函数极限的定义

该点附近的变化趋势.
例 函数
x2 1
f (x)
x 1
x 1.
0
x 1
则有 lim f x 2, x1
注2: 函数f x在点x0的极限的定义说明了如何去证明 函数 f x在点 x0的极限为 A的方法：对于 0,考虑
f (x) A ,
经过不等式的变形，得到关系
f (x) A M x x0 ,
第三节 函数极限的定义
一、函数在有限点处的极限
在上节中，我们讨论了数列的极限. 而我们又知道数 列是一种特殊的函数——定义在正整数集上的函数. 那 么一般函数的极限又应该如何定义呢？这一节我们将全 面引入函数极限的定义.
引例 设函数
f (x) x2 1 x 1, x 1. x 1
尽管函数在点 x 1处没有定义，
x0 1 e1/ x
所以极限
1 lim x0 1 e1/ x
不存在.
二、函数在无穷远处的极限
定义 设函数 f x 在 x M 时有定义， A为常数.
①若 0，X 0，当 x X 时，使得 f (x) A ,
则 A 称为函数 f x在 x 时的极限，记为 lim f (x) A 或 f (x) Ax .
所以, 0 , 取 ，当 0 x 2 时，可使
2
f (x) A 2x 15 2 x 2 ,
故
lim(2x 1) 5.
x2
⑵因 f (x) A sin x 0 sin x
欲使 sin x , 即 sin x , 所以 0,不妨取 0 1, 此时令 arcsin , 则当 0 x 时，有
使得 f (x) A ,
那么 A称作 f x 在 x0处的右极限，记为
lim
x x0
f (x) 或
f ( x0 )
例如：lim 1 , lim 1 ,
x x0
x x0
1
1
lim ex 0, lim ex ,
x0
x0
容易证明：
定理 极限 lim f (x) 存在的充分必要条件是 f (x) 在点 xx0
x
②若 0，X 0，当 x X 时，使得 f (x) A ,
则 A 称为函数 f x在x 时的极限，记为 lim f (x) A或f (x) Ax .
x
③若 0，X 0，当 x X 时，使得 f (x) A ,
则 A 称为函数 f x在x 时的极限，记为 lim f (x) A或f (x) Ax .
lim x 0.
x0
定理3(函数极限与数列极限的关系)
设 lim xx0
f
(x)
存在，又设
x n n1
是函数 f
x定义域中的
一个任意数列，xn
x0 , 且
lim
n
xn
x0,
则此数列相应的函数值数列
f
xn
收敛，且
n1
lim
n
f
(xn )
lim
xx0
f
(x).
证
设
lim
xx0
f
(x)
x0的某个空心邻域内，使得在该邻域中有：f x 0.
证 设 lim f (x) A ，由定义，对 A , 存在 0,
xx0
2
当x U (x0, ) 时，有
y
y f x
f (x) A A
3A 2
2
A
f x A A 0.
2
A 2
O x0 x0 x0
x
定理2’
f (xn )
lim
x x0
f (xn)
则说明函数在这一点无极限.
例 证明函数 f (x) sin 在 x 0 时极限不存在.
x
证 令 xn
1,
1
2n
2
yn
1
2n
,
则
lim
n
xn
lim
n
yn
0,
但
lim
n
f
xn
lim
n
sin
2n
1 2
1,
lim
n
f
yn
limsin 2n
n
lim
n
xn
存在
，那么存在
M
0,
使得对所有的n，有 xn M.
证
设
lim
n
xn
a
，由定义，对
1,
存在 N 0,
当 n N时，有 xn a 1, 从而
xn xn a a 1 a ,
取 M max x1 , x2 , , xN ,1 a ，则对所有的 n，有
xn M.
定理2 (极限的保号性)如果 lim f (x) A 0，则存在点 xx0
(保号性)如果
lim
n
xn
a
0，则存在正整数
N
当 n N 时，有：xn 0.
推论 在 x0的某个空心领域中，有 f x 0, 且
lim f (x) A,
xx0
则 A 0.
注意：如果推论的条件改成 f x 0 （严格大于），则 不能推出 A 0, 例如 f (x) x , x 0 时 f x 0, 但
x
例7 证明 lim 1 0.
x x
证 因 f (x) A 1 0 1
x
x
所以, 0 , 取 X 1 ，当 x X时 ，使得
f (x) A 1 ,
x
所以
lim 1 0. x x
例8 证明 lim arctan x .
x
2
证 因 f (x) A arctan x arctan x
当 x 在 0 的左侧趋近于 0 时，f x 1.
这就导出左右极限的概念.
y
y x1
1
O
x
y x 1 1
左极限定义：若 0, 0,当 x x0 0时，
使得 f (x) A ,
那么 A称作 f x 在 x0处的左极限，记为
lim
x x0
f (x) 或
f ( x0 )
右极限定义：若 0, 0,当 0 x x0 时，
A，则
0,
0,
当 x U (x0, )
时，
f (x) A ,
由条件
lim
n
xn
x0 ,
故对
0,N
0 ，当
n
N
时，有
0 xn x0 ,
即
xn U (x0, ),
因而
f (xn ) A ,
即
lim
n
f
(xn )
A
lim
xx0
f
(x).
y
f (x2 )
f (x4 )
A
f (xn )
例5
设
x0
0 ，证明 lim x x0
x
x0 .
证因
f (x) A
x x0
x x0 x x0
1 x0
x x0
,
所以, 0 , 取 x0 ，当 0 x x0 时 ，
可使
f (x) A
x
x0
1 x0
x x0
,
所以
lim
x x0
x
x0 .
