函数的奇偶性(精辟讲解)精品PPT课件

f(x)＝－f(－x)． (2)可用定义法，也可以用特殊值代入，如 f(1)＝f(－1)， 再验证． (3)可考虑 f(x)在[－2,2]上的单调性．
解 (1)∵f(x)是定义在 R 上的奇函数， ∴f(0)＝0，当 x<0 时，－x>0， 由已知 f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1＝－f(x)． ∴f(x)＝－x2－x＋1.
所以 f(x)在(0，＋∞)内单调递增．
故|lg x|>1，即 lg x>1 或 lg x<－1，
解得
x>10
或
1 0<x<10.
点评 解决本题的关键在于利用函数的奇偶性把不等
式两边的函数值转化到同一个单调区间上，然后利用函
数的单调性脱掉符号“f”．
题型三 函数的奇偶性与周期性 例 3 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，
域是否关于原点对称．若对称，再验证 f(－x)＝±f(x)或
其等价形式 f(－x)±f(x)＝0 是否成立．
解 (1)由x32－－x32≥≥0
，得 x＝±3.∴f(x)的定义域为{－3,3}．
又 f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0.即 f(x)＝±f(－x)．
∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．
基础自测
1．下列函数中，所有奇函数的序号是__②__③____．
①f(x)＝2x4＋3x2；②f(x)＝x3－2x； ③f(x)＝x2＋x 1；④f(x)＝x3＋1. 解析 由奇偶函数的定义知：①为偶函数；②③为奇函
数；④既不是偶函数，也不是奇函数． 2．若函数 f(x)＝2x＋2 1＋m 为奇函数，则实数 m＝_－__1__.
f (x) 0x2 x 1
(x 0) (x 0).
x2
x
1
(x 0)
(2)方法一 ∵f(x)是 R 上的偶函数，
∴f(－x)＝f(x)在 R 上恒成立． 即ea－x＋ea－x＝eax＋eax，
(a2－1)e2x＋1－a2＝0 对任意的 x 恒成立，
∴a2－1＝ a>0
，解得 a＝1.
方法二 ∵f(x)是 R 上的偶函数，∴f(－1)＝f(1)，
4．已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，
1 那么 a＋b 的值是 3 .
解析 依题意得ab－＝10＝－2a
，
∴a＝13
，
b＝0
∴a＋b＝13＋0＝13.
5．已知 f(x)在 R 上是奇函数，且满足 f(x＋4)＝f(x)，当 x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则 f(2 011)= -2 .
∴f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)⇒1－m>m2－1，
即－2<m<1.
②
综合①②可知，－1≤m<1.
探究提高 (1)奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图 象关于 y 轴对称． (2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函 数在关于原点对称的区间上的单调性相反． (3)奇函数 f(x)在 x＝0 处有意义，一定有 f(0)＝0.但是在 用 f(0)＝0 求出参数后，要注意验证． (4)f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． 在应用特殊值求参数时，求出参数后要注意验证．
函数的奇偶性
基础知识 自主学习
要点梳理 1．奇、偶函数的概念
一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 A，如果对于任意 的 x∈A，都有 f(－x)＝f(x)，那么称函数 y＝f(x)是偶 函数． 如果对于任意的 x∈A 都有 f(－x)＝－f(x)，那么称函 数 y＝f(x)是奇函数． 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 y 轴 对称．
(3)解 ∵f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1. 又 f(x)是周期为 4 的周期函数， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7) ＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＝0. ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 011)＝0.
