b ，c 分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c 2
＝a 2
＋b 2
.
类似地，如图所示，在四面体P －DEF 中，∠PDF ＝∠PDE ＝∠EDF ＝90°.设S 1，S 2，S 3和S 分别表示△PDF ，△PDE ，△EDF 和△PEF 的面积，相对于直角三角形的两条直角边a ，b 和1条斜边c ，图中的四面体有3个“直角面”S 1，S 2，S 3和1个“斜面”S .于是类比勾股定理的结构，我们猜想S 2
＝S 2
1＋S 2
2＋S 2
3成立．
反思与感悟 (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论．
(2)中学阶段常见的类比知识点：等差数列与等比数列，空间与平面，圆与球等等，比如平面
几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下：
跟踪训练2 在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α，β，cos 2
α＋cos 2
β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．
解 在长方形ABCD 中，
cos 2
α＋cos 2
β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c
2
c 2＝1.
于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos 2
α＋cos 2
β＋cos 2
γ＝1.
类型三 合情推理的应用
例3 我们已经学过了等差数列，思考一下有没有等和数列呢？ (1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；
(2)探索等和数列{a n }的奇数项和偶数项各有什么特点，并加以说明； (3)在等和数列{a n }中，如果a 1＝a ，a 2＝b ，求它的前n 项和S n .
解 (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列．
(2)由(1)知a n ＋a n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2， 所以a n ＋2＝a n .
所以等和数列的奇数项相等，偶数项也相等． (3)当n 为奇数时，令n ＝2k －1，k ∈N *
，则
S n ＝S 2k －1＝S 2k －2＋a 2k －1＝2k －2
2
(a ＋b )＋a ＝n －1
2
(a ＋b )＋a ＝
n ＋12
a ＋n －1
2
b ；
当n 为偶数时，令n ＝2k ，k ∈N *
，则
S n ＝S 2k ＝k (a ＋b )＝n
2
(a ＋b )．
所以它的前n 项和S n
＝⎩⎪⎨⎪⎧
n ＋12a ＋n －12b ，n 为奇数，
n
2(a ＋b )，n 为偶数.
反思与感悟 定义类比应用问题是常考查的题型，通过对某种概念的定义及性质的理解，类比出其他相似概念的定义和性质，很好地考查学生类比应用的能力，其解决的关键在于弄清两个概念的相似性和相异性．
跟踪训练3 定义“等积数列”：在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝2，公积为6，求这个数列的前n 项和S n .
解 由定义，得a n ＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
2，n 为奇数，3，n 为偶数.
前n 项和S n
＝⎩⎪⎨⎪⎧
5n 2－12，n 为奇数，
5n
2，n 为偶数.
1．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；
②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”； ③“t ≠0，mt ＝nt ⇒m ＝n ”类比得到“c ≠0，a ·c ＝b ·c ⇒a ＝b ”；
④“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”．以上类比得到的正确结论的序号是________． 答案 ①②
2．下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是________．(填序号) ①三角形；②梯形；③平行四边形；④矩形． 答案 ③
解析 因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行． 3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间上，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________． 答案 1∶8
解析 设两个正四面体的体积分别为V 1，V 2， 则V 1∶V 2＝13S 1h 1∶1
3
S 2h 2＝S 1h 1∶S 2h 2＝1∶8.
4．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29
.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则类似结论为________________． 答案 a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9
解析 等比数列中的积运算类比等差数列中的和运算，从而有a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9. 5．三角形的面积为S ＝1
2(a ＋b ＋c )r ，a ，b ，c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，
利用类比推理可以得到四面体的体积为_____________________________________． 答案 1
3
(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (S 1，S 2，S 3，S 4为四个面的面积，r 为内切球的半径)
解析 △ABC 的内心为O ，连结OA ，OB ，OC ，将△ABC 分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r ，底边长分别为a ，b ，c .类比：设四面体A －BCD 的内切球球心为O ，半径为r ，连结OA ，OB ，OC ，OD ，将四面体分割为四个以O 为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为
r ，所以V ＝13
(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .
1．在进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误． 2．提高所得结论的准确性的常用技巧
(1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些． (2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性．
(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面.