左右极限
前面讨论的是函数 f x在某一点 x0的极限，它反映的
0,
所以lim sin 不存在.
x0
x
y
y sin
x
1
x
1
对于数列，有
定理
设
lim
n
xn
存在，则对于
xn
的任一子列
n1
xnk
,
k 1
有
lim
k
xn
k
lim
n
xn
.
用此定理，即可说明数列 1n 的极限不存在. n1
f (x3 )
lim
n
f
(xn )
A
lim
xx0
f
(x).
y f x
lim f (x) A
xx0
f (x1)
O x1 x3
xn x0
lim
n
xn
x0,
x4 x2
x
此定理的一个实际意义是：
如果能够找到自变量的两个不同子列 xn x0, xn x0
使其函数值数列收敛到两个不同的值，即
lim
x x0
为
lim f (x) A.
或
x x0
f (x) A x x0 .
函数极限 lim f (x) A的几何意义 xx0
对于任意 0，总存在正数 ， 对满足 0 x x0 的一切 x， 都有 f (x) A .
y
A
A
A
y f (x)
O x0 x0 x0
x
注1：函数 f x在点 x0 处的极限与函数在这一点是否有 定义、或 f x0 为多少毫无关系，它所反映的是 f x在
当 x 1 时，则有不等式
2x 1 2 x 1 x 1 1 , 2 2x 1 2 x
所以, 0 , 取X max{1, 1 }，当 x X 时 ，使得 2
f x A 1 1 ,
2 2x 1 2 x
所以
lim x 1 1 .
x 2x 1 2
三、极限的性质
定理1 (局部有界性)如果极限 lim f (x)存在 ， xx0 那么在 x0的某个空心邻域内，函数 f x 有界.
f (x) A sin x 0 ,
因而
limsin x 0.
x0
例2 证明 lim 1 4x2 2. x1 2x 1
2
证 因 f (x) A 1 4x2 2 (2x 1)2 2 x 1 ,
2x 1
2x 1
2
所以, 0 , 取 ，当 0 x ( 1) ，可使
2
其中 M是一个与 x无关的常量. 再取 ，则当
M 0 x x0 时，有：
f (x) A M x x0 ,
此即说明 lim f (x) A. x x0
例1 证明下列极限
⑴ lim(2x 1) 5; x2
⑵ limsin x 0. x0
证 ⑴因 f (x) A 2x 15 2x 4 2 x 2
2
2,
x2 1 x2 1 x
所以, 0 , 取 X 2 ，当 x X时 ，使得
f (x) A x2 1 x2 1 ,
所以
lim x2 1 x2 1 0.
x
例10 证明 lim x 1 1 . x 2x 1 2
证 因 f x A x 1 1 1 ,
2x 1 2 2 2x 1
但当 x无限趋近于1而不等于1时，相应 y无限趋近于2.
定义 设函数 f x 在点x0的某个空心邻域中有定义，
如果存在常数 A，使得对于任意给定的正数，总存在
正数 ， 对于满足0 x x0 的一切 x，都有
f (x) A ,
那么常数 A就称作函数 f x 当x x0 时的极限，记
2
f (x) A 1 4x2 2 2 x 1 ,
2x 1
2
所以
1 4x2
lim
2.
x1 2x 1
2
例3 证明 lim x2 4. x2
证 因 f (x) A x2 4 x 2 x 2 ,
为能解出不等式 M x 2 ，要对 x进行适当的控制，
为此限定 x的变化范围为1 x 3 ，此时有 x 2 5,
x0 处的左右极限存在并且相等. 即
lim f (x)存在 lim f (x), lim f (x) 均存在，且
xx0
x x0
x x0
lim f (x) lim f (x).
xx0
xx0
例6
说明极限
1 lim x0 1 e1/ x
不存在.
解因
1
lim
0,
x0 1 e1/ x
1
lim
1,
是当 x 在该点两侧趋近于x0时，函数有一个确定的变化
趋势. 但某种情况下，函数在两侧的趋势是不同的，
这就需要分别加以讨论.
y
考虑函数:
x 1
f
(
x)
0
x 1
x0 x 0, x0
y x1
1Oxy 源自 1 1该函数在点 x 0 两侧的变化趋势是不同的:
当 x 在 0 的右侧趋近于 0 时，f x 1;
x 1 2 2 x 1 2(x 1)
取 x 1 1, 即 0 x 2, 所以
2x 1 1 3 1,
2x 2
2x 2
所以, 0 , 取 min{1, } ，当 0 x 1 时 ，
f (x) A
x2 2 3
x 1 ,
x 1 2
所以
lim x2 2 3 . x1 x 1 2
证 设 lim f (x) A ，由定义，对 1, 存在 0, xx0 当 0 x x0 ，即 x U (x0, ), 有 f (x) A 1,
f (x) f (x) A A
f (x) A A 1 A ,
即： f x 在x0的某个空心邻域内有界.
定理1
(有界性)如果极限
所以, 0 , 取 min{1, }，当 0 x 2 时 ，
5
可使 f (x) A x2 4 x 2 x 2 5 x 2 ,
所以
lim x2 4.
x2
例4 证明 lim x2 2 3 . x1 x 1 2
证因
f (x) A x2 2 3 2x2 3x 1 2x 1 x 1 ,
22
只要
2
arctan
x
，即
x
tan
2
所以,
0,
取X
tan
2
，当
x
X
时 ，使得
f (x) A arctan x ,
2
所以 lim arctan x .
x
2
类似可证lim arctan x .
x
2
例9 证明lim x2 1 x2 1 0. x
证因
f (x) A x2 1 x2 1