变式训练 1 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝lg11－ ＋xx；(2)f(x)＝(x－1)
22＋ －xx；
(3)f(x)＝xx22＋ －xx
x>0， x<0；
(4)f(x)＝|xlg2－1－2|－x22. 解 (1)由11－ ＋xx>0⇒－1<x<1，定义域关于原点对称． 又 f(－x)＝lg11＋ －xx＝lg11－ ＋xx－1＝－lg11－ ＋xx＝－f(x)，
∴f(x)为偶函数．
题型二 函数的奇偶性与单调性
例 2 (1)已知 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x>0 时，f(x) ＝x2－x－1，求 f(x)的解析式； (2)设 a>0，f(x)＝eax＋eax是 R 上的偶函数，求实数 a 的值；
(3)已知奇函数 f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间 [－2,0]内递减，求满足 f(1－m)＋f(1－m2)<0 的实 数 m 的取值范围． 思维启迪 (1)f(x)是一个分段函数，当 x<0 时，转化为
解析 ∵f(x)的周期 T＝4， ∴f(2 011)＝f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
题型分类 深度剖析
题型一 函数奇偶性的判断
例 1 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝ 3－x2＋ x2－3；
(2)f(x)＝(x＋1)
11＋－xx；
(3)f(x)＝|x＋4－3|－x23. 思维启迪 确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义
2．函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单 调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单 调性，则其单调性恰恰相反． (2)若 f(x)为偶函数，则 f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． (3)若奇函数 f(x)定义域中含有 0，则必有 f(0)＝0. f(0)＝0 是 f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件． (4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表 示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”． (5)复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”． (6)既奇又偶的函数有无穷多个(如 f(x)＝0，定义域是关 于原点对称的任意一个数集)．
2．奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶 函数在关于原点对称的区间上的单调性 相反 ． (2)在公共定义域内， ①两个奇函数的和是 奇函数 ，两个奇函数的积是偶 函数； ②两个偶函数的和、积都是 偶函数 ； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数 ．
3．周期性 (1)周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零 常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x ＋T)＝ f(x) ，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中 存在一个最小 的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期．
3．设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，若当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x，则满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是(_－__1_,_0_)__∪__(_1_，__＋__∞__)_．
解析 画草图，由 f(x)为奇函数的性质知：f(x)>0 的 x 的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．
恒有 f(x＋2)＝－f(x)．当 x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当 x∈[2,4]时，求 f(x)的解析式； (3)计算 f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 011)． 思维启迪 (1)只需证明 f(x＋T)＝f(x)，即可说明 f(x) 是周期函数； (2)由 f(x)在[0,2]上的解析式求得 f(x)在[－2,0]的解析式， 进而求 f(x)在[2,4]上的解析式； (3)由周期性求和的值．
(1)证明 ∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． ∴f(x)是周期为 4 的周期函数． (2)解 ∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]， ∴4－x∈[0,2]， ∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8， 又 f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝－x2＋6x－8， 即 f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．
[难点正本 疑点清源] 1．函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性主要根据定义：一般地，如果对于 函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝f(x)(或 f(－x)＝－f(x))，那么函数 f(x)就叫做偶函数(或奇函 数)．其中包含两个必备条件： ①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要 不充分条件，所以首先考虑定义域有利于准确简捷地 解决问题； ②判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶 性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式 (f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或 f(x)－f(－x)＝0(偶函数)) 是否成立．
(2)由11－＋xx≥ 1＋x≠0
，得－1<x≤1.
∵f(x)的定义域(－1,1]不关于原点对称．
∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． (3)由4|x－＋x32|≥－3≠0 ，得－2,0)∪(0,2]，关于原点对称．
∴f(x)＝x＋4－3－x23＝
4－x2 x.
点评 若奇函数 f(x)在 x＝0 处有定义，则必有 f(0)＝0.
利用这个性质求解参数的取值，方便、快捷．
(2)若偶函数 f(x)在(－∞，0)内单调递减，则不等式
f(－1)<f(lg x)的解集是 0，110∪(10，＋∞) .
解析 因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)＝f(|x|)，
因为 f(x)在(－∞，0)内单调递减，
故原函数是奇函数． (2)由22－＋xx≥0 且 2－x≠0⇒－2≤x<2，
定义域关于原点不对称，故原函数是非奇非偶函数．
(3)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， 又当 x>0 时，f(x)＝x2＋x，则当 x<0 时，－x>0， 故 f(－x)＝x2－x＝f(x)； 当 x<0 时，f(x)＝x2－x，则当 x>0 时，－x<0， 故 f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数． (4)由1|x－2－x22>|－0，2≠0 得定义域为 (－1,0)∪(0,1)， 关于原点对称，∴f(x)＝－lgx21－－2x2－ 2＝－lg1x－2 x2. ∵f(－x)＝－lg[1－－x－2x2]＝－lg1x－2 x2＝f(x)，
∴1a·1e＋ae＝ea＋ae，
∴a－
1ae＋1e1a－a＝0，
∴a－
1ae2－
1＝
0，∴a－1a＝0.又
a>0，∴a＝1.
经验证当 a＝1 时，有 f(－x)＝f(x)．∴a＝1.
(3)∵f(x)的定义域为[－2,2]，
∴有－－22≤≤11－－
m≤ m2≤2
，
解得－1≤m≤ 3.
①
又 f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减，∴在[－2,2]上递减，
∴f(x)＝－f(－x)，∴f(x)是奇函数．
探究提高 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充 分条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的； (2)判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的 运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋ f(－x)＝0(奇函数)或 f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． 分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数， 分段函数奇偶性的判断，要分别从 x>0 或 x<0 来寻找等式 f(－x)＝f(x)或 f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间 上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．
变式训练 2 (1)若函数 f(x)＝loga(x＋ x2＋2a2)是奇函
2
数，则实数 a 的值是____2____．
分析 由奇函数的性质可得到参数 a 的方程，然后求解
即可．
解析 方法一 由 f(x)＋f(－x)＝0， 得 loga(x＋ x2＋2a2)＋loga( x2＋2a2－x)＝0 ⇒loga2a2＝0⇒2a2＝1， 因为 a>0，所以 a＝ 22. 方法二 因为函数的定义域为全体实数，所以函数在原点有 定义，则 f(0)＝0，即 loga 2a2＝0，则 2a2＝1，得 a＝ 22.