一、填空题
1．下列几种推理是类比推理的是________．(填序号) ①内错角相等，两直线平行；
②由平面三角形的性质，猜想空间四面体的性质； ③由数列的前几项，猜想数列的通项公式． 答案 ②
解析 由类比推理的定义，得只有②为类比推理．
2．“若直角三角形两直角边的长分别为a ，b ，将其补成一个矩形，则根据矩形的对角线长可求得该直角三角形外接圆的半径r ＝
a 2＋
b 2
2
”．对于“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱
长分别为a ，b ，c ”，类比上述处理方法，可得该三棱锥的外接球的半径R ＝__________.
答案
a 2
＋b 2
＋c
2
2
解析 由求直角三角形外接圆的半径的方法，通过类比得出求三条侧棱两两垂直的三棱锥外接球的半径的方法为：首先将该三棱锥补全为长方体，而长方体的体对角线长就是三棱锥的外接球的直径，从而得出该三棱锥的外接球的半径R ＝
a 2＋
b 2＋
c 2
2
.
3．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高
2，可推知扇形面积公
式S 扇＝________. 考点 类比推理的应用 题点 平面曲线的类比
答案
lr
2
解析 扇形的弧类比三角形的底边，扇形的半径类比三角形的高，则S 扇＝lr
2
.
4．已知tan ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝
1＋tan x 1－tan x 且tan x 是以π为周期的周期函数．若a ≠0，且f (x ＋a )＝
1＋f (x )
1－f (x )
，通过类比，f (x )是以________为周期的周期函数．
答案 4a (答案不唯一)
解析 类比tan ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝
1＋tan x 1－tan x 与f (x ＋a )＝1＋f (x )1－f (x )可知，π4与a 对应．
而tan x 是以π＝4×π
4为周期的周期函数，
所以猜想f (x )应是以T ＝4a 为周期的周期函数． 事实上f (x ＋2a )＝1＋f (x ＋a )1－f (x ＋a )＝1＋
1＋f (x )1－f (x )1－
1＋f (x )1－f (x )
＝－1
f (x )
.
所以f (x ＋4a )＝－
1
f (x ＋2a )
＝f (x )．
故此类比猜想正确．
5．已知圆的方程是x 2
＋y 2
＝r 2
，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2
.类比上
述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)类比的性质为
_________________________________.
答案 经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0y
b
2＝1
解析 已知圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程，就是将圆的方程中的一个x 与
y 分别用点M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换的结果．经类比猜想，即可得椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)
类似的性质为：经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0y
b
2＝1.
6．类比平面向量基本定理：“如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么对于平面α内任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2.”试写出空间向量基本定理：
_______________________________________________________________________________. 答案 如果e 1，e 2，e 3是空间中不共面的向量，那么对空间中的任一向量a ，有且只有一组实数λ1，λ2，λ3，使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3
7．已知正三角形内切圆的半径是高的1
3，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是
____________________．
答案 正四面体的内切球的半径是高的1
4
解析 原问题的解法为等面积法，即正三角形的面积S ＝12ah ＝3×12ar ⇒r ＝1
3h .
类比，用等体积法，V ＝13Sh ＝4×13r ·S ⇒r ＝1
4
h .
8．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2
，周长C (r )＝2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2
)′＝2πr ①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子②：____________________，
②式可以用语言叙述为：_________________________________________________________.
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫43πR 3′＝4πR 2
球的体积函数的导数等于球的表面积函数
解析 通过给出的两个量之间的关系，类比球的体积公式和球的表面积公式，我们不难发现
⎝ ⎛⎭
⎪⎫43πR 3′＝4πR 2，从而使问题解决． 9．在平面中△ABC 的角C 的内角平分线CE 分△ABC 的面积所成的比
S △AEC S △BEC ＝AC
BC
，将这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中，平面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 交于E ，则类比的结论为________________．
答案
V A －CDE V B －CDE ＝S △ACD
S △BCD
解析 平面中的面积类比到空间为体积，故
S △AEC S △BEC 类比成V A －CDE
V B －CDE
.
平面中的线段长类比到空间为面积，故AC BC 类比成
S △ACD
S △BCD
， 故有
V A －CDE V B －CDE ＝S △ACD
S △BCD
. 10．由图1有面积关系：
S △PAB S △PCD ＝PA ·PB PC ·PD ，则由图2有体积关系：V P －ABC
V P －DEF
＝________.
