淳安县第一中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

淳安县第一中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知集合2
{320,}A x x x x R =-+=∈，{05,}B x x x N =<<∈，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的
个数为
A 、
B 、2
C 、3
D 、4 2． 设集合A={x|x+2=0}，集合B={x|x 2﹣4=0}，则A ∩B=（ ）
A ．{﹣2}
B ．{2}
C ．{﹣2，2}
D ．∅
3． 已知圆C ：x 2+y 2=4，若点P （x 0，y 0）在圆C 外，则直线l ：x 0x+y 0y=4与圆C 的位置关系为（ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．不能确定
4． （+
）2n （n ∈N *
）展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为（ ）
A ．120
B ．210
C ．252
D ．45
5． 已知向量=（1，），=（
，x ）共线，则实数x 的值为（ ）
A ．1
B ．
C ． tan35°
D ．tan35°
6． 在复平面上，复数z=a+bi （a ，b ∈R ）与复数i （i ﹣2）关于实轴对称，则a+b 的值为（ ）
A ．1
B ．﹣3
C ．3
D ．2
7． 已知偶函数f （x ）满足当x ＞0时，3f （x ）﹣2f （）=，则f （﹣2）等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 函数2
()45f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是（ ） A ．[2,)+∞ B ．[]2,4 C ．(,2]-∞ D ．[]0,2 9． 已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f （x+2）=f （x ）．当0≤x ≤1时，f （x ）=x 2．若直线y=x+a 与函数y=f （x ）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是（ ）
A ．0
B ．0或
C ．
或
D ．0或
10．下列函数中哪个与函数y=x 相等（ ）
A ．y=（
）2
B ．y=
C ．y=
D ．y=
11．设α、β是两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，命题p ：若平面α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；命题q ：l ∥α，m ⊥l ，m ⊂β，则β⊥α，则下列命题为真命题的是（ ）
A ．p 或q
B ．p 且q
C ．￢p 或q
D ．p 且￢q
12．已知直线l ：2y kx =+过椭圆)0(122
22>>=+b a
y x 的上顶点B 和左焦点F ，且被圆
224x y +=截得的弦长为L ，若L ≥e 的取值范围是（ ） （A ） ⎥⎦
⎤ ⎝⎛
550， （ B ） 0⎛ ⎝⎦
（C ） ⎥⎦⎤
⎝⎛5530， （D ） ⎥⎦⎤
⎝
⎛5540， 二、填空题
13．如图，函数
f （x ）的图象为折线 AC B ，则不等式f （x ）≥lo
g 2（x+1）的解集是 ．
14．当0,1x ∈（）时，函数()e 1x f x =-的图象不在函数2()g x x ax =-的下方，则实数a 的取值范围是
___________．
【命题意图】本题考查函数图象间的关系、利用导数研究函数的单调性，意在考查等价转化能力、逻辑思维能力、运算求解能力．
15．函数y=sin 2x ﹣2sinx 的值域是y ∈ ．
16．设a 抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x
2+ax+a=0有两个不等实数根的概率为 ．
17．在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱AA 1=，M 为
A 1
B 1
的中点，则AM 与平面AA 1
C 1C
所成角的正切值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
18．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若6a=4b=3c
，则cosB= ．
三、解答题
19．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
(不等式选做题)设
，且
，则的最小值为
（几何证明选做题）如图，中，
，以
为直径的半圆分别交
于点
，
若
,则
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．（1）求证：PC⊥BC；
（2）求点A到平面PBC的距离．
21．已知函数f（x）=sinx﹣2sin2
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[0，]上的最小值．
22．已知函数，
．
（Ⅰ）求函数的最大值； （Ⅱ）若，求函数
的单调递增区间．
23．斜率为2的直线l 经过抛物线的y 2=8x 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．
24．【南师附中2017届高三模拟二】如下图扇形AOB 是一个观光区的平面示意图，其中AOB ∠为
23
π
，半径OA 为1km ，为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A 到出口B 的观光道路，道路由圆弧
AC 、线段CD 及线段BD 组成．其中D 在线段OB 上，且//CD AO ，设AOC θ∠=．
（1）用θ表示CD的长度，并写出θ的取值范围；（2）当θ为何值时，观光道路最长？
淳安县第一中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】D
【解析】{|(1)(2)0,}{1,2}A x x x x =--=∈=R ， {}{}|05,1,2,3,4=<<∈=N B x x x ． ∵⊆⊆A C B ，∴C 可以为{}1,2，{}1,2,3，{}1,2,4，{}1,2,3,4． 2． 【答案】A
【解析】解：由A 中的方程x+2=0，解得x=﹣2，即A={﹣2}；
由B 中的方程x 2
﹣4=0，解得x=2或﹣2，即B={﹣2，2}，
则A ∩B={﹣2}． 故选A
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
3． 【答案】C
【解析】解：由点P （x 0，y 0）在圆C ：x 2+y 2=4外，可得x 02+y 02
＞4，
求得圆心C （0，0）到直线l ：x 0x+y 0y=4的距离d=＜=2，
故直线和圆C 相交， 故选：C ．
【点评】本题主要考查点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
4． 【答案】
B
【解析】
【专题】二项式定理．
【分析】由已知得到展开式的通项，得到第6项系数，根据二项展开式的系数性质得到n ，可求常数项．
【解答】解：由已知（
+
）2n （n ∈N *
）展开式中只有第6项系数为
最大，
所以展开式有11项，所以2n=10，即n=5，
又展开式的通项为=
，
令5﹣
=0解得k=6，
所以展开式的常数项为=210；
故选：B
【点评】本题考查了二项展开式的系数以及求特征项；解得本题的关键是求出n，利用通项求特征项．5．【答案】B
【解析】解：∵向量=（1，），=（，x）共线，
∴x====，
故选：B．
【点评】本题考查了向量的共线的条件和三角函数的化简，属于基础题．
6．【答案】A
【解析】解：∵z=a+bi（a，b∈R）与复数i（i﹣2）=﹣1﹣2i关于实轴对称，
∴，∴a+b=2﹣1=1，
故选：A．
【点评】本题考查复数的运算，注意解题方法的积累，属于基础题．
7．【答案】D
【解析】解：∵当x＞0时，3f（x）﹣2f（）=…①，
∴3f（）﹣2f（x）==…②，
①×3+③×2得：
5f（x）=，
故f（x）=，
又∵函数f（x）为偶函数，
故f（﹣2）=f（2）=，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，其中根据已知求出当x＞0时，函数f（x）的解析式，是解答的关键．
8．【答案】B
【解析】
试题分析：画出函数图象如下图所示，要取得最小值为，由图可知m需从开始，要取得最大值为，由图可知m 的右端点为，故m的取值范围是[]2,4.
考点：二次函数图象与性质．
9．【答案】D
【解析】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2，
∴当﹣1≤x≤0时，0≤﹣x≤1，f（﹣x）=（﹣x）2=x2=f（x），
又f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为2的函数，
又直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，其图象如下：
当a=0时，直线y=x+a变为直线l1，其方程为：y=x，显然，l1与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点；
当a≠0时，直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，由图可知，直线y=x+a与函数y=f（x）相切，切点的横坐标x0∈[0，1]．
由得：x2﹣x﹣a=0，由△=1+4a=0得a=﹣，此时，x0=x=∈[0，1]．
综上所述，a=﹣或0
故选D．
10．【答案】B
【解析】解：A．函数的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不同．
B．函数的定义域为R，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一函数．
C．函数的定义域为R，y=|x|，对应关系不一致．
D．函数的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不同．
故选B．
【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准是判断函数的定义域和对应关系是否一致，否则不是同一函数．
11．【答案】C
【解析】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中
命题p：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β，直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，
显然满足α∥β，l⊂α，m⊂β，而m与l异面，故命题p不正确；﹣p正确；
命题q：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β，
直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，
显然满足l∥α，m⊥l，m⊂β，而α∥β，故命题q不正确；﹣q正确；
故选C．
【点评】此题是个基础题．考查面面平行的判定和性质定理，要说明一个命题不正确，只需举一个反例即可，否则给出证明；考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．
12．【答案】 B
【解析】依题意，2, 2.b kc ==
设圆心到直线l 的距离为d ，则L =≥
解得216
5d ≤。