答案
PA ·PB ·PC PD ·PE ·PF
解析 设点A ，D 到平面PBC 的距离分别为h 1，h 2，
则h 1h 2＝PA PD 且V P －ABC ＝1
3S △PBC ·h 1， V P －DEF ＝13
S △PEF ·h 2，
所以
V P －ABC V P －DEF ＝PA ·PB ·PC
PD ·PE ·PF
11．下列类比推理中正确的个数是________． ①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n
；
②log m (xy )＝log m x ＋log m y 与sin(a ＋b )类比，则有sin(a ＋b )＝sin ab ； ③(a ＋b )2
＝a 2
＋2ab ＋b 2
与(a ＋b )2
类比，则有(a ＋b )2
＝a 2
＋2a ·b ＋b 2
. 答案 1
解析 对于①，令a ＝b ＝1，n ＝2，则(a ＋b )n
＝4，a n
＋b n
＝2，(a ＋b )n
≠a n
＋b n
，故①错误；对于②，令a ＝0°，b ＝30°，则sin(a ＋b )＝1
2，sin ab ＝0，sin(a ＋b )≠sin ab ，故②错误；
对于③，由平面向量的知识可知，③显然正确． 二、解答题
12．已知：等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，有如下的性质： (1)通项a n ＝a m ＋(n －m )·d .
(2)若m ＋n ＝p ＋t ，且m ，n ，p ，t ∈N *
，则a m ＋a n ＝a p ＋a t . (3)若m ＋n ＝2p ，且m ，n ，p ∈N *
，则a m ＋a n ＝2a p . 类比上述性质，在等比数列{b n }中，写出相类似的性质． 解 设等比数列{b n }中，公比为q ，前n 项和为T n . (1)通项b n ＝b m ·q
n －m
.
(2)若m ＋n ＝p ＋t ，且m ，n ，p ，t ∈N *
，则b m ·b n ＝b p ·b t . (3)若m ＋n ＝2p ，且m ，n ，p ∈N *
，则b 2
p ＝b m ·b n .
13．已知命题：若数列{a n }为等差数列，且a m ＝a ，a n ＝b (m ≠n ，m ，n ∈N *
)，则a m ＋n ＝bn －am
n －m
.现已知等比数列{b n }，类比等差数列，写出相似的性质．
解 等差数列的通项a n 与项数n 是一次函数关系，等比数列的通项b n 与项数n 是指数型函数关系．
利用类比可得b m ＋n ＝1
n
n m
m b a -⎛⎫ ⎪⎝⎭
＝
n －m
b n a m
. 三、探究与拓展
14．若等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
S n n 为等差数列，且通项
为S n n ＝a 1＋(n －1)·d
2
，类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列{b n }的首项为b 1，公比为q ，前n 项的积为T n ，则________________________．
答案 数列{n T n }为等比数列，且通项为n
T n ＝b 1(q )
n －1
解析 T n ＝b 1·b 2·…·b n ＝b n 1·q
1＋2＋3＋…＋(n －1)
＝b n
1·()12
n n q
-，而n
T n ＝b 1·1
2
n q
-＝b 1(q )n －1
，所
以数列{n
T n }是首项为b 1，公比为q 的等比数列，其通项为n
T n ＝b 1·(q )n －1
.
15.如图，已知O 是△ABC 内任意一点，连结AO ，BO ，CO 并延长交对边于A ′，B ′，C ′，则
OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′
CC ′
＝
1.
这是平面几何中的一道题，其证明常采用“面积法”：
OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝S △OBC S △ABC ＋S △OCA S △ABC ＋S △OAB S △ABC ＝S △ABC
S △ABC
＝1.运用类比猜想，对于空间中的四面体V －BCD ，存在什么类似结论？并用“体积法”证明．
解 如图，设O 为四面体V －BCD 内任意一点，连结VO ，BO ，CO ，DO 并延长交对面于V ′，B ′，
C ′，
D ′，
类似结论为OV ′VV ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＋OD ′
DD ′
＝1.类比平面几何中的“面积法”，可用“体积法”来证明．
因为V O －BCD V V －BCD ＝1
3·S △BCD ·h ′
13
·S △BCD ·h ＝OV ′VV ′
(其中h ′，h 分别为两个四面体的高)，
同理
V O －VCD V B －VCD ＝OB ′BB ′，V O －VBD V C －VBD ＝OC ′CC ′，V O －VBC V D －VBC ＝OD ′
DD ′. 所以
OV ′VV ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＋OD ′
DD ′
＝
V O －BCD V V －BCD ＋V O －VCD V B －VCD ＋V O －VBD V C －VBD ＋V O －VBC
V D －VBC
＝1.。