又因为
d =2116,15k ≤+解得2
14k ≥。

于是222
222211c c e a b c k ===++，所以
2
40,5e <≤解得0e <≤故选B ． 二、填空题
13．【答案】 （﹣1，1] ．
【解析】解：在同一坐标系中画出函数f （x ）和函数y=log 2（x+1）的图象，如图所示：
由图可得不等式f （x ）≥log 2（x+1）的解集是：（﹣1，1]，． 故答案为：（﹣1，1]
14．【答案】[2e,)-+∞
【解析】由题意，知当0,1x ∈（）时，不等式2
e 1x
x ax -≥-，即21e x x a x +-≥恒成立．令()21e x
x h x x
+-=，
()()()2
11e 'x x x h x x
-+-=．令()1e x k x x =+-，()'1e x k x =-．∵()0,1x ∈，∴()'1e 0,x
k x =-<∴()k x 在()0,1x ∈为递减，∴()()00k x k <=，∴()()()
2
11e '0x x x h x x
-+-=
>，∴()h x 在()0,1x ∈为递增，∴
()()12e h x h <=-，则2e a ≥-．
15．【答案】 [﹣1，3] ．
【解析】解：∵函数y=sin 2x ﹣2sinx=（sinx ﹣1）2
﹣1，﹣1≤sinx ≤1，
∴0≤（sinx ﹣1）2≤4，∴﹣1≤（sinx ﹣1）2
﹣1≤3．
∴函数y=sin 2
x ﹣2sinx 的值域是y ∈[﹣1，3]．
故答案为[﹣1，3]．
【点评】熟练掌握正弦函数的单调性、二次函数的单调性是解题的关键．
16．【答案】．
【解析】解：∵a是甲抛掷一枚骰子得到的点数，
∴试验发生包含的事件数6，
∵方程x2+ax+a=0 有两个不等实根，
∴a2﹣4a＞0，
解得a＞4，
∵a是正整数，
∴a=5，6，
即满足条件的事件有2种结果，
∴所求的概率是=，
故答案为：
【点评】本题考查等可能事件的概率，在解题过程中应用列举法来列举出所有的满足条件的事件数，是解题的关键．
17．【答案】
【解析】解：法1：取A1C1的中点D，连接DM，
则DM∥C1B1，
在在直三棱柱中，∠ACB=90°，
∴DM⊥平面AA1C1C，
则∠MAD是AM与平面AA1C1C所的成角，
则DM=，AD===，
则tan∠MAD=．
法2：以C1点坐标原点，C1A1，C1B1，C1C分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，
则∵AC=BC=1，侧棱AA
=，M为A1B1的中点，
1
∴=（﹣，，﹣），=（0，﹣1，0）为平面AA1C1C的一个法向量
设AM与平面AA1C1C所成角为θ，
则sinθ=||=
则tanθ=
故选：A
【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中利用定义法以及建立坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，将线面夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．
18．【答案】．
【解析】解：在△ABC中，∵6a=4b=3c
∴b=，c=2a，
由余弦定理可得cosB===．
故答案为：．
【点评】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，用a表示b，c是解决问题的关键，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】A
B
20．【答案】
【解析】解：（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC．由∠BCD=90°，得CD⊥BC，
又PD∩DC=D，PD、DC⊂平面PCD，
所以BC⊥平面PCD．
因为PC⊂平面PCD，故PC⊥BC．
（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：
易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等．
又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍．
由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，
因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F．
易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于．
（方法二）等体积法：连接AC．设点A到平面PBC的距离为h．
因为AB∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°．
从而AB=2，BC=1，得△ABC的面积S△ABC=1．
由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P﹣ABC的体积．
因为PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PD⊥DC．
又PD=DC=1，所以．
由PC⊥BC，BC=1，得△PBC的面积．
由V
=V P﹣ABC，，得，
A﹣PBC
故点A到平面PBC的距离等于．
【点评】本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力．
21．【答案】
【解析】解：（1）∵f（x）=sinx﹣2sin2
=sinx﹣2×
=sinx+cosx﹣
=2sin（x+）﹣
∴f（x）的最小正周期T==2π；
（2）∵x∈[0，]，
∴x+∈[，π]，
∴sin（x+）∈[0，1]，即有：f（x）=2sin（x+）﹣∈[﹣，2﹣]，
∴可解得f（x）在区间[0，]上的最小值为：﹣．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值的应用，属于基本知识的考查．
22．【答案】
【解析】【知识点】三角函数的图像与性质恒等变换综合
【试题解析】（Ⅰ）由已知
当，即，时，
（Ⅱ)当时，递增
即，令，且注意到
函数的递增区间为
23．【答案】
【解析】解：设直线l 的倾斜解为α，则l 与y 轴的夹角θ=90°﹣α，
cot θ=tan α=2， ∴sin θ
=，
|AB|=
=40．
线段AB 的长为40．
【点评】本题考查抛物线的焦点弦的求法，解题时要注意公式
|AB|=的灵活运用．
24．【答案】（1
）cos ,0,3CD πθθθ⎛⎫
=+∈ ⎪⎝⎭
;（2）设∴当6πθ=时，()L θ取得最大值，即当6πθ=
时，观光道路最长.
【解析】试题分析：（1）在OCD ∆中，由正弦定理得：sin sin sin CD OD CO COD DCO CDO
==∠∠∠
2cos 3CD πθθθ⎛⎫
∴=-= ⎪⎝⎭
，OD θ=
1sin 03OD OB π
θθθ<<∴<<<
cos ,0,3CD πθθθ⎛⎫
∴=∈ ⎪⎝⎭
（2）设观光道路长度为()L θ， 则()L BD CD AC θ=++弧的长
= 1cos θθθθ+++
= cos 1θθθ++，0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
∴(
)sin 1L θθθ=-+' 由()0L θ'=
得：sin 6πθ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭，又0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
6πθ∴=
∴当6
π
θ=
时，()L θ取得最大值，即当6
π
θ=
时，观光道路最长.
考点：本题考查了三角函数的实际运用
点评：对三角函数的考试问题通常有：其一是考查三角函数的性质及图象变换，尤其是三角函数的最大值与最小值、周期。

多数题型为选择题或填空题；其次是三角函数式的恒等变形。

如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等。

除在填空题和选择题出现外，解答题的中档题也经常出现这方面内容。

另外，还要注意利用三角函数解决一些应用